Balance de Momentum, Calor y Masa Ejercicios Ago 2020 – Ene 2021

Unidad 1 – Balances de Momentum

EJERCICIO 0 (5 puntos) En cada caso, resolver la ecuación diferencial. Cuando se proporcione condiciones de frontera, emplearlas para obtener la solución particular.

RESPUESTAS:

1. 23 1 0dy xdx

− + = 3y x x C= − +

2. 3 0xdy edx

−+ = 313

xy e C−= +

3. 0d dyx

dx dx =

1 2lny C x C= +

4. 2 6dyx ydx

− = con 1y = − cuando 1x = 22 3y x= −

5. 3xdy y edx

+ = sujeta a ( )0 1y = 31 34 4

x xy e e−= +

6. 2

2 2 0d y dy y

dxdx− − = 2

1 2x xy C e C e−= +

7. 2

2 9 0d y ydx

+ = ( ) ( )1 23 3sen cosy C x C x= +

8. 2

2 10 25 0d y dy y

dxdx− + = 5 5

1 2x xy C e C xe= +

9. 2

2 4 5 0d y dy y

dxdx− + = 2 2

1 2sen cosx xy C e x C e x= +

10. 2

22 3 0d y dy

dxdx+ = sujeta a ( )0 4y = y ( )0 10 5.y′ = − 1 53 7 . xy e−= − +

EJERCICIO 1 (20 puntos) Una pecera está derramando agua por un costado, formando una capa vertical descendente de espesor δ uniforme (con ancho W y altura H ). Empleando el sistema de coordenadas indicado en la figura, realizar un balance diferencial de momentum en un volumen de control de espesor x∆ para encontrar el perfil de velocidad zv en función de x .

RESPUESTA: ρ δμ δ δ

22 12z

g x xv = −

EJERCICIO 2 (15 puntos) Adaptado de Bird (2002)

Una varilla cilíndrica de radio κR se mueve con velocidad 0v constante a lo largo del centro de un tubo cilíndrico de radio interno R . El espacio entre la varilla y el tubo está lleno de un líquido newtoniano viscoso (esta situación se presenta en el recubrimiento de alambres con barniz). La presión y la temperatura son constantes. Encontrar el perfil de velocidad en estado estable para el fluido en el espacio entre κr R= y r R= .

RESPUESTA: ( )

κ0ln /

lnzr R

v v=

EJERCICIO 3 (15 puntos)

El espacio entre dos cilindros coaxiales verticales se encuentra lleno con un líquido newtoniano a temperatura constante. El cilindro interno tiene radio 1R y el cilindro externo tiene radio 2R . El cilindro interno gira con una velocidad angular constante Ω debido a la aplicación de un momento de giro; mientras que el cilindro externo se mantiene fijo. Mediante simplificación de las ecuaciones de conservación, determinar el perfil de velocidad ( )θv r para el movimiento laminar del fluido. NOTA: Recordar que la velocidad tangencial es igual al producto de la velocidad angular por el radio de giro.

RESPUESTA: θΩ 2

1 2 22 2

22 1

R R R rvr RR R

= − −

Unidad 2 – Balances de calor (parte 1)

EJERCICIO 4 (6 puntos) Considérese un cilindro hueco de radio interior 1R y radio exterior 2R y longitud L . Las superficies interna y externa del cilindro se mantienen a temperaturas constantes 1T y 2T , respectivamente, y los extremos del cilindro se mantienen aislados. Obtener el perfil de temperatura ( )T r en estado estable, para 1 2R r R≤ ≤ .

RESPUESTA: ( ) ( ) ( )( )

11 2 1

2 1

ln /ln /

r RT r T T T

R R= + −

EJERCICIO 5 (10 puntos) En cierto tipo de reactores nucleares, se emplea esferas radioactivas como fuente de energía. Determinar el perfil de temperatura en una esfera de radio R y conductividad térmica k , cuya superficie se mantiene a temperatura sT , para el caso de una rapidez de generación de calor no uniforme dada por 2G a br= + , donde a y b son constantes.

RESPUESTA: 2 42 4

1 16 20s

aR r bR rT Tk R k R

= + − + −

momento

vista en perspectiva vista superior

R2

EJERCICIO 6 (10 puntos) Un fluido newtoniano de propiedades constantes se mueve en flujo laminar estable por el interior de una tubería horizontal de radio interno R y longitud L , con un perfil de velocidad dado por la ecuación de la derecha, donde P∆ es la diferencia de presión entre los extremos de la tubería y μ es la viscosidad del fluido.

