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Método de Continuación para el Estudio del Colapso de Voltaje en Sistemas Eléctricos de Potencia

Alex Arequipa Checa Armengol Blanco Benito a_juan _alex@hotmail.com ablancob@coteor.net.bo

Resumen Este trabajo describe brevemente la bifurcación silla-nodo y su relación con el colapso de voltaje de los sistemas de potencia. Se emplea el método de continuación para determinar el punto del colapso de voltaje asociado a la bifurcación, sin la necesidad de construir la matriz de estado ni de calcular sus eigenvalores. Este método se caracteriza por la facilidad de implementación a partir de un flujo de carga convencional, la robustez en relación a la convergencia próximo a la bifurcación y la capacidad de formar sucesivas soluciones de flujos de carga para diferentes valores de carga hasta el punto del colapso (bifurcación). Además se obtiene informaciones de áreas críticas y barras débiles o críticos de los sistemas de potencia debido al incremento de la demanda. El método se evalúa mediante el sistema del IEEE de 30 barras. Palabras Clave: Colapso de voltaje, bifurcación silla-nodo, método de continuación. 1. INTRODUCCIÓN Hoy en día la mayoría de los sistemas de potencia operan cerca de sus limites de transmisión, los crecimientos tan continuos en la carga, pueden llevar al sistema a una situación inestable en la que las magnitudes de voltaje de barra disminuyen de una manera no-oscilatoria y rápida [1], conocida como colapso de voltaje. Esencialmente el colapso puede caracterizarse como la perdida de estabilidad relacionada a los voltajes de barras y blackouts [2]. La moderna teoría de la estabilidad de voltaje, asocia el fenómeno del colapso de voltaje a la aparición de una bifurcación silla-nodo, en el

sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas que modela un sistema de potencia con un parámetro de carga variable [2,3]. Esta bifurcación ocurre en un punto crítico de carga (el parámetro de carga se hace máximo), donde el jacobiano del sistema es singular con un eigenvalor nulo y eigenvectores derecho y izquierdo no nulos [3]. Esta asociación, se basa en que los incidentes ocurridos de colapso de voltaje se caracterizan por la desaparición del punto de equilibrio y una declinación posterior monótoma e inicialmente lenta de algunos voltajes de barra. Estas propiedades son típicas de los sistemas que sufren una bifurcación silla-nodo. Esta asociación por lo tanto, sugiere la necesidad de calcular los puntos de anulación del jacobiano del sistema a efectos de detectar el punto de colapso [3]. De esta manera, la identificación de la bifurcación silla-nodo es de fundamental interés en estudios de colapso de voltaje e intensas investigaciones han sido realizadas a este respecto, si bien existen métodos directos para hallar los puntos de bifurcación, que son esencialmente las soluciones de las ecuaciones lineales, en este trabajo se emplea el método de continuación [3,4], que consiste en obtener una descripción de la evolución del sistema al variar gradualmente un parámetro, esto da lugar a una curva de puntos de funcionamiento que se acercan al punto de la bifurcación o también conocido como el punto de colapso de voltaje, sin la necesidad de construir la matriz de estado ni de calcular sus eigenvalores y además se desarrollan índices que indican la proximidad de la condición actual de operación del sistema a una situación critica. 2. COLAPSO DE VOLTAJE Y BIFURCACIÓN Para entender el fenómeno del colapso de voltaje y estudiar su relación con la Teoría de las

2

Bifurcaciones es necesario contar con un adecuado modelo matemático de las redes eléctricas de potencia. Los modelos de los sistemas eléctricos de potencia son analizados bajo el dominio de la frecuencia usando modelos cuasi-estacionarios. 2.1 MODELO ESTÁNDAR DE UNA RED ELÉCTRICA El Modelo matemático de una red eléctrica, puede estar determinado por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias con restricciones algebraicas, estas ecuaciones pueden estar determinadas por:

λλ

,,(0),,(

yxgyxfdtdx

== (1)

donde nx ℜ∈ , representa las variables de estado, como es el ángulo interno y la velocidad angular del generador o las variables de control del sistema, my ℜ∈ representa las variables de las tensiones y ángulos en las barras de carga y

pℜ∈λ representa los parámetros en sistema usados que sirven para modelar cambios en la red (cuasi-estacionaria), tal como la carga demandada por el sistema. La función f captura la dinámica de los generadores y sus relaciones con la carga. La función g representa la interconexión de la red eléctrica y el balance de potencia activa y reactiva en las barras de carga. Una hipótesis estándar que se asume es que el jacobiano ),,( zyxgDy (2) es no singular para todo ),,( zyx en consideración, de forma tal que la ecuación algebraico diferencial (1) puede ser localmente reducido a [ ]λλ),,(, xhxfdtdx = (3) donde h se obtiene del teorema de la función implícita [1]. Cuando ),,( zyxgDy se vuelve singular, la situación se torna muy compleja y la propia hipótesis de variación cuasi-estacionaria del modelo dinámico fasorial de la red eléctrica,

