Calculo.diferencial.en.Una.variable. .Juan.carlos.trujillo

Clculo Diferencial en una Variable

Germn Rojas, Juan Carlos Trujillo, Fabin Barba

Profesores de la Escuela Politcnica Nacional

Editor:

Juan Carlos Trujillo

Facultad de Ciencias - Escuela Politcnica Nacional

Quito - Abril 2009

Tabla decontenidos

1 Lmites 1

1.1 Aproximar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Formulacin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Aproximacin numrica al concepto de lmite . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 La definicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Solucin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 La definicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Dos observaciones a la definicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4 Continuidad de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5 Interpretacin geomtrica de la definicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6 Energa solar para Intipamba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.2 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.3 El problema matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6.4 Solucin del problema matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6.5 Solucin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6.6 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.7 Propiedades de los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.7.2 Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.8 El lmite de una composicin: cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 551.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.9 El teorema del sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.10 Lmites unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.11 Lmites infinitos y al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.11.1 Lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.11.2 Propiedades de los lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.11.3 Lmites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.11.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

ii TABLA DE CONTENIDOS

2 La derivada: su motivacin 93

2.1 La recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.2 Cmo medir el cambio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.2.1 Cunto cuesta producir autos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.2.2 Las variables representan magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2.3 La funcin como modelo de la dependencia entre magnitudes . . . . . 972.2.4 La variaciones absoluta y relativa como medidas del cambio . . . . . . 99

2.3 Razn de cambio, elasticidad y magnitudes marginales . . . . . . . . . . . . . 1012.3.1 Magnitudes marginales en Economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.3.2 Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.4 La descripcin del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.4.1 El concepto de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.4.2 Caso general: movimiento no-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.5 Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3 La derivada: definicin y propiedades 117

3.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.3 Propiedades de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.5 La regla de la cadena o la derivada de la compuesta . . . . . . . . . . . . . . . 1303.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7 Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.9 Derivacin implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.11 Derivada de la funcin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.13 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.15 Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4 La derivada: aplicaciones 145

4.1 Romeo y Julieta: la modelizacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.1.1 Identificacin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.1.2 Elaboracin del modelo matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.2 Extremos globales o absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.3 Extremos locales o relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.4 Monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.6 Teoremas del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.8 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.8.1 Punto intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.8.2 Segmento que une dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.8.3 Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos dados en E2 . . . . . . . 1634.8.4 Funciones convexas y cncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.9 Puntos de inflexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.11 Graficacin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

TABLA DE CONTENIDOS iii

4.13 Problemas de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.15 Regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.15.1 Formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.15.2 Regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.16 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

iv TABLA DE CONTENIDOS

Prefacio

Entre los objetivos de la unificacin de los programas de la asignatura Clculo en una Va-riable en la Escuela Politcnica Nacional, est el de uniformizar sus contenidos y el nivel dela enseanza aprendizaje en todos los paralelos de las carreras de ingeniera y ciencias de laInstitucin.

En una serie de reuniones de los profesores que impartimos dicha asignatura en la Insti-tucin, vimos que para lograr este objetivo es necesario contar con bibliografa comn y, enlo posible, con un texto politcnico de Clculo en una Variable que sea el referente en todoslos paralelos en que se dicte la materia.

El presente trabajo es la primera edicin de la primera parte del texto, que cubre loscontenidos de Clculo Diferencial que constan en el programa vigente. Los autores lo ponemosa consideracin de la comunidad politcnica, en especial de los profesores de Clculo en unaVariable y los alumnos que toman esta asignatura, con la esperanza de que sirva como unprimer borrador de lo que ser en un futuro cercano el texto politcnico que tanta falta noshace. La redaccin de la segunda parte, la de Clculo Integral, est concluida y se halla enrevisin por parte de alumnos y algunos profesores, previa a la publicacin de su primeraedicin.

Creemos necesario aclarar que los ejercicios resueltos y los propuestos han sido tomadoso son modificaciones a los que se encuentran en diversas obras similares, como son los textosde Apostol, Zill, Douchet y Zwahlen, Demidovich y dems textos rusos, Leithold, etc.

Debemos agradecer a las Autoridades de la Institucin y de las unidades acadmicas alas que estamos adscritos, por el apoyo que nos han brindado para la realizacin de nuestrotrabajo.

Quito, marzo 13 de 2009Los Autores

vi TABLA DE CONTENIDOS

Lmites 11.1 Aproximar

Aproximar es la palabra clave de la ciencia y de la tecnologa modernas. En efecto, conscienteo no, el trabajo de todo cientfico ha sido el de elaborar modelos que se aproximan a unarealidad compleja que el cientfico quiere comprender y explicar. Los nmeros son, quizs, laprimera herramienta que cre el ser humano para la elaboracin de dichos modelos.

A pesar de que se han construido conceptos de un alto nivel de abstraccin para la nocinde nmero, la prctica cotidiana se remite casi exclusivamente a la utilizacin de nmerosdecimales. Ms an, se utilizan frecuentemente una o dos cifras decimales a lo ms. Porejemplo, en la representacin de cantidades de dinero, se utilizan hasta dos cifras decimalesque indican los centavos. O, si se requiere dividir un terreno de 15 hectreas entre sieteherederos y en partes iguales, se dividir el terreno en parcelas de aproximadamente 157 dehectrea y, en la prctica, cada parcela tendr unas 2.14 hectreas.

En realidad, todo lo que se hace con cualquier nmero a la hora de realizar clculos esaproximarlo mediante nmeros decimales. Es as que, cuando en los modelos aparecen nmeroscomo ,

2 o 43 , en su lugar se utilizan nmeros decimales.

Veamos esta situacin ms de cerca. Si convenimos en utilizar nmeros decimales consolo dos cifras despus del punto, qu nmero o nmeros decimales deberamos elegir paraaproximar, por ejemplo, el nmero 43? Los siguientes son algunos de los nmeros decimalescon dos cifras despus del punto que pueden ser utilizados para aproximar a 43 :

1.31; 1.32; 1.33; 1.34; 1.35.

Dado que ninguno de ellos es exactamente el nmero 43 , el que elijamos como aproximacindebera ser el menos diferente del nmero 43 . Ahora, la resta entre nmeros es el modo comose establece la diferencia entre dos nmeros. A esta diferencia le vamos a considerar como elerror que se comete al aproximar 43 con un nmero decimal con dos cifras despus del punto.

As, si se utilizara 1.31 como aproximacin, el error cometido se calculara de la siguientemanera:

4

3 1.31 = 4

3 131

100

=400

300 393

300=

7

300.

Es decir, el error que se comete al aproximar 43 con 1.31 es7300 .

2 Lmites

En cambio, si se utilizara 1.32 para aproximar 43 , el error cometido sera:

4

3 1.32 = 4

3 132

100

=400

300 396

300=

4

300.

Vemos que 1.32 es una mejor aproximacin de 43 que 1.31 en el sentido de que el error quese comete al aproximar 43 con 1.32 es de

4300 , que es menor que

7300 , el error que se comete al

aproximar 43 con 1.31.

Veamos qu sucede si aproximamos4

3con 1.33. En este caso, el error cometido sera:

4

3 1.33 = 4

3 133

100

=400

300 399

300=

1

300.

sta tercera aproximacin es mejor que las dos anteriores, porque el error cometido cuandose aproxima 43 con 1.33, que es

1300 , es menor que el error de aproximar

43 con 1.31 o 1.32.

El error cometido al aproximar 43 con 1.34 es:

4

3 1.34 = 4

3 134

100

=400

300 402

300= 2

300.

El signo negativo indica que el nmero utilizado como aproximacin es mayor que el nmeroque se quiere aproximar. Sin embargo, si no nos interesa saber si el nmero que aproximaa 43 es mayor o menor que ste, podemos tomar siempre la diferencia positiva, es decir, ladiferencia entre el nmero mayor y menor, la misma que es igual al valor absoluto de la restade ambos nmeros (sin importar cul es el mayor). En este caso, la diferencia positiva es:43 1.34

= 2300

= 2300 .A este nmero le denominamos error absoluto cometido al aproximar 43 con el nmero 1.34.

Anlogamente, calculemos el error absoluto que se comete al aproximar 43 con 1.35:43 1.35 =

43 135100

=

400300 405300 = 5300 .

Finalmente, si se toma un nmero decimal con dos cifras despus del punto, mayor que1.35 o menor que 1.31 para aproximar 43 , podemos ver que el error absoluto cometido en estaaproximacin ser mayor que cualquiera de las ya obtenidas. Por lo tanto, vemos que 1.33 es,efectivamente, la mejor aproximacin de 43 con un nmero decimal con dos cifras decimalesdespus del punto, porque el error que se comete al hacerlo es menor que el cometido concualquier otro nmero con solo dos cifras despus del punto.

Podemos, entonces, decir que la proximidad entre dos nmeros se mide a travs del valorabsoluto de la diferencia entre ellos. De manera ms precisa: si x e y son dos nmeros reales,entonces la cantidad

|x y|

1.2 La recta tangente a una curva 3

mide la proximidad entre x e y; y, mientras ms pequea sea esta cantidad, consideraremosa los nmeros x e y ms prximos. Al contrario, si esta diferencia es grande, diremos que losnmeros son menos prximos.

En lo que sigue, usaremos como sinnimo de aproximar la palabra acercar y de la palabraprximo, la palabra cerca. As, significar lo mismo la frase x est prximo a y que la frasex est cerca de y.

1.2 La recta tangente a una curva

O

t

P

El dibujar primero y luego el encontrar la ecuacin de la rectatangente a una curva en un punto dado de ella no es, en absoluto,un problema trivial.

