*MODELOS DE BIELAS

Fuentes: Bibliografa bsica CIRSOCReglamento 201-2005 Apndice A

*Los modelos de bielas fueron utilizados desde los comienzos de la Teora del Hormign Armado (Ritter Mrsch) para el estudio del corte y de la torsin.

Si bien su uso podra generalizarse a cualquier sector de una estructura de hormign armado, el Apndice A del CIRSOC 201-2005 los indica especialmente para el anlisis de los sectores de una estructura en los que no se verifique la hiptesis de mantenimiento de las secciones planas.

Estos sectores reciben el nombre de Regiones D.

Histricamente las actualmente denominadas Regiones D (vigas de gran altura, mnsulas cortas, nudos de prticos, etc.) eran abordadas a travs de expresiones empricas que tenan como principal desventaja el estar desarrolladas para geometras y cargas muy especficas por lo que no poda generalizarse su uso.1. INTRODUCCION

*1. DEFINICIONES. CIRSOC 201-2005 DISCONTINUIDAD:Cambio brusco en la geometra o en las cargasMODELO DE BIELAS:Modelo reticulado de un elemento estructural o de una regin D de dicho elemento estructural, compuesto por puntales y tensores que se conectan a nodos, capaces de transferir las cargas mayoradas a los apoyos o a las regiones B adyacentesNODO:En un modelo de bielas, es el punto de una unin donde se produce la interseccin de los ejes de los puntales, los tensores y los esfuerzos concentrados que actan en la uninPUNTAL:Elemento comprimido en un modelo de bielas. Un puntal representa la resultante de un campo de compresin paralelo o en forma de abanico

*1. DEFINICIONES (2)PUNTAL EN FORMA DE BOTELLA:Puntal que es ms ancho en su punto medio que en sus extremosREGION B:(De Bernouilli) Parte de un elemento a la cual se le puede aplicar la hiptesis de secciones planas de la teora de la flexin.REGION D:Parte de un elemento ubicada dentro de una distancia h, medida a partir de una discontinuidad del esfuerzo o de una discontinuidad geomtrica.TENSOR:Elemento traccionado en un modelo de bielasZONA NODAL:Volumen de hormign alrededor de un nodo que se supone que transfiere los esfuerzos de los puntales y tensores a travs del mencionado nodo

*2. PASOS PROPUESTOS EN EL APENDICE A (CIRSOC 201-2005)2.1.Definir y aislar cada una de las Regiones DEl primer paso de este mtodo de anlisis consiste en la identificacin de aqullas zonas de la estructura en las que no pueda suponerse vlido el mantenimiento de las secciones planas y por lo tanto, no sean de aplicacin las expresiones de dimensionamiento que da el cuerpo principal del Reglamento.

A estas zonas la bibliografa internacional las denomina Regiones D (por disturbed, perturbadas) en contraposicin con las zonas restantes a las que las denomina Regiones B (por Bernouilli)

*Las perturbaciones que dan lugar a la aparicin de regiones D pueden tener bsicamente dos orgenes:

discontinuidades en la funcin carga (p.e. cargas concentradas provenientes de reacciones o anclajes de pretensado), y

discontinuidades geomtricas (p.e. nudos de prticos o pasajes de tuberas por el alma de vigas)

*Identificados los motivos que generan la aparicin de regiones D (discontinuidades de cargas o de geometra) restara cuantificar la extensin de dichas zonas.

Schlaich propone determinar dicha extensin por aplicacin del principio de Saint Venant con ciertos procedimientos de superposicin sobre los que no nos extenderemos.

El resultado prctico de dicha aplicacin a estructuras de barras conduce a que las regiones D se extiendan una longitud aproximadamente igual a la mayor dimensin de la seccin transversal de la pieza medida a partir de la discontinuidad.

En las figuras 1.a 1.b y 1.c se ven algunas aplicaciones de este criterio prctico a piezas con diferentes secciones transversales, condiciones de carga y relaciones altura-luz.