que sirve de base a las ecuaciones (1) pierde su validez [1]. 2.2 TEORÍA DE LAS BIFURCACIONES Tal como se indico, los sistemas de potencia que son modelados a través de ecuaciones diferenciales, se ven alterados por cambios de estabilidad frente a los cambios de ciertos parámetros del sistema. Por ejemplo un detalle que se ha observado es el auento de la vulnerabilidad de un sistema eléctrico frente a pequeñas eventualidades de falla, mientras la carga (parámetro) del mismo también aumenta, estas eventualidades pueden ser rechazados de carga por alguna apertura de línea entre otras. Las leyes necesarias para estudiar los cambios de estabilidad cuando varían los parámetros del sistema se encuentran en la llamada “teoría la de bifurcación”. Esta teoría en parte estudia los cambios de estabilidad en los puntos de equilibrio, cuando los parámetros de bifurcación cambian lentamente. Cuando en estos puntos de equilibrio se observa un cambio de estabilidad radical es decir de estable a inestable, se los considera puntos de bifurcación. Existen diferentes tipos de bifurcaciones tales como la transcritita o la pitchfork, ya que las mismas no son genéricas en el sentido matemático del término por lo que no resulta razonable esperar que ocurra en general. Otra es la bifurcación de Hopf que si es genérica sin embargo da lugar a comportamientos oscilatorios en el sistema que no coinciden con el comportamiento observado en los colapsos de voltaje, por lo tanto es descartada para este análisis. Los métodos de bifurcación que se usan en el análisis de la estabilidad de voltaje en los sistemas eléctricos de potencia son las bifurcaciones tipo Limite y silla-nodo los cuales se detallan a continuación. 2.2.1 BIFURCACIÓN TIPO LÍMITE Son bifurcaciones particulares de sistemas no lineales en los que se representan los límites asociados con los diversos controladores del sistema, lo cual es típico en los sistemas de

3

energía eléctrica donde estas bifurcaciones fueron inicialmente observadas y analizadas. 2.2.2 BIFURCACIÓN SILLA-NODO Es un hecho aceptado en general que la bifurcación silla-nodo es una manera adecuada para modelar el fenómeno del colapso de voltaje, la caracterización completa de esta clase particular de bifurcación, para el caso de un parámetro escalar y en ausencia de restricciones algebraicas puede encontrarse en la literatura clásica del tema, dicha caracterización puede extenderse al caso de sistemas algebraicos diferenciales con parámetro vectorial, con la siguiente notación:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

yx

z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

),,(),,(

),(λλ

λyxgyxf

zF

la bifurcación silla-nodo se presenta en el punto de equilibrio ),( ooz λ donde el jacobiano oZ FD tiene un simple y único eigenvalor nulo, con eigenvectores derecho v y izquierdo w no nulos es decir: 0),( =oozF λ (4) 0== wFDvFD o

TZoZ (5)

0, ≠wv (6) Existen métodos estándar para resolver las ecuaciones anteriores. En este trabajo no se considera otros tipos de bifurcación, como la transcritita o la pitchfork, ya que las mismas no son genéricas en el sentido matemático del termino [1] y por lo tanto no resulta razonable esperar que ocurran en general. Por otra parte, se descarta la bifurcaron de Hopf, que si es genérica, ya que la misma da lugar a comportamientos oscilatorios en el sistema, que no se condicen con el comportamiento observado en los colapsos de voltaje. 3. MÉTODO DE CONTINUACIÓN En condiciones limite de carga, los métodos usuales para obtener el estado de un sistema de potencia, presentan dificultades de convergencia, debido a problemas de singularidad de la matriz jacobiana del sistema. El método de continuación presenta otro camino para determinar la bifurcación silla-nodo de los sistemas de potencia

y también es aplicado para el análisis del colapso de voltaje [7,8]. La referencia [7], hace una directa aplicación de la técnica de la parametrizacion local al método, mientras que en [8] hacen el uso de la técnica de la intersección perpendicular para mejorar la convergencia del método. Cañizares [3,4], propone un nuevo método de continuación, haciendo el uso de ambas técnicas mencionadas, de la parametriazcion local y de la intersección perpendicular para determinar los perfiles de voltaje asociado a la bifurcación silla-nodo en los sistemas de potencia. Este método esta compuesto de etapas de predicción, corrección, parametrizacion y control del paso, con esto se evita la singularidad del jacobiano y por tanto es posible el cálculo preciso de la máxima carga del sistema, así, como la determinación de puntos de la parte inferior de la curva PV. El método se ilustra en la siguiente figura 1.