( )μ

22

14zP R rv

L R ∆ = −

Si la viscosidad y la velocidad del fluido son suficientemente altas, la disipación viscosa de energía, debida a las fuerzas de fricción entre las capas de fluido, hace que la temperatura del fluido aumente. La pared de la tubería se mantiene a una temperatura constante wT . Determinar el perfil de temperatura en este caso, en función de la posición r .

RESPUESTA: ( )

μ

2 44

2 164w

P R rT TRL k

∆ = + −

EJERCICIO 7 (4 puntos)

La pared lateral de una mufla mide 30×20 cm y está formada, de adentro hacia fuera, por una capa de 3.5 cm de ladrillo refractario de caolín (0.26 W/m·K), 4 cm de fibra de vidrio (0.081 W/m·K) y una lámina de aluminio de 2.5 mm (273 W/m·K). Determinar la resistencia térmica total y el flujo de calor a través de la pared cuando la mufla opera a 800 °C y la superficie externa de la lámina de aluminio se encuentra a 24 °C. Las resistencias por convección a ambos lados de la pared se pueden asumir despreciables.

RESPUESTA: 74 W EJERCICIO 8 (6 puntos) Un cable eléctrico de 7 mm de diámetro y 15 m de longitud se encuentra recubierto por una capa de aislante de 1.5 mm. La temperatura ambiente es 15 °C. Cuando se encuentra en uso, la corriente eléctrica que circula por el cable hace que su temperatura aumente a 21 °C. La conductividad térmica del aislante es 0.4 W/m·K, y el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el aislante y el aire es 60 W/m²·K. Calcular cuánta energía está perdiendo el cable en forma de calor transferido hacia el medio ambiente.

RESPUESTA: 133.8 W EJERCICIO 9 (6 puntos)

Se disipa calor de una placa por medio de una serie de aletas rectas. Todas las aletas son idénticas, están hechas de cobre ( k = 400 W/m·K), tienen 25 mm de longitud y una sección transversal cuadrada (constante) de 5 mm de lado. El coeficiente de transferencia de calor por convección, asumido constante, es 347 W/m²·K. La temperatura de la placa es 80 °C y la temperatura del aire circundante es 25 °C. Analizando una sola de las aletas, calcular el número de Biot y la rapidez de transferencia de calor (en watts).

RESPUESTA: Bi = 0.434, Q = 8.37 W EJERCICIO 10 (8 puntos) Se desea utilizar aletas circulares de espesor uniforme para promover la transferencia de calor desde un tubo de 1 plg de diámetro. Las aletas deben tener 2 plg de diámetro y estarán fabricadas de acero inoxidable (15.1 W/m·K). La temperatura del tubo y del aire circundante son 85 °C y 21 °C, respectivamente. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 80 W/m²·K. Determinar qué espesor (en milímetros) deben tener las aletas, si cada una debe disipar calor con una rapidez de 9.5 W.

RESPUESTA: 1.2 mm

Unidad 3 – Balances de calor (parte 2)

EJERCICIO 11 (4 puntos) Una varilla de vidrio borosilicato ( k = 1.4 W/m·K, α = 7.5×10−⁷ m²/s) de 4 mm de diámetro se va a someter a un tratamiento térmico para mejorar su resistencia mecánica. Para ello, se introduce durante 7.5 segundos en un horno, donde va a entrar en contacto con aire caliente a 350 °C. El coeficiente de transferencia de calor entre el aire y la varilla es 830 W/m²·K. Determinar la temperatura que alcanza el centro de la varilla, si su temperatura inicial era 20 °C.

RESPUESTA: 320 °C EJERCICIO 12 (8 puntos) Para realizar pruebas de transferencia de calor, se emplea una esfera de 3 plg de diámetro hecha de un material no metálico ( k = 4 W/m·K), equipada con un sensor de temperatura en su centro, y un baño de aceite, ajustado para mantener una temperatura constante de 200 °C. (A) En el primer experimento, la esfera (inicialmente a una temperatura uniforme de 20 °C) se sumerge en el aceite caliente. El aceite se está agitando vigorosamente, lo que hace que el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el líquido y la esfera sea muy alto. Después de 5 minutos en el aceite, el sensor marca una temperatura de 189 °C. ¿Cuál es la difusividad térmica del material de la esfera? (B) En el segundo experimento, se desea medir el coeficiente de transferencia de calor por convección natural, por lo que se deja de agitar el aceite. La temperatura inicial de la esfera es 20 °C. Después de 90 segundos en el aceite, el sensor de la esfera registra 29 °C. ¿Cuál es el valor del coeficiente de transferencia de calor en este caso?