*Figura 1.a. Identificacin de regiones D. Secciones Rectangulares

*Fig 1.b. Regiones D y discontinuidades

*Figura 1.c. Identificacin de regiones D. Secciones TLos textos clsicos de hormign armado suelen decir que una viga simplemente apoyada de un tramo se considera como de gran altura cuando su luz es menor que dos veces su altura total.

Esta caracterizacin se hace a travs de una cualidad geomtrica sin tener en consideracin el tipo de cargas actuantes.

*Como puede apreciarse en las figuras 1, la consideracin anterior es vlida para carga uniforme pero no lo es para una carga puntual.

El trmino viga de gran altura o mnsula corta debe indicar entonces que se est tratando con un elemento en el que no puede suponerse que las secciones se mantienen planas y que, por lo tanto, requiere de un tratamiento especial.

No identificar que en una zona no se mantienen las secciones planas puede introducir no solamente errores en la cuantificacin de las armaduras sino tambin en su ubicacin.

*2.2.Determinar los esfuerzos resultantes que actan sobre los bordes o fronteras de cada una de las Regiones DSobre una regin D pueden actuar tres tipos de esfuerzos externos:

Acciones exteriores propiamente dichas (p.ej. cargas concentradas)Estas acciones son datos del problema

Reacciones exterioresUsualmente las reacciones se obtienen mediante un clculo ordinario de la estructura prescindiendo de las existencia o no de las diferentes regiones.

Esfuerzos provenientes de las regiones B linderasEl cuerpo principal del Reglamento permite calcular la resistencia y la ubicacin de las resultantes internas de estas regiones.

*2.3.Seleccionar el modelo de reticulado (bielas)Este es indudablemente el paso ms complicado del mtodo y el que requiere de mayor conocimiento y entrenamiento2.3.1.Requerimientos bsicosEl trabajo con modelos de bielas es bsicamente una aplicacin del Teorema del Limite Inferior del Clculo Plstico por lo que estos modelos deben verificar:

EquilibrioLos modelos pueden ser isostticos relativos (cadenas cinemticas que son estables para el estado de cargas en estudio), isostticos o hiperestticos. Para facilitar su resolucin, an cuando la estructura sea hiperesttica en su conjunto se tiende a la utilizacin de modelos isostticos.

*ResistenciaUna vez determinados los esfuerzos en los diferentes elementos los mismos son verificados para asegurar que se satisfaga la condicin resistente en todos ellos.

Compatibilidad

El trazado del modelo debera seguir en lo posible el flujo de tensiones interno de la pieza de modo que no se requiera una redistribucin interna de esfuerzos que supere a la ductilidad disponible o bien que genere un cuadro de fisuracin inaceptable.

Es un criterio aceptado que lo anterior se logra ubicando los puntales y tensores alineados en forma aproximada con las resultantes internas de los flujos de tensiones de traccin y compresin que surgen de un clculo elstico. Este criterio debera aplicarse con mayor rigidez cuanto ms solicitada se encuentre la regin en estudio

*Los nodos se ubican en las zonas en que los esfuerzos internos experimentan cambios bruscos de direccin.

Dado que en muchos casos no se contar con un plexo de isostticas correspondiente al problema en estudio, el CIRSOC 201-2005, artculos A.2.4 y A.2.5, indica algunas cuestiones de carcter general que tienden a garantizar en forma indirecta la compatibilidad:* Los tensores pueden cruzar a los puntales* Los puntales no pueden cruzarse entre s aunque pueden encontrarse en los nodos.* El ngulo entre el eje de cualquier puntal y el eje de cualquier tensor que concurran a un mismo nudo no debe ser nunca menor que 25

*Como puede verse, las condiciones a) y b) se verifican en forma explcita y la condicin c) se verificar slo si el modelo ha sido adecuadamente adoptado lo cual no siempre resulta evidente.2.3.2.Los modelos y la falta de unicidadvarios modelos posibles habra que elegir el que produzca el menor trabajo interno de deformacinFigura 2

Las figuras 2. a) a d) muestran una viga y tres posibles modelos representativos de su comportamiento. La pregunta evidente es: cul de ellos elegir?

