[ ] [ ]∑=

−=M

0kk knxbny

M.A.

F.I.R.

( ) ∑=

−=M

0k

kkzbzH

[ ] [ ]∑=

−δ=M

0kk knbnh

[ ] [ ] [ ]nxknyanyN

1kk +−= ∑

=

A.R.

I.I.R.

( ) ∑∑ =

−

=

− −=

−

=N

1k1

k

kN

1k

kk

zd1

A

za1

1zH

[ ] [ ]∑=

=N

1k

nkk nudAnh

[ ] [ ] [ ]∑∑==

−+−=M

0kk

N

1kk knxbknyany

A.R.M.A.

I.I.R. (En general)( ) ∑∑

∑

∑ −

=

−

=−

=

−

=

−

+−

=

−

=NM

0k

kk

N

1k1

k

kN

1k

kk

M

0k

kk

zBzd1

A

za1

zb

zH

[ ] [ ] [ ]∑∑−

==

−δ+=NM

0kk

N

1k

nkk knBnudAnh

SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS

y[n]

z-1

z-1

z-1

b0

b1

bM-1

bM

x[n]

x[n-1]

x[n-2]

x[n-M]

x[n]

z-1

z-1

z-1

a1

aN-1

aN

y[n]

y[n-1]

y[n-2]

y[n-N]

( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

Mk

1 kk 0

0 1 M

H z b z M.A.

y n b x n b x n 1 b x n M

−

=

=

= + − + + −

∑

L

( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

2 Nk

kk 1

1 N

1H z A.R.

1 a z

y n x n a y n 1 a y n N

−

=

=

−

= + − + + −

∑

L

DIAGRAMAS DE BLOQUES (I)

1

DIAGRAMAS DE BLOQUES (I)

FORMA DIRECTA I

z-1

z-1

z-1

b0

b1

bM-1

bM

x[n]

x[n-1]

x[n-2]

x[n-M]

z-1

z-1

z-1

a1

aN-1

aN

y[n]

y[n-1]

y[n-2]

y[n-N]

( )M

kk N

kk 0k

k 1

1H z b z

1 a z

−

−=

=

= ⋅

−∑

∑

x[n]

z-1

z-1

z-1

b0

b1

bM-1

bM

y[n]

z-1

z-1

z-1

a1

aN-1

aN

FORMA DIRECTA II ( CANÓNICA DIRECTA )

( ) ( ) ( )M

k2 1 kN

k k 0k

k 1

1H z H z H z b z

1 a z

−

− =

=

= ⋅ = ⋅

−∑

∑

DIAGRAMAS DE BLOQUES (II)

2

VARIABLE RAMA QUE UNE BLOQUES NUDO

DIAGRAMA DE BLOQUES DIAGRAMA DE FLUJO

SUMADOR

MULTIPLICADOR –

RETARDO

x1[n]

x2[n]

x1[n] + x2[n] x1[n]

x2[n]

x1[n] + x2[n]

x[n] x[n-1]

z-1z-1

x[n] x[n-1]

DIAGRAMA DE BLOQUES vs DIAGRAMAS DE FLUJO

Bloque Sumador Nudo al que llegan dos ó mas ramas

Bloque con gananciaconstante o z-1.

Rama que une dos nudos sobrela que se indica la transmitancia(ganancia) correspondiente.

FORMA DIRECTA I FORMA DIRECTA II

DIAGRAMAS DE FLUJO: ESTRUCTURAS

N = MN ≠ MN = MN ≠M

3 N + 1

2 N + 1

2 N

4 N + 1

2 N + 1

2 N

M + 1 + N + max(M,N)REGISTROS2M +1 + 2N

N + M +1 PRODUCTOSN + M + 1

N + MSUMASN + M

y[n]b0

b1

bM-1

a1

aN-1

z-1

z-1

bMaN

z-1

w[n]x[n]

a2 b2

x[n]b0

b1

bM-1

bM

v[n]y[n]

