MARCO TEORICO

1.1 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA

La Investigación Operativa o Investigación de Operaciones es una disciplina moderna que mediante el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos modela y resuelve problemas complejos determinando la solución óptima y permitiendo, de esta forma, la toma de decisiones.

Actualmente la Investigación Operativa incluye gran cantidad de ramas como la Programación Lineal, Programación No Lineal, Programación Dinámica, Simulación, Teoría de Colas, Teoría de Inventarios, Teoría de Grafos, etc.

1.2. TEORÍA SOBRE EL MODELADO DE PROBLEMAS

Para poder solucionar un problema mediante un algoritmo primero se debe extraer toda la información que nos aporta el enunciado y preparar el problema para dicho algoritmo.

Los pasos para modelar un problema son los siguientes:

Paso 1: Se determinan las variables de decisión y se expresan algebraicamente.

o X1,..., Xn Paso 2: Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión:o A11·X1 + A12·X2 + ... + A1n·Xn ≥, ≤, ó = b1 o A21·X1 + A22·X2 + ... + A 2n·Xn ≥, ≤, ó = b2 o ... o Am1·X1 + Am2·X2 + ... + Amn·Xn ≥, ≤, ó = bm

Paso 3: Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores.

o X1,..., Xn ≥ 0 o X1,..., Xn son números enteros, o son binarios

Paso 4: Se determina la función objetivo.o Maximizar o minimizar Z = C1·X1 + C2·X2 + ... + Cn·Xn

Paso 5: Naturaleza de las variables

o Xi ≥ 0

1.3. PROGRAMACION LINEAL

1

Es un conjunto de herramientas para la toma de decisiones donde las variables que definen al mismo son conocidas pero se necesita encontrar la combinación de las mismas que permitan optimizar un rendimiento (maximizar un beneficio, minimizar costos o ambos)

1.4. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehículos y personal.

Los ejemplos de actividades incluyen inversión en proyectos específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicación de programación lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una correspondería en forma individual a las alternativas específicas dentro de esta categoría general.

El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida global de efectividad. Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran a continuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades.

Z  = valor de la medida global de efectividad xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que x1,x2,....,xn se llaman variables de decisión. Los valores de cj, bi y aij (para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij también se conocen como parámetros del modelo.

1.5 FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO

2

Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación de recursos a actividades. En  Datos necesarios para un modelo de programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para:

optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn,

sujeta a las restricciones:

            a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn (<=,>=,=)  b1             a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn (<=,>=,=)  b2                                       .                                      . am1x1 + am2x2 +....+ amnxn (<=,>=,=) bm

            X1 >= 0,           X2 >= 0,     ...,      Xn>=0.

1.6 SUPOSICIONES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

PROPORCIONALIDAD

La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el término aijxj en la restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o la función en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programación lineal.

ADITIVIDAD

Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras técnicas de la programación matemática, dependiendo de cada caso en particular. Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas.

DIVISIBILIDAD Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de

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no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales.  

1.7 LIMITACIONES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELO DETERMINÍSTICO

El modelo de PL involucra únicamente tres tipos de parámetros: Cj, aij y bi; de ahí su sencillez y gran aplicación. Sin embargo, el valor de dichos parámetros debe ser conocido y constante. Cuando el valor de los parámetros tiene un cierto riesgo o incertidumbre, pude utilizarse la programación paramédica, la programación estocástica, o realizarse un análisis de sensibilidad.

MODELO ESTÁTICO

En algunos modelos matemáticos se han empleado con éxito las ecuaciones diferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decidirse que la PL utiliza un modelo estático, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente. Adquiriendo un poco de experiencia en la formulación de modelos de PL, puede imbuirse la temporabilidad mencionada, con el uso de subíndices en las variables.

MODELO QUE NO SUBOPTIMIZA

Debido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra la solución óptima o declara que ésta no existe. Cuando no es posible obtener una solución óptima y se debe obtener alguna, se recurre a otra técnica más avanzada que la PL, la cual se denomina programación lineal por metas.

1.8 MODELOS DE ASIGNACIÓN

Introducción al modelo de asignación.

Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número  de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino.

El problema de asignación debe su nombre a la aplicación particular de asignar hombres a trabajos (o trabajos a máquinas), con la condición de que cada hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendrá asignada una persona. La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales sean iguales a las demandas totales.

El modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en:

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       * Asignación de los mejores vendedores a zonas o territorios        Asignacion de recursos a proyectos de clientes        Asignación de prioridades en el tratamiento de problemas        Asignación de trabajos a maquinas de producción        Asignación de los mejores jugadores a equipos        Asignacion de locales en centros comerciales y galerias        Asignación de auditorias múltiples        Analisis de ofertas y demandas desiguales          Ventas de terenos en countries o cementerios parques

1.8.1 ETAPAS DEL METODO, ALGORITMO HUNGARO

1. RESTE EL VALOR MÁS PEQUEÑO DE LA FILA EN CADA UNA DE LAS FILAS 2. RESTE EL VALOR MAS PEQUEÑO EN LA COLUMNA DE CADA UNA DE LAS COLUMNAS. 3. TRAZAR SEGMENTOS: Este es el criterio de decisión de asignación, es decir A) Sí el número de segmentos es = m, entonces podemos asignar, recuerda que m=n asignaciones. Un Segmento es una línea vertical u Horizontal que se va a trazar a lo largo de toda la fila o toda la columna, no se pueden trazar segmentos en forma diagonal. B) Caso contrario ir al paso 4

4. ATENDER LOS SIGUIENTES INCISOS:

A) Seleccione la posición del  dato menor de los no segmentados y réstelo a los no segmentados, (esto hará que se generen nuevos ceros) B) Localizar los datos en donde se INTERSECTAN los segmentos, y sumar el dato menor seleccionado. C) El resto de los datos segmentados quedan EXACTAMENTE igual.

5. REPITA EL PASO 3 Casos especiales del modelo de asignación

Casos especiales del modelo de asignación

1. Oferta y demanda desiguales.

Cuando la oferta y la demanda son desiguales, se asigna una actividad ficticia con un costo de cero para mantener la condición de método que deben ser igual número de ofertas y demandas

2.  PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN.

Considere un problema de asignación en el que la respuesta a cada asignación es una utilidad en vez de un costo. Considere la matriz de utilidades del problema como la característica nueva la cual consiste en que el número que aparece en cada celdilla representa un beneficio en lugar de un costo.

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Informe Nº 01/2008

Para: Ing. Roberto del BarcoDe: Univ. Rocío Martha Ballesteros Coaquira

Lezly Britha Patiño Arce Mery Jetrudis Bernabé Rios

1) RESUMEN EJECUTIVO

Problema a Enfrentar

Dada la paupérrima campaña que tuvo Bolivia en Copa América, la FBF ha decidido contratar un técnico más ofensivo para enfrentar la segunda fase de las eliminatorias. El técnico, cuya identidad será protegida bajo el sobrenombre “El Tata”, se caracteriza por plantear un sistema de juego basado en: 1 ARQUERO, 3 DEFENSAS, 2 CONTENCIONES, 3 CREADORES o Laterales, y 2 DELANTEROS.

Obviamente, dadas las características de cada jugador, su rendimiento será distinto dependiendo de la posición en la que juegue. Suponga que se desea encontrar la base de 11 jugadores (manteniendo los mismos jugadores cada partido) para el resto del campeonato.

“El Tata”, ha determinado que el rendimiento de cada jugador es de acuerdo a la tabla siguiente:

Jugador Portero Defensa Contención Creación Delantero

Vaca 17 3 4 5 7

Galarza 20 8 2 1 0

Palacios 6 18 12 14 12

Ricaldi 3 20 17 15 13

Pìzaro 4 16 12 4 6

Contreras 6 18 11 3 2

Isla 5 15 16 10 12

Vargas 1 17 12 5 3

Reyes 3 14 18 8 5

Rivera 5 14 19 13 8

Sanhuesa 5 12 20 14 7

Maldonado 6 11 18 10 6

Campos 11 9 6 20 15

Fernandez 5 8 2 19 16

Coelho 4 6 3 17 17

DaRosa 8 7 4 18 15

6

Mark 2 3 8 17 15

Salinas 1 5 6 16 16

Fiqueroa 3 6 2 14 12

Boyero 6 2 3 17 16

Navia 4 1 5 3 18

Ceruti 12 0 5 15 20

Martins 9 5 2 16 19

Arce 10 2 5 12 17

Se pide encontrar el equipo con el máximo rendimiento que cumpla la formación que plantea el técnico, para así tener mejores posibilidades para calificar al mundial

Se tiene un equipo y en cada partido se alinean a los mejores jugadores, que en términos absolutos son aquellos que generan resultados en el marcador; como seres humanos poseen los valores de respeto y perseverancia, entre los más importantes, además de dominar las técnicas que les son requeridas. 

