Balanceo de Reacciones Largo y Corto

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Susana Rubín Rivero Ejemplos de Balanceo de Reacciones Químicas

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EjemploEjemploEjemploEjemplo 1111

Sea la reacción que se quiere balancear:

HCl + KMnO4 →→→→ Cl2 + KCl + MnCl2 + H2O

METODO CORTO

Para bautizar nos fijamos en cuales elementos aparecen sólo en un reactivo y van a dar sólo a un

compuesto de los productos, en éste caso son el hidrógeno, el potasio y el manganeso. Hacemos coincidir

nuestro “Bautizo”, debido a que la molécula de agua tiene 2 hidrógenos, le ponemos a la molécula del

ácido clorhídrico 2a, al permanganato de potasio le ponemos b, y también b al cloruro de potasio y al

cloruro de manganeso, de forma que nos queda así


2a b c b b a

Y al resto de los compuestos se continúa el bautizo alfabéticamente.

Planteamos ahora nuestro sistema de ecuaciones lineales, bajo la premisa de que lo que entra es igual a lo

que sale

H: 2a = 2a Como se observa, las ecuaciones que formarán nuestro

sistema, son las que corresponden al cloro y al oxígeno,

ya que el resto no aporta información útil.

Si ordenamos nuestro sistema homogéneo en la forma

canónica queda así:

Cl: 2a = 2c + b + 2b

K: b = b

Mn: b = b

O: 4b = a

2a - 3b - 2c = 0 Este sistema está listo para escribirlo como matriz,

acomodándolo convenientemente, invirtiendo las

ecuaciones, queda así:. a - 4b = 0

�2 �3 �21 �4 0 � RRRR2 2 2 2 por Rpor Rpor Rpor R1111 �1 �4 02 �3 �2� RRRR2 2 2 2 � � � � RRRR2 2 2 2 ‐‐‐‐ 2222RRRR1 1 1 1 �1 �4 00 5 �2� Ahora necesitamos multiplicar por 5 el

renglón 1 y sumarle el renglón 2 multiplicado

por 4 para obtener el nuevo renglón 1

5R1 = 5 -20 0

+ 4R2 = 0 20 -8 8

R1 = 5 0 -8

�5 0 �80 5 �2� RRRR22225555 y y y y RRRR11115555 �1 0 �8/50 1 �2/5�

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Una vez que está escalonado, escribimos nuevamente el sistema en forma de ecuaciones lineales, notando

que quedaron a y b como variables delanteras y c como variable libre, que se convierte en parámetro, es

decir c= r

� � 8�5

� � 2�5

� � 5�5

�� !"ó� = $% & /%& � ' ()!* � +, - ./,0 , + 2 34

La parte de solución general la forma solamente %& � ' ()!* � +, - ./,0 , + 2 3 Para obtener el balanceo, calculamos una solución particular conveniente, dando valor de � � 5:

' ��* � 5

5 - 8250 � - 8250


2a b c b b a

16 2 5 2 2 8

16 HCl + 2 KMnO4 →→→→ 5 Cl2 + 2 KCl + 2 MnCl2 + 8 H2O

Ahora verificamos que todo queda balanceado:

Reactivos Productos

H: 16 = 2 x 8

Cl: 16 = 10 + 2 + 4

K: 2 = 2

O: 2 x 4 = 8

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METODO LARGO

Otra manera de hacerlo es asignando bautizos diferentes, es decir una letra diferente del alfabeto para

cada compuesto, así nos queda:


a b c d e f

Se plantea el sistema:

H: a = 2f a -2f = 0

Cl: a = 2c + d + 2e a -2c -2d -2e = 0

K: b = d b -d = 0

Mn: b = e b -e = 0

O: 4b = f 4b -f = 0

De aquí pasamos a escribir el sistema como matriz que ahora será de 7x5. Se observa que la primera

columna casi está lista, hay 3 ceros, primero haremos ceros en las posiciones 2,1 ( en amarillo); 4,2 y 5,2

(en azul agua), para obtener la segunda matriz en azul. En ésta se observa que el renglón 3 sólo tiene un

cero en la primera columna, por lo que va en el segundo renglón. El segundo renglón a su vez, tiene dos

ceros y debe acomodarse en el tercer renglón. En ésta misma matriz, el quinto renglón tiene un 4 donde

debe haber un cero ( resaltado en amarillo). Haciendo las operaciones que se indican, se obtendrá la

tercera matriz.

