Cálculo y simulación de la densidad de flujo eléctrico de un cable coaxial

Universidad Técnica Particular de Loja

Escuela de Electrónica y Telecomunicaciones

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Resumen— Hemos desarrollado en este trabajo una aplicación muy interesante de los conocimientos que hemos adquirido acerca de la ley de Gauss con respecto a distribuciones de cargas simétricas. Utilizamos un cable coaxial de antena de TV y mediante las ecuaciones aprendidas calculamos la densidad de carga en cada conductor del cable, así como los campos E y D. Índice de Términos— Coaxial, Simétrica, Densidad.

I. INTRODUCCIÓN

a superficie gaussiana para una línea de carga finita y uniforme es un cilindro circular recto de longitud L y radio ρ. El problema de un cable coaxial es muy similar a la de la

línea de carga y es algo complicado de resolver utilizando la ley de Coulomb. Un cable coaxial se caracteriza por poseer dos conductores cilíndricos, uno interior y otro exterior, ambos de longitud infinita. Sobre la superficie exterior del conductor interior hay una distribución de carga. Las consideraciones de simetría permitirán observar que sólo está presente la densidad de flujo, es por eso que de manera más sencilla se emplea la ley de Gauss. II. LEY DE GAUSS [En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga. El flujo neto a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada. Considerando el esquema anexo. El flujo a través de S sólo depende del valor de la carga q1. Similarmente, el flujo a través de la superficie S’ sólo depende de las cargas encerradas, a saber q2 y q3.En

cambio, para la superficie S’’ no hay flujo neto, ya que no encierra carga.

Figura 1. Superficies Gaussianas.

Finalmente, la carga q4, al no estar encerrada por ninguna de las superficies, no contribuye en el cálculo de los flujos totales. La ley de Gauss establece una relación general entre el flujo (total) a través de una superficie cerrada y la carga encerrada por la misma. Lo anterior proporciona una herramienta para el cálculo del campo eléctrico debido a una carga o a una distribución de carga. Sin embargo, que el campo electrostático debido a una distribución continua de carga siempre puede encontrarse usando la ley de Coulomb, aunque el cálculo requerido pueda ser complicado. La ley de Gauss es una afirmación general sobre las propiedades de los campos eléctricos y no esta restringida a los campos electrostáticos, como la ley de Coulomb. Cuando una distribución de carga tiene suficiente simetría, la ley de Gauss puede proporcionar un camino elegante para determinar el campo electrostático en unos pocos pasos simples. La ley de Gauss establece que “el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada encerrando una carga puntual q está dado por q/e0 y es independiente de la forma de dicha superficie”, es decir que puede escribirse como cuatro superficies cerradas (S1 a S4), junto con las

José Manuel Castillo, María Alvarado, Jimmy Elizalde, Estudiantes de la Escuela de Electrónica y Telecomunicaciones.

Cálculo de la Densidad de Flujo y Campo Eléctrico en un Cable Coaxial

L



2

cargas -2Q, Q y -Q se esquematizan en la figura 2. (Las líneas coloreadas representan las intersecciones de las diferentes superficies con el plano del esquema).

Figura 2. Cuatro superficies cerradas gaussianas.

Aplicaciones de la Ley de Gauss Como se mencionó anteriormente, la ley de Gauss es muy útil para calcular el campo eléctrico de una distribución de carga si esta presenta suficiente simetría. Las simetrías más comunes son: • esférica, que corresponde a cargas puntuales

o esféricas. En tal caso, la ley de gauss se escribe como:

. 4

4

• cilíndrica, que corresponde a distribuciones

lineales o cilíndricas (como alambres). En tal caso, la ley de gauss se escribe como:

. 2

2

Para calcular la carga encerrada, en el caso de una distribución continua, se usa: • para una distribución lineal (en una

dimensión):

í

donde l es la densidad lineal de carga. • para una distribución superficial (en dos

dimensiones):

Á

donde s es la densidad superficial de carga. • para una distribución volumétrica (en tres

dimensiones)

donde r es la densidad volumétrica de carga.][1]

III. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO EN UN CABLE COAXIAL [La densidad de flujo eléctrico D es un campo vectorial que pertenece a la clase de campos vectoriales de “densidad de flujo” y distinta de la clase “campos de fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico E. La dirección y magnitud del flujo eléctrico D en la región entre un par de esféricas concéntricas cargadas no son función del dieléctrico colocado entre las esferas. Un condensador cilíndrico esta formado por un conductor cilíndrico de radio "a", densidad de carga uniforme λ y carga Q+ , que es concéntrico con un cascarón cilíndrico más grande de radio "b" y carga Q− también uniformente cargado como se muestra en la figura 3, estando cada conductor a los potenciales eléctricos y respectivamente.