MODELO DE ASIGNACION

“El mejor jugador para la posición” es una buena descripción del modelo de asignación.El caso se puede ilustrar con la asignación de jugadores de diversas características (rendimientos) a las 11 correspondientes posiciones. Una posición que coincide con la habilidad (rendimiento) de un jugador cuesta menos que uno en que el jugador no es tan hábil. El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (máximo rendimiento) de jugadores a puestos o posiciones.El modelo general de asignación con n jugadores y n puestos o posiciones se representa en la siguiente tabla:

1 2 … n 1 1 2 1 . . . . . n 1

1 1 … 1

El elemento cij representa el beneficio de asignar al jugador i al puesto j (i,j= 1,2,…,n).

El modelo de asignación es en realidad un caso especial del modelo de transporte, en el cual los trabajadores representan las fuentes y los puestos representan los destinos. La cantidad de

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c11 c12 . . . c1n

c21 c22 . . . c2n

. . . . . . . . . . . .

cn1 cn2 … cnn

oferta en cada fuente, y la cantidad de demanda en cada destino son exactamente iguales a 1. El costo de transportar el trabajador i al puesto j es cij.

MODO DE SOLUCIONAR

- Entender el problema; definir el problema mediante su identificación y comprensión de manera que pueda expresarlo de manera precisa.

Se parte siempre de la idea de estar frente a un sistema en el que localizamos un problema, luego se elige o arma un modelo, acto seguido se encuentra soluciones por medio del modelo, para obtener luego la solución óptima, entonces se encuentra una base cuantitativa para tomar decisiones.

Paso 1 IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN ( Es el primer paso para la formulación del problema los valores de estas variables una vez determinadas, proporcionan la solución al problema Características Clave: en este caso;

¿ Que decisiones se tiene que tomar?¿ Qué valores, una vez determinados, constituyen una solución para el problema?

Paso 2 IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO; expresar el objetivo organizacional en forma matemática usando variables de decisión y los datos conocidos del problema. En este caso Maximizar el rendimiento para la asignación de posiciones para la conformación del equipo nacional.

Paso 3 IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES; se debe expresar en forma matemática usando variables de decisión y otros datos del problema.¿ Qué limitaciones existe?

Paso 4 NATURALEZA DE LAS VARIABLES ( Condición de no negatividad)

Resolución del modelo

PROGRAMA A USAR

Una vez modelado el problema utilizamos el Software Win QSB

OBJETIVOS

Maximizar el rendimientoA partir de encontrar la base de 11 jugadores dependiendo de la posición en que

jueguen.

Encontrar para este problema la solución óptima

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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Existen varios Software como ser; Solver, LINDO, winQSB, LINGO, TORA

WinQSB es una aplicación versátil que permite la solución de una gran cantidad de problemas: administrativos, de producción, de recurso humano, dirección de proyectos, etc.

Es un sistema de soporte para el trabajo de ciencias, que incluye sistema de entrada de datos, salida de los mismos y análisis gráficos. Contiene los mas útiles y populares métodos cuantitativos usados en las ciencias administrativas y la administración de operaciones. Por medio de un interfaz intuitivo, los profesores y estudiantes tienen fácil acceso a los diferentes módulos de decisión para resolver problemas. Es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy utiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa.

 HERRAMIENTA SOLVER:

Solver es una herramienta para resolver y optimizar ecuaciones mediante el uno de métodos numéricos.

Con Solver, se puede buscar el valor optimo para una celda, denominada celda objetivo, en donde se escribe la formula de la función objetivo  f(x1,x2,….,xn).

Solver cambia los valores de un grupo de celdas, denominadas celdas cambiantes, y que estén relacionadas, directa o indirectamente, con la formula de la celda objetivo. En estas celdas se encuentran los valores de las variables controlables x1,x2,…,xn.

Se  puede agregar restricciones a solver, escribiendo una formula Gi (x1,x2, ….,xn) en una celda, y especificando que la celda deberá ser mayor o igual, igual, o menor o igual que otra celda que contiene la constante cj.

También puede especificar que los valores sean enteros, para evitar dar resultados absurdos de algunos problemas, tales como se necesitan 3,5 empleados.

Solver ajustara los valores de las celdas cambiantes, para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo.

Microsoft Excel Solver utiliza diversos métodos de solución, dependiendo de las opciones que tiene.

Para  los problemas de Programacion Lineal utiliza el método Simplex. Para los problemas lineales enteros utiliza el método de ramificación y limite,

implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontiline Systems, Inc.