567

1 0 0 0 0 �21 0 �2 �1 �2 00 1 0 �1 0 00 1 0 0 �1 00 4 0 0 0 �189:

;2 � ;1 � ;2;4 � ;3 � ;4;5 � 4;3 � ;5567

1 0 0 0 0 �20 0 �2 �1 �2 20 1 0 �1 0 00 0 0 1 �1 00 0 0 4 0 �189:

;2 <=� ;3;5 � 4;4 � ;5

1ª matriz 2nda matriz

En la tercera matriz, como ya hay ceros debajo de la diagonal, vamos a la delantera del renglón 5 y

empezamos a hacer ceros arriba del 4 y observamos que necesitamos hacer ceros la posición 4,5 que tiene

un -1 y la posición 3,5 que tiene un -2 ( los amarillos). Después seguiremos con las posiciones 3,4 y 2,4 en

rosa. En la 4ª matriz se observa que , arriba de la cuarta delantera, hay dos números en donde debemos

hacer ceros ( en azul). Haciendo las operaciones que se indican, con la delantera del 4to renglón, se hacen

los ceros en los renglones 2 y 3.

567

1 0 0 0 0 �20 1 0 �1 0 00 0 �2 �1 �2 20 0 0 1 �1 00 0 0 0 4 �189:

4;4 > ;5 � ;4 2;3 > ;5 � ;3567

1 0 0 0 0 �20 1 0 �1 0 00 0 �4 �2 0 30 0 0 4 0 �10 0 0 0 �4 �189:

2;3 > ;4 � ;34;2 > ;4 � ;2

3era matriz 4a matriz

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Ahora queremos llegar al escalón reducido, para lo que cambiamos el signo al renglón 3 y ajustamos los

renglones de manera que la diagonal tenga el mismo número en todos los renglones

567

1 0 0 0 0 �20 4 0 0 0 �10 0 �8 0 0 50 0 0 4 0 �10 0 0 0 4 �189:

�;3 � ;3

567

1 0 0 0 0 �20 4 0 0 0 �10 0 8 0 0 �50 0 0 4 0 �10 0 0 0 4 �189:

8;1 � ;12;2 � ;22;4 � ;42;5 � ;5

5a matriz 6a matriz

Una vez que tenemos 8 en todos los renglones, dividimos todos los renglones por 8 para tener finalmente

el escalón reducido y el mismo denominador en la columna de la variable libre

567

8 0 0 0 0 �160 8 0 0 0 �10 0 8 0 0 �50 0 0 8 0 �20 0 0 0 8 �289:

567

1 0 0 0 0 �16 8⁄0 1 0 0 0 �1 8⁄0 0 1 0 0 �5 8⁄0 0 0 1 0 �2 8⁄0 0 0 0 1 �2 8⁄ 89:

Expresamos ahora nuestra solución leyendo la matriz resultante, considerando que hay 5 variables

delanteras y f es libre, por tanto f=r , como se trata de un sistema homogéneo:

� � ABCD� � ECD� � FCDG � ECDH � ECDI � DCD

J �5667

��GHI899: � CD

5667

1625228 899: , � 2 3 Esta es la solución General escrita en forma vectorial

Dando valores convenientes al parámetro que es r, como r=8, obtenemos el mismo balanceo que

obtuvimos con el método anterior.

5667

��GHI899: �

5667

1625228 899:

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Como ya se comprobó, las dos maneras son igualmente fáciles, pero la fuente de error posible, aumenta

con el método largo. La inconveniencia del primero es que si el bautizo está mal, usted no será capaz de

resolver el sistema. Por tanto se recomienda para aquellos a los que no les sea posible asignar un bautizo

correcto, mejor se dediquen a perfeccionar su método largo.

Si escribimos juntas las matrices del primer método, vemos que es más rápido

�2 �3 �21 �4 0 � ;1 <=� ;2 �1 �4 02 �3 �2� ;2 � 2;1 � ;2 �1 �4 00 5 �2� 5;1 > 4;2 � ;1 �5 0 �80 5 �2�

;1 K 5 � ;1;2 K 5 � ;2 L1 0 �8 5⁄0 1 �2 5⁄ M nos queda, Solución General: '��* � CF -8250

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EjemploEjemploEjemploEjemplo 2222

Sea la reacción que se quiere balancear:

PbS + Cu2S + HNO3 →→→→ Cu(NO3)2 + Pb(NO3)2 + NO + NO2 + H2O + S

METODO CORTO

Nos fijamos que el plomo, el cobre y el hidrógeno van de un reactivo a un producto. Ponemos a las dos

moléculas donde aparece el plomo a. Como la molécula del sulfuro de cobre tiene dos átomos de cobre,

entonces al producto nitrato de cobre le corresponde 2b. Como la molécula del agua de los productos tiene

dos hidrógenos, se le bautiza como c y al ácido nítrico de los reactivos le toca 2c:


a b 2c 2b a c

Si nos fijamos en el azufre vemos que todo el azufre que sale de los reactivos va a dar a una sola molécula,

por lo que le toca a + b. Para el resto de los compuestos utilizamos las siguientes letras del alfabeto, d y e


a b 2c 2b a d e c a + b

Como ya quedaron balanceados el Pb, Cu, S, e H, para el sistema de ecuaciones sólo nos resta revisar

nitrógeno y oxígeno.