Euclides (325 a.C.-265 a.C.) defini la tangente a una circun-ferencia como la recta que tocndola no corta a la circunferencia.Esto significa que la recta tangente tiene con la circunferenciaun nico punto en comn: el punto de tangencia. Con regla ycomps, el gemetra griego construy la lnea recta tangente t auna circunferencia en el punto P de la siguiente manera: trazpor el punto P la recta perpendicular al radio de la circunferencia que tiene por uno de susextremos el punto P . Demostr, adems, que ninguna otra recta se interpondr en el espacioentre la tangente y la circunferencia.

Esta ltima propiedad se convirti, ms adelante, en la definicin de la recta tangente,pues la definicin de Euclides no describe el caso general. En efecto, en las siguientes figurasse muestra dos ejemplos de lo afirmado:

y = x2 y = 2x 1

x = 1

x

y

(1, 1)

(a)

y = x3

x

y

y = 0.75x 0.25x

(b)

En el primero, la parbola con ecuacin y = x2 y la recta con ecuacin x = 1 tienen unnico punto de contacto: el de coordenadas (1, 1); sin embargo, esta recta no es tangente a lacurva en este punto. Es decir, para ser tangente no es suficiente con tener un nico punto encomn con la curva. Por otro lado, puede apreciarse, en la figura, que la propiedad de Euclidesde que ninguna otra recta se interpondr en el espacio entre la tangente y la curva s esverdadera en este caso.

En el segundo ejemplo, se puede observar que la recta tangente a la curva cuya ecuacines y = x3 en el punto (0.5, 1.25) tiene por ecuacin y = 0.75x 0.25 (esto se probar msadelante). Sin embargo, esta recta tiene an otro punto en comn con la curva, sin que porello deje de ser tangente en el punto (0.5, 1.25). Puede apreciarse que la propiedad de Euclideses verdadera pero solo en una regin cercana al punto de tangencia.

En general, la propiedad: entre la curva y la recta tangente, alrededor del punto de

4 Lmites

tangencia, no se interpone ninguna recta pas a ser la definicin de tangente, la misma queya fue utilizada por los gemetras griegos posteriores a Euclides.

Aunque el problema de formular una definicin de tangente adecuada para cualquier casofue resuelto como se indic, los matemticos griegos y los de la edad media no encontraronun mtodo general para obtener esa recta tangente a cualquier curva y en cualquier punto deella. Este problema fue uno de los temas centrales de la matemtica en la modernidad: unode los primeros intentos por resolverlo fue realizado por el francs Pierre Fermat (1601-1665)en 1636. Poco despus, se obtuvo una solucin. Pero sta trajo consigo un nuevo concepto enlas matemticas: el de derivada. Entre los protagonistas de estos descubrimientos estuvieronel matemtico ingls Isaac Newton (1643-1727) y el alemn Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Con el concepto de derivada se encontr un mtodo general para obtener la rectatangente a una curva de una clase amplia de curvas.

Ahora bien, el concepto de derivada descansa sobre otro: el de lmite. En los tiempos deNewton y Leibiniz, este concepto fue tratado de una manera informal, lo que provoc seriascrticas y dudas sobre la validez del mtodo. Tuvieron que transcurrir aproximadamente 150aos para que la comunidad matemtica cuente con el fundamento de la derivada: recin en1823, el matemtico francs Augustin Cauchy (1789-1857) propuso una definicin rigurosade lmite, y sa es la que usamos hasta hoy en da. El tema de este captulo es estudiar,precisamente, esa definicin de lmite como base para el estudio tanto del concepto de derivadacomo del concepto de integral, otro de los grandes descubrimientos de la modernidad.

Pero antes de ello, vamos a presentar una solucin no rigurosa del problema de encontrarla tangente a una curva cualquiera.

1.2.1 Formulacin del problema

Dada una curva general C, como la de la figura (a), y un punto P en ella, se busca la recta ttangente a C en el punto P :

C

P

t

(a)

P

t

Q

Q1

Q2

Q3

(b)

Procedamos de la siguiente manera. Imaginemos que un mvil puntual se mueve a lo largo dela curva C hacia el punto P desde un punto Q, distinto de P . Sean Q1, Q2 y Q3 algunos delos puntos de la curva por los que el mvil pasa. Las rectas que unen cada uno de esos puntosy el punto P son rectas secantes, como se puede observar en la figura (b). El dibujo sugiereque, a medida que el mvil est ms prximo al punto P , la correspondiente recta secanteest ms prxima a la recta tangente t; lo que se espera es que la recta tangente buscada seala recta a la cual se aproximan las rectas secantes obtenidas cuando el mvil se acerque alpunto P . A esa recta la llamaremos recta lmite de las secantes.

Pero, qu significa ser la recta lmite? Para tratar de encontrar un significado, supon-gamos que la curva C est en un plano cartesiano y que su ecuacin es

y = g(x),


donde g es una funcin real. Supongamos tambin que las coordenadas del punto P son(a, g(a)). Entonces, encontrar la recta tangente a la curva C en el punto P significa conocerla ecuacin de dicha recta en el sistema de coordenadas dado.

Ahora, para obtener la ecuacin de una recta es suficiente conocer su pendiente (la tangentedel ngulo que forma la recta con el eje horizontal) y un punto por el que la recta pase. Comola tangente t debe pasar por P , ya tenemos el punto. Busquemos, entonces, la pendiente dela recta t. Cmo? Utilizando las pendientes de las rectas secantes que unen los puntos de lacurva por los que se desplaza el mvil desde Q hacia al punto P , pues, as como creemos quelas rectas secantes alcanzarn la recta t como una posicin lmite, tal vez, las pendientes delas rectas secantes alcancen un valor lmite: la pendiente de la recta tangente. Con esto enmente, calculemos la pendiente de cualquiera de esas rectas secantes.

Sea R cualquier punto de la curva C que indica la posicin del mvil en su trayecto desdeQ hasta P . Aunque el punto R no se mueve (ni ningn otro punto de la curva), diremos queel punto R se mueve hacia P para indicar que es el mvil el que se est moviendo. Esto nospermitir indicar la posicin del mvil a travs de las coordenadas de los puntos de la curva.En este sentido R no indica un nico punto, sino todos los puntos por dnde est pasando elmvil en su camino hacia al punto P .

Sea x la abscisa de R; entonces, sus coordenadas son (x, g(x)):

P

R

x

y

a

g(a)

x

g(x)

S

Sabemos que la pendiente de la recta que pasa por P y R es igual a la tangente del nguloque forma la recta con el eje horizontal; este ngulo mide lo mismo que el ngulo SPR deltringulo rectngulo SPR. Por lo tanto, la tangente de este ngulo es igual al cociente entrela longitud RS (que, en el caso de la curva de la figura, es igual a la diferencia g(x) g(a))y la longitud PS (que, en este caso, es igual a la diferencia x a 6= 0, pues el punto R no esigual al punto P ); es decir, si representamos con mx la tangente del ngulo SPR, podemosafirmar que:

mx =g(x) g(a)

x a . (1.1)La pendiente de cualquier secante que une el punto R, cuyas coordenadas son (x, g(x)) y quese est moviendo hacia P , y el punto P se calcular mediante la frmula (1.1)1.

Ahora, notemos que el mvil ubicado en el punto R se mueve hacia P cuando la abscisa xde R se acerca hacia la abscisa a del punto P . Entonces, el problema de obtener la pendientede la recta tangente a la curva C en el punto P , en el que se concibe a dicha recta tangentecomo la recta lmite de las secantes que pasan por P y R, que se aproxima a P , se sustituyepor el problema de encontrar un nmero al que los cocientes

g(x) g(a)x a

se aproximan cuando el nmero x se aproxima al nmero a. A ese nmero le llamaremos,provisionalmente, lmite de los cocientes.

1La frmula (1.1) es vlida no solamente para curvas crecientes como la de la figura. Su validez serdemostrada cuando se presente una definicin general para la pendiente de la recta tangente a una curva.

6 Lmites

Y cmo se puede hallar este lmite? Como un primer acercamiento a la solucin de estenuevo problema, consideremos un ejemplo. Pero, antes, ampliemos un poco ms el significadode aproximar que se discuti en la primera seccin.

1.2.2 Aproximacin numrica al concepto de lmite

Supongamos que la curva C es una parbola cuya ecuacin es y = 3x2 y el punto P tienecoordenadas (2, 12). Entonces, g(x) = 3x2. Queremos calcular el lmite de los cocientes

mx =g(x) g(2)

x 2 =3x2 12x 2

cuando el nmero x se aproxima al nmero 2, pero x 6= 2. Si encontramos ese nmero lmite,lo usaremos como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (2, 12). Obtendremosluego la ecuacin de la recta tangente.

Para empezar, observemos que, como x 6= 2, entonces:

mx =3x2 12x 2 =

3(x 2)(x+ 2)x 2 .

Por lo tanto:mx = 3(x+ 2),

para x 6= 2.Para ver qu sucede con mx cuando el nmero x se aproxima al nmero 2, construyamos

una tabla con los valores que mx toma para valores de x prximos a 2, unos mayores y otrosmenores que 2:

x mx3 15

2.5 13.52.1 12.32.01 12.032.001 12.0032.0001 12.00032.00001 12.00003

2 No existe1.99999 11.999971.9999 11.99971.999 11.9971.99 11.971.9 11.71.5 10.51 9

La aproximacin de x a 2 por valores mayores que 2significa que el punto R se aproxima al punto P desde laderecha, mientras que la aproximacin de x a 2 por valoresmenores que 2 significa que el punto R se aproxima al puntoP desde la izquierda. En los dos casos, se puede observarque, mientras x est ms cerca de 2, mx est ms cercade 12; es decir, mientras el punto R est ms cerca delpunto P , la pendiente de la recta secante que pasa porP y por R est ms cerca del nmero 12. Esta primeraevidencia nos sugiere y alienta a pensar que la pendientede la recta tangente es igual a 12. Sin embargo, cmopodemos estar seguros? Lo siguiente nos proporciona unaevidencia adicional que nos hace pensar que estamos en locorrecto.