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Para problemas no lineales utiliza el código de optimización no lineal (GRG2) desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Autin (Texas) y la U Allan Waren (Cleveland)

SOLUCIÓN

(Análisis Técnico)

Para encontrar el máximo rendimiento que cumpla la formación que plantea el técnico, de acuerdo al rendimiento de cada jugador debe contratar 11 jugadores;Tomando en cuenta que;0; Implica que no juega1; implica que juega

1. Galarza; (X21 ) : Portero2. Palacios ; (X32 ) : Defensa3. Ricaldi; (X42 ) : Defensa4. Contreras; (X62 ) : Defensa5. Rivera; (X10,3 ): Contención6. Sanhuesa; (X11,3 ) : Contención7. Campos; (X13,4 ): Creación8. Fernández; (X14,4 ): Creación 9. DaRosa; (X16,4 ) : Creación10. Cerruti; (X22,5 ) : Delantero11. Martins; (X23,5 ) : Delantero

10

Galarza

Palacios

Ricaldi

Arce

Contreras Rivera

Sanhuesa

Campos

FernándezDaRosa

Cerruti

Para tener un máximo rendimiento de 211,0000

11

Galarza

Contreras

Ricaldi

Martins

CerrutiDaRosa

FernándezCampos

Rivera

Sanhuesa

Palacios

12

13

2) PLANTEAMIENTO DEL MODELO: PPL BIEN CLARO

1. Identificación de la variable Decisional

Xij : Jugador i con la posición j

Donde; i; 1,2,3,4,5J ; 1,2,3,4,5

(120 Variables)

Entonces:

X11 : Jugador 1 ( Vaca) en la posición 1 ( Portero)X12 : Jugador 1 ( Vaca) en la posición 2 ( Defensa)X13 : Jugador 1 ( Vaca) en la posición 3 ( Contención)X14 : Jugador 1 ( Vaca) en la posición 4 ( Creación)X15 : Jugador 1 ( Vaca) en la posición 5 ( Delantero)X21 : Jugador 2 ( Galarza) en la posición 1 ( Portero)X22 : Jugador 2 (Galarza ) en la posición 2 ( Defensa)X23 : Jugador 2 (Galarza) en la posición 3 ( Contención)X24 : Jugador 2 (Galarza ) en la posición 4 ( Creación)X25 : Jugador 2 (Galarza) en la posición 5 ( Delantero)

14

X31 : Jugador 3 ( Palacios) en la posición 1 ( Portero)X32 : Jugador 3 (Palacios) en la posición 2 ( Defensa)X33 : Jugador 3(Palacios) en la posición 3 ( Contención)X34 : Jugador 3 (Palacios) en la posición 4 ( Creación)X35 : Jugador 3 (Palacios) en la posición 5 ( Delantero)X41 : Jugador 4 ( Ricaldi) en la posición 1 ( Portero)X42 : Jugador 4 (Ricaldi ) en la posición 2 ( Defensa) X43 : Jugador 4 (Ricaldi) en la posición 3 ( Contención)X44 : Jugador 4 (Ricaldi) en la posición 4 ( Creación)X45 : Jugador 4 (Ricaldi) en la posición 5 ( Delantero)X51 : Jugador 5 ( Pizarro) en la posición 1 ( Portero)X52 : Jugador 5 (Pizarro) en la posición 2 ( Defensa)X53 : Jugador 5(Pizarro) en la posición 3 ( Contención)X54 : Jugador 5 (Pizarro) en la posición 4 ( Creación)X55 : Jugador 5 (Pizarro) en la posición 5 ( Delantero)X61 : Jugador 6 ( Contreras) en la posición 1 ( Portero)X62 : Jugador 6 (Contreras) en la posición 2 ( Defensa)X63 : Jugador 6 (Contreras) en la posición 3 ( Contención)X64 : Jugador 6 (Contreras) en la posición 4 ( Creación)X65 : Jugador 6 (Contreras) en la posición 5 ( Delantero)X71 : Jugador 7( Isla) en la posición 1 ( Portero) X72 : Jugador 7 (Isla) en la posición 2 ( Defensa)X73 : Jugador 7(Isla) en la posición 3 ( Contención)X74 : Jugador 7(Isla) en la posición 4 ( Creación)X75 : Jugador 7(Isla) en la posición 5 ( Delantero)X81 : Jugador 8( Vargas) en la posición 1 ( Portero)X82 : Jugador 8 ( Vargas) en la posición 2 ( Defensa)X83 : Jugador 8 ( Vargas) en la posición 3 ( Contención)X84 : Jugador 8 ( Vargas) en la posición 4 ( Creación)X85 : Jugador 8( Vargas) en la posición 5 ( Delantero)X91 : Jugador 9 ( Reyes) en la posición 1 ( Portero)X92 : Jugador 9(Reyes) en la posición 2 ( Defensa)X93 : Jugador 9 (Reyes) en la posición 3 ( Contención)X94 : Jugador 9 (Reyes) en la posición 4 ( Creación)X95 : Jugador 9 (Reyes) en la posición 5 ( Delantero)X10,1 : Jugador 10 ( Rivera) en la posición 1 ( Portero)X10,2 : Jugador 10 (Rivera) en la posición 2 ( Defensa)X10,3 : Jugador 10 (Rivera) en la posición 3 ( Contención)X10,4 : Jugador 10 (Rivera) en la posición 4 ( Creación)X10,5 : Jugador 10 (Rivera) en la posición 5 ( Delantero)X11,1 : Jugador 11 ( Sanhueza) en la posición 1 ( Portero)X11,2 : Jugador 11 ( Sanhueza ) en la posición 2 ( Defensa)X11,3 : Jugador 11 ( Sanhueza) en la posición 3 ( Contención)X11,4 : Jugador 11( Sanhueza) en la posición 4 ( Creación)X11,5 : Jugador 11 ( Sanhueza) en la posición 5 ( Delantero)X12,1 : Jugador 12 ( Maldonado) en la posición 1 ( Portero)X12,2 : Jugador 12 (Maldonado) en la posición 2 ( Defensa)

15

X12,3 : Jugador 12 (Maldonado) en la posición 3 ( Contención)X12,4 : Jugador 12 (Maldonado) en la posición 4 ( Creación)X12,5 : Jugador 12 (Maldonado) en la posición 5 ( Delantero)X13,1 : Jugador 13 ( Campos) en la posición 1 ( Portero)X13,2 : Jugador 13 (Campos) en la posición 2 ( Defensa)X13,3 : Jugador 13 (Campos) en la posición 3 ( Contención)X13,4 : Jugador 13 (Campos) en la posición 4 ( Creación)X13,5 : Jugador 13 (Campos) en la posición 5 ( Delantero)X14,1 : Jugador 14 (Fernández) en la posición 1 ( Portero)X14,2 : Jugador 14 (Fernández) en la posición 2 ( Defensa)X14,3 : Jugador 14(Fernández) en la posición 3 ( Contención)X14,4 : Jugador 14 (Fernández) en la posición 4 ( Creación)X14,5 : Jugador 14 (Fernández) en la posición 5 ( Delantero)X15,1 : Jugador 15(Coelho) en la posición 1 ( Portero)X15,2 : Jugador 15 (Coelho) en la posición 2 ( Defensa)X15,3 : Jugador 15 (Coelho) en la posición 3 ( Contención)X15,4 : Jugador 15 (Coelho) en la posición 4 ( Creación)X15,5 : Jugador 15 (Coelho) en la posición 5 ( Delantero)X16,1 : Jugador 16 ( DaRosa) en la posición 1 ( Portero)X16,2 : Jugador 16 ( DaRosa) en la posición 2 ( Defensa)X16,3 : Jugador 16 ( DaRosa) en la posición 3 ( Contención)X16,4 : Jugador 16 ( DaRosa) en la posición 4 ( Creación)X16,5 : Jugador 16 ( DaRosa) en la posición 5 ( Delantero)X17,1 : Jugador 17 ( Mark) en la posición 1 ( Portero)X17,2 : Jugador 17 ( Mark) en la posición 2 ( Defensa)X17,3 : Jugador 17 ( Mark) en la posición 3 ( Contención)X17,4 : Jugador 17 ( Mark) en la posición 4 ( Creación)X17,5 : Jugador 17 ( Mark) en la posición 5 ( Delantero)X18,1 : Jugador 18( Salinas) en la posición 1 ( Portero)X18,2 : Jugador 18 ( Salinas) en la posición 2 ( Defensa)X18,3 : Jugador 18 ( Salinas) en la posición 3 ( Contención)X18,4 : Jugador 18( Salinas) en la posición 4 ( Creación)X18,5 : Jugador 18 ( Salinas) en la posición 5 ( Delantero)X19,1 : Jugador 19 ( Figueroa) en la posición 1 ( Portero)X19,2 : Jugador 19 (Figueroa) en la posición 2 ( Defensa)X19,3 : Jugador 19 (Figueroa) en la posición 3 ( Contención)X19,4 : Jugador 19 (Figueroa) en la posición 4 ( Creación)X19,5 : Jugador 19 (Figueroa) en la posición 5 ( Delantero)X20,1 : Jugador 20 ( Boyero) en la posición 1 ( Portero)X20,2 : Jugador 20 ( Boyero) en la posición 2 ( Defensa)X20,3 : Jugador 20 ( Boyero) en la posición 3 ( Contención)X20,4 : Jugador 20 ( Boyero) en la posición 4 ( Creación)X20,5 : Jugador 20 ( Boyero) en la posición 5 ( Delantero)X21,1 : Jugador 21 ( Navia) en la posición 1 ( Portero)X21,2 : Jugador 21 (Navia) en la posición 2 ( Defensa)X21,3 : Jugador 21 (Navia) en la posición 3 ( Contención)X21,4 : Jugador 21 (Navia) en la posición 4 ( Creación)

16

X21,5 : Jugador 21 (Navia) en la posición 5 ( Delantero)X22,1 : Jugador 22 ( Cerruti) en la posición 1 ( Portero)X22,2 : Jugador 22(Cerruti) en la posición 2 ( Defensa)X22,3 : Jugador 22 (Cerruti) en la posición 3 ( Contención)X22,4 : Jugador 22(Cerruti) en la posición 4 ( Creación)X22,5 : Jugador 22 (Cerruti) en la posición 5 ( Delantero)X23,1 : Jugador 23 ( Martins) en la posición 1 ( Portero)X23,2 : Jugador 23 (Martins ) en la posición 2 ( Defensa)X23,3 : Jugador 23 ( Martins) en la posición 3 ( Contención)X23,4 : Jugador 23 ( Martins) en la posición 4 ( Creación)X23,5 : Jugador 23 ( Martins) en la posición 5 ( Delantero)X24,1 : Jugador 24( Arce) en la posición 1 ( Portero)X24,2 : Jugador 24( Arce) en la posición 2 ( Defensa)X24,3 : Jugador 24( Arce) en la posición 3 ( Contención)X24,4 : Jugador 24 ( Arce) en la posición 4 ( Creación)X24,5 : Jugador 24 ( Arce) en la posición 5 ( Delantero)

2. Identificación de la Función Objetivo

MAX (Z) = 17 X11 + 3 X12 + 4 X13 + 5 X14 + 7 X15 + 20 X21 + 8 X22 + 2 X23 + 1 X24 + 0 X25 + 6 X31 + 18 X32 + 12 X33 + 14 X34 + 12 X35 + 3 X41 + 20 X42 + 17 X43 + 15 X44 + 13 X45

+ 4 X51 + 16 X52 + 12 X53 + 4 X54 + 6 X55 + 6 X61 + 18 X62 + 11 X63 + 3 X64 + 2 X65

+ 5 X71 + 15 X72 +16 X73 + 10 X74 + 12 X75 + 1 X81 +17 X82 + 12 X83 + 5 X84

+ 3 X85 + 3 X91+ 14 X92 + 18 X93 + 8 X94 + 5 X95 + 5 X10,1+14 X10,2 + 19 X10,3+13 X10,4 +8 X10,5

+ 5 X11,1 +12 X11,2+20 X11,3+14 X11,4 +7 X11,5+ 6 X12,1+11 X12,2 +18 X12,3 +10 X12,4 +6 X12,5

+ 11 X13,1 + 9 X13,2 + 6 X13,3 + 20 X13,4+ 15 X13,5 + 5 X14,1 + 8 X14,2 + 2 X14,3 + 19 X14,4 + 16 X14,5

+ 4 X15,1 + 6 X15,2 +3 X15,3 +17 X15,4 +17 X15,5 +8 X16,1 +7 X16,2 + 4 X16,3 + 18 X16,4

+15 X16,5

+ 2 X17,1+ 3 X17,2 +8 X17,3 + 17 X17,4 +15 X17,5+1 X18,1 +5 X18,2 + 6 X18,3 + 16 X18,4+16 X18,5

+ 3 X19,1+ 6 X19,2 + 2 X19,3 + 14 X19,4 + 12 X19,5 + 6 X20,1+2 X20,2 +3 X20,3 + 17X20,4 + 16 X20,5

+ 4 X21,1+1 X21,2+5 X21,3 + 3 X21,4+18 X21,5 + 12 X22,1 +0 X22,2 +5 X22,3+15 X22,4+20 X22,5 + 9 X23,1+5 X23,2+ 2 X23,3 + 16 X23,4 + 19 X23,5+10 X24,1 + 2 X24,2 +5 X24,3+12 X24,4 + 17 X24,5

3. Identificación de Restricciones

17

X11 +X12 +X13 +X14 +X15 1 (Vaca)X21 + X22 + X23 +X24 +X25 1 (Galarza)X31 + X32 + X33 +X34 + X35 1 (Palacios)X41 + X42 + X43 + X44 + X45 1 (Ricaldi )X51 + X52 + X53 + X54 + X55 1 (Pizarro )X61 + X62 + X63 + X64 + X65 1 (Contreras)X71 + X72 + X73 + X74 + X75 1 (Isla )X81 + X82 + X83 + X84 + X85 1 (Vargas)X91 + X92 + X93 + X94 + X95 1 (Reyes )X10,1 + X10,2 + X10,3 + X10,4 + X10,5 1 (Rivera )X11,1 + X11,2 + X11,3 + X11,4 + X11,5 1 (Sanhuesa)X12,1 + X12,2 + X12,3 + X12,4 + X12,5 1 (Maldonado)

X13,1 + X13,2 + X13,3 + X13,4 + X13,5 1(Campos)X14,1 + X14,2 + X14,3 + X14,4 + X14,5 1(Fernández)X15,1 + X15,2 + X15,3 + X15,4 + X15,5 1(Coelho)X16,1 + X16,2 + X16,3 + X16,4 + X16,5 1 (DaRosa)X17,1 + X17,2 + X17,3 + X17,4 + X17,5 1(Mark)X18,1 + X18,2 + X18,3 + X18,4 + X18,5 1(Salinas)X19,1 + X19,2 + X19,3 + X19,4 + X19,5 1(Fiqueroa)X20,1 + X20,2 + X20,3 + X20,4 + X20,5 1(Boyero)X21,1 + X21,2 + X21,3 + X21,4 + X21,5 1 (Navia)X22,1 + X22,2 + X22,3 + X22,4 + X22,5 1 (Ceruti)X23,1 + X23,2 + X23,3 + X23,4 +X23,5 1(Martins)X24,1 + X24,2 + X24,3 +X24,4 + X24,5 1(Arce)

X11 +X21 + X31 + X41 + X51 + X61 + X71 + X81 + X91 + X10,1 + X11,1 + X12,1 + X13,1 + X14,1 + X15,1 + X16,1 + X17,1 + X18,1 + X19,1 + X20,1 + X21,1 + X22,1 + X23,1 + X24,1

= 1 (Portero)

X12 + X22 + X32 + X42 + X52 + X62 + X72 + X82 + X92 + X10,2 + X11,2 + X12,2 + X13,2 + X14,2 + + X15,2 + X16,2 + X17,2 + X18,2 + X19,2 + X20,2 + X21,2 + X22,2 + X23,2 + X24,2 = 3 (defensas)

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 + X63 + X73 + X83 + X93 + X10,3 + X11,3 + X12,3 + X13,3 + X14,3 + X15,3 + X16,3 + X17,3 + X18,3 + X19,3 + X20,3 + X21,3 + X22,3 + X23,3 + X24,3 = 2 ( Contención)

X14 +X24 +X34 + X44 + X54 + X64 + X74 + X84 + X94 + X10,4 + X11,4 + X13,4 + X14,4 + X15,4 + X16,4 + X17,4 + X18,4 + X19,4 + X20,4 + X21,4 + X22,4 + X23,4 +X24,4 = 3 (Creadores)

X15+X25 + X35 + X45 + X55 + X65 + X75 + X85 + X95 + X10,5 + X11,5 + X12,5 + X13,5 + X14,5 + X15,5 + X16,5 + X17,5 + X18,5+ X19,5 + X20,5 + X21,5 + X22,5 +X23,5 X24,5 = 2 ( Delanteros)

18

4. NATURALEZA DE LAS VARIABLES (Condiciones de Existencia)

Xij 0

3) ANÁLISIS DEL MODELO: EXPLICACIÓN. , RESULTADOS ESPERADOS

ExplicaciónPara hallar el máximo rendimiento de acuerdo a la capacidad de capa jugador en cada posición, identificando las variables de decisión en que posición puede jugar cada jugador, Identificando la función objetivo de maximizar el rendimiento para la conformación del selección Nacional, tomando en cuenta que un mismo jugador no puede tener dos posiciones y además las restricciones de que se requiere de 1 arquero o portero, 3 defensas , 2 contenciones , 3 creadores o laterales y 2 delanteros, y adem´s las condiciones de no negatividad es importante porque al tratarce de variables discretas que solo pueden asumir variables positivas, de que si juega o no. Resultados Esperados

Si, se logra cumplir los resultados esperados y la conformación del equipo Nacional con sus once mejores jugadores.

4) RESULTADOS OBTENIDOS: RESULTADOS DEL MODELO

Resultados del modelo;

Para encontrar el máximo rendimiento que cumpla la formación que plantea el técnico, de acuerdo al rendimiento de cada jugador debe contratar estos 11 jugadores;

Galarza; (X21 ) : PorteroPalacios ; (X32 ) : DefensaRicaldi; (X42 ) : DefensaContreras; (X62 ) : DefensaRivera; (X10,3 ): ContenciónSanhuesa; (X11,3 ) : ContenciónCampos; (X13,4 ): CreaciónFernández; (X14,4 ): Creación DaRosa; (X16,4 ) : CreaciónCerruti; (X22,5 ) : DelanteroMartins; (X23,5 ) : Delantero

Para tener un máximo rendimiento de 211,0000

19

5) ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

De acuerdo a la capacidad de cada jugador en cada posición se obtuvo 11 jugadores, con

capacidades mayores al resto de los jugadores se obtendrá un máximo rendimiento de 211,000

al contratar estos 11 jugadores.

6) CONCLUSIONES: SEGÚN RESULTADOS, SEGÚN OBJETIVOS

PLANTEADOS, SEGÚN SOFTWARE, COMENTARIOS.

Según Resultados

Para el resto del campeonato deben jugar en las posiciones de acuerdo a su capacidad estos once

jugadores para efrentar la segunda fase de las eliminatorias.

Según Objetivos Planteados

Si, se logrará un rendimiento máximo con la implementación de este modelo

Según Software

Se obtiene un rendimiento máximo de 211,000 al tomar en cuenta los 11 jugadores

Con capacidd unitaria de 17,3,4,5,7, 20, 8, 2, 1, 0 ,6, 18, 12, 14,12,

3,20,17,15,13,4,16,12,4,6,6,18,11,3,2,5,15,16,10,12,1,17,5,3,3,14,18,8,5,5,14,19,13,8,5,12,20,1

4,7,6,11,18,10,6,11,9,6,20,15,5,8,2,19,16,4,6,3,17,17,8,7,4,18,15,2,3,8,17,15,1,5,6,16,3,6,2,14,1

2,6,2,3,17,16,4,1,5,3,18,120,5,15,20,9,5,2,16, 19, 10, 2,5 12, 17.

20

considerando 1 = Juegue; 0 = no juegue obteniendo rendimiento máximo de 211

21

1

2

3

4

5

65

75

85

22

9

109

11

Allowable Max c (j): dice que la capacidad de Vaca como portero pude incrementarse como máximo a 20,0000 y decrementarse hasta 0.

Que la capacidad de Vaca como Defensa puede incrementarse como máximo a 18 y como mínimo a 0.Así para cada jugador.

Basic Status;

Para convertir una variable no básica en básica se utilizaría 3 ( es decir para que para que un jugador esté habilitado para jugar en el primer caso X11 ( Vaca) o para que Vaca juegue se utilizaría 3 capacidad , y para que Vaca juegue como Defensa se debe sacrificar 15 de capacidad Vaca: Contención se debe sacrficar 15Vaca : Creación se debe sacrificar 13Vaca : Delantero se debe sacrificar 12Y así para todos los casos en los que los jugadores no jugarán y en el resultado del Win QSB no muestra como varibles no básica.En el caso de Galarza como portero en el reporte del Win QSB muestra como básica que no se debe sacrificar nada de capacidad para la conformación de l equipo Nacional, pues es la capacidad más eleada en relación a los otros jugadores que jueguen en esta posición.

RestriccionesConstraint

- C 1 : Se dice que de el jugador disponible en el primer caso no se utiliza nada teniendo un sobrante de 1, como mínimo se puede utilizar 0 como máximo infinito.para incrementar un jugador más nos cuesta una capacidad de 1.

- C2 : De 1 jugador que tiene la selección esta siendo ocupados ese 1 jugador para esa posición, para incrementar un jugador no nos cuesta nada.

Comentarios. Nos convendría contratar los once jugadores seleccionados pues solo estos jugadores nos permitirán tener un rendimiento máximo y enfrentar con éxito la segunda fase de las eliminatorias.

23

c

24