Schlaich indica que dado que las estructuras reales tienden a resistir las acciones con el menor trabajo de deformacin posible, entre

*Dado que los puntales de hormign son muy rgidos, aportan poco al trabajo interno por lo que, si los esfuerzos entre los diferentes tensores fueran del mismo orden podra decirse que el modelo ms adecuado ser el que presente menor longitud total de tensores.

En caso contrario, ser el que presente el menor valor de la sumatoria aplicada a todos los tensores del producto de la fuerza en cada tensor por su longitud. Teniendo en cuenta lo anterior, el modelo ms adecuado resultara ser el d) aunque si la pieza estuviera fuertemente solicitada (o no estuviramos seguros de si lo est o no) convendra adoptar el b).

En otras palabras el modelo no es nico y podr variar con el nivel de solicitacin y de un proyectista a otro. La nica forma de llegar a un modelo nico sera satisfaciendo enteramente las condiciones de compatibilidad para lo cual habra que introducir las ecuaciones constitutivas de los materiales y resolver enteramente un problema que es no lineal perdindose de esta manera la simplicidad del mtodo.

*La no unicidad en la solucin crea una cierta sensacin de fastidio en los proyectistas que, esperando una herramienta de clculo directo, se encuentran con un amplio rango de posibilidades y libertades que no conducen a una nica solucin. Se trata de un proceso muy parecido al que enfrentan en el momento de proyectar una estructura al cual ya estn acostumbrados y consideran natural. Los esquemas de la figura (a) a (c) han sido analizados por Reineck y corresponden al extremo de una viga que apoya a travs de una nariz.

Figura 3(a): el esquema corresponde a una viga ensayada por Cook y Mitchell (1988). Comparado con el esquema de Figura 3(b), presenta una distribucin ms sencilla de armaduras en las proximidades de la nariz. Figura 3

*Dado que los resultados experimentales muestran cerca de la rotura una fisura que, partiendo del vrtice de encuentro entre la nariz y el cuerpo de la viga, se extiende diagonalmente cortando el puntal "BD", el modelo no parece del todo consistente con la configuracin de rotura.

Figura (b): Supera la observacin hecha al modelo anterior pero controla deficientemente la apertura de la fisura que conduce a la rotura al no presentar armaduras normales a dicha fisura.

Figura (c): Supera las dos observaciones hechas a los modelos anteriores pero no es capaz de resistir adecuadamente fuerzas horizontales aplicadas en el apoyo.

*Una razn que puede hacer preferible un modelo respecto a otro es la facilidad de armado

En la figura se muestran dos modelos posibles para una mnsula corta cargada inferiormente. Como puede apreciarse, el modelo a) puede armarse utilizando armaduras ortogonales horizontales y verticales mientras que el modelo b) requerir el uso de una importante armadura diagonal.

Desde el punto de vista del consumo de armadura resultar ms interesante el esquema b) mientras que si se le da prioridad a la facilidad de armado seguramente se optar por el esquema a).

*En trminos generales los modelos de bielas conducen a mayores armaduras que las frmulas empricas desarrolladas a partir de resultados de ensayos.

Esto se debe a que los modelos de bielas desprecian enteramente la resistencia a traccin del hormign y consideran, en general, una capacidad de redistribucin interna menor que la que realmente presentan los elementos. 2.3.3.Modelos isostticos y modelos hiperestticosComo ya se mencion, los modelos de bielas pueden ser isostticos relativos (ver modelos de figuras 2.b y 2.d; y figura 3.c), isostticos o hiperestticos.

Si bien en general se obvian los modelos hiperestticos por la dificultad existente en asignar rigideces a los diferentes elementos, existen algunos casos en que en la bibliografa se proponen soluciones aproximadas a modelos estticamente indeterminados.

*Figura 4En la bibliografa se encuentran modelos de bielas isostticos correspondientes a estructuras hiperestticas. Este es el caso de la viga de la Figura 4.

