Universidad Privada de Tacna FACULTAD DE INGENIERÍA – Escuela Profesional de Ingeniería de SistemasDERIVADAS IMPLÍCITAS.Dado la ecuación en dos variables F(x, y) = 0, donde y = f(x), en la cual la variable dependiente “y” no está despejado en términos de “x”, entonces la función se llama implícita de “x”.

Para calcular existen procedimientos, los cuales son:

1er. Método: Aplicando en ambos miembros de F(x, y) = 0 el opera-

dor “ ” y usando todas las reglas de derivación para

finalmente despejar y´ =

2do. Método:

Usando derivadas parciales en la fórmula:

Donde: es la derivada parcial de F respecto a X, es

decir, considerar a X como variable y el resto de letras se

consideran como constante; es la derivada parcial

de F respecto a Y, es decir, considerar a Y como variable y el resto de letras se consideran como constante

Ejemplo explicativo:Derivar implícitamente por los dos métodos:

Ejercicios para resolver:1. Calcular y´ para x = 1, si

2. Hallar y´ para x = 0 si:

3. Calcular y´ en:

4. Calcular y´ en:

5. Calcular y´ en:

6. Calcular y´ en:

7. Halla y´ si:

8. Halla y´ si:

9. Halla y´ si:

10. Halla y´ si:

Tareita Académica:

Hallar si:

1.

Rpta.

2.

Rpta.

3.

Rpta.

4.

Rpta.

5.

Rpta.

6.

Rpta.

7.

Rpta.

8.

Rpta.

9.

Rpta.

10.

Rpta.

11.

Rpta.

12.

Rpta.

13.

Rpta.

14.

Rpta.

15.

Rpta.

16.

Rpta.

17.

Docente Responsable: Lic. Javier Alca GómezPág. 36

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Rpta.

ECUACIONES DE LAS RECTAS: TANGENTE Y NORMAL . Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y) = 0 Sea la recta lT que es la tangente a la curva C en el

punto (x0 ,y0). La ecuación de la recta tangente lT es: y – y0 = m(x – x0), donde m = tg pendiente de lT. Pero la pendiente “m” desde el punto de vista del

cálculo diferencial es LA DERIVADA DE Y CON RESPECTO A X EN EL PUNTO (x0 ,y0); es decir:

Entonces la ecuación de la RECTA TANGENTE, será:

Como la recta es perpendicular a la RECTA TANGENTE en el punto (x0,y0), entonces de la RECTA

NORMAL será:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN:1. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y de la

normal a la curva en el punto (2,1).

2. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva: en el punto cuya ordenada es y = 3.

3. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva: en el punto (1,2).

4. Hallar los puntos en que las tangentes a la curva , sean paralelas al eje

de las abscisas.5. ¿En qué punto la tangente a la parábola

es paralela a la recta

?

6. Hallar la ecuación de la parábola ,

que es tangente a la recta en el punto (1,1).

7. ¿En qué punto de la curva la tangente es

perpendicular a la recta ?

8. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal

a la curva , en el punto (2,2).

9. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal de en el origen de coordenadas.

10. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal

de en los puntos de intersección con la

recta .11. Hallar la ecuación de la tangente a la curva

cuya inclinación es de 45º.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS .Dada una función f(x), esta función deberá tener tangentes horizontales y verticales. Para tener una tangente horizontal, se iguala la primera derivada a cero y para tener una tangente vertical esta no debe existir.

Tangentes horizontales :

Tangentes verticales : no existe.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN:1. Hallar el máximo y el mínimo de:

2. Hallar el máximo y el mínimo de:

3. Hallar el máximo y el mínimo de la función:

, en [3,1]

4. Si un número y el cuadrado de otro suman 192. Determinarlos de modo tal que su producto sea máximo. Asumir que ambos son positivos.

5. Un jardín rectangular de 200 m2 de área debe cercarse. Hallar las dimensiones que requieren la menor cantidad de cerco, si uno de los lados del jardín es colindante a una pared.

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P(x0,y0)

NT

C

Y

X

TH

Y

X

TH TH

TV

f(x)

x1 x2 x3 x4

X

Y

Máximo

x

TH : f’(x) = 0

X

Y

Mínimo

x

TH : f’(x) = 0

R

APLICACIONES DE LASDERIVADAS

APLICACIONES DE LASDERIVADAS

Universidad Privada de Tacna FACULTAD DE INGENIERÍA – Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas6. En la siguiente gráfica, hallar las

dimensiones del rectángulo de mayor área que se pueda inscribir en un círculo de radio R.

7. Dos puntos móviles salen de los puntos A(a,0) y B(0,b) con a>0, b>0 y van hacia el origen con velocidades V y V’; ¿en qué momento su distancia es mínima?

8. Se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa disponiendo de 300 cm2 de material. Hallar sus dimensiones para que el volumen sea máximo.

9. En la gráfica, hallar el máximo volumen que puede tener un cilindro recto que se puede inscribir en una esfera de radio m.

10. Se inscribe un triángulo en una circunferencia de radio R, determinar este triángulo para que su superficie sea máxima.

11. Un rectángulo a de tener un área de 64 pies cuadrados. Hallar sus dimensiones, de forma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente sea mínima.

TAREITA ACADÉMICA:HALLAR LA DERIVADA IMPLÍCITA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

1.

2.

3.

4.

5.

DERIVADAS EN UN PUNTO:

6. Si , Hallar Rpta. 67. Si f(x) = tg x, y g(x) = ln(1 – x);

Hallar Rpta. 1

8. Si f(x) = 1 – x, y g(x) = 1 - ;

Hallar Rpta. 0

9. Calcular f´(0), si: f(x) = Rpta. 1

10. Hallar f´(1), si f(x) = ln(1 + x) +

Rpta.

ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA:11. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a

la curva: , en el punto (2,2).12. Hallar la ecuación de la recta tangente y de la

normal a la curva: , en el punto (1,1).

13. Encontrar la ecuación de cada una de las rectas normales a la curva: , que sea paralela

.14. Encontrar la ecuación para cada una de las rectas

que pasan por (16, 3), y que sean tangentes a la

curva .

15. Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva , que sean paralelas a la recta .

PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS:16. Encuentre los valores máximos y mínimos relativos

de .

17. Hallar los máximos y mínimos de la función: .

18. Hallar los valores máximos o mínimos relativos de la función: .

19. La suma de dos números es 16. Si el producto de dichos números es máximo, hallar la suma de los cuadrados de estos números.

20. Un rectángulo a de tener un área de 64 pulgadas cuadradas. Hallar sus dimensiones, de forma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente sea mínima.

Fecha de Entrega: ___________

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