Hemos visto que para todo x 6= 2, se verifica que

mx = 3(x+ 2).

Por otro lado, si evaluamos la expresin de la derecha enx = 2, obtenemos que:

3(x+ 2) = 3(2 + 2) = 12;

que es el valor al que parece aproximarse mx cuando x se aproxima a 2.Todo parece indicar, entonces, que el nmero 12 es el lmite de mx cuando x se aproxima

a 2. Sin embargo, podemos asegurar tal cosa?Para poder responder esta pregunta, antes que nada necesitamos una definicin para el

lmite. sta lleg en el ao 1823 de la mano del matemtico francs Augustin Cauchy. En


la siguiente seccin vamos a estudiarla y, con ella, podremos asegurar que el lmite de mxcuando x se aproxima a 2 es, efectivamente, el nmero 12.

Aceptando como verdadero este resultado por el momento, obtengamos la ecuacin de larecta tangente a la curva de ecuacin y = 3x2 en el punto (2, 12).

Ya sabemos, entonces, que la pendiente de dicha recta es igual a 12. Recordaremos que laecuacin de una recta de pendiente m que pasa por un punto de coordenadas (a, b) es

y b = m(x a).

En este caso m = 12 y (a, b) = (2, 12). Entonces, la ecuacin de la recta tangente a la curvade ecuacin y = 3x2 que pasa por el punto (2, 12) es

y 12 = 12(x 2),

que puede ser escrita de la siguiente manera:

y = 12x 12.

En resumen:

La pendiente de la recta tangente a la curva y = 3x2 en el punto (2, 12) es igual allmite de

mx =3x2 12x 2 = 3(x+ 2),

cuando x, siendo distinto de 2, se aproxima a 2. Este lmite es igual al nmero 12.La ecuacin de la recta tangente es:

y = 12x 12.

Aparte de la definicin de lmite, persiste an otro problema: podemos asegurar que larecta encontrada es la recta tangente? Es decir, cmo podemos estar seguros de que en elespacio entre la recta de ecuacin y = 12x 12 y la curva y = 3x2 no se interpondr ningunaotra recta, alrededor del punto (2, 12)?

Ms adelante, en un captulo posterior, provistos ya con el concepto de lmite dado porAgustin Cauchy, probaremos que el mtodo seguido para la consecucin de la recta tangentees correcto y general.

1.2.3 Ejercicios

1. Sean C una curva cuya ecuacin es y = x3,s un nmero real distinto de 1 y ms la pen-diente de la recta secante a C en los puntos decoordenadas (1, 1) y (s, s3).

(a) Calcule ms.

(b) Elabore una tabla de dos columnas. En laprimera, coloque valores de s cercanos a1; en la segunda, los valores de ms corres-pondientes. Con la ayuda de esta tabla,determine un candidato para el valor dela pendiente de la recta tangente a la cur-va C en el punto de coordenadas (1, 1).

(c) Use el valor de la pendiente hallado en el

literal anterior para escribir la ecuacin dela recta tangente.

(d) Dibuje la curva C, las secantes correspon-dientes para s {1.1, 1.5, 2} y la rectatangente.

2. Para cada una de las funciones definidas a con-tinuacin, elabore una tabla para los valoresf(xi) con xi = a 10i con i {1, 2, . . . , 15}.Tiene f(x) un lmite cuando x se aproxima aa? En otras palabras, existe un nmero al quef(x) parece acercarse cuando x toma valorescercanos al nmero a?

8 Lmites

(a)

f(x) =

{3 + 2x x2 si x < 1,x2 4x+ 7 si x > 1

para a = 1.

(b)

f(x) =

x2 4x+ 5 si x < 1,3 si x = 1,

x+ 3 si x > 1

para a = 1.

(c)

f(x) =3x 15

x2 10x+ 25con a = 5.

(d)

f(x) =sin(3x)

2x

con a = 0.

(e)

f(x) =1

(x 2)2con a = 2.

(f)

f(x) = sin(x

)con a = 0.

Guardan alguna relacin el hecho de que lafuncin est o no definida en a y que parezcatener lmite cuando x se aproxima al nmeroa?

3. El mtodo utilizado en los ejercicios anteriorespara encontrar el lmite de una funcin puedesugerir la no necesidad de elaborar un conceptoadecuado para la definicin del lmite y el co-rrespondiente desarrollo de tcnicas de clculo.Sin embargo, la funcin h definida por

h(x) =3x3 + 8 2

x3

nos alerta sobre el mtodo heurstico de laaproximacin numrica. Intente determinarun nmero al que parece acercarse h(x) cuandox toma valores cercanos al nmero 0 utilizan-do el procedimiento propuesto en el ejercicioanterior.

1.3 La definicin de lmite

Vamos a tratar de precisar lo que queremos decir con el lmite de los cocientes

mx =3x2 12x 2

es 12 cuando x se aproxima a 2.Para empezar, este cociente no est definido en x = 2, pero para todo x 6= 2:

mx = 3(x+ 2).

Existir algn x 6= 2 para el cual mx = 12? Si as fuera, entonces

3(x+ 2) = 12.

De aqu, obtendramos quex = 2.

Pero esto es absurdo, pues x 6= 2. Qu podemos concluir? Que para x 6= 2:

mx 6= 12.

Sin embargo, vimos en la seccin anterior, que para valores de x cercanos a 2, mx tomavalores cercanos a 12, aunque nunca tomar el valor 12. Surge, entonces, la siguiente pregunta:qu tan cerca de 12 puede llegar mx? En otras palabras, podemos encontrar valores de x,cercanos a 2, para los cuales mx no difiera de 12 en alguna cantidad dada; por ejemplo, que nodifiera en ms de 102 (es decir, en ms de 0.01)? Y qu tan cerca debe estar x del nmero2 para que ello ocurra? Para responder esta pregunta, formulemos el problema con mayorprecisin.

1.3 La definicin de lmite 9

En primer lugar, qu queremos decir con que mx no difiera de 12 en ms de 102? Queel error de aproximar 12 con mx, es decir, el valor absoluto de la diferencia entre mx y 12 seamenor que 102. En otras palabras, que se verifique la siguiente desigualdad:

|mx 12| < 102.En segundo lugar, existen valores de x para los que se cumple esta desigualdad? Y si

existen, qu tan cerca de 2 debern estar los x? Ms an, Para responder estas preguntas,primero notemos que podemos medir la cercana de x a 2 mediante el valor absoluto de ladiferencia entre x y 2:

|x 2|.En efecto, mientras ms pequeo sea este valor absoluto, x estar ms cercano a 2; por elcontrario, mientras ms grande sea, x estar ms lejos de 2. Por ello a |x 2| nos referiremostambin como distancia de x a 2.

Notemos tambin que como x es diferente de 2, entonces se debe cumplir la desigualdad:

0 < |x 2|.En todo lo que sigue, supondremos que x 6= 2.

Ahora bien, la pregunta:

qu tan cerca debe x estar del nmero 2 para asegurar que

|mx 12| < 102?

equivale a la siguiente:

a qu distancia debe estar x de 2 para asegurar que

|mx 12| < 102?

A su vez, esta segunda pregunta equivale a esta otra:

a qu cantidad debe ser inferior |x 2| para asegurar que|mx 12| < 102?

Y esta tercera pregunta equivale a la siguiente:

existe un nmero > 0 tal que

si 0 < |x 2| < , entonces |mx 12| < 102?

Responder esta pregunta equivale a resolver el siguiente problema:

Si para todo valor de x 6= 2 se tiene que

mx = 3(x+ 2),

se busca un nmero real > 0 tal que, si las desigualdades

0 < |x 2| < (1.2)

fueran verdaderas, la desigualdad

|mx 12| < 102 (1.3)

tambin sera verdadera.

10 Lmites

1.3.1 Solucin del problema

Este es un problema de bsqueda: debemos encontrar el nmero . Para ello, el mtodo quevamos a aplicar consiste en suponer temporalmente que ya ha sido encontrado; es decir,suponer que si x es un nmero tal que x 6= 2 y que satisface la desigualdad

|x 2| < , (1.4)

entonces, se debe cumplir la desigualdad

|mx 12| = |3(x+ 2) 12| < 102. (1.5)

A partir de esta ltima desigualdad vamos a tratar de encontrar propiedades del nmero ,an desconocido, que nos permitan hallarlo.

Qu camino seguir? Para no hacerlo a ciegas, el trabajo que realicemos con la desigual-dad (1.5), o con una parte de ella, debe llevarnos de alguna manera a ; es decir, debe llevarnosa la desigualdad (1.4) o a una similar. Con esto en mente, empecemos el trabajo con el miem-bro izquierdo de la desigualdad (1.5), en el cual podemos aplicar propiedades conocidas delvalor absoluto de un nmero:

|3(x+ 2) 12| = |3x+ 6 12|= |3x 6|= 3|x 2|.

Es decir,|3(x+ 2) 12| = 3|x 2|. (1.6)

Pero hemos supuesto que|x 2| < .

Entonces:3|x 2| < 3.

Por lo tanto, por la propiedad transitiva de la relacin menor que, vemos que esta ltimadesigualdad y la igualdad (1.6) implican una nueva desigualdad:

|3(x + 2) 12| < 3. (1.7)

En resumen:

bajo el supuesto de que existe el nmero > 0, si x 6= 2 satisficiera la desigualdad

|x 2| < , (1.4)

se debera satisfacer la desigualdad

|3(x+ 2) 12| < 3. (1.7)

En otras palabras,

si 0 < |x 2| < , entonces |3(x+ 2) 12| < 3.