*2.3.4.Modelos en la bibliografaEn la bibliografa pueden encontrarse numerosas propuestas para modelos de bielas que ayudan en la resolucin de los casos ms frecuentes en la prctica. En la figura 5 se muestran dos de ellosFigura 5

*La figura 5 muestra la solucin de una viga simplemente apoyada con carga uniforme superior. Figura 5Si se tuviera una viga de un tramo con carga uniforme inferior, las solicitaciones en las barras principales del modelo pueden obtenerse utilizando el grfico anterior pero la carga inferior debe ser suspendida a travs de una armadura de alma tal como se indica en la Figura 6 Figura 6

*2.4.Dimensionamiento y verificacin de elementos pertenecientes a modelos de bielas2.4.1.Formato generalEn este punto se desarrollan los criterios propuestos por el CIRSOC 201-2005 para el dimensionamiento y verificacin de modelos ya definidos.

En trminos generales, y siguiendo el formato utilizado en el resto del CIRSOC 201-2005 se tendr que verificar que (articulo A.2.6): donde:Fu = Solicitacin en un puntal, tensor o cara de una zona nodal calculada para cargas mayoradasFn = Resistencia nominal de un puntal, tensor o cara de una zona nodalF = Coeficiente de reduccin de resistencia = 0,75

*2.4.2.Resistencias de la zonas nodales FnnEl anlisis de las zonas nodales ha ido evolucionando con el correr de los aos desde las denominadas "zonas nodales hidrostticas" hasta las llamadas "zonas nodales extendidas" conceptos sobre los que volveremos ms adelante. En general se tendr (artculos A.5.1 y A.5.2): dondeFnn =Resistencia nominal de una cara de una zona nodalfce = Resistencia efectiva del hormign en la zona nodal fce = bn 0,85 fc

bn = 1,0 en zonas nodales limitadas por puntales, reas de apoyo o ambasbn = 0,8 en zonas nodales que anclan un tensorbn = 0,6 en zonas nodales que anclan dos o ms tensores

*dondeAnz = segn corresponda:

En modelos de bielas bidimensionales debe ser el menor de:

el rea de la cara de la zona nodal sobre la cual acta Fu,

El rea de una seccin que atraviesa la zona nodal, considerada perpendicularmente a la recta de accin del esfuerzo resultante que acta sobre la seccin.

En modelos de bielas tridimensionales (p.ej. cabezales de pilotes ) el rea de cada una de las caras de una zona nodal debe ser mayor o igual que la indicada para modelos bidimensionales y las geometras de cada una de dichas caras deben ser similares a las geometras de las proyecciones de los extremos de los puntales sobre las correspondientes caras de las zonas nodales.

*2.4.3.Resistencia de los puntales de hormign FnsLa siguiente expresin debe evaluarse en ambos extremos de un puntal y considerarse el menor valor obtenido (artculo A.3.1, A.3.5 y CA.3.5): donde

Acs = seccin transversal en el extremo en estudio

fce = mnimo valor entre la resistencia efectiva a compresin del puntal y la resistencia efectiva de la zona nodal a la que concurre el extremo en estudio

As =Armadura de compresin que puede disponerse si resulta necesario aumentar la resistencia de un puntal. No es imprescindible su presencia. De existir debe ser paralela al eje del puntal y debe estar encerrada por estribos o zunchos que verifiquen los requerimientos exigidos para columnas

fs =Para armaduras con fy 420 MPa se puede adoptar igual a fy

*La resistencia efectiva a la compresin de un puntal se evala como (art. A.3.2.):

donde

bs = 1,00cuando a lo largo del puntal la seccin transversal del mismo no vara.

Esto se da en los campos de compresiones con forma de prisma (fig. 7.a) caractersticos de las columnas y de los bloques de compresin que se utilizan en el equilibrio de la flexin en vigas.

Tambin se presentan en flujos en forma de abanico como el indicado en la fig. 7.c. donde la tensin es variable pero no se presentan tensiones transversales.

*Figura 7bs = 0,75En puntales con forma de botella (fig. 7.b) que presenten armadura suficiente como para tomar las tracciones originadas en la expansin lateral del flujo de tensiones. Estas armaduras limitan la abertura de las fisuras aumentando la resistencia respecto a un elemento sin armadura o con armadura insuficiente.