Figura 1: Diagrama predicción-corrección

donde un punto de equilibrio conocido (z1 , λ1) del diagrama de bifurcación es empleado para calcular la dirección del vector ∆z1 y el cambio del parámetro ∆λ1 del sistema, este primer paso se conoce como predicción en el cual se genera un punto de solución inicial (z1 + ∆z1 , λ1 + ∆λ1). Para calcular la dirección de ∆z1 se usa el vector tangente para la curva en (z1 , λ1). Puesto que

0),( 11 =λzF , entonces,

( ) ( ) 0,,11

1111 =∂∂

+=λλ

λλλ

FddzzFDz

ddF

z

4

11

1 λλ ∂∂

−=⇒F

ddzFDz (7)

De esta manera, la dirección del vector y el paso del parámetro resultan de la normalización del vector tangente, es decir

11

λλ

ddzk

=∆ (8)

111 λλ

ddzz ∆=∆ (9)

donde k ∈ ℜ es una constante utilizada para controlar el tamaño del paso de la predicción. La solución inicial (z1 + ∆z1 , λ1 + ∆λ1) es entonces utilizada en el paso de corrección para calcular un nuevo punto de equilibrio (z2 , λ2) en el diagrama de bifurcación. El nuevo equilibrio debe ser calculado por la resolución del siguiente conjunto de ecuaciones para z y λ

0),(0),(

==

λρλ

zzF (10)

La primera ecuación vectorial de (10) corresponde a la ecuación del sistema de estado-estable, el cual tiene un jacobiano oZ FD singular en el punto de bifurcación silla-nodo (zo , λo). La segunda ecuación escalar representa una condición de fase

ℜ→ℜℜ xN:ρ , este garantiza la no singularidad del Jacobiano de la ecuación (10). Existen dos diferentes condiciones de fase )(⋅ρ usados en el estudio de bifurcación de los sistemas de potencia [4]. La primera condición consiste en definir un vector perpendicular para ∆z1 el cual empieza en (z1 + ∆z1 , λ1 + ∆λ1) y intersecta la bifurcación en (z, λ), de esta manera, )()(),( 111111 λλλλλρ ∆−−∆+∆−−∆= zzzzz T (11) Esta condición no requiere de algún tipo de parametrizacion para garantizar la no singularidad de la ecuación (10). La segunda condición esta basada en la parametrizacion local del sistema cerca del punto

de bifurcación. En este caso, un parámetro local p (λ o zi Є z), es tomada como un valor constante, es decir, 11),( pppz ∆−−=λρ (12) El parámetro p es elegido mediante la siguiente parametrizacion [3, 4]

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ∆∆∆∆

←λλ,,,,max

2

2

1

1

N

N

zz

zz

zz

p L (13)

Esto garantiza una no singularidad del Jacobiano de la ecuación (10). De estas dos técnicas de corrección, la intersección perpendicular tiene la ventaja de no requerir la parametrizacion. La resolución de la ecuación (10) puede ser hecha mediante el método de Newton-Raphson [3, 4]. 4. FACTOR DE SENSIBILIDAD DE VOLTAJE Los elementos del vector tangente pueden ser interpretados como la sensibilidad de las variaciones del sistema de potencia con relación a un cambio diferencial en la carga correspondiente a dλ. La observación de la variación de la magnitud de los voltajes de las barras en función de su cargabilidad revela que algunos de ellos tienen una variación absoluta |dV| mayor que las otras. El factor de sensibilidad de voltaje (FSV) es una herramienta para identificar qué nodos o barras de carga son los más débiles, estos buses débiles son aquellos que tienen un FSV elevado [6]. El FSV de la barra j esta definido por:

∑

=j

jj dV

dVFSV (14)

5. RESULTADOS Se presenta en esta sección los resultados obtenidos aplicando el método de continuación al sistema de prueba del IEEE de 30 buses. El programa fue desarrollado utilizando el lenguaje de programación que dispone MATLAB©.

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5.1 Sistema IEEE-30

Figura 2: Sistema IEEE-30

En la Figura 3, se muestra los perfiles de tensión de todos los buses obtenidos por el flujo de potencia.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930310.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

Vol

taje

, [p

.u.]

Número de Bus

Perfiles de Voltaje IEEE 30

Figura 3: Perfiles de Voltaje IEEE 30

En la figura 4, se observa que el área critica indicada por el FSV son las barras 30, 29 y 27 los cuales serán las mas sujetas a los problemas de inestabilidad de voltaje y se nota también que el factor de sensibilidad más alto es del bus 30, el cual tendrá una alta contribución al colapso de voltaje.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930310

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Bus nb.