Recordemos que queremos que el nmero que encontremos nos garantice el cumplimientode la desigualdad

|3(x+ 2) 12| < 102. (1.5)


Para lograrlo, comparemos entre s las desigualdades (1.7) y (1.5). Qu podemos observar?Que si el nmero 3 fuera menor o igual que 102, entonces obtendramos:

|3(x+ 2) 12| < 3 102;es decir:

si 3 102, entonces |3(x+ 2) 12| < 102,donde la desigualdad de la derecha es la que queremos obtener. Por lo tanto, como la desigual-dad

3 102es equivalente a la desigualdad

102

3,

podemos asegurar que:

si se elige el nmero > 0 tal que

102

3

y si x 6= 2 satisface la desigualdad

|x 2| < , (1.4)

la desigualdad requerida|3(x+ 2) 12| < 102. (1.5)

es satisfecha. Es decir,

si 0 < 102

3y 0 < |x 2| < , entonces |3(x+ 2) 12| < 102.

Y esto es precisamente lo que queramos hacer.Resumamos el procedimiento seguido para la bsqueda de . Observemos que consiste de

dos etapas:

1. La bsqueda del nmero . En esta etapa se supone encontrado el nmero . Bajo estasuposicin, se encuentra uno o ms valores candidatos para el nmero .

2. La constatacin de que el valor o valores encontrados para satisfacen, efectivamente,las condiciones del problema.

Para nuestro caso, estas etapas se ejemplifican as:

1. Bsqueda: se supone que existe un nmero > 0 tal que para x 6= 2:si |x 2| < , entonces |3(x + 2) 12| < 102.

Trabajando con la expresin |3(x + 2) 12| y bajo las suposiciones de que |x 2| < y x 6= 2, se demuestra que

|3(x+ 2) 12| < 3.Esta ltima desigualdad sugiere que el nmero > 0 debe satisfacer la desigualdad:

3 102,lo que equivale a sugerir que debe cumplir esta otra desigualdad:

102

3. (1.8)

12 Lmites

2. Constatacin: con la eleccin del nmero que satisface la desigualdad (1.8) y bajo lossupuestos de que x 6= 2 y |x 2| < , se verifica el cumplimiento de la desigualdad

|3(x + 2) 12| < 102.

La solucin que acabamos de encontrar al problema planteado nos permite responder lapregunta:

qu tan cerca debe estar x del nmero 2 para asegurar que mx difierade 12 en menos de 102?

La respuesta es:

si x difiere de 2 en menos de102

3, mx difiere de 12 en menos de 10

2.

Podremos encontrar valores de x cercanos a 2 que garanticen que mx difiera de 12 enuna cantidad an ms pequea que 102? Por ejemplo, qu difiera en menos de 106? Larespuesta es afirmativa, pues, si repasamos el modo cmo se resolvi este mismo problemapara el caso en que queramos que mx difiriera de 12 en menos de 102, descubriremos losiguiente:

si x difiere de 2 en menos de106

3, mx difiere de 12 en menos de 10

6.

Si el lector tiene dudas de este resultado, deber leer una vez ms, en las pginas 8-11, elprocedimiento para resolver el problema cuando la diferencia entre mx y 12 difera en menosde 102. Cada vez que encuentre un 102, deber sustituirlo por un 106. Esto lo convencerdel todo.

Y ahora podemos responder a una pregunta ms general:

qu tan cerca debe estar x del nmero 2 para asegurar que mx difierade 12 en menos de ?

donde representa cualquier nmero positivo. Y la respuesta la encontraremos de maneraidntica a cmo hemos respondido las dos preguntas anteriores; esa respuesta ser la siguiente:

si x difiere de 2 en menos de

3, mx difiere de 12 en menos de .

Como este nmero puede ser cualquier nmero positivo, puede ser elegido tan pequeocomo queramos. Y lo que ya sabemos es que, en esa situacin, si x es tal que

|x 2| < 3,

garantizamos que|mx 12| < .

Es decir, aseguraremos para tales x que mx estar tan cerca del nmero 12 como queramos.Es ms, podremos afirmar que se garantiza quemx est tan cerca como se desee del nmero

12, si x est lo suficientemente cerca de 2. En efecto, en este caso, para que la distancia demx a 12 sea menor que , bastar que la distancia de x a 2 sea menor que 3 .

Esto tambin puede ser expresado de la siguiente manera:

12 puede ser aproximado por los cocientes mx con la precisin que sedesee, con la condicin de que x, siendo distinto de 2, est suficiente-mente cerca de 2.


Y, cuando una situacin as ocurre, siguiendo a Cauchy, diremos que

12 es el lmite de mx cuando x se aproxima al nmero 2 y escribiremos:

12 = lmx2

mx.

Al inicio de la seccin, nos habamos propuesto precisar la frase el lmite de los cocientesmx es 12 cuando x se aproxima a 2. De lo mostrado anteriormente, vemos que esta frase debeser cambiada por la siguiente: 12 es aproximado por los cocientes mx con la precisin que sedesee, con tal que x, siendo distinto de 2, est lo suficientemente cerca de 2. Y ahora estafrase tiene pleno sentido.

El proceso seguido para afirmar que 12 es el lmite demx puede ser resumido de la siguientemanera:

dado cualquier nmero > 0, encontramos un nmero > 0, que en nuestro casofue 3 , tal que 12 puede ser aproximado por mx con un error de aproximacin menorque , siempre que x, siendo distinto de 2, se aproxime a 2 a una distancia menorque .

Y este texto puede ser expresado simblicamente mediante desigualdades de la siguiente ma-nera:

dado cualquier nmero > 0, encontramos un nmero > 0 tal que

|mx 12| < ,

siempre que0 < |x 2| < .

Y toda esta afirmacin se expresa de manera simple por:

12 = lmx2

mx.

A partir de este ejemplo vamos a formular una definicin general de lmite de una funcinreal.

1.3.2 La definicin de lmite

Sean:

1. a y L dos nmeros reales,

2. I un intervalo abierto que contiene el nmero a, y

3. f una funcin real definida en I, salvo, tal vez, en a; es decir, I Dm(f) {a}.El nmero a generaliza a 2, L a 12, I a (,+) y f(x) a mx.

Lo que vamos a definir es:

L es el lmite de f(x) cuando x se aproxima a a.

Igual que en el ejemplo, esta frase se deber entender como:

L puede ser aproximado por los valores de f(x) con la precisin que sedesee, con la condicin de que x, siendo distinto de a, sea lo suficiente-mente cercano a a.

14 Lmites

O, de forma equivalente, se entender como:

L es el lmite de f(x) cuando x se aproxima a a, lo que se representarpor:

L = lmxa

f(x),

si para cualquier nmero > 0, existe un nmero > 0 tal que L puedeser aproximado por f(x) con un error de aproximacin menor que ,siempre que x, siendo distinto de a, se aproxime a a a una distanciamenor que .

Finalmente, todo lo anterior nos lleva a la siguiente definicin:

Definicin 1.1 (Lmite de una funcin)Sean:

1. a y L dos nmeros reales,

2. I un intervalo abierto que contiene el nmero a, y

3. f una funcin real definida en I, salvo, tal vez, en a; es decir, I Dm(f) {a}.

Entonces:L = lm

xaf(x)

si y solo si para todo > 0, existe un > 0 tal que

|f(x) L| < ,

siempre que0 < |x a| < .

Veamos algunos ejemplos para familiarizarnos con esta definicin.

Ejemplo 1.1

Probemos que9 = lm

x3x2.

Es decir, probemos que 9 puede ser aproximado por valores de x2 siempre y cuando elijamosvalores de x lo suficientemente cercanos a 3.

Solucin. Para ello, de la definicin de lmite, sabemos que, dado cualquier > 0, debemos hallar un > 0 tal que

|x2 9| < (1.9)siempre que x 6= 3 y

|x+ 3| < . (1.10)


Bsqueda de : Empecemos investigando el miembro izquierdo de la desigualdad (1.9), que mideel error de aproximar 9 con x2. Podemos expresarlo as:

|x2 9| = |(x 3)(x+ 3)| = |x 3||x+ 3|.

Entonces, debemos encontrar los x 6= 3, pero cercanos a 3, para los que se verifique la desigualdad:

|x 3||x+ 3| < , (1.11)

que es equivalente a la desigualdad (1.9). Es decir, debemos encontrar los x 6= 3, pero cercanos a3, que hacen que el producto

|x 3||x+ 3| (1.12)est tan cerca de 0 como se quiera.

Ahora bien, como x est cerca a 3, el factor |x + 3| estar cerca de 0. Por lo tanto, para queel producto (1.12) est tan cerca de 0 como se quiera, ser suficiente con que el otro factor, |x 3|,no supere un cierto lmite; es decir, est acotado por arriba. Veamos si se es el caso. Para ello,investiguemos el factor |x 3|.

Como x debe estar cerca a 3, consideremos solamente valores de x que estn en un intervalo quecontenga al nmero 3. Por ejemplo, tomemos valores de x distintos de 3 y tales que estn en elintervalo con centro en 3 y radio 1, como el que se muestra en la siguiente figura:

01234

Esto significa que x debe cumplir las siguientes desigualdades:

4 < x < 2,

que son equivalentes a estas otras: 1 < x+ 3 < 1, (1.13)

las que, a su vez, son equivalentes a la siguiente:

|x+ 3| < 1. (1.14)

Bajo la suposicin del cumplimiento de estas desigualdades, veamos si el factor |x3| est acotadopor arriba. Para ello, construyamos el factor |x 3| a partir de las desigualdades (1.13).

En primer lugar, para obtener la diferencia x 3, podemos sumar el nmero 6 a los miembrosde estas desigualdades. Obtendremos lo siguiente:

7 < x 3 < 5. (1.15)

Pero esto significa que, para x 6= 3 tal que

|x+ 3| < 1, (1.14)

la diferenciax 3

es negativa, y, por lo tanto:|x 3| = (x 3);

es decir:x 3 = |x 3|,

con lo cual podemos reescribir las desigualdades (1.15) de la siguiente manera:

7 < |x 3| < 5,

que son equivalentes a las siguientes:7 > |x 3| > 5.