a1

aN-1

z-1

z-1

aN

z-1

z-1

z-1

z-1

b2 a2

3

FORMA DIRECTA I: ORDEN DE OPERACIONES

DIAGRAMAS DE FLUJO: ESTRUCTURAS

b0

b1

bM-1

bM

v[n]

a1

aN-1

aN

x[n]

z-1

z-1

z-1

x[n-1]

x[n-2]

x[n-M+1]

x[n-M]

z-1

y[n]

z-1

z-1

y[n-1]

y[n-2]

y[n-N+1]

y[n-N]

b2 a2

ACTUALIZAR REGISTROS DE ABAJO HACIA ARRIBA

y[n]

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

s

M MM1 1 1k

k k kkk 0 k 1 k 1

N N Nk 1

1 2N0k 1k 2

1 1k k k k

k 1 k 1 k

k1 2

k 1 1k 2

1

k

1 g z 1 h z 1 h zb zH z A

1 a z 1 c z 1 d z 1 d z

b b z b z

1 a z a z

− −

− −

− −=

∗ −−

= = =

− − − ∗ −

= = =

− − −

= = =

−

+ +

−−

−− −

∑ ∏ ∏

∑ ∏ ∏∏

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]nyny

N,...,2,1k2nwb1nwbnwbny

N,...,2,1kny2nwa1nwanw

nxny

sN

skk2kk1kk0k

s1kkk2kk1k

0

=

=∀−+−+=

=∀+−+−=

=

−

ESTRUCTURAS: CONEXIÓN EN CASCADA (I)

b01

b11

b21

a11

a21

b02

b12

b22

a12

a22

b0Ns

b1Ns

b2Ns

a1Ns

a2Ns

x[n] w1[n] w2[n] wNs[n]

y[n]

y1[n] y2[n] yNs[n]

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

4

ESTRUCTURAS: CONEXIÓN EN CASCADA (II)

ss 2

s

s

N ! emparejamientos de polos y cerosN secciones

(N !) ESTRUCTURAS DIFERENTES de segundo orden

N ! ordenaciones de las secciones

⇒ ⇒

Nº de operaciones: M = N (PAR) ⇒ Ns = N/2

( )1 2Ns

0k 1k 2k1 2

k 1 1k 2k

b b z b zH z

1 a z a z

− −

− −=

+ += →

− −∏

b0k

b1k

b2k

a1k

a2k

z-1

z-1

s

N5 N = 5 Productos

2→

( )s 1 2N

1k 2k0 1 2k 1 1k 2k

1 b z b zH z b

1 a z a z

− −

− −=

+ += →

− −∏

% %

1

a1k

a2k

z-1

z-1

s4 N +1 = 2N+1 Productos→

s4 N = 2N Sumas→

s4 N = 2N Sumas→

b%b%

%1kb

%2kb

ESTRUCTURAS:CONEXIÓN EN PARALELO (I)

( )

( )( ) ( )

p s

p 1 2

Mk

kk 0

Nk

kk 1

N 1N Nk kk

N 1Nk 0k 1k

k 1 2k 0 k 1 1k

kk 1 1 1

k 0 k 1 k 1k

2k

k k

b zH z

1 a z

B

e e

1 e zAC z

1 c z 1

zC z

1 a z a z

d z 1 d z

−−

− −

−

=

−

=

−

−

− − ∗ −= = =

= =

= =

−

−= + + =

− − −

=+

+− −

∑

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ x[n]

w1[n] e01

e11a11

a21

z-1

z-1

e0Ns

e1Nsa1Ns

a2Ns

z-1

z-1

z-1C0

z-1CM-N

y[n]

wNs[n]

y1[n]

yNs[n]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

p sN N

k 1k k 2k k s

k kk 0 k 1k 0k k 1k k s

w n a w n 1 a w n 2 x n k 1,2,...,Ny n C x n k y n

y n e w n e w n 1 k 1,2,...,N = =

= − + − + ∀ = = − +

= + − ∀ = ∑ ∑

5

ESTRUCTURAS: REALIMENTACIÓN (I)