FSV

Factores Sensibilidad de Voltaje

Figura 4: Factores de sensibilidad de voltaje.

En la figura 5, se muestra el diagrama de bifurcación de las barras 30, 29 y 27, donde la bifurcación silla-nodo se presenta en la máxima cargabilidad de λmax = 1.957 p.u.

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vol

taje

, [p.

u.]

Factor de Cargabilidad λ

Curva P-V [IEEE 30]

VBus27VBus29VBus30

Figura 5: Diagrama de Bifurcación (curva P-V)

6. CONCLUSIONES En este artículo, se plantea una metodología para el análisis de la estabilidad de voltaje basado en el método de continuación. Una indicación de la seguridad del sistema en relación a la inestabilidad de voltaje y al colapso de voltaje, puede ser obtenida a través de los factores de sensibilidad de voltaje.

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El método de continuación también da una indicación de las barras crítica del sistema, es decir, aquellas que sufren el mayor impacto de cargabilidad del sistema, el método presenta un buen desempeño, garantiza la convergencia para puntos próximos al punto crítico, tanto en la parte superior de la curva P-V como en su parte inferior. De acuerdo con esta consideración, se concluye que el método de análisis empleado en éste artículo, presenta un buen desempeño para su aplicación en la planificación y operación de los sistemas eléctricos de potencia, siendo una herramienta eficaz para dotar al analista un medio para detectar problemas de estabilidad de voltaje, debido a las variaciones de los parámetros y de las condiciones de operación del sistema. 7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] J. Alonso, M. Artenstein, P. Monzón, “An

implementation of the Continuation Method for Voltage Stability Analysis including Reactive Power Generation limits and Tap Changer limits” en Proceedings of the Second Iasted International Conference on Power and Energy Systems, June, 2002, Greece; pp. 171-176.

[2] I. Dobson, “Observations on the Geometry of Saddle Node Bifurcation and Voltage Collapse in Electrical Power Systems”, IEEE Trans. Circuitts and Systems, Vol. 39, No. 3, March. 1992, pp. 240-243.

[3] C. Cañizares, F. Alvarado, ”Point of Collapse and Continuation Methoos for Large AC/DC Systems”, IEEE Trans. Power Systems, Vol. 8, No. 1, Feb. 1993, pp. 1-8.

[4] C. Cañizares, A. de Souza, V. Quintana, “Improving continuacion methods for tracing bifurcation diagrams in Power Systems”, Proc. Bulk Power System Voltage Phenomena-III Seminar, Dawos, Switzerland, Aug. 1994, pp. 339-358.

[5] A. de Souza, C. Cañizares, V. Quintana, ”New Techniques to Speed up Voltage Collapse Computations Using Tangent Vectors”, IEEE Trans. Power Systems, Vol. 12, No. 3, Aug. 1997, pp. 1380-1387.

[6] P. Kundur, B. Gao, G. K. Morisson, ”Voltage Stability Evaluation Using Modal Analysis”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 7, No. 4, Nov. 1992, pp. 1529-1536.

[7] V. Ajjarapu, C. Christy, ”The Continuation Power Flow: A Tool for Steady State Voltage Stability Analysis”, IEEE Trans. Power Systems, Vol. 7, No. 1, Feb. 1992, pp. 416-423.

[8] K. Iba, T. Watanabe, ”Calculation of Critical Loading Condition with Nose Curve Using Homotopy Continuation Method”, IEEE Trans. Power Systems, Vol. 6, No. 2, May. 1991, pp. 584-593.

[9] H. D. Chiang, N. Balu, ”CPLOW: A Practical Tool for Tracing Power System Steady-State Stationary Behavior Due to Lead and Generation Variations”, IEEE Trans. Power Systems, Vol. 10, No. 2, May. 1995, pp. 623-634.

Autores Juan Alex Arequipa Checa, Ingeniero Eléctrico, Facultad Nacional de Ingeniería, UTO (2003), miembro del GICSEP. Actualmente se encuentra como Encargado de Medición dentro el Dpto. de Control y Medición en la Compañía Eléctrica Sucre S.A (CESSA) Áreas de interés: Análisis de sistemas de potencia y sistemas de distribución, estabilidad de voltaje, capacidad disponible de transmisión (ATC), métodos de continuación para el análisis de la estabilidad de voltaje y de la ATC. Armengol Blanco Benito, Ingeniero Eléctrico, UTO, 1989, Magíster en Ciencias de la Ingeniería, PUC, Santiago de Chile, 1992. Docente de Ingeniería Eléctrica y Electrónica en la Facultad Nacional de Ingeniería (FNI) desde 1985. Áreas de interés: Protección, control y operación económica de SEP, educación en ingeniería, colapsos de tensión, programación evolutiva, lógica difusa, redes neuronales y sistemas expertos.