3 e 4 Sistemas LinearesProfa. rika Canutolgebra Linear

EQUAO LINEAREquao linear toda equao da forma:a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1

em que a11, a12, a13, ... , a1n so nmeros reais, que recebem o nome de coeficientes das incgnitas; x1, x2,x3, ... , xn, so as incgnitas; e b1 um nmero real chamado termo independente (quando b=0, a equao recebe o nome de linear homognea).

SOLUO DE UMA EQUAO LINEAR

Uma sequncia de nmeros reais (r1,r2,r3,...,rn) soluo da equao lineara11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1

se trocarmos cada xi por ri na equao e este fato implicar que o membro da esquerda identicamente igual ao membro da direita, isto :a11r1 + a12r2+ a13r3 + ... + a1nrn = b1

Um conjunto de equaes lineares da forma:

um sistema linear de m equaes e n incgnitas.A soluo de um sistema linear a n-upla de nmeros reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que , simultaneamente, soluo de todas as equaes do sistema.

Sistema linear

MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEARMATRIZ INCOMPLETA: a matriz A formada pelos coeficientes das incgnitas do sistema

MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEARMATRIZ COMPLETA: matriz B que se obtm acrescentando matriz incompleta uma ltima coluna formada pelos termos independentes das equaes do sistema.

CLASSIFICAO DE UM SISTEMA QUANTO AO NMERO DE SOLUESSPD: sistema possvel e determinado(soluo nica)

SPI: sistema possvel e indeterminado (infinitas solues)

SI: sistema impossvel (no tem soluo)

SISTEMA NORMALUm sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e de incgnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema diferente de zero.

Se m=n e det A 0, ento o sistema normal.

REGRA DE CRAMERTodo sistema normal tem uma nica soluo dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi o determinante obtido pela substituio, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

REGRA DE CRAMERExemplo:

DISCUSSO DE UM SISTEMA LINEARSe um sistema linear tem n equaes e n incgnitas, ele pode ser:SPDSPISI

DISCUSSO DE UM SISTEMA LINEARa) possvel e determinado, se D = det A 0; caso em que a soluo nica.

DISCUSSO DE UM SISTEMA LINEARb) possvel e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2.

Se n 3, essa condio s ser vlida se no houver equaes com coeficientes das incgnitas respectivamente proporcionais e termos independentes no-proporcionais.Um sistema possvel e indeterminado apresenta infinitas solues.

DISCUSSO DE UM SISTEMA LINEAR Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema possvel e indeterminado, tendo infinitas solues.

DISCUSSO DE UM SISTEMA LINEARc) impossvel, se D=0 e existe Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema no tem soluo.

Como D=0 e Dx 0, o sistema impossvel e no apresenta soluo

SISTEMAS EQUIVALENTES Dois sistemas so equivalentes quando possuem o mesmo conjunto soluo.

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e nico. Logo, S1 e S2 so equivalentes: S1 ~ S2.

SISTEMAS EQUIVALENTES Propriedades:

a) Trocando de posio as equaes de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.b) Multiplicando uma ou mais equaes de um sistema por um nmero K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. c) Adicionando a uma das equaes de um sistema o produto de outra equao desse mesmo sistema por um nmero k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

RESOLUO DE SISTEMAS LINEARES POR ESCALONAMENTO A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o nmero de equaes (m) igual ao nmero de incgnitas (n). Quando m e n so maiores que trs, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a tcnica do escalonamento, que facilita a discusso e resoluo de quaisquer sistemas lineares. Para tanto, vamos usar as trs Operaes Elementares sobre linhas.

SISTEMAS ESCALONADOS Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente no-nulo em cada equao, est escalonado se o nmero de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente no nulo aumenta de equao para equao.

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

T1 - UM SISTEMA DE EQUAES NO SE ALTERA, QUANDO PERMUTAMOS AS POSIES DE DUAS EQUAES QUAISQUER DO SISTEMA.

Exemplo: os sistemas de equaes lineares 2x + 3y = 10 5x - 2y = 6

5x - 2y = 6 2x + 3y = 10

so obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto soluo. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentao das equaes.

T2 - UM SISTEMA DE EQUAES NO SE ALTERA, QUANDO MULTIPLICAMOS AMBOS OS MEMBROS DE QUALQUER UMA DAS EQUAES DO SISTEMA, POR UM NMERO REAL NO NULO.Exemplo: os sistemas de equaes lineares3x + 2y - z = 52x + y + z = 7x - 2y + 3z = 1

3x + 2y - z = 52x + y + z = 73x - 6y + 9z = 3so obviamente equivalentes, pois a terceira equao foi multiplicada membro a membro por 3.