*bs = 0,60En puntales con forma de botella (fig 7.b) que NO presenten armadura suficiente como para tomar las tracciones originadas en la expansin lateral del flujo de tensiones.bs = 0,40En puntales que se encuentren en elementos traccionados o en alas traccionadas de elementos tales como vigas cajn. El bajo valor de bs tiene en consideracin que los puntales comprimidos estarn atravesados por fisuras de traccin.bs = 0,60En el resto de los casos. Se hace referencia aqu a situaciones como las indicadas en la fig. 8.b) donde se muestra un puntal, que a diferencia del mostrado en fig 8.a), est cortado con una fisura oblicua a su eje.Figura 8

*Como ya se ha dicho, para poder utilizar bs = 0,75 en los puntales con forma de botella es necesario que los mismos cuenten con una armadura transversal adecuadamente anclada capaz de resistir esfuerzos transversales de traccin a travs de las fisuras longitudinales que se originan en este tipo de puntales. Esa armadura puede calcularse suponiendo que el flujo de tensiones tiene un aspecto como el indicado en la fig. 9 (apertura 2 longitudinal : 1 transversal) o bien utilizando la siguiente expresin vlida para hormigones de fc 42 MPa (artculo A.3.3.1): Figura 9

*Esta expresin est desarrollada para armaduras que forman un ngulo ai con el eje del puntal (fig. 10). En ella "Asi;" representa el rea de una barra de una capa que corre en direccin "i" multiplicada por el nmero de capas (por ejemplo 2 si hay una en cada cara), "si;" es la separacin entre barras que corren en la direccin "i" y "bs" es el espesor de la seccin de hormign. Figura 10En vigas de gran altura se recomienda disponer este tipo de armaduras en ambas caras de la viga y en direcciones ortogonales. En mnsulas cortas con relaciones luz de corte/altura menores que uno las armaduras suelen estar constituidas por estribos horizontales. Si existieran armaduras en una nica direccin se debe verificar a 40 (artculo A.3.3.2).

*2.4.3.Resistencia de los tensores FntEl CIRSOC 201-2005, artculo A.4.1, indica que la resistencia nominal de un tensor se determina con la siguiente expresin:donde Ats = rea de la armadura no tesafy = tensin de fluencia especificada de la armadura no tesaAtp = rea de la armadura tesa fse = tensin efectiva en la armadura tesa luego de producidas las prdidas Dfp = 420 MPa para armadura adherente y 70 MPa para armadura no adherente (fse + Dfp) fpy fpy = tensin de fluencia especificada de la armadura tesa

*3. NODOS Y ZONAS NODALES3.1.GeneralidadesLos nodos son puntos de interseccin de los ejes de los puntales y tensores que componen un modelo de bielas y las zonas nodales son regiones de hormign situadas alrededor de los nodos donde se produce la conexin fsica entre los miembros del modelo.

En un nodo plano, para que pueda existir equilibrio es necesario que al mismo concurran al menos tres fuerzas que pueden provenir tanto de miembros del modelo como de reacciones. Los nudos de un modelo pueden representar cambios muy fuertes en la direccin de las isostticas (nudo singular o concentrado) o cambios ms suaves (nudos distribuidos o continuos). Figura 11

*Los nudos "A" y "B" de la fig. 11 muestran dos ejemplos de lo dicho

Los nodos se clasifican de acuerdo al tipo de fuerzas que concurren a los mismos.

Se indica con "C" a las barras comprimidas que llegan a un nodo y con T" a las traccionadas. De esta forma los nodos planos pueden denominarse como CCC, CCT, CTT y TTT de acuerdo al esfuerzo que presenten las barras concurrentes.

Ejemplos de estos nudos pueden verse en la fig. 12. Figura 12

*3.2.Tipos de zonas nodales3.2.1.Zonas nodales hidrostticasSi bien en la actualidad se trabaja casi exclusivamente con las denominadas "zonas nodales extendidas", en la bibliografa menos reciente suelen encontrarse referencias a las denominadas "zonas nodales hidrostticas". Estas ltimas reciben este nombre porque la longitud de sus caras se determina de modo que todas ellas estn sometidas a igual tensin normal.

Las caras de una zona nodal hidrosttica son normales a los ejes miembros concurrentes y por lo tanto no estn sometidas a esfuerzos tangenciales.