Figura 3. Condensador cilíndrico.

Si se supone que l es grande en comparación con a y b, pueden despreciarse los efectos en los extremos. En este caso el campo es perpendicular al eje de los cilindros y está confinado en la región entre ellas. Primero se calcula la diferencia de potencial entre los dos



3

cilindros aplicando, en donde el campo eléctrico es el de la región . El cilindro circular de longitud L y de radio , donde , debe elegirse necesariamente como la superficie gaussiana, y con rapidez se obtiene:

2 La carga total en una longitud L del conductor interior es:

2

de lo cual se tiene,

Este resultado puede expresarse en términos de carga por unidad de longitud, porque el conductor interior tiene 2 coulombs en cada metro de longitud, y de aquí, con 2 ,

2

y la solución tiene una forma idéntica a la que se obtuvo para una línea de carga infinita. Puesto que cada línea de flujo eléctrico que sale de la carga en el cilindro interior debe terminar en una carga negativa en la superficie interior del cilindro exterior, la carga total en esta superficie debe ser:

2

y se encuentra que la carga superficial del cilindro exterior es:

2 2 o

Tomando en consideración las ecuaciones anteriores podemos determinar la intensidad de campo eléctrico:][2]

2

IV. CARACTERÍSTICAS DE UN CABLE COAXIAL [El cable coaxial consiste de un núcleo sólido de cobre rodeado por un aislante, una combinación de blindaje y alambre de tierra y alguna otra cubierta protectora. En el pasado del cable coaxial tenía rasgos de transmisión superiores (10 Mbs) que el cable par trenzado, pero ahora las técnicas de transmisión para el par trenzado igualan o superan los rasgos de transmisión del cable coaxial.

Figura 4. Partes de un cable coaxial.

Sin embargo, el cable coaxial puede conectar dispositivos a través de distancias más largas que el cable par trenzado. Mientras que el cable coaxial es más común para redes del tipo ETHERNET y ARCENET, el par trenzado y la fibra óptica son más comúnmente utilizados en estos días. Los nuevos estándares para cable estructurado llaman al cable par trenzado capaz de manejar velocidades de transmisión de 100Mbps (10 veces más que el cable coaxial). El cable coaxial no interfiere con señales externas y puede transportar de forma eficiente señales en un gran ancho de banda con menor atenuación que un cable normal. Pero tiene una limitación fundamental: atenúa las altas frecuencias la perdida de frecuencia, expresada en decibelios por unidad de longitud, crece proporcional a la raíz cuadrada de la frecuencia de la señal). Por lo tanto podemos decir que el coaxial tiene una limitación para transportar señales de alta frecuencia en largas distancias ya que a partir de una cierta distancia el ruido superará a la señal. Esto obliga a usar amplificadores, que introducen ruido y aumenta el costo de la red. Se ha venido usando ampliamente desde la aparición de la red Ethernet. Consiste, básicamente, en un hilo de cobre rodeado por un recubrimiento de aislante que a su vez esta recubierta por una malla de alambre. Todo el conjunto está envuelto por un recubrimiento aislante exterior.



4

Se suele suministrar en distintos diámetros, a mayor diámetro mayor capacidad de datos, pero también mayor costo. Los conectores resultan más caros y por tanto la terminación de los cables hace que los costos de instalación sean superiores. El cable coaxial tiene la ventaja de ser muy resistente a interferencias, comparado con el par trenzado, y por lo tanto, permite mayores distancias entre dispositivos. Entre ambos conductores existe un aislamiento de polietileno compacto o espumoso, denominado dieléctrico. Finalmente, y de forma externa, existe una capa aislante compuesta por PVC o Policloruro de Vinilo. El material dieléctrico define la de forma importante la capacidad del cable coaxial en cuanto a velocidad de transmisión por el mismo se refiere. Siempre haciendo referencia a la velocidad de la luz, la figura 2 muestra la velocidad que las señales pueden alcanzar en su interior. Lo interesante del cable coaxial es su amplia difusión en diferentes tipos de redes de transmisión de datos, no solamente en computación, sino también en telefonía y especialmente en televisión por cable. Ventajas: • Son diseñados principalmente para las

comunicaciones de datos, pero pueden acomodar aplicaciones de voz pero no en tiempo real.