T3: UM SISTEMA DE EQUAES LINEARES NO SE ALTERA, QUANDO SUBSTITUMOS UMA EQUAO QUALQUER POR OUTRA OBTIDA A PARTIR DA ADIO MEMBRO A MEMBRO DESTA EQUAO, COM OUTRA NA QUAL FOI APLICADA A TRANSFORMAO T2.Exemplo: os sistemas15x - 3y = 22 5x + 2y = 32

15x - 3y = 22 -9y = -74

so obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto soluo), pois a segunda equao foi substituda pela adio da primeira equao, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

EXEMPLO: SEJA O SISTEMA DE EQUAES LINEARES

x + 3y - 2z = 32x - y + z = 124x + 3y - 5z = 6 . x + 3y - 2z = 3 .Equao 1 2x . - .y + z = 12 Equao 2 4x + 3y - 5z = 6 .Equao 3

SOLUO:1 - APLICANDO A TRANSFORMAO T1, PERMUTANDO AS POSIES DAS EQUAES 1 E 2, VEM:

2x - y + z = 12 x + 3y - 2z = 34x + 3y - 5z = 6

2 - MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DA EQUAO 2, POR (- 2) - USO DA TRANSFORMAO T2 - SOMANDO O RESULTADO OBTIDO COM A EQUAO 1 E SUBSTITUINDO A EQUAO 2 PELO RESULTADO OBTIDO - USO DA TRANSFORMAO T3 - VEM:

2x - y + z = 12 - 7y + 5z = 64x + 3y - 5z = 6

3 - MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DA EQUAO 1 POR (-2), SOMANDO O RESULTADO OBTIDO COM A EQUAO 3 E SUBSTITUINDO A EQUAO 3 PELA NOVA EQUAO OBTIDA, VEM:

2x - y + z = 12 - 7y + 5z = 6 5y - 7z = - 18

4 - MULTIPLICANDO A SEGUNDA EQUAO ACIMA POR 5 E A TERCEIRA POR 7, VEM:

2x - .y + z = 12...- 35y +25z =.30.....35y - 49z = -126

5 - SOMANDO A SEGUNDA EQUAO ACIMA COM A TERCEIRA, E SUBSTITUINDO A TERCEIRA PELO RESULTADO OBTIDO, VEM:

2x . - . y + z = 12.. .- 35y +25z =.30........... ..- 24z = - 96

6 - DO SISTEMA ACIMA, TIRAMOS IMEDIATAMENTE QUE: Z = (-96)/(-24) = 4 OU SEJA, Z = 4.COMO CONHECEMOS AGORA O VALOR DE Z, FICA FCIL ACHAR OS VALORES DAS OUTRAS INCGNITAS:TEREMOS: NA EQUAO 2 : - 35Y + 25(4) = 30 \ Y = 2.ANALOGAMENTE, SUBSTITUINDO OS VALORES CONHECIDOS DE Y E Z NA PRIMEIRA EQUAO ACIMA, FICA:2X - 2 + 4 = 12 \ X = 5.PORTANTO, X = 5, Y = 2 E Z = 4, CONSTITUI A SOLUO DO SISTEMA DADO. PODEMOS ENTO ESCREVER QUE O CONJUNTO SOLUO S DO SISTEMA DADO, O CONJUNTO UNITRIO FORMADO POR UM TERNO ORDENADO (5,2,4) :S = { (5, 2, 4) }

Sobre a tcnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma ax + by + cz = k1 dy + ez = k2 fz = k3 de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e da, por substituio, determinar y e x. Este o caminho comum para qualquer sistema.

importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos: a) f 0 , o sistema possvel e determinado.b) f = 0 e k3 0 , o sistema impossvel, ou seja, no possui soluo, ou podemos dizer tambm que o conjunto soluo vazio, ou seja: S = f .c) f = 0 e k3 = 0 , o sistema possvel e indeterminado, isto , possui um nmero infinito de solues.

No podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equaes lineares, a no ser recomendar a correta e oportuna aplicao das transformaes T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.Podemos entretanto observar que o mtodo de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incgnita a partir da segunda equao, eliminar a segunda incgnita em todas as equaes a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformaes T1, T2 e T3 vistas acima. A prtica, entretanto, ser o fator determinante para a obteno dos bons e esperados resultados.

Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a tcnica de escalonamento:

Sistema I : Resp: S = { (3, 5) } 4x - 2y = 2 2x + 3y = 21

Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) } 2 a + 5b + .3c = ...20 5 a + 3b - 10c = - 39 ...a + ..b + ...c = .....5

Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) } ..x + .y .- ..z = ..0 ..x - 2y + 5z = 21 4x + .y + 4z = 31

Um sistema homogneo quando todos os termos independentes das equaes so nulos:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) sempre soluo de um sistema homogneo com n incgnitas e recebe o nome de soluo trivial. Quando existem, as demais solues so chamadas no-triviais.Sistemas homogneos

Uma companhia de navegao tem trs tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de trs tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes so dadas pela matriz:

Exemplo

Tipo do RecipienteIIIIIIA432B523C223

Quais so os nmeros de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Exemplo

Tipo do RecipienteIIIIIIA432B523C223

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 27 2 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 33 Exemplo

Tipo do Recipiente I IIIIIA432B523C223

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