16 Lmites

Hemos probado que, si x 6= 3 es tal que |x+ 3| < 1, se verifica que el factor |x 3| est acotadosuperiormente por el nmero 7:

|x 3| < 7.Con este resultado, volvamos al producto (1.12). Ya podemos afirmar que, si x 6= 3 y |x+3| < 1,

se debe verificar lo siguiente:

|x2 9| = |x 3||x+ 3| < 7|x+ 3|,es decir:

|x2 9| < 7|x+3|, (1.16)siempre que

x 6= 3 y |x+ 3| < 1.

Ahora, si elegimos los x 6= 3 tales que |x+ 3| < 1 y7|x+ 3| < , (1.17)

por la desigualdad (1.16), obtendramos la desigualdad (1.9):

|x2 9| < ,es decir, haramos que el error que se comete al aproximar 9 por x2 sea menor que .

Pero elegir x de modo que se cumpla la desigualdad (1.17) equivale a elegir a x de modo que secumpla la desigualdad:

|x+ 3| < 7. (1.18)

Por lo tanto: la desigualdad|x2 9| < (1.9)

ser satisfecha si se eligen los x 6= 3 tales que se verifiquen, simultneamente, las de-sigualdades:

|x+ 3| < 1 y |x+ 3| < 7.

Esto quiere decir que para el > 0 buscado, la desigualdad |x + 3| < deber garantizar elcumplimiento de estas dos desigualdades. Cmo elegir ? Pues, como el ms pequeo entre los nmeros1 y 7 :

= mn{1,

7

}.

Al hacerlo, garantizamos que

1 y 7,

de donde, si x 6= 3 tal que|x+ 3| < ,

entonces|x+ 3| < 1 y |x+ 3| <

7,

con lo cual garantizamos que se verifique la desigualadad (1.9):

|x2 9| < . (1.9)En resumen:

dado > 0, podemos garantizar que

|x2 9| < ,

siempre que elijamos x 6= 3 tal que

|x+ 3| < mn{1,

7

}.

En otras palabras, el nmero 9 puede ser aproximado tanto como se quiera por x2 siempreque x est lo suficientemente cerca de 3. Esto demuestra que 9 = lmx3 x2.


Antes de estudiar otro ejemplo, tratemos de obtener un procedimiento para demostrar queun nmero L es el lmite f(x) cuando x se aproxima al nmero a, a partir del que acabamosde utilizar para encontrar el dado el .

Si leemos la demostracin realizada una vez ms, podemos resumir, en los siguientes pasos,el procedimiento seguido:

1. El valor absoluto de la diferencia entre x2 y el lmite 9 se expres como el producto dedos factores en valor absoluto:

|x2 9| = |x 3||x+ 3|.

Uno de los factores es el valor absoluto de la diferencia entre x y el nmero 3, que esel nmero a dnde se aproxima x.

2. Como |x+ 3| debe ser menor que el nmero , para que la cantidad

|x2 9|

sea tan pequea como se desee (es decir, menor que ), se busca una cota superior parael segundo factor |x 3|. En este ejemplo, se encontr que:

|x 3| < 7,

bajo el supuesto de que |x + 3| < 1. Esta ltima suposicin es realizada porque los xdeben estar cerca de 3, por lo que se decide trabajar con valores de x que estn en unintervalo con centro en el nmero 3. En este caso, un intervalo de radio 1.

3. El resultado anterior sirve de prueba de la afirmacin:

|x2 9| < 7|x+ 3|,

siempre que 0 < |x+ 3| < y |x+ 3| < 1.4. Para obtener |x2 9| < siempre que 0 < |x+ 3| < , el resultado precedente nos dice

cmo elegir el nmero :

= mn{1,

7

}.

La eleccin de este muestra que:

|x2 9| = |x 3||x+ 3|< 7|x+ 3|, pues |x+ 3| < 1,< 7, pues |x+ 3| < , 7

7= , pues

7.

Por lo tanto:|x2 9| < ,

siempre que

0 < |x+ 3| < = mn{1,

7

}.

Generalicemos este procedimiento para probar que

L = lmxa

f(x).

18 Lmites

1. Hay que tratar de expresar el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y el lmite Lpara x 6= a de la siguiente manera:

|f(x) L| = |g(x)||x a|.

2. Se busca una cota superior para el factor |g(x)|. Supongamos que esta cota superior seael nmero M > 0. Entonces, debe cumplirse la siguiente desigualdad:

|g(x)| < M.

Probablemente, para encontrar este valor M haya que suponer adicionalmente que

0 < |x a| < 1,

con cierto 1 > 0. Esta suposicin puede ser el resultado de trabajar con valores cercanosal nmero a, para lo cual se decide trabajar con valores de x en un intervalo con centroen el nmero a.

3. El resultado anterior sirve de prueba de la afirmacin:

|f(x) L| < M |x a| < ,

siempre que 0 < |x a| < M

y |x a| < 1.4. El resultado precedente nos dice cmo elegir el nmero :

= mn{1,

M

}.

La eleccin de este muestra que:

|f(x) L| = |g(x)||x a|< M |x a|, pues |g(x)| < M debido a que |x a| < 1,< M, pues |x a| < ,M

M= , pues

M.

Por lo tanto:|f(x) L| < ,

siempre que

0 < |x a| < = mn{1,

M

}.

Apliquemos este procedimiento en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2

Demostremos que

2 = lmx3

5x 3x+ 3

.

Es decir, probemos que el nmero 2 puede ser aproximado por valores de

5x 3x+ 3

siempre que x 6= 3 est lo suficientemente cerca de 3.


Solucin. Dado > 0, debemos encontrar un nmero > 0 tal que5x 3x+ 3 2 < (1.19)

siempre que x 6= 3 y|x 3| < . (1.20)

Vamos a aplicar el procedimiento descrito. Lo primero que tenemos que hacer es expresar el valorabsoluto de la diferencia entre 5x3

x+3 y 2 para x 6= 2, de la siguiente manera:5x 3x+ 3 2 = |g(x)||x 3|. (1.21)

Para ello, trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad (1.19). ste puede ser simplificadode la siguiente manera: 5x 3x+ 3 2

=5x 3 2(x+ 3)x+ 3

=

3x 9x+ 3 = 3

x 3x+ 3

= 3|x 3||x+ 3| .

Es decir: 5x 3x+ 3 2 = 3|x+ 3| |x 3|. (1.22)

Entonces, si definimos:

g(x) =3

x+ 3,

ya tenemos la forma (1.21).Lo segundo que hay que hacer es encontrar una cota superior para g(x). Es decir, debemos hallar

un nmero positivo M y, posiblemente, un nmero positivo 1 > 0 tales que:

3

|x+ 3| < M, (1.23)

siempre que0 < |x 3| < 1.

Para ello, como los x deben tomar valores cercanos al nmero 3, consideremos valores para x queestn en el intervalo con centro en 3 y radio 1:

0 1 2 3 4

Esto significa que x debe satisfacer las siguientes igualdades:

2 < x < 4, (1.24)

que son equivalentes a estas otras:1 < x 3 < 1,

que, a su vez, son equivalentes a la siguiente desigualdad:

|x 3| < 1. (1.25)

Lo que vamos a hacer a continuacin es encontrar M reconstruyendo g(x) a partir de las desigual-dades (1.24). Para ello, sumemos el nmero 3 a los miembros de estas desigualdades. Obtendremos losiguiente:

5 < x+ 3 < 7. (1.26)

20 Lmites

Esto significa que x+ 3 > 0. Por lo tanto:

x+ 3 = |x+ 3|,

con lo que las desigualdades (1.26) se pueden reescribir as:

5 < |x+ 3| < 7. (1.27)Adems, como |x+ 3| > 0, existe el cociente

1

|x+ 3| ,

y las desigualdades (1.27) son equivalentes a las siguientes:

1

5>

1

|x+ 3| >1

7.

Ahora, si multiplicamos por 3 cada miembro de estas desigualdades, obtenemos que:

3

5>

3

|x+ 3| >3

7.

Es decir:

|g(x)| = 3|x+ 3| 0.Para empezar, encontremos g(x) tal que, para x 6= a y x > 0,

|xa| = |g(x)||x a|. (1.29)

Para obtener el factor |x a| a partir de la diferencia

|xa|,

utilicemos el factor conjugado de esta diferencia; es decir, el nmero:

x+

a.

Como ste es estrictamente mayor que 0, podemos proceder de la siguiente manera:

|xa| = |xa| |x+

a|

|x+a|=|(x)2 (a)2||x+a|

=|x a|x+

a.

Por lo tanto:

|xa| = 1x+

a|x a|. (1.30)

Si definimos

g(x) =1

x+a,

22 Lmites

ya tenemos la igualdad (1.29).Ahora debemos acotar superiormente g(x). Esto no es muy difcil, ya que, como

a > 0 y

x > 0,

entonces x+

a >

a,

de donde se obtiene que, para todo x > 0, se verifica la desigualdad

1x+

a 0.Ya tenemos M :

M =1a.

Entonces:

|xa| < 1a|x a|,

para todo x > 0. Por ello, si para un > 0, se tuviera que

|x a| < ,entonces se cumplira que:

|xa| < 1a|x a| <

a.

De esta desigualdad se ve que podemos elegir de la siguiente manera:

a= .

Es decir: =

a.

En efecto:

|xa| = 1x+

a|x a|

0. Debemos hallar > 0 tal que

|f(x) 2| < (1.32)siempre que x 6= 1 y |x 1| < .

