Auxiliar 1 17/08/10

Movimiento Circunferencial

Se define la posicion para un movimiento circunferencial

~r = R(cos((t))x+ sin((t))y)

~v =d~r

dt= R(

d cos((t))

dtx+

d sin((t))

dty)

~v = R(d cos((t))

d(t)

d(t)

dtx+

d sin((t))

d(t)

d(t)

dty)

Solo para abreviard(t)

dt= (t)

Entonces

~v = R( sin((t))(t)x+ cos((t)(t)y)~v = R sin((t))(t)x+R cos((t)(t)y

(t) representa el modulo de la velocidad angular( = ), la que esta orientada en ladireccion del eje de giro y en sentido segun la regla de la mano derecha.

d~v

dt= ~a = R cos((t))2(t)xR sin((t))(t)xR sin((t))2(t)y +R cos((t))(t)y

~a = R(t) ( sin((t))x+ cos((t))y)

R2(t) (cos((t))x+ sin((t))y)

Dibujando los vectores en una circunferencia unitaria:

cos((t))x+ sin((t))y =

sin((t))x+ cos((t))y = Reemplazando en ~r,~v y en ~a se puede ver que la velocidad es tangencial a la circun-

ferencia(magnitud R) y que la aceleracion tienen una componente que apunta hacia elcentro(2R) y otra componente tangencial si cambia en el tiempo.

~a = R(t)(t)R2(t)(t)1

Pendulo simple

largo l, masa m, solo para abreviar = (t)

Se define la posicion~r = l( cos()y + sin()x)~v = l(sin()y + cos()x)

~a = l(cos()2y + sin()y sin()2x+ cos()x)Siempre recordando que se usa la regla de la cadena

d~v

dt=d~v

d

d

dt

Multiplicando m y ~a se tiene ~F e identificando las componentes

Fx = ml sin()2 +ml cos() (1)

Fy = ml cos()2 +ml sin() (2)

Del DCL:Fx = sin()T (3)

Fy = cos()T mg (4)Igualando 1 con 3 y 2 con 4:

ml sin()2 +ml cos() = sin()T (5)

ml cos()2 +ml sin() = cos()T mg (6)De 5:

ml sin()2 sin() +

ml cos()

sin() = T = ml2 ml cos()

sin()

Reemplazando este valor para T en 6:

cos()(ml2 ml cos()sin()

)mg = ml cos()2 +ml sin()2

ml cos()2 ml cos

2()

sin()mg = ml cos()2 +ml sin()

ml cos2() mg sin() = ml sin2()

ml (sin2() + cos2()

1

) = mg sin()

= g

lsin()

Con2 =

g

l

+ 2 sin() = 0

Ahora lo mismo pero con torque y luego la solucion a esta ecuacion.

~T = ~r ~F~F = m~a

~F = md~v

dt

~r ~F = ~r md~vdt

= m(~r d~vdt

)

Usando:

d(~r ~v)dt

= ~r d~vdt

+d~r

dt ~v

~T = m[d~r ~vdt

d~rdt ~v]

Perod~r

dt= ~v d~r

dt ~v = ~v ~v = 0

md~r ~vdt

= ~T

~r ~v = |~r| |~v| sin pi2

= |~r| |~v| = l2k

Usando la regla de la mano derecha para dar el sentido segun k

3

md~r ~vdt

= mdl2

dtk = ml2k = ~T

ml2k = ~T (7)

Para el torque solo se usa la componente perpendicular al brazo que en este caso es

sin()mg

con lo que~T = sin()mglk (8)

Igualando 7 con 8

ml2 = sin()mgl + gl

sin() = 0

Con2 =

g

l

+ 2 sin() = 0

Para pequenas oscilaciones sin() , recordando el lmite:sin()

cuando 0Con esto la ecuacion queda

+ 2 = 0

La solucion de esta ecuacion se puede encontrar por inspeccion, Funciones que derivadas2 veces den la misma funcion por una constante?

sin, cos, exp

exp no sirve pues no entrega el signo correctamente, la solucion puede ser entonces algunade las siguientes:

(t) = A cos(t+ )

(t) = B sin(t+ 2)

Esto debido a que sin y cos representan el mismo movimiento(tienen la misma forma) peroestan desplazadas una respecto a otra. las constantes A,B,, 2 dependen de las condicionesiniciales.

4

Derivada del producto vectorial usada en pendulo con torque

d(~r ~v)dt

= ~r d~vdt

+d~r

dt ~v

~c = ~a~b

~c(t+ t) c(t) = ~a(t+ t)~b(t+ t) ~a(t)~b(t)~c(t+ t) c(t) = ~a(t+ t)~b(t+ t) + ~a(t+ t)~b(t) ~a(t+ t)~b(t) ~a(t)~b(t)

~c(t+ t) c(t) = ~a(t+ t) [~b(t+ t)~b(t)] + [~a(t+ t) ~a]~b(t)Dividiendo por t

~c(t+ t) c(t)t d~cdt

= ~a(t+ t)~b(t+ t)~b(t)

t d~bdt

+~a(t+ t) ~a

t d~adt

~b(t)

Con t 0Queda

d(~a~b)dt

= ~a d~b

dt+d~a

dt~b

1

1Cualquier duda o consulta ncofre@ing.uchile.cl

5