SISTEMA IIR ⇒ ESTRUCTURA RECURSIVA: CON LAZOS DE REALIMENTACIÓN

SISTEMA FIR ⇒ ESTRUCTURA NO RECURSIVA

a

z-1x[n] y[n]

-a2a

z-1

z-1

x[n] y[n]

a

z-1x[n]

y[n]

- ESTRUCTURA RECURSIVA

[ ] [ ] [ ]y n x n a x n 1= + − [ ] [ ] [ ]y n x n a x n 1= + −

[ ] [ ]nh n a u n=

[ ] [ ] [ ]h n n a n 1= δ + δ −

ESTRUCTURAS: REALIMENTACIÓN (II)

ESTRUCTURAS NO COMPUTABLES: LAZO SIN RETARDO

x[n]

a

y[n]

[ ] [ ] [ ]y n x n a y n= +

SISTEMA REALIZABLE: [ ] [ ]1

y n x n1 a

=−

x[n] y[n]1

1 a−

6

ESTRUCTURAS: FORMAS TRANSPUESTAS (I)

b0

b1

b2

a1

a2

w[n]y[n]

z-1

z-1

x[n]b0

b1

b2

a1

a2

z-1

z-1

y[n] x[n]

y[n]b0

b1

b2

a1

a2

z-1

z-1

x[n]

ESTRUCTURA ORIGINAL

ESTRUCTURA o FORMA TRANSPUESTA

ESTRUCTURAS: FORMAS TRANSPUESTAS (II)

x[n]b0

b1

bM-1

bM

y[n]

a1

aN-1

z-1

z-1

aN

z-1

z-1

z-1

z-1

b2a2

y[n]b0

b1

bM-1

a1

aN-1

z-1

z-1

bM aN

z-1

x[n]

a2b2

FORMA DIRECTA ITRANSPUESTA

FORMA DIRECTA IITRANSPUESTA

7

ESTRUCTURAS PARA FILTROS FIR

h[1]

z-1x[n]

y[n]h[2]

z-1

h[M-1]

z-1

h[M]

z-1

h[0]

FILTRO TRANSVERSAL

h[1]

z-1

x[n]

y[n]

h[2]

z-1

h[M-1]

z-1

h[M]

z-1

h[0]

FORMA TRANSPUESTA

y[n]

z-1 z-1x[n]

z-1 z-1c d

( ) 1 2 3 4H z 1 cz d z cz z− − − −= + + + +

ESTRUCTURAS ESPECIALES PARA FILTROS FIR DE FASE LINEAL

8

( )1 -2 -3

1 -2 -3

0,5+0,845z +0,5915z +0,1715zH z

0,5 0,845z +0,5915z 0,1715z

−

−=

− −

0.7

CEROS: 0.4950 + 0.4949 j 0,7 2,3562

0.4950 - 0.4949 j 0,7 2,3562

0.7

POLOS: 0.4950 +0.4949 j 0,7 0,7853

0.4950 - 0.4949 j 0,7 0,7853

−

− ≡

− ≡ −

≡

≡ −-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

Diagrama de polos y ceros original

ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA: CUANTIFICACIÓN DE COEFICIENTES (I)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

25

30Modulo de la Respuesta en Frecuencia

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0Fase de la Respuesta en Frecuencia