Utilicemos el mtodo descrito en esta seccin para encontrar dado . Lo primero que tenemosque hacer es encontrar una funcin g para expresar el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 2,para x 6= 1, de la siguiente manera:

|f(x) 2| = |g(x)||x 1|. (1.33)Para ello, debemos trabajar con el lado izquierdo de la desigualdad (1.32). Pero, como f est definidapor dos frmulas una para valores menores que 1 y otra para valores mayores que 1, vamos adividir el anlisis en dos casos: cuando x < 1 y cuando x > 1.

Antes de estudiar cada caso, como el lmite que nos interesa es cuando x tiende a 1, nos interesannicamente valores cercanos a 1. Por ello, en todo lo que sigue, suponemos que x toma valores en elintervalo de centro 1 y radio 1; es decir, suponemos que x satisface la desigualdad |x 1| < 1, que esequivalente a 0 < x < 2.

Por lo tanto, los dos casos a analizar son: 0 < x < 1 y 1 < x < 2.

Caso 1: 0 < x < 1. Analicemos el lado izquierdo de la desigualdad (1.32). Recordemos que parax < 1 se tiene que f(x) = x2 + 1. Por lo tanto:

|f(x) 2| = |(x2 + 1) 2| = |(x2 + 1) 2|= |x2 1| = |x+ 1||x 1|.

Como x > 0, entonces x+ 1 > 0, de donde

|f(x) 2| = (x+ 1)|x 1|.Entonces, si definimos g(x) = x+ 1, ya tenemos la forma (1.33).Lo que ahora debemos hacer es encontrar una cota superior para g(x). En este caso, esto es sencillo,

pues, como x < 1, entonces g(x) = x+ 1 < 2. Por lo tanto, tenemos que

|f(x) 2| = g(x)|x 1| < 2|x 1|.En resumen, si 0 < x < 1, entonces

|f(x) 2| < 2|x 1|. (1.34)Ahora bien, si el miembro de la derecha de la expresin anterior fuera menor que , el de la

izquierda tambin lo sera; es decir, se verifica la siguiente implicacin lgica:

2|x 1| < |f(x) 2| < 2|x 1| < ,la misma que puede ser expresada de la siguiente manera:

|x 1| < 2

|f(x) 2| < .


Vemos, entonces, que, si 0 < x < 1, un buen candidato para es 2 .Sin embargo, recordemos que supusimos que tambin se verifica la condicin |x 1| < 1. Por lo

tanto, el nmero 1 tambin es un candidato para . Cul de los dos debemos elegir? El ms pequeo.As, para este primer caso, la eleccin para es la siguiente:

= mn{1,

2

}. (1.35)

Caso 2: 1 < x < 2. Puesto que, para estos valores de x, se tiene que f(x) = 2x2 + 8x 4, ellado izquierdo de la desigualdad (1.32) puede ser expresado de la siguiente manera:

|f(x) 2| = | 2x2 + 8x 4 2|= |2x2 8x+ 6|= 2|x2 4x+ 3| = 2|x 3||x 1|.

Si definimos g(x) = 2|x 3|, tenemos que:|f(x) 2| < g(x)|x 1|.

Ahora encontremos una cota superior para g(x). Para ello, recordemos que 1 < x < 2. De estasdesigualdades, tenemos que:

1 3 < x 3 < 2 3.Es decir, se verifica que

2 < x 3 < 1 < 2.Por lo tanto:

|x 3| < 2 y g(x) = 2|x 3| < 4.Entonces, para x tal que 1 < x < 2, se verifica la desigualdad:

|f(x) 2| < 4|x 1|.De esta desigualdad tenemos la siguiente implicacin:

4|x 1| < |f(x) 2| < 4|x 1| < ,la misma que puede ser expresada de la siguiente manera:

|x 1| < 4

|f(x) 2| < .

Con un razonamiento similar al caso anterior, la eleccin de es la siguiente:

= mn{1,

4

}. (1.36)

Conclusin. De los dos casos estudiados, podemos concluir que, si 0 < x < 2, el buscado debeser elegido de la siguiente manera:

= mn{1,

2,

4

}.

Pero, como

4 0. Debemos encontrar un nmero > 0 tal que se verifique la igualdad

|f(x) 3| < , (1.37)siempre que

0 < |x 1| < .Para hallar el nmero , ya sabemos qu hacer. En primer lugar, tenemos que:

|f(x) 3| = |(2x+ 1) 3|= |2x 2|= 2|x 1|.

Es decir, se verifica que:|f(x) 3| < 2|x 1|.

Por lo tanto, si existiera el nmero , debera satisfacerse la desigualdad:

|f(x) 3| < 2|x 1| < 2.De esta ltima desigualdad, se ve que, para que se verifique la desigualdad (1.37), basta elegirel nmero tal que

2 = ,

es decir, tal que

=

2.

En efecto: si x es tal que0 < |x 1| < =

2,

entonces:

|f(x) 3| = 2|x 1|< 2

= 2

2= .


2. Sea g : R R la funcin definida por

g(x) =

{2x+ 1 si x 6= 1,1 si x = 1.

Entonces:g(x) = f(x)

para todo x 6= 1. Es decir, g y f son casi la misma funcin, excepto por el valor que cada unade ellas toma en el nmero x = 1, pues

g(1) = 1 y f(1) = 3.

Sin embargo:3 = lm

x1g(x).

En efecto: sea > 0. Debemos hallar un nmero > 0 tal que

|g(x) 3| < , (1.38)siempre que

0 < |x 1| < .Ahora bien, encontrado el nmero , lo que tenemos que probar es que si

0 < |x 1| < ,se verifica la desigualdad (1.38). Es decir, debemos probar que para x 6= 1, pues |x 1| > 0,tal que |x 1| < , se verifica la desigualdad (1.38). Pero, recordemos que

g(x) = f(x)

para todo x 6= 1. Entonces, para estos x, la desigualdad (1.38) se transforma en la desigualdad:|f(x) 3| < . (1.37)

Y ya probamos, en el ejemplo anterior, que esta desigualdad se cumple siempre que

0 < |x 1| < = 2.

De manera que para todo x que cumpla con estas dos desigualdades se cumple la desigual-dad (1.38). Y esto significa que el nmero 3 es el lmite de g(x) cuando x se aproxima alnmero 1.

3. Sea h : R {1} R la funcin definida por

h(x) =2x2 x 1

x 1 .En este caso, h no est definida en 1 por lo que es distinta tanto de f como de g. Sin embargo,para todo x 6= 1, se verifican las igualdades:

h(x) =2x2 x 1

x 1 =(2x+ 1)(x 1)

x 1 = 2x+ 1 = g(x) = f(x).De manera anloga al caso de g, podemos demostrar que

3 = lmx1

h(x).

En estos tres ejemplos podemos ver que, en lo que se refiere al lmite de una funcin enun punto a, no importa el valor que pueda tomar la funcin en el punto a; incluso, la funcinpuede no estar definida en este punto. Lo que importa realmente es el comportamiento de lafuncin alrededor del punto a. Las grficas de las funciones f , g y h, que estn a continuacin,ilustran esta ltima afirmacin:

28 Lmites

x

f(x)

1

3

f : R Rx 7 f(x) = 2x+ 1

lmx1

f(x) = 3 = f(1)

x

g(x)

1

3

1

g : R Rx 7 g(x) =

{2x+ 1 si x 6= 11 si x = 1

lmx1

g(x) = 3 6= g(1)

x

h(x)

1

3

h : R {1} Rx 7 h(x) = 2x+ 1

lmx1

f(x) = 3

h(1) no existe

Podemos sistematizar la situacin que se ilustra en estos ejemplos, al mostrar que si dosfunciones solo difieren en un punto de su dominio, o bien las dos tienen lmite en dicho punto,y es el mismo lmite, o bien ninguna tiene lmite. De manera ms precisa, se tiene el siguienteteorema.

Teorema 1.1Sean I y J dos intervalos abiertos y f : I R y g : J R tales que a I J y:

1. f(x) = g(x) para todo x I J y x 6= a; y2. existe L tal que:

L = lmxa

g(x).

Entonces f tambin tiene lmite en a y:

L = lmxa

f(x).

Este es el caso de las funciones f , g y h. Se diferencian nicamente en a = 1. Como ellmite de f existe y es igual a 3, entonces los lmites de g y h existen tambin y son iguales a3.

Este teorema se utiliza de la siguiente manera. Supongamos que queremos calcular

lmxa

f(x).


Se busca una funcin g cuyo lmite en a se conozca y tal que

g(x) = f(x)

para todo x en la interseccin de los dominios de f y g y que sea diferente de a. Entonces, loque podemos afirmar es que

lmxa

f(x) = lmxa

g(x).

Ejemplo 1.5

Supongamos conocido quelmx1

(x + 2) = 3.

Calcular

lmxq

x2 + x 2x 1 .

Solucin. Sea f : R 1 R tal que

f(x) =x2 + x 2x 1 .

Debemos hallar una funcin g que sea igual a f , excepto en 1, y cuyo lmite conozcamos.Esto se puede hacer, pues

f(x) =x2 + x 2x 1 =

(x 1)(x+ 2)x 1 = x+ 2,

para todo x 6= 1. Por lo tanto, si se define

g(x) = x+ 2,

sabemos que:

1. f(x) = g(x) para todo x 6= 1; y2. lmx1 g(x) = 3.

Por lo tanto, el teorema (1.1), podemos afirmar que:

lmx1

x2 + x 2x 1 = lm=3 g(x).

Para terminar esta seccin, presentamos el siguiente teorema, que es una consecuenciainmediata de la definicin de lmite, que es muy til en diferentes aplicaciones del conceptode lmite.

Teorema 1.2Sea f : Dm(f) R. Entonces:

L = lmxa

f(x) 0 = lmxa

(f(x) L) 0 = lmxa

|f(x) L|.

La demostracin es un buen ejercicio para trabajar la definicin de lmite por lo que sesugiere al lector la haga por s mismo.