De esta forma la representacin del estado plano de tensiones a que estn sometidas se reduce a un punto en el circulo de Mohr y de all su denominacin de "hidrostticas" (aunque la condicin no se verifique para tensiones normales al plano).

*Para extender su uso a nodos a los que concurren barras traccionadas, stas se suponen ancladas ms all del nodo a travs de anclajes rectos, ganchos, etc., transformados en una "placa hipottica" que apoya directamente sobre una cara del nodo produciendo compresiones sobre la misma.

El requerimiento de contar con igual presin en todas las caras muchas veces complica operativamente el uso de este tipo de nodos. 3.2.2.Zonas nodales extendidasTal como se muestra en la fig. 13, una zona nodal extendida es la porcin de un elemento limitada por la interseccin del ancho efectivo de un puntal (ws) con el ancho efectivo de un tensor (wt).

*En estas zonas, el esfuerzo de cada tensor se debe anclar a partir de la seccin crtica definida como la seccin normal al tensor que pasa por el punto en el que el baricentro de la armadura del tensor abandona la zona nodal extendida e ingresa al tramo.

Estas zonas pueden estar incluyendo o no un nudo hidrosttico. Figura 13

*3.2.3.Zonas nodales a las que concurren ms de 3 fuerzasEn la fig. 14 se muestra un modelo de bielas en el que se presentan dos nudos, los ubicados por debajo de las cargas concentradas, a los que concurren ms de tres fuerzas.

En estos casos es usual proceder a resolver dos de las fuerzas en su resultante creando un subnodo a ese efecto.

La Figura 14.c) muestra un ejemplo de este tipo de solucin. Figura 14

*

* Fig. II Vigas de gran alturaDefinicin

*Fig. III. Vigas esbeltasDefinicin

*Fig. IV - Descripcin de un modelo de bielas

*Fig V Clasificacin de los nodos

*Una zona nodal hidrosttica es aquella que tiene caras cargadas perpendiculares a los ejes de los puntales y tensores que actan sobre el nodo y tensiones iguales en las caras cargadas.

La Figura VI.(a) ilustra una zona nodal C-C-C.

Si las tensiones en la cara de la zona nodal son iguales en los tres puntales, las relaciones entre las longitudes de los lados de la zona nodal, wn1, wn2, wn3 , son proporcionales a los tres esfuerzos C1 , C2 , C3 .

Las caras de una zona nodal hidrosttica son perpendiculares a los ejes de los puntales y tensores que actan sobre la zona nada!.

Estas zonas nodales se denominan zonas nodales hidrostticas debido a que las tensiones en el plano son iguales en todas las direcciones. Esta terminologia no es estrictamente correcta, ya que las tensiones en el plano no son iguales a las tensiones fuera del plano.

*Fig. VI Nodos Hidrostticos(a) Geometra(b) Esfuerzo de traccin anclado por medio de una placa

*Fig. VI - Nodos Hidrostticos(c) Esfuerzo de traccin anclado por adherencia

*Una zona nodal C-C-T se puede representar como una zona nodal hidrosttica si se supone que el tensar se extiende a travs del nodo para ser anclado mediante una placa del lado ms alejado del nodo, como se ilustra en la Figura VI (b), siempre que con el tamao de la placa se obtengan tensiones de apoyo iguales a las tensiones en los puntales.

La placa de apoyo del lado izquierdo de la Figura VI (b) se utiliza para representar un anclaje real de un tensor.

El esfuerzo en el tensor puede estar anclado mediante una placa, o mediante el desarrollo de barras rectas o con ganchos, como se ilustra en la Figura VI (c).

*En las Figuras VII (a) y (b) las reas rayadas corresponden a zonas nodales extendidas.

Una zona nodal extendida es la porcin de un elemento limitada por la interseccin del ancho efectivo del puntal, ws, y el ancho efectivo del tensor, wt

*Fig. VII - Zona nodal extendida que muestra los efectos de la distribucin del esfuerzo

*Fig. VII - Zona nodal extendida que muestra los efectos de la distribucin del esfuerzo

*Asdfasdf