RESPUESTA: 1.72×10−6 m²/s, 94.5 W/m²·K EJERCICIO 13 (8 puntos) Adaptado de Levenspiel, “Engineering Flow and Heat Exchange”, Plenum Press.

Un filete de bacalao, de aproximadamente 6 × 1 × 2 cm, se saca del congelador a 0 °C y se coloca en aceite caliente a 180 °C. ¿Cuál es la temperatura en el centro del filete después de 5 minutos?

Propiedades del bacalao: k = 0.5 W/m·K α = 1.7 × 10–7 m²/s ρ = 1050 kg/m³

Para el filete en la freidora: h = 150 W/m²·K para las dos caras pequeñas h = 100 W/m²·K para las cuatro caras largas

RESPUESTA: 149.85 °C EJERCICIO 14 (4 puntos) Se tiene refrigerante freón-12 (diclorodifluorometano, CCl₂F₂) a −20 °C flujendo lentamente a 12 mm/s sobre una placa plana de 25 cm de longitud (a lo largo del flujo) y 15 cm de ancho (perpendicularmente al flujo), que se mantiene a una temperatura uniforme de −4 °C. Calcular el número de Nusselt, el coeficiente de transferencia de calor, la densidad de flujo de calor por convección y la rapidez total de transferencia de calor para la superficie. Las propiedades del freón, a la temperatura promedio de la película, son: ρ = 1440 kg/m³, μ = 3.22×10−4 Pa·s, Pc = 0.916 kJ/kg·K, k = 0.073 W/m·K.

RESPUESTA: Nu = 122.5, Q = 21.47 W

EJERCICIO 15 (6 puntos) Adaptado de Welty, Wicks y Wilson (1997).

Por el interior de una tubería de acero de 8 plg cédula 140, de 6 m de longitud, fluyen 4500 kg/h de vapor saturado a 230 °C. Estimar el coeficiente de transferencia de calor por convección del vapor a la pared interior de la tubería. NOTA: Asumir que todas las propiedades del vapor son iguales a las del vapor saturado a 230 °C (esta suposición se justifica en el caso de tuberías bien aisladas, porque la temperatura de la pared va a ser apenas unos grados diferente que la del fluido).

RESPUESTA: 269.6 W/m²·K EJERCICIO 16 (6 puntos) [Asumir que la vaca es una esfera]

RESPUESTA: (A) 239.2 W, (B) 441.9 W EJERCICIO 17 (8 puntos) Adaptado de Incropera y DeWitt (2006)

Se planea producir perdigones de plomo de 2 mm de diámetro, dejando caer gotas de plomo fundido desde lo alto de una torre a través de aire frío (15 °C). El plomo líquido se encuentra inicialmente a la temperatura de su punto de fusión y se termina de solidificar justo antes de llegar a la base de la torre, por lo que su temperatura se puede considerar constante. Asumiendo que las gotas de plomo son esféricas y se mueven a su velocidad terminal durante toda la caída, estimar cuál es la altura necesaria de la torre. DATOS DEL PLOMO: Punto de fusión: 327.5 °C. Densidad del plomo líquido: 10660 kg/m³. Calor latente de fusión: 23200 J/kg.

RESPUESTA: 12.7 m EJERCICIO 18 (6 puntos) Se desea calentar un flujo de 30 LPM de agua a 15 °C haciéndolo circular por una tubería de cobre de ½ plg de diámetro. La superficie de la tubería se mantiene a una temperatura uniforme y constante de 95 °C. Determinar la longitud necesaria de la tubería para que la temperatura de salida del agua sea 74 °C.

RESPUESTA: 3.45 m

Unidad 4 – Balances de masa

EJERCICIO 19 (10 puntos) Un equipo de diálisis consta de un grupo de tubos de membrana permeable instalados en el interior de un cartucho. La sangre del paciente se hace pasar por el interior de los tubos, donde los metabolitos que se van a remover (urea, por ejemplo) se transfieren por difusión a través de la pared permeable, hacia un líquido adecuado que circula por el exterior de los tubos.