30 Lmites

Un uso tpico de este teorema es el siguiente. Queremos demostrar que

3 = lmx0

x+ 3

x+ 1.

En lugar de ello, probaremos que

0 = lmx0

x+ 3

x+ 1 3.

Pero, comox+ 3

x+ 1 3 = 2x

x+ 1,

lo que hay que probar es

0 = lmx0

2 xx+ 1

.

Y, como 2 xx+ 1 = 2

xx+ 1 ,

una alternativa es probar que

0 = 2 lmx0

x

x+ 1.

En sentido estricto, no hay mayor diferencia en la manera cmo se demuestra cualquierade estas igualdades, salvo, en ciertas ocasiones, en las que algunas operaciones algebraicassuelen simplificarse. El lector debera realizar cada una de estas prueba para que compare ydetermine cules podran ser esas simplificaciones.

1.3.4 Ejercicios

1. Demuestre, usando la definicin de lmite, que:

(a) lmx3

(8x 15) = 9(b) lm

x2(5x+ 14) = 4

(c) lmx2

2x2 8x+ 2

= 8

(d) lmx1

2x2 + x 3x2 3x+ 2 = 5

(e) lmx1

(x2 + x+ 1) = 3

(f) lmx 1

3

(9x2 + 3x+ 1) = 1

2. Use el teorema 1.1 para hallar los siguienteslmites:

(a) lmx1

2x2 + x 3x2 3x+ 2

(b) lmx9

x 3x 9

(c) lmx1

x2 + 5x+ 4

x2 1(d) lm

x8x 83x 2

1.4 Continuidad de una funcin

Las tres funciones utilizadas en la seccin precedente tienen lmite en el nmero 1. La primeray la segunda tambin estn definidas en 1; es decir, 1 est en el dominio de f y g. Sin embargo,en el caso de la primera, como f(1) = 3, el valor de f en 1 es igual al lmite; en el caso de lasegunda, como g(1) = 1 6= 3, esto no ocurre. Para la tercera funcin, el nmero 1 no est enel dominio de h.

Los dibujos de estas tres funciones muestran que en el grfico de las funciones g y h hayun salto al cruzar la recta vertical de ecuacin x = 1 (en la jerga matemtica, se suele decirque hay un salto al pasar por 1). Si dibujramos los grficos de estas funciones, trazndolode izquierda a derecha, en el caso de la segunda y de la tercera, deberamos interrumpir

1.4 Continuidad de una funcin 31

o discontinuar el trazo. Para f eso no ocurrir. Por esa razn, la funcin f va a ser unafuncin continua, mientras que las otras dos no.

Lo que diferencia a f de g y h es el hecho de que, a ms de existir el lmite en 1, la funcinest definida all y su valor es igual al lmite. sta es la definicin de continuidad:

Definicin 1.2 (Funcin continua)defi Una funcin f : Dm(f) R, donde I Dm(f) es un intervalo abierto, es continua en asi y solo si:

1. a I;

2. existe lmxa f(x); y

3. f(a) = lmxa f(x).

Una funcin es continua en el intervalo abierto I si es continua en todos y cada uno de loselementos de I.

La continuidad de una funcin es un tema central en el estudio del Clculo. A lo largo deeste libro, conoceremos diversas propiedades de las funciones continuas. Por ahora, veamosque la definicin de lmite ofrece una definicin equivalente de continuidad:

Teorema 1.3 (Funcin continua)Sea f : Dm(f) R, donde I Dm(f) es un intervalo abierto. Sea a I. Entonces, f escontinua en a si y solo si para todo > 0 existe un nmero > 0 tal que

|f(x) f(a)| < 0,

siempre que |x a| < y x I.

Observemos que no hace falta excluir el caso x = a, como se hace en la definicin de lmite,porque, al ser f continua en a, si x = a, se verifica que:

|f(x) f(a)| = |f(a) f(a)| = 0 < .

Veamos un par de ejemplos sencillos de funciones continuas.

Ejemplo 1.6

La funcin constante es continua en su dominio.

Solucin. Sean c R y f : R R tal que

f(x) = c

para todo x R. Probemos que la funcin f es continua en todo a R.Para ello, sea a R. Puesto que a Dm(f), solo nos falta verificar que:1. existe lm

xaf(x); y que

2. f(a) = c = lmxa

f(x).

32 Lmites

Probaremos la segunda condicin nicamente, ya que con ello es suficiente para probar la primera.Sea > 0. Debemos encontrar un nmero > 0 tal que

|f(x) c| < (1.39)siempre que

|x a| < .Ahora bien, puesto que

|f(x) c| = |c c| = 0 < para todo x R, la desigualdad (1.39) ser verdadera cualquiera que sea el > 0 elegido. Es decir, elnmero c es el lmite de f(x) cuando x se aproxima al nmero a.

Por lo tanto, este lmite existe, lo que prueba que la funcin constante es continua en a y, como aes cualquier elemento del dominio de f , la funcin es continua en su dominio.

Este ejemplo nos muestra, adems, la veracidad de la siguiente igualdad:

c = lmxa

c. (1.40)

Esta igualdad suele enunciarse de la siguiente manera:

el lmite de una constante es igual a la constante.

Ejemplo 1.7

La funcin identidad es continua en todo su dominio

Solucin. Sea f : R R tal quef(x) = x

para todo x R. Probemos que la funcin f es continua en todo a R.Para ello, sea a R. Puesto que a Dm(f), solo nos falta verificar que:1. existe lm

xa f(x); y que

2. f(a) = a = lmxa

f(x).

Probaremos la segunda condicin nicamente, ya que con ello es suficiente para probar la primera.Sea > 0. Debemos encontrar un nmero > 0 tal que

|f(x) a| < (1.41)siempre que

|x a| < .Como

|f(x) a| = |x a|,es obvio que el nmero buscado es igual a . Si lo elegimos as, habremos probado que a es el lmitede f(x) cuando x se aproxima al nmero a. Por lo tanto, ste lmite existe, lo que prueba que lafuncin identidad es continua en a, de donde, es continua en su dominio.

Este ejemplo nos demuestra que la siguiente igualdad es verdadera:

a = lmxa

x. (1.42)

Esta igualdad se enuncia de la siguiente manera:

el lmite de x es igual al nmero a cuando x se aproxima al nmero a.

En una seccin posterior, desarrollaremos algunos procedimientos para el clculo de lmiteslo que, a su vez, nos permitir estudiar la continuidad de una funcin.

1.5 Interpretacin geomtrica de la definicin de lmite 33

1.5 Interpretacin geomtrica de la definicin de lmite

Como hemos podido ver, encontrar el nmero dado el nmero no siempre es una tareafcil. Los ejemplos que hemos trabajado son sencillos relativamente. En general, demostrarque un cierto nmero es el lmite de una funcin suele ser una tarea de considerable trabajo.Por ello, el poder visualizar la definicin es de mucha ayuda para poder manipular luego lasdesigualdades con los y . Esta visualizacin puede ser realizada de la siguiente manera.

En primer lugar, recordemos que la desigualdad

|x x0| < r, (1.43)

donde x, x0 y r son nmeros reales y, adems, r > 0, es equivalente a la desigualdad

x0 r < x < x0 + r.

Por lo tanto, el conjunto de todos los x que satisfacen la desigualdad (1.43) puede ser repre-sentado geomtricamente por el intervalo ]x0 r, x0+ r[; es decir, por el intervalo abierto concentro en x0 y radio r:

x0 r x0 x0 + r

La longitud de este intervalo es igual a 2r.Supongamos que el nmero L es el lmite de f(x) cuando x se aproxima al nmero a.

Esto significa que, dado cualquier nmero > 0, existe un nmero > 0 tal que se verifica ladesigualdad

|f(x) L| < , (1.44)siempre que se satisfagan las desigualdades

0 < |x a| < . (1.45)

Con la interpretacin geomtrica realizada previamente, esta definicin de lmite puedeexpresarse en trminos geomtricos de la siguiente manera:

dado cualquier nmero > 0, existe un nmero > 0 tal que f(x)se encuentre en el intervalo de centro L y radio , siempre que x seencuentre en el intervalo de centro a y radio y x 6= a.

Esta formulacin puede ser visualizada de la siguiente manera. En un sistema de coorde-nadas, en el que se va a representar grficamente la funcin f , dibujemos los dos intervalosque aparecen en la definicin de lmite: ]a , a+ [ y ]L , L+ [. Obtendremos lo siguiente:

x

f(x)

a a a+

L L

L+

34 Lmites

A continuacin, dibujemos dos bandas: una horizontal, limitada por las rectas horizontalescuyas ecuaciones son y = L y y = L+ , y una vertical, limitada por las rectas verticalescuyas ecuaciones son x = a y x = a+ :

x

f(x)

a a a+

L L

L+

El rectngulo obtenido por la interseccin de las dos bandas est representado por elsiguiente conjunto:

C = {(x, y) R2 : x ]a , a + [, y ]L , L+ [}.

La definicin de lmite afirma que f(x) estar en el intervalo ]L , L+ [ siempre que x,siendo distinto de a, est en el intervalo ]a , a + [. Esto significa, entonces, que la pareja(x, f(x)) est en el conjunto C. Es decir, todos los puntos de coordenadas

(x, f(x))

tales que x 6= a pero x ]a , a + [ estn en el interior del rectngulo producido por lainterseccin de las dos bandas. Pero todos estos puntos no son ms que la grfica de la funcinf en el conjunto ]a , a+ [{a}. En otras palabras:

dado cualquier nmero > 0, existe un nmero > 0 tal que la grficade f en el conjunto ]a , a+ [{a} est en el interior del conjunto C.

El siguiente dibujo muestra lo que sucede cuando L es el lmite de f(x) cuando x seaproxime al nmero a:

x

f(x)

a a a+

L L

L+

Al conjunto C se le denomina caja para el grfico de f en el punto de coordenadas (a,L).De manera ms general, una caja para el grfico de una funcin en el punto de coordenadas(x, y) es el interior de una regin rectangular cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados,que contiene al punto de coordenadas (x, y), de modo que ningn punto del grfico de lafuncin f que est en la banda vertical, salvo, tal vez, el punto de coordenadas (x, f(x)), nopuede estar ni sobre la regin rectangular ni bajo de ella. Si el punto de coordenadas (x, y)


es tambin el centro de la regin rectangular (es decir, es la interseccin de las diagonalesdel rectngulo), entonces la regin rectangular es denominada caja centrada en el punto decoordenadas (x, y).

Un ejemplo de una regin rectangular que no es una caja para el grfico de f es el siguiente:

x

f(x)

Con la definicin de caja, podemos decir que el conjunto C es, efectivamente, una cajapara el grfico de f centrada en el punto de coordenadas (a,L). En este caso, la caja C tieneuna altura igual a 2 y una base igual a 2.

En trminos de cajas, la definicin de lmite garantiza que:

si L es el lmite de f(x) cuando x se aproxima a a, entonces, el grficode f tiene cajas de todas las alturas positivas posibles centradas en elpunto (a,L).

El siguiente dibujo, muestra dos cajas para el grfico de f , ambas centradas en (a,L):

x

f(x)

a a a+

L L+

L

x

f(x)

a a a+

L L

L+

Estos dos ltimos dibujos sugieren que el grfico de f tiene cajas centradas en (a,L) detodas las alturas posibles.

A continuacin, podemos visualizar por qu las funciones f , g y h de la seccin anterior,las que utilizamos para mostrar por qu en la definicin de lmite no importa el valor quepueda tener (o no tener), tienen el mismo lmite:

x

f(x)

1

3

x

g(x)

1

3

1

x

h(x)

1

3

Veamos un ejemplo.

36 Lmites

Ejemplo 1.8

Sea f : R R la funcin definida por f(x) = x2 para todo x R.1. Encuentre un > 0 tal que si 0 < |x 3| < entonces |f(x) 9| < = 12 .2. Construya una caja, tal como est definida en el texto, que ilustre el resultado encon-

trado en el primer punto.

Solucin.

1. En el ejemplo de la pgina 14, probamos que

9 = lmx3

x2.

Para probar esta igualdad, dado > 0, encontramos que el nmero

= mn{1,

7

}es tal que, si |x 3| < , entonces |x2 9| < .Por lo tanto, como = 12 , el nmero buscado es:

= mn

{1,

12

7

}=

1

14.

En resumen, si |x 3| < 114 , entonces |x2 9| < 12 .2. Como 9 = lmx3 x2, dado = 12 , el conjunto

C ={(x, y) R2 : x ]3 1

14, 3 +

1

14

[, y ]9 1

2, 9 +

1

2

[}es una caja para el grfico de f en el punto de coordenadas (3, 9).

El siguiente, es un dibujo de esta caja:

3

6

9

1 2 3

y

x3 114 3 +1

14

9 12

9 + 12

Ahora bien, por la definicin de caja, como

9 = lmx3

x2,

el grfico de la funcin f en el intervalo ]3 114 , 3+ 114 [ debe estar contenido plenamente en la caja.Constatemos esto.

En primer lugar, veamos que f(x) es mayor que 9 12 cuando x = 3 114 . Por un lado tenemosque:

f

(3 1

14

)= f

(41

14

)

=1 681

196= 8 +

113

196,


Por otro lado:

9 12= 8 +

1

2= 8 +

98

196.

Por lo tanto:

f

(3 1

14

)= 8 +

113

196> 8 +

98

196= 9 1

2.

En segundo lugar, veamos que f(x) es menor que 9 + 12 cuando x = 3 +114 . Por un lado tenemos

que:

f

(3 +

1

14

)= f

(43

14

)

=1 849

196= 9 +

85

196,

Por otro lado:

9 +1

2= 9 +

1

2= 9 +

98

196.

Por lo tanto:

f

(3 1

14

)= 9 +

85

196< 9 +

98

196= 9 +

1

2.

Finalmente, como la funcin f es creciente en [0,+[, entonces

9 12< f(x) < 9 +

1

2

siempre que

3 114

< x < 3 +1

14.

Por esta razn, al dibujar el grfico de f en este intervalo, ste deber estar contenido plenamenteen la caja, como lo asegura la definicin de lmite y de caja. El siguiente es un dibujo de la situacin:

3

6

9

1 2 3

y

x

y = x2

3 114

3 + 114

9 12

9 + 12

Para terminar esta seccin, veamos cmo la interpretacin geomtrica nos puede ser deayuda para demostrar que un cierto nmero L no es lmite de f(x) cuando x se aproxima alnmero a.

De la definicin de lmite, decir que L no es el lmite equivale a decir que:

existe un nmero > 0 tal que, para todo nmero > 0, existe unnmero x tal que

0 < |x a| < y |f(x)L| .

Ilustremos estas ideas con un ejemplo.

38 Lmites

Ejemplo 1.9

Demostrar que

lmx1

f(x) 6= 32

si

f(x) =

{x si x [0, 1],x+ 1 si x ]1, 2].

Solucin. Para demostrar que el nmero 32 no es el lmite de f(x) cuando x se aproxima a 1 si f estdefinida de la siguiente manera:

f(x) =

{x si x [0, 1],x+ 1 si x ]1, 2],

debemos hallar un nmero > 0 tal que, para todo > 0, encontremos un nmero x Dm(f) tal que

0 < |x 1| < yf(x) 32

.Para ello, primero dibujemos la funcin f :

x

f(x)

1

32

2

1

Este dibujo nos permite ver que cualquier caja del grfico de f ubicada entre las rectas horizontalesde ecuaciones y = 1 y y = 2 no contendr ningn elemento del grfico de f . Recordemos que el altode la caja es 2: una distancia de un sobre 32 y una distancia de un bajo

32 . Por lo tanto, si elegimos

igual a 14 , la banda horizontal alrededor de32 se vera as:

x

f(x)

1

32

2

1

A continuacin, podemos dibujar tres bandas verticales alrededor del nmero 1, lo que nos sugerirque ninguna caja del grfico de f con el alto 2 elegido contendr elementos del grfico:

x

f(x)

1 1 +

1

32

2

1 x

f(x)

1 1 +

1

32

2

1 x

f(x)

1 1 +

1

32

2

1


Estos dibujos nos sugieren cul debe ser el x que buscamos para el cual se verifiquen las condicionessiguientes:

0 < |x 1| < yf(x) 32

.Cualquier x 6= 1 que est en el dominio de f y en el intervalo ]1, 1+[ satisfar estas dos condiciones.

Procedamos, entonces, a demostrar que el nmero 32 no es el lmite de f(x) cuando x se aproximaa 1.

Sean = 14 y > 0. Si > 1, la banda vertical abarcara ms que el dominio de la funcin f . Eneste caso, x = 0, satisfara las condiciones. En efecto:

1. x est en el dominio de f ;

2. Como x = 0, entonces x 6= 1 y|x 1| = |0 1| = 1 < ;

3. Como 0 ]0, 1], entonces f(0) = 0 y, por ello:f(x) 32 =

0 32

=3

2>

1

4= .

Ahora, si 1, podemos elegir el nmero x que est en la mitad entre 1 y 1 . Ese nmero es:

x =(1 ) + 1

2= 1

2.

Entonces:

1. x est en el dominio de f , pues, como

(a) 1 0, ya que 1 y(b) 2 < , ya que > 0,

se tiene que

0 1 < 1 2< 1;

es decir, x [0, 1[.2. Como > 0, entonces 2 > 0, entonces

x = 1 26= 1.

3. Como x [0, 1], entoncesf(x) = x = 1

2.

Por lo tanto: f(x) 32 =

(1

2

) 3

2

=

12 2 = 12 + 2 > 14 = ,

pues1

2>

1

4y

2> 0.

Por lo tanto, el nmero 32 no puede ser el lmite de f(x) cuando x se aproxima a 1.

En la seccin prxima, vamos a mostrar un ejemplo de cmo se puede resolver un problemaaplicando el mtodo de encontrar un nmero dado el nmero .

40 Lmites

1.5.1 EjerciciosEn los ejercicios propuestos a continuacin, se busca que el lector adquiera un dominio bsico delaspecto operativo de la definicin de lmite, a pesar de que luego, en la prctica del clculo de lmites,no se recurra a esta definicin, sino a las propiedades que se obtienen y se demuestran a partir de estadefinicin.

1. Sean f : I R, a R, L R y > 0:(a) encuentre un > 0 tal que |f(x) L| <

siempre que 0 < |x a| < ; y(b) construya una caja de f(x) centrada en

(a, L) y de altura 2 que ilustre el resulta-do encontrado en el punto anterior

para cada f , a, L y dados a continuacin:

(a) f(x) = x 2; a = 5; L = 3; = 0.02.(b) f(x) = x 2; a = 2; L = 0; = 0.01.(c) f(x) = 2x+ 1; a = 2; L = 5; = 0.05.(d) f(x) = 4x 3; a = 1; L = 1; = 0.03.(e) f(x) = 2x

27x+6x2 ; a = 2; L = 1; = 0.04.

(f) f(x) = 8x2+10x+32x+1 ; a = 12 ; L = 1;

= 0.003.

(g) f(x) = x2; a = 3; L = 9; = 1.

(h) f(x) = x2; a = 3; L = 9; = 0.1.

(i) f(x) = x2; a = 2; L = 4; = 0.3.

(j) f(x) = x2+3x5; a = 1; L = 1; = 0.4.(k) f(x) = x2 + 3x 5; a = 1; L = 7;

= 0.08.