( )1 -2 -3

C 1 -2 -3

0,5+ 0,84375z +0,59375z + 0,171875zH z

0,5 0,84375z +0,59375z 0,171875z

−

−=

− −

0.6875

CEROS : 0.5 + 0.5 j 0.7071 2,3562

0.5 -0.5 j 0.7071 2,3562

0.6875

POLOS : 0.5 + 0.5 j 0.7071 0,7854

0.5 -0.5 j 0.7071 0,7854

−

− ≡

− ≡ −

≡

≡ − -1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

Diagrama de polos y ceros codificado 7+1 bits

( )1 -2 -3

C 1 -2 -3

0,5+0,875z +0,625z +0,125zH z

0,5 0,875z +0,625z 0,125z

−

−=

− −

0.3120

CEROS: 0.7190 +0.5333 j 0,8952 2,5034

0.7190 -0.5333 j 0,8952 2,5034

0.3120

POLOS: 0.7190 +0.5333 j 0,8952 0,6382

0.7190 -0.5333 j

−

− ≡

− ≡ −

≡

0,8952 0,6382

≡ −-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

Diagrama de polos y ceros codificado 3+1 bits

ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA: CUANTIFICACIÓN DE COEFICIENTES (II)

CUANTIFICACIÓN CON 7 + 1 BITS

CUANTIFICACIÓN CON 3 + 1 BITS

9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0FASE DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA: AZUL = ORIGINAL ; ROJA = CODIF. 4 BITS ; VERDE = CODIF. 8 BITS

PULSACIÓN

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

40

MÓDULO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA: AZUL = ORIGINAL ; ROJA = CODIF. 4 BITS ; VERDE = CODIF. 8 BITS

PULSACIÓN

ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA: CUANTIFICACIÓN DE COEFICIENTES (III)

2rcos θ

-r2

x[n]

z-1

z-1

y[n]

ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA: CUANTIFICACIÓN DE COEFICIENTES (III)

( )( ) 1 2 2

1H z

1 2rcos z r z− −=

− θ +

z-1

r cos θ

y[n]r cos θ

-r sen θ r sen θ

z-1

x[n]

( )( )

( )

1

1 2 2

r sen zH z

1 2rcos z r z

−

− −

θ=

− θ +

1

1

Codificación : 3+1 Bits

10

ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA:CUANTIFICACIÓN DEL RESULTADO DE LAS OPERACIONES (I)

- RUIDO DE REDONDEO:

CUANTIFICADORwi[n] ŵi[n] ⇔ wi[n] ŵi[n]

ei[n]

-Analizar el efecto del ruido producido por cada cuantificador sobre la salida.

ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA:CUANTIFICACIÓN DEL RESULTADO DE LAS OPERACIONES (II)

- OSCILACIONES PARÁSITAS o CICLOS LÍMITE:

-OVERFLOW:* Desbordamiento de los Registros.* De Gran Amplitud.* Se pueden evitar utilizando Limitación por Saturación.

-GRANULARES:* Debidas a los Lazos de Realimentación.* De Pequeña Amplitud.* Ejemplo: y[n] = a y[n-1] + x[n]

11

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]8

1

8

1

2

1Q3y5n

8

1

8

1

2

1Q4y4n

8

1

4

1

2

1Q3y3n

4

1

2

1

2

1Q2y2n

2

1

8

7

2

1Q1y1n

8

70y0n

−=

⋅

−=⇒=

=

−⋅

−=⇒=

−=

⋅

−=⇒=

=

−⋅

−=⇒=

−=

⋅

−=⇒=

=⇒= ŷ[n]7/8

1/4

1/8 1/8 1/8

-1/8-1/8-1/8-1/8

-1/2

n0

1

2

9 …

-1

7/80.1111.001-7/8

6/80.1101.010-6/8

5/80.1011.011-5/8

4/80.1001.100-4/8

3/80.0111.101-3/8

2/80.0101.110-2/8

1/80.0011.111-1/8

00.0001.000-8/8

[ ] [ ][ ] [ ]nunyaQny +−= 1ˆˆ

Ejemplo de Ciclo Límite:

[ ] [ ] [ ]1−+= naynuny-1

1

a= -½

u[n] y[n]

z

� Registros (1+3) bits

� Redondeo

� [ ]n8

7]n[u δ=

ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA:CUANTIFICACIÓN DEL RESULTADO DE LAS OPERACIONES (II)

12