Considerando uno solo de dichos tubos de membrana permeable (de radio interno

1R y radio externo 2R ), determinar el perfil de concentración de urea en la pared del tubo, tomando como ,A SC la concentración de urea en la sangre que circula por el interior del tubo. Aunque la concentración de urea va a ir disminuyendo conforme la sangre circula por el tubo, aquí se analizará sólo la difusión en la porción inicial del tubo, por lo que ,A SC puede asumirse constante. La concentración de urea en el fluido externo al tubo se puede asumir cero. La concentración de urea es baja, por lo que puede tratarse como un sistema diluido. Determinar el perfil de concentración de urea en la pared del tubo.

RESPUESTA: ( )( )

2

1 2,

ln /ln /A A S

r RC C

R R=

R2

REVISIÓN 7 – 94479.19

ASUMIR QUE LA VACA ES UNA ESFERA

Primero, unos antecedentes… Un granjero está preocupado porque sus vacas no están produciendo suficiente leche, y decide consultar algunos expertos para tratar de solucionar el problema. Pone un anuncio en el periódico solicitando ayuda profesional para su dilema y espera a que lleguen los especialistas…

El primero en llegar es un psicólogo. Él le dice al granjero que las vacas están estresadas. Opina que tienen recuerdos traumáticos de su infancia y que seguramente les hizo falta una figura paterna cuando eran terneras. Le recomienda al granjero hablar con ellas todas las tardes y ponerles música instrumental para que se relajen.

Luego viene un ingeniero industrial. Realiza un estudio de tiempos y movimientos mientras ordeñan cada vaca, y elabora un manual de procedimientos operativos para la ordeña. Con esto estima que la producción aumentará 12%, aunque recomienda la instalación de ordeñadoras automáticas para realizar la extracción de leche rápida y consistentemente. Si el granjero sigue sus recomendaciones, se podrá certificar bajo la norma ISO 9001 en un año o dos.

También va un decorador de interiores. Éste opina que el granero es muy monótono y pasado de moda. No sigue los principios básicos del Feng-Shui. Sugiere pintar el granero de tonos verdes y cafés, para recrear la sensación del ambiente al aire libre donde las vacas habrían vivido. También recomienda colocar plantas de interior y fotografías de llanuras y pastizales, que armonicen con el estilo general de la habitación.

Después llega un ingeniero civil. Toma las medidas del granero y divide el área total entre el número de vacas, descontando las áreas administrativas y los pasillos para tránsito, y determina que las vacas están muy apretadas. Se necesita un granero más grande, donde a cada vaca se le puedan asignar por lo menos 3.47 m² de espacio.

Finalmente llega un científico. Después de reflexionar unos minutos, empieza a hacer anotaciones en un pizarrón. El granjero no entiende nada de lo que está garabateado, pero se siente esperanzado porque ve que el científico es muy metódico en su desarrollo matemático. Luego de varias horas de intensos cálculos, el científico anuncia triunfalmente que ha resuelto el problema, y empieza a explicarlo: “Primero vamos a asumir que la vaca es una esfera…”

De acuerdo, no es un muy buen chiste. Pero resalta la simplificación que ocasionalmente se hace en ciencia e ingeniería. A veces esta simplificación permite llegar a una respuesta (y algo es mejor que nada), pero hay que tener cuidado de no llevarla al extremo, porque puede ser que el resultado obtenido casi no tenga relación con el fenómeno real que se quiere estudiar.

Ahora sí, el ejercicio… Una vaca se queda fuera del establo en una fría noche invernal. La vaca está tan asustada que se queda inmóvil. El granjero se da cuenta de que la vaca no está en el granero, pero no quiere tener que salir a buscarla porque ya está listo para irse a dormir. Ya que el granjero sabe que la vaca puede sobrevivir durante la noche si pierde calor con una rapidez menor a 350 watts, se le ocurre hacer primero algunos cálculos para decidir si debe salir a buscarla.

La temperatura ambiente es 4 °C (una temperatura típica de un refrigerador de carnicería) y no sopla viento. La piel de la vaca tiene una temperatura superficial de 28 °C. Estimar la rapidez con la que la vaca pierde calor (en watts) si se asume que la vaca es:

(A) una esfera de 1.1 m de diámetro. (B) un cilindro horizontal de 80 cm de diámetro y 1.4 m de longitud (usar el área total del cilindro, asumiendo que

el coeficiente de transferencia de calor de la superficie lateral aplica también para los extremos del cilindro).

¿Es una buena suposición (sobre todo para la vaca) asumir que es una esfera?

