calculo de vf Van y Tir
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Método para calcular el valor futuro de una suma de dinero y su proceso de capitalización
Este método sirve para hacer proyecciones del incremento del
capital, en base al análisis histórico del comportamiento de la
inflación. Por ejemplo, si la inflación promedio de los últimos 10
años es del 5% y se tienen costos de producción de
$100,000.00 en un ejercicio anual de operación, significa que
para el próximo año el valor de los costos será del orden de los
$105,000:00. Para el año subsiguiente será del orden de los
$110,250.00. En consecuencia, para el tercer año, el valor
será de $115,762.50, y así sucesivamente. ¿Cómo se calculó?
Con una formula sencilla:
VF = gasto anual x (1 + por ciento de inflación anual expresado en decimales)
VF = CT x (1 + i/100)
VF = 100,000 x (1 + 5/100)
VF = 100,000 x (1 + .05)
VF = 105,000
Proyección de VF a cinco años
año
gasto anual
Inflación (%)
Conversión con formula
1100,000.0
0 5 100,000 x 1.05
2105,000.0
0 5 105,000 x 1.053 110,250.0 5 110,250 x 1.05
0
4115,762.5
0 5 115,763 x 1.05
5121,550.6
3 5Si se quiere conocer el gasto anual en un año determinado,
considerando la misma constante del primer año, se aplica la
siguiente formula:
VF = gasto anual x (1+ por ciento de inflación anual expresado en decimales) ⁿˉ¹
donde el exponencial n es igual al número del año que se
quiere calcular.
Otro ejemplo sería efectuar una inversión fija depositada en
una cuenta bancaria, capitalizando los intereses. Si se
depositan $100,000.00 pesos con una tasa de interés pactada
al 7.5% anual, al año se tendrá un capital de $107,500.00. Al
capitalizar este monto, al siguiente año se tendrá la cantidad de
$115,562.50, y así sucesivamente.
VF = CAPITAL x (1 + tasa de interés anual expresado en decimales)
O bien se puede utilizar la tabla para ir calculando la
capitalización del dinero invertido tal como se muestra a
continuación:
Incremento de un capital inicial a cinco años
AñoCapital al
inicioTasa de
interés (%) FórmulaCapital al
final
1 100,000.00 7.5 Capital x 1.075 107,500.002 107,500.00 7.5 115,562.503 115,562.50 7.5 124,229.694 124,229.69 7.5 133,546.915 133,546.91 7.5 143,562.93
Método para calcular el valor futuro de una suma de dinero y su proceso de capitalización de una corriente de ingresos:
En un supuesto de una corriente de ingresos en el tiempo, los intereses
pueden ser o no capitalizados a decisión del beneficiario. En este caso,
el capital final obtenido de cada año se adiciona al ingreso
correspondiente del siguiente año para generar el capital acumulado y
sobre este se calcula el interés generado, que sumado al capital
acumulado refleja el resultado del año analizado, y así sucesivamente,
como se observa en la siguiente tabla, ejemplo calculado con un ingreso
anual de 10,000 pesos y una tasa anual del 7%. Con ingresos anuales
de 10,000 pesos, al final del tercer año se obtiene un capital final de
34,399 pesos.
AñoCorriente de
ingresosCapital
acumuladoIntereses generado Capital final
1 10,000 0.00 700 10,7002 10,000 20,700 1,449 22,1493 10,000 32,149 2,250 34,399
30,000 4,399
Los resultados obtenidos en la tabla anterior están respaldados por la
siguiente formula:
VF = C1 + C0 x (1 + i)1 + C2 + C1 (1 + i)2 + Cx + Cn (1 + i)n
En caso de decidir no capitalizar los intereses, el capital final sería de
30,000 pesos tal como se calcula en la siguiente tabla. Se aplica las
misma formula.
AñoCorriente de
ingresosCapital
acumuladoIntereses
generados Capital final1 10,000 0.00 700 10,0002 10,000 20,000 1,400 20,0003 10,000 30,000 2,100 30,000
30,000 4,200
Método para calcular el valor actual y su
proceso de descuento:
Este método de valor actual se refiere al valor presente de una suma de
dinero que se haya de recibir en un futuro. Para ello, los valores
actuales se podrán calcular utilizando un procedimiento que se le
denomina “descontar”. Esto significa que una suma de dinero en el
futuro habrá de descontarse al valor presente para determinar su valor
actual. Esto se puede interpretar como la perdida de adquisición del
dinero. Si se tiene dinero en papel moneda guardado en la caja fuerte,
en el colchón, en el closet o enterrado en el piso de la casa, con el
tiempo ese dinero va tener un valor nominal igual, pero un valor
adquisitivo menor.
Por ejemplo, si actualmente se tiene una suma de $100,000.00 y la
ahorro en un banco que paga el 7.5% anual, a la vuelta de cinco años
ese capital va a tener un valor de $143,562.93, según se observa en la
tabla. Si esa misma suma no se invierte, sino que se guarda en la caja
fuerte, a la vuelta del mismo lapso de tiempo, va a tener un valor actual
de $69,637.90.
¿Cómo se obtuvo este valor? Utilizándose la siguiente formula:
Valor Actual (VA) = Suma de Dinero ÷ (1 + tasa de interés/100)ⁿ
O
Valor Actual (VA) = Suma de Dinero x 1 ÷ (1 + tasa de interés/100)ⁿ
VA = $100,000.00 ÷ (1 + 0.075)5
VA = $100,000.00 ÷ (1.436)
... VA = $69,637.90
ⁿ = número de años
La obtención de valores futuros es un procedimiento inverso a la
obtención de valores actuales, según se puede observar en la gráfica.
Cuando una suma de dinero se invierte, se capitaliza y crece su valor,
mientras que si no se invierte y se mantiene estático, se descapitaliza,
se descuenta y su valor decrece.
Relación entre capitalización y proceso de descuento.
capitalización
Valor ($)
Descuento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (años)
Al tener dominio del valor actual de una suma de dinero, se cuenta con la
herramienta para calcular el valor actual de una corriente de ingresos.
Método del proceso de descuento para calcular el valor
actual de una corriente de ingresos:
El valor actual de una corriente de ingresos que se espera recibir, es posible
calcularlo a través de la tabla 39, o en forma más práctica, aplicando la fórmula de la
sumatoria de cada valor actual anual, tal como se describe a continuación.
VA = ∑ fi1 x 1÷ (1 + ti) 1 + fi2 x 1÷ (1 + ti) 2 + fi3 x 1÷ (1 + ti) 3 + …… + fin x 1÷ (1 + ti) n
Dónde: fi = flujo de ingresos anual; ti = tasa de interés anual; y n = el último año de la
corriente o flujo de ingresos.
Una anualidad de $100,000.00 que se supone se recibirá al final cada uno de los
años, durante 3 años, con una tasa de interés del 8%, al usar el método de la tabla
el valor actual se calcula de la siguiente manera:
Valor presente de una corriente de ingresos
Años Flujo de Factor de Valoringresos ($) Valor Actual Actual ($)
1 100,000 0.926 92,6002 100,000 0.857 85,7003 100,000 0.794 79,400
Total: 300,000 257,700
El factor de valor actual se calcula dividiendo 1÷ (1 + ti) n donde n corresponde al
año respectivo de análisis. El valor actual se calcula multiplicando el flujo de
ingresos por el factor de valor actual. La suma del flujo de ingresos refleja el valor
nominal al último año de la corriente de ingresos, siendo en el ejemplo de
$300,000.00, mientras que la suma del valor actual es de $257,700.00, siendo esta
suma el valor del dinero que un inversionista va a recibir a futuro. Este cálculo en
forma más práctica, se puede efectuar con la formula sin necesidad de hacerlo con
la tabla observada.
Valor actual neto (VAN)
El método de valor actual neto considera el valor del dinero en el tiempo, a través de
una corriente de flujos netos de efectivo, tomando en cuenta la vida útil de la
inversión. A este método también se le denomina método de flujo de efectivo
descontado. El valor actual neto de una inversión se representa por la suma de los
valores actuales de los flujos netos en efectivo, conocidos también como ingresos
netos en efectivo, de cada año, restando el costo de la inversión inicial. En otras
palabras, el VAN se calcula mediante la siguiente ecuación:
VAN = ∑ fi1 x 1÷ (1 + ti) 1 + fi2 x 1÷ (1 + ti) 2 + fi3 x 1÷ (1 + ti)3 ...+ fin x 1÷ (1 + ti) n - ci
Donde: fi = flujo de ingresos anual; ti = tasa de interés anual; y n = el último año de la
corriente o flujo de ingresos; y ci = inversión inicial.
Si una inversión presenta un VAN positivo, se acepta, conforme a este
procedimiento. En contraparte, si el VAN es negativo, se rechaza. El razonamiento
para la aceptación de inversiones con VAN positivo descansa en dos vertientes:
1. En primer lugar significa que la tasa de rendimiento real es mayor que
la tasa de descuento.
2. Un inversionista estaría dispuesto a pagar mayor cantidad por la
inversión y aún alcanzar una tasa de rendimiento igual a la tasa de
descuento utilizada.
En los ejemplos de las siguientes tablas se pueden observar los VAN de tres
inversiones, donde: capital inicial = $ 1, 000,000.00; tasa de descuento = 8%; y una
vida útil de cinco años.
Inversión “a”
flujo neto factor de ValorAño de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 500,000 0.925925926 462,9632 400,000 0.857338820 342,9363 300,000 0.793832241 238,1504 200,000 0.735029853 147,0065 100,000 0.680583197 68,058
total: 1,500,000 1,259,112menos capital inicial: 1,000,000valor actual neto: 259,112
Inversión “b”
flujo neto factor de ValorAño de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 100,000 0.925925926 92,5932 200,000 0.857338820 171,4683 300,000 0.793832241 238,1504 400,000 0.735029853 294,012
5 500,000 0.680583197 340,292total: 1,500,000 1,136,514menos capital inicial: 1,000,000valor actual neto: 136,514
Inversión “c”
flujo neto factor de ValorAño de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 300,000 0.925925926 277,7782 300,000 0.857338820 257,2023 300,000 0.793832241 238,1504 300,000 0.735029853 220,5095 300,000 0.680583197 204,175
total: 1,500,000 1,197,813menos capital inicial: 1,000,000valor actual neto: 197,813
Entre más alto sea el valor actual neto más aceptable es la inversión y viceversa.
Este comportamiento depende de la tasa de descuento, entre mayor sea la tasa,
menor será el valor actual neto. Al obtener comportamientos de flujos netos de
mayor a menor, el VAN es mayor que cuando estos son a la inversa, tal como se
observa en los ejemplos anteriores. Bajo este esquema de análisis, un inversionista
estaría dispuesto a seleccionar la inversión con mayor VAN. En otras palabras,
invertiría en el siguiente orden de inversiones: “a”, “c” y “b”
En el caso de que el flujo de efectivo de cualquier ejercicio anual tuviera una
modificación, tal como se observa en la tabla de la inversión “d”, siendo esta
prácticamente el mismo comportamiento de la inversión “b”, pero incrementándose
el flujo del quinto año, el VAN también sufre modificación, incrementándose con
respecto a la inversión “b” y “c”. En este caso, un inversionista estaría dispuesto
seleccionar la inversión “d” sobre la “c”.
Inversión “d”
flujo neto factor de ValorAño de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 100,000 0.925925926 92,5932 200,000 0.857338820 171,4683 300,000 0.793832241 238,1504 400,000 0.735029853 294,0125 600,000 0.680583197 408,350
total: 1,600,000 1,204,572menos capital inicial: 1,000,000valor actual neto: 204,572
La selección de inversiones con mayores VANs, no necesariamente reflejan que
sean más rentables comparadas con otras de menor valor actual neto. Para
conocer la rentabilidad real de una inversión se utiliza el método de tasa interna de
rendimiento o rentabilidad (TIR).
Tasa interna de rendimiento (TIR)
El TIR es otro método de análisis de inversión, reflejándose también el valor del
dinero en el tiempo. A la TIR se le conoce también como rendimiento sobre
capital o eficiencia marginal de capital.
En los ejemplos anteriores, tablas 40 al 43, el valor actual neto se calculó con una
tasa de descuento del 8%. ¿Pero cual es la tasa real de rendimiento de estas
inversiones? Para calcular esa tasa real, se debe usar la siguiente formula:
VAN = ∑ fi1 x 1÷ (1 + ti) 1 + fi2 x 1÷ (1 + ti) 2 + fi3 x 1÷ (1 + ti) 3 +… + fin x 1÷ (1 + ti) n - ci
Donde el VAN = 0; en consecuencia la ti se convierte en incógnita. En la ecuación
se procede a despejar la ti para determinar la tasa que iguale el VAN a cero,
concluyéndose que esto no es posible ya que es una ecuación difícil de resolver.
Por lo tanto se procede a utilizar el método del tanteo, según se observa en las
tablas siguientes, donde se analizan diferentes inversiones. Todo indica que el
tanteo debe iniciarse con una tasa por arriba del 8%, la cual fue usada para el
cálculo del VAN, cuyo resultado es muy por arriba de cero. En la tabla 44, en el
análisis de la inversión “a”, se inició el tanteo con dos tasas, una del 15% y otra del
25%. En la tasa 15%, el cálculo refleja un VAN de $98,563.00, muy por arriba del
valor cero, mientras que la tasa del 25%, se tiene un VAN negativo, muy por debajo
del valor cero. Se va ajustando la banda de tanteo hasta que se encuentran las
tasas que se acercan al valor cero. En este ejemplo, se encontró en el ajuste que
las tasas que se acercan a cero están entre el 20 y 21%, por lo que se deduce que
el TIR esta por arriba del 20%, tal como se observa en la tabla.
Cálculo de TIR para la inversión “a”
tasa 15% tasa 25%flujo neto factor de valor flujo neto factor de Valor
Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 500,0000.86956521
7 434,783 500,000 0.800000000 400,000
2 400,0000.75614366
7 302,457 400,000 0.640000000 256,000
3 300,0000.65751623
2 197,255 300,000 0.512000000 153,600
4 200,0000.57175324
6 114,351 200,000 0.409600000 81,920
5 100,0000.49717673
5 49,718 100,000 0.327680000 32,768total: 1,500,000 1,098,563 1,500,000 924,288
menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 98,563 -75,712
tasa 20% tasa 21%flujo neto factor de valor flujo neto factor de Valor
Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 500,0000.83333333
3 416,667 500,000 0.826446281 413,223
2 400,0000.69444444
4 277,778 400,000 0.683013455 273,205
3 300,0000.57870370
4 173,611 300,000 0.564473930 169,342
4 200,0000.48225308
6 96,451 200,000 0.466507380 93,301
5 100,0000.40187757
2 40,188 100,000 0.385543289 38,554total: 1,500,000 1,004,694 1,500,000 987,627
menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 4,694 -12,373
El valor real de la TIR es 20.28% ¿Cómo se calcula la parte decimal? Por una
simple interpolación lineal. A la tasa con VAN negativo, se le elimina el signo, y se le
suma a la tasa con VAN positivo, por lo que el valor entre 20 y 21, es:
4,694 + 12,373 = 17,067
Esto significa que el punto porcentual entre 20 y 21 tiene un valor de $17,067, por lo
que para llegar a cero, a la tasa 20% le faltan $4,694, mientras que a la tasa 21% le
sobran $12,373, según se observa en las siguientes figuras.
Figura 5. Valor de un punto porcentual, para la inversión “a”.
│ 1% │
17,067
Figura 6. Valores diferenciales entre el valor actual neto positivo y el negativo.
20% (+) (-) 21%
│_____________________│__________________________________│
4,694 0 12,373
Por lo que al interpolar se obtiene la fracción decimal = X
17,067 ------------ 1%
4,694 ------------ X
Por lo tanto, X = 0.28
Como se tomó la parte proporcional de la tasa menor que es positiva, la fracción
decimal se le suma a dicha tasa, por lo que:
TIR = 20 + 0.28
TIR = 20.28%
Si se toma la parte proporcional de la tasa mayor, que es la negativa, la fracción
decimal se le resta a esta tasa, por lo que:
17,067 ------------ 1%
12,373 ------------ X
Por lo tanto, X = 0.72
TIR = 21 - 0.72
TIR = 20.28%
Cálculo de TIR para la inversión “b”
tasa 10% tasa 20%flujo neto factor de valor flujo neto factor de Valor
Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 100,0000.90909090
9 90,909 100,000 0.833333333 83,333
2 200,0000.82644628
1 165,289 200,000 0.694444444 138,889
3 300,0000.75131480
1 225,394 300,000 0.578703704 173,6114 400,000 0.68301345 273,205 400,000 0.482253086 192,901
5
5 500,0000.62092132
3 310,461 500,000 0.401877572 200,939total: 1,500,000 1,065,259 1,500,000 789,673
menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 65,259 -210,327
tasa 12% tasa 13%flujo neto factor de valor flujo neto factor de Valor
Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 100,0000.89285714
3 89,286 100,000 0.884955752 88,496
2 200,0000.79719387
8 159,439 200,000 0.783146683 156,629
3 300,0000.71178024
8 213,534 300,000 0.693050162 207,915
4 400,0000.63551807
8 254,207 400,000 0.613318728 245,327
5 500,0000.56742685
6 283,713 500,000 0.542759936 271,380total: 1,500,000 1,000,179 1,500,000 969,747
menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 179 -30,253
Se toma la parte proporcional de la tasa menor, por lo que se procede a su
interpolación para determinar el TIR de esta inversión “b”.
30,432 ------------ 1%
179 ------------ X
Por lo que X = 0.01
Por lo tanto:
TIR = 12 + 0.01
TIR = 12.01%
Cálculo de TIR para la inversión “c”
tasa 12% tasa 20%flujo neto factor de valor flujo neto factor de Valor
Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)
1 300,000 0.892857143 267,857 300,000 0.833333333 250,0002 300,000 0.797193878 239,158 300,000 0.694444444 208,3333 300,000 0.711780248 213,534 300,000 0.578703704 173,6114 300,000 0.635518078 190,655 300,000 0.482253086 144,6765 300,000 0.567426856 170,228 300,000 0.401877572 120,563
total: 1,500,000 1,081,433 1,500,000 897,184menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 81,433 -102,816
tasa 15% tasa 16%flujo neto factor de valor flujo neto factor de Valor
Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)1 300,000 0.869565217 260,870 300,000 0.862068966 258,6212 300,000 0.756143667 226,843 300,000 0.743162901 222,9493 300,000 0.657516232 197,255 300,000 0.640657674 192,1974 300,000 0.571753246 171,526 300,000 0.552291098 165,6875 300,000 0.497176735 149,153 300,000 0.476113015 142,834
total: 1,500,000 1,005,647 1,500,000 982,288menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 5,647 -17,712
Se toma la parte proporcional de la tasa menor, por lo que se procede a su
interpolación para determinar el TIR de esta inversión “c”.
23,359 ------------ 1%
5,647 ------------ X
Por lo que X = 0.24
Por lo tanto:
TIR = 15 + 0.24
TIR = 15.24%
Cálculo de TIR para la inversión “d”
tasa 10% tasa 20%flujo neto factor de Valor flujo neto factor de Valor
Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)1 100,000 0.909090909 90,909 100,000 0.833333333 83,3332 200,000 0.826446281 165,289 200,000 0.694444444 138,8893 300,000 0.751314801 225,394 300,000 0.578703704 173,611
4 400,000 0.683013455 273,205 400,000 0.482253086 192,9015 600,000 0.620921323 372,553 600,000 0.401877572 241,127
total: 1,600,000 1,127,351 1,600,000 829,861menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 127,351 -170,139
tasa 13% tasa 14%flujo neto factor de Valor flujo neto factor de Valor
Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)1 100,000 0.884955752 88,496 100,000 0.877192982 87,7192 200,000 0.783146683 156,629 200,000 0.769467528 153,8943 300,000 0.693050162 207,915 300,000 0.674971516 202,4914 400,000 0.613318728 245,327 400,000 0.592080277 236,8325 600,000 0.542759936 325,656 600,000 0.519368664 311,621
total: 1,600,000 1,024,023 1,600,000 992,558menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 24,023 -7,442
Se toma la parte proporcional de la tasa menor, por lo que se procede a su
interpolación para determinar el TIR de esta inversión “d”.
31,465 ------------ 1%
24,023 ------------ X
Por lo que X = 0.76
Por lo tanto:
TIR = 13 + 0.76
TIR = 13.76%
Cuadro comparativo de VAN y TIR de las cuatro inversiones.
Inversión "a" "b" "c" "d"
flujo total $1,500,000.00 $1,500,000.00 $1,500,000.00 $1,600,000.00
VAN $259,112.00 $136,514.00 $197,813.00 $204,572.00
TIR 20.28% 12.01% 15.24% 13.76%
De los cuatro ejemplos, la inversión “a” presenta la mayor TIR, seguidas por la “c” y
la “d”, presentando la “b” la rentabilidad más baja, respectivamente. Referente a los
VAN de las inversiones, la “a”, “b” y “c”, reflejan valores proporcionalmente paralelos
a las TIR, no así la inversión “d”. La inversión “d” presenta un flujo neto total y un
VAN mayor que la “c”. Con esto se reafirma que un VAN mayor comparado con otro
menor, no necesariamente es más rentable, tal como se observa en la tabla anterior.
El análisis de éstos métodos de evaluación se facilitan y se eficientizan a través del
uso de tecnologías modernas. Hoy en día, es común formular y evaluar proyectos
mediante el uso de equipos computacionales. Para el análisis de la inversión, es
común usar la hoja de cálculo Excel, ya que al capturar toda la información numérica
en matrices, se pueden utilizar fórmulas que van a facilitar los cálculos de los
estados de resultados y de los flujos de efectivo. En consecuencia, al conocer los
flujos netos en efectivo, a través del uso de funciones, en la misma hoja de cálculo
Excel, se facilita la obtención del VAN, TIR, PE y el análisis de sensibilidad.
Los cálculos de VAN y TIR se calculan de la siguiente manera:
Ejemplos en Excel……