Pb: a = a Como se observa, las ecuaciones que formarán nuestro

sistema, son las que corresponden al nitrógeno y al

oxígeno, ya que el resto no aporta información útil.

Si ordenamos nuestro sistema homogéneo en la forma

canónica queda así:

Cu: 2b = 2b

S: a+b = a+b

H: 2c = 2c

N: 2c = 4b+2a+d+e

O: 6c = 12b+6a+d+2e+c

2a + 4b - 2c + d + e = 0 Este sistema está listo para escribirlo como matriz,

acomodándolo convenientemente, invirtiendo las

ecuaciones. 6a + 12b - 5c + d + 2e = 0

�2 4 �2 1 16 12 �5 1 2� RRRR2 2 2 2 � � � � � NRRRR1111>>>>RRRR2222�2 4 �2 1 10 0 1 �2 �1�

RRRR1111� � � � 2222RRRR2 2 2 2 >>>>RRRR1 1 1 1 �2 4 0 �3 �10 0 1 �2 �1� RRRR1111� � � � RRRR1111/ '1 2 0 �3 2O �1 2O0 0 1 �2 �1 *

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Una vez que está escalonado, escribimos nuevamente el sistema en forma de ecuaciones lineales, notando

que quedaron a y c como variables delanteras y b, d y e como variables libres, que se convierten en

parámetro, es decir b = r, d = s, e = t

� � �2� > 32 P > Q2

� � � � � 2P > Q G � P H � Q

El conjunto Solución es :

S=

RSTSUV% & |% & �

567

()!XY89: � +

567

�/Z[[[ 89: > Z/ \

567

N[]/[ 89: > Z/ �

567

Z[/[/ 89: , +, \ � 2 3S_

S

La solución general es %& �567

()!XY89: � +

567

�/Z[[[ 89: > Z/ \

567

N[]/[ 89: > Z/ �

567

Z[/[/ 89: , +, \ � 2 3

Para obtener el balanceo, calculamos una solución particular conveniente, para lo cual es preciso que aE P > bE � 2� c 0 GH G=dGH 3 P > Q c 4� si escogemos � � 1 e P � Q � 2 obtenemos 8 c 4, y

una solución particular para el balanceo resulta :

%& �567

()!XY89: �

567

�/Z[[[ 89: >

567

N[]/[ 89: >

567

Z[/[/89: �

567

/Zf//89:


a b 2c 2b a d e c a + b

2 1 12 2 2 2 2 6 3

2 PbS + Cu2S + 12 HNO3 →→→→ 2 Cu(NO3)2 + 2 Pb(NO3)2 + 2 NO + 2 NO2 + 6 H2O + 3 S

Ahora verificamos que todo queda balanceado:

Reactivos Productos

Pb: 2 = 2

Cu: 2 = 2

S: 2+1 = 3

H: 12 = 6(2)

N: 12 = 2(2)+ 2(2)+2+2

O: 36 = 12+12+2+4+6

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METODO LARGO


Podemos pasar directamente a la matriz inicial:

Pb: 1 0 0 0 -1 0 0 0 0

Cu: 0 2 0 -1 0 0 0 0 0

S: 1 1 0 0 0 0 0 0 -1

H: 0 0 1 0 0 0 0 -2 0

N: 0 0 1 -2 -2 -1 -1 0 0

O: 0 0 3 -6 -6 -1 -2 -1 0

5667

1 0 0 0 �1 0 0 0 00 2 0 �1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 0 �10 0 1 0 0 0 0 �2 00 0 1 �2 �2 �1 �1 0 00 0 3 �6 �6 �1 �2 �1 0899:

;3 � ;1 � ;3;2 g ;3�;3 > 2;2 � ;3;6 – 3;5 � ;6;5 – ;4 � ;5

5667

1 0 0 0 �1 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 0 �10 0 0 1 2 0 0 0 �20 0 1 0 0 0 0 �2 00 0 0 �2 �2 �1 �1 2 00 0 0 0 0 2 1 �1 0899:

2;2 0 2 0 0 2 0 0 0 �2�;3 0 �2 0 1 0 0 0 0 0;3 0 0 0 1 2 0 0 0 �2

;5 0 0 1 �2 �2 �1 �1 0 0�;4 0 0 �1 0 0 0 0 2 0;5 0 0 0 1 2 0 0 0 �2

;6 0 0 3 �6 �6 �1 �2 �1 0�3;5 0 0 �3 6 6 3 3 0 0;6 0 0 0 0 0 2 1 �1 0;3 g ;4 ;5 > 2;4 � ;5

5667

1 0 0 0 �1 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 0 �10 0 1 0 0 0 0 �2 00 0 0 1 2 0 0 0 �20 0 0 0 2 �1 �1 2 �40 0 0 0 0 2 1 �1 0899:

2;5 > ;6 � ;5iP�dG= HPQH diHj= ;52;4 � ;5 � ;4�;5 > 4;2 � ;24;1 > ;5 � ;1

2;5 0 0 0 0 4 �2 �2 4 �8;6 0 0 0 0 0 2 1 �1 0;5 0 0 0 0 4 0 �1 3 �8

2;4 0 0 0 2 4 0 0 0 �4�;5 0 0 0 0 �4 0 1 �3 8;4 0 0 0 2 0 0 1 �3 4

4;2 0 4 0 0 4 0 0 0 �4�;5 0 0 0 0 �4 0 1 �3 8;2 0 4 0 0 0 0 1 �3 4

;5 0 0 0 0 4 0 �1 3 �84;1 4 0 0 0 �4 0 0 0 0;1 4 0 0 0 0 0 �1 3 �8

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5667

4 0 0 0 0 0 �1 3 �80 4 0 0 0 0 1 �3 40 0 1 0 0 0 0 �2 00 0 0 2 0 0 1 �3 40 0 0 0 4 0 �1 3 �80 0 0 0 0 2 1 �1 0899:

5666666666667

1 0 0 0 0 0 �14 34 �20 1 0 0 0 0 14 �34 10 0 1 0 0 0 0 �2 00 0 0 1 0 0 12 �32 20 0 0 0 1 0 �14 34 �20 0 0 0 0 1 12 �12 08

99999999999:

El Conjunto Solución es

RSSSTSSSUJkV | Jk � Cl

mnnnnnnno 1�10�21�2400pq

qqqqqqr > sl

mnnnnnnno�3386�32040pq

qqqqqqr > Q

mnnnnnnno 2�10�220001pq

qqqqqqr , �, P, Q t3

SSS_SSS

Se requiere satisfacer las siguientes desigualdades:

Cl � asl > 2Q c 0 Es evidente la cuarta desigualdad, que P c � y como el denominador es 4,

� Cl > asl � Q c 0 entonces P � 8 y � � 4. Para la primera, 1 � 6 > 2Q c 0, nos dice que

� CE > asE � Q c Q c FE , para la segunda �1 > 6 � Q c 0 nos dice que Q u 5 entonces

� CE > sE c 0 sabemos que FE u Q u 5 con lo cual t puede ser 3 o 4. Para la tercera

desigualdad vemos que �2 > 12 � Q c 0 que dice que Q u 10.

Probamos entonces con � � 4, P � 8 e Q � 3

Jk �

mnnnnnnno 1�10�21�2400pq

qqqqqqr > 2

mnnnnnnno�3386�32040pq

qqqqqqr > 3

mnnnnnnno 2�10�220001pq

qqqqqqr�

mnnnnnnno 1 � 6 > 6�1 > 6 � 316�2 > 12 � 61 � 6 > 6�2 > 4483pq

qqqqqqr�

mnnnnnnno 1216412483pq

qqqqqqr

1 PbS + 2 Cu2S + 16 HNO3 →→→→ 4 Cu(NO3)2 + 1 Pb(NO3)2 + 2 NO + 4 NO2 + 8 H2O + 3 S

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Otros balanceos posibles � � 4, P � 8 e Q � 4:

3 PbS + 1 Cu2S + 16 HNO3 →→→→ 2 Cu(NO3)2 + 3 Pb(NO3)2 + 2 NO + 4 NO2 + 8 H2O + 4 S

En ambas ecuaciones queda todo balanceado:

Reactivos Productos

Pb: 1 = 1

Cu: 4 = 4

S: 1+2 = 3

H: 16 = 8(2)

N: 16 = 2(2)+ 3(2)+2+4

O: 16(3) = 12+18+2+8+8

Reactivos Productos

Pb: 3 = 3

Cu: 2 = 2

S: 3+1 = 4

H: 16 = 8(2)

N: 16 = 2(2)+ 3(2)+2+4

O: 16(3) = 12+18+2+8+8

Como es muy claro, ¡El método corto ha probado ser con mucho, más expedito y más limpio! ¡Lástima

que requiere del uso del sentido común!

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