EJERCICIO 20 (20 puntos) Se tiene una esfera de radio R hecha de un material poroso, en cuyo interior ocurre la reacción química homogénea A → B, con una cinética de orden cero 0Ar k− = . La esfera se encuentra en un contenedor muy grande lleno de una solución del reactivo con concentración 0AC . Determinar el perfil de concentración del reactivo AC dentro de la esfera y la densidad de flujo molar ,A rn .

RESPUESTA: ( )2 200 6A A

AB

kC C R r= − −

D, 0

3,A rk

n r= −

EJERCICIO 21 (20 puntos)

En un tanque se tiene una solución de un reactivo A con concentración 0C . El fondo del tanque se encuentra recubierto con una capa de gel permeable de espesor L . El reactivo A se difunde a través del gel, donde ocurre la reacción química A B→ con cinética de primer orden ( A Ar kC− = ). Determinar el perfil de concentración de A en el gel, asumiendo estado estable.

RESPUESTA: ( )( )0

cosh /

cosh /AB

AAB

z kC C

L k=

D

D

Unidad 5

EJERCICIO 22 (20 puntos) El granizo se forma cuando en una nube de tormenta hay fuertes corrientes de aire hacia arriba, un alto contenido de humedad, y una buena porción de la nube está a temperaturas bajo cero. Considérese una partícula de granizo aproximadamente esférica, de 4.7 mm de diámetro, que se encuentra en una nube a una temperatura de −10 °C y una presión de 0.5 atm. La velocidad del aire, relativa al granizo, es 5.8 m/s. La presión de vapor de agua en la superficie del granizo es 265 Pa y la presión parcial del vapor de agua en la nube es 610 Pa. La difusividad del vapor de agua en aire a −10 °C y 0.5 atm es 0.4 cm²/s. Estimar el coeficiente de transferencia de masa (en mol/Pa·m²·s) y la densidad de flujo molar (en mol/m²·s) del vapor de agua que se está condensando en la superficie del granizo. NOTA: Para gases a baja presión, la viscosidad es independiente de la presión, pero la densidad sí depende de la presión. Despreciar cualquier efecto de la transferencia de calor en este ejercicio.

RESPUESTA: 7.36×10−5 mol/Pa·m²·s, 0.0254 mol/m²·s EJERCICIO 23 (20 puntos) El exceso de acetona se quita de una lámina plástica durante su fabricación, dejando que se evapore en una corriente de aire que fluye de forma paralela a la superficie de la lámina. La lámina mide 60 cm en la dirección del flujo. La corriente de aire se encuentra a 40 °C y 1 atm (presión total absoluta), fluye a 47 cm/s, y tiene una cantidad residual de vapor de acetona (30 mmHg). Determinar la rapidez promedio con la que se transfiere la acetona de la lámina al aire (en mol/m²·s). NOTA: Las propiedades de la mezcla que se necesitan para los números de Reynolds y Schmidt deben ser estimadas a la concentración promedio de la película. No se puede asumir que el sistema es diluido. DATOS ADICIONALES:

Presión de vapor de la acetona a 40 °C: 0.5576 atm. Difusividad del vapor de acetona en aire a 40 °C y 1 atm: 0.1338 cm²/s. Viscosidad del vapor de acetona pura a 40 °C y 1 atm: 7.884×10−6 Pa·s.

RESPUESTA: 0.0674 mol/m²·s

EJERCICIO 24 (10 puntos) Se emplea un equipo de absorción operando a 20 °C y 1 atm para remover el dióxido de azufre de una corriente de aire empleando agua. En cierto punto del equipo, la presión parcial de SO₂ en el gas era 30 mmHg, y el líquido en contacto tenía una concentración de SO₂ de 2.7 mol/m³. La densidad de flujo molar del SO₂ era An = 3.325 mol/m²·h y el coeficiente individual de transferencia de masa para el gas era Gk = 0.475 mol/mmHg·m²·h. Determinar las condiciones de la interfase ( ,A iC y ,A iP ), el coeficiente global de transferencia para el gas ( GK ) y los coeficientes individual y global de transferencia para el líquido ( Lk y LK ). En la gráfica ubicar las condiciones globales del sistema, las condiciones de la interfase, y trazar la línea de potencial.

RESPUESTA: ,A iC = 11.8 mol/m³, ,A iP = 23 mmHg, GK = 0.1209 mol/mmHg·m²·h, Lk = 0.365 m/h, LK = 0.294 m/h

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

pres

ión

parc

ial d

e SO

2(m

mH

g)

concentración de SO2 (mol/m3)