• Tiene un bajo costo y es simple de instalar y bifurcar.

• Banda ancha con una capacidad de 10 mb/sg. • Tiene un alcance de 1-10kms.

Desventajas: • Transmite una señal simple en HDX (half

duplex). • No hay modelación de frecuencias. Este es un

medio pasivo donde la energía es provista por las estaciones del usuario.

• Hace uso de contactos especiales para la conexión física.

• Se usa una topología de bus, árbol y raramente es en anillo. Ofrece poca inmunidad a los ruidos, puede mejorarse con filtros.

• El ancho de banda puede trasportar solamente un 40 % de el total de su carga para permanecer estable.][3]

Figura 5. Cable coaxial.

V. CÁLCULOS MATEMATICOS DE UN CABLE COAXIAL DE ANTENA DE TV. El principal objetivo es poder demostrar a través de un ejemplo práctico la aplicación de la densidad de flujo y campo eléctrico. Utilizamos un cable coaxial de una antena de televisión de una longitud de 50 cm, con un radio interior de 1mm y radio exterior de 4mm. El espacio que existe entre ambos conductores es el aire. La carga total en el conductor interior de 30 nC. Vamos a calcular la densidad de carga en cada conductor, y la densidad de flujo y campo eléctrico.

Figura 6. Cable coaxial para antena de TV.

Empezamos por determinar la densidad de carga superficial del cilindro interior:

2 30 10

2 10 0.5 . /

Luego calculamos la densidad de carga negativa en la superficie del cilindro exterior:

2 30 10

2 4 10 0.5 . /

Ahora, los campos internos tanto la densidad de flujo como la intensidad de campo la calculamos así:

10 9.55 10 ./

y



5

9.55 108.854 10 /

Los dos últimos resultados obtenidos se aplican a la región donde 1 4 . En el caso 1 o

4 , E y D son cero. VI. SIMULACIÓN DE CILINDRO COAXIAL EN FEMLAB

Fig. 7 Vista de frente del cilindro

Fig. 8Vista lateral del cilindro

Fig. 9Vista del cilindro interior

Fig. 10 Vista del cilindro interior y exterior

Fig. 11 Densidad de flujo

Fig. 12 Líneas de flujo

VII. APLICACIONES DEL CABLE COAXIAL [Existen diferentes tipos de cables coaxiales que se utilizan en diferentes campos de la industria. A continuación veremos algunos de los más utilizados en la infraestructura común de Telecomunicaciones (ICT).

Un

Es

A

CaApdiscoTeRaTeNora

B

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C

niversidad Técn

cuela de Electr

A. Coaxia

able Coaxiaplicacionesstribución F

olectivas. emperaturaadio de curensión de eormas: UNEdiofrecuenc

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mas: -Espenica: 5.092-ACOM5.100-ACOM

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de interioración: Cabdo. Conexiabonado

mas: Espenica: 11.005][4]

VII

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Figura 15

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II. CONCLU

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nterior de e entrada receptor.

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un cable d de flujo dros. ado de tal para la encerrada iguales y nsador no ca que el



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conductor exterior es un blindaje, y no hay campo dentro del conductor central.

Los cables coaxiales tienen importantes propiedades para la aplicación en las Telecomunicaciones.

REFERENCIAS

[1] http:/Ley de Gauss/Aplicaciones.htm. [2] William H. Hayt, Jr. y John A. Buck. Teoría

Electromagnética. Séptima Edición. Ed. Mexico: MacGra-Hill. 2006, pp. 59-63.

[3] http:/Densidad de flujo eléctrico\Teorema de Poynting en un cable coaxial.mht.

[4] http:/Cable coaxial/Momento angular de los campos electromagnéticos.htm.

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