Cálculo del tamaño de la muestraA la hora de determinar el tamaño que

debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores: el tipo de

muestreo, el parámetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza

poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar algunos casos

sencillos de cálculo del tamaño muestral delimitemos estos factores.

Parámetro. Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población.

Estadístico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros.

Error Muestral, de estimación o standard. Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al principio o al final. Un estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral(1) de un estadístico y su fiabilidad.

Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad (Gauss o Student), así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro.

Varianza Poblacional. Cuando una población es más homogénea la varianza es menor y el número de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la población, será más pequeño. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos.

Factor de ponderación: es el cociente entre el tamaño de la población y el tamaño de la muestra, N/ n . Representa el número de elementos que encarna cada el elemento seleccionado.

 Factor de muestreo: es el cociente entre el

tamaño de la muestra y el tamaño de la población n/N . Si se multiplica por 100, obtenemos el porcentaje de la población que representa la muestra.

Errores de no muestreoComo ya hemos dicho, la selección no

adecuada de los elementos de la muestra provoca errores posteriores a la hora de estimar las correspondientes medidas en la población. Pero podemos encontrar más errores: el entrevistador podría no ser imparcial, es decir, favorecer que se den unasrespuestas más que otras. Puede ocurrir también que, por ejemplo, la persona que vayamos a entrevistar no quiera contestar a ciertas preguntas (o no sepa contestar). Clasificamos todos estos posibles errores de la siguiente manera:

1. Error de sesgo o de selección: si alguno de los miembros de la población tiene más probabilidad que otros de ser seleccionados. Imagina que queremos conocer el grado de satisfacción de los clientes de un gimnasio y para ello vamos a entrevistar a algunos de 10 a 12 de la mañana. Esto quiere decir que las personas que vayan por la tarde no se verán representadas por lo que la muestra no representar a todos los clientes del gimnasio. Una forma de evitar este tipo de error es tomar la muestra de manera que todos los clientes tengan la misma probabilidad de ser seleccionados.

2. Error o sesgo por no respuesta: es posible que algunos elementos de la población noquieran o no puedan responder a determinadas cuestiones. O también puede ocurrir, cuando tenemos cuestionarios de tipo personal, que algunos miembros de la población no contesten sinceramente. Estos errores son, en general, difíciles de evitar, pero en el caso de la sinceridad, se suelen incorporar cuestiones (preguntas filtro) para detectar si se está contestando sinceramente.

Después de lo que acabamos de ver, podemos decir que una muestra es sesgada cuando no es representativa de la población.

Tamaño de muestra para estimar la media de la población

Veamos los pasos necesarios para determinar el tamaño de una muestra empleando el muestreo aleatorio simple. Para ello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error máximo que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimación. Así pues los pasos a seguir son: 1.- Obtener el tamaño muestral imaginando que  :

D

Donde:

: z correspondiente al nivel de confianza elegido

: varianza poblacional e: error máximo

2.- Comprobar si se cumple

Si no se cumple, pasamos a una tercera fase: 3.- Obtener el tamaño de la muestra según la siguiente fórmula:

Veamos un ejemplo: La Consejería de Trabajo planea un estudio con el interés de conocer el promedio de horas semanales trabajadas por las mujeres del servicio doméstico. La muestra será extraída de una población de 10000 mujeres que figuran en los registros de la Seguridad Social y de las cuales se conoce a través de un estudio piloto que su varianza es de 9.648. Trabajando con un nivel de confianza de 0.95 y estando dispuestos a admitir un error máximo de 0,1, ¿cuál debe ser el tamaño muestral que empleemos?. Buscamos en las tablas de la curva normal el valor de  que corresponde con el nivel de confianza elegido:  = ±1.96 y seguimos los pasos propuestos arriba.

1.-

2.- Comprobamos que no se cumple  , pues en este caso

10000 < 3706 (3706 - 1); 10000 < 137307303.-

Tamaño de muestra para estimar la proporción de la poblaciónPara calcular el tamaño de muestra para la estimación de proporciones poblacionales hemos de tener en cuenta los mismos factores que en el caso de la media. La fórmula que nos permitirá determinar el tamaño muestral es la siguiente:

donde

:

z correspondiente al nivel de confianza elegido P: proporción de una categoría de la variable e: error máximo N: tamaño de la población

Siguiendo con el estudio planteado en el punto anterior, supongamos que tratamos de estimar la proporción de mujeres que trabajan diariamente 10 horas o más. De un estudio piloto se dedujo que P=0.30, fijamos el nivel de confianza en 0.95 y el error máximo 0.02.

 

Tamaño de muestra para estimar el promedio aritmético con asignación proporcional .

Donde: B = error de estimación k = percentil que se halla en la tabla de la distribución normal y depende del nivel de confianza Una vez determinado el tamaño de la muestra, para repartirla proporcionalmente al tamaño de los estratos se utiliza la siguiente expresión:

EJEMPLO

Se desea estimar la nota promedio de los estudiantes de administración de empresas diurna y nocturna en una universidad. En la carrera diurna (estrato 1) hay 280 estudiantes y en la nocturna (estrato 2) hay 200 estudiantes. Determine el tamaño de muestra necesario para cumplir el objetivo con un error máximo de 0,15 y una confiabilidad del 95 por ciento. Por un estudio realizado tiempo atrás se conocen las varianzas de las notas de administración diurna y nocturna, las que respectivamente son: 0,31 y 0,28. Solución Considerando que las varianzas son similares, se trabaja con muestreo estratificado con asignación proporcional. El error (B) es 0,15 y para una confiabilidad del 95 por ciento el valor correspondiente en la distribución normal es 1,96, entonces, k = 1,96:

Para hallar el tamaño de muestra se utiliza la ecuación 6.26

El tamaño de la muestra es de 46 estudiantes. Esta muestra se reparte proporcionalmente al tamaño de los estratos, con la ecuación 6.27

Se deben seleccionar 27 estudiantes de administración de empresas diurna y 19 de la nocturna.

Tamaño de muestra para estimar el total con asignación proporcional

Para repartir la muestra entre los estratos, se utiliza la expresión 6.27

EJEMPLOSe desea hacer un estudio para estimar el consumo total de gasolina en una ciudad, halle el tamaño de muestra necesario para cumplir éste objetivo. Los vehículos se clasificaron en tres grupos o estratos, particulares (1), públicos (2) y oficiales (3). En la oficina de circulación y tránsito se obtuvo la siguiente información sobre los vehículos matriculados en la ciudad; vehículos particulares 7.627, públicos 2.392 y oficiales 534. Solución Como no se dispone de estudios similares, se toma una muestra piloto, con la cual se obtienen las siguientes varianzas sobre el consumo semanal en galones

Asumiendo un error de estimación máximo de 15.000 galones , (B = 15.000), y una confiabilidad del 95 por ciento, el valor de k en la distribución normal es 1,96.

Considerando que las varianzas en los tres estratos son similares, se trabaja con muestreo estratificado con asignación proporcional. Para calcular el tamaño de la muestra se utiliza la ecuación 6.28 y para repartir la muestra en los estratos se usa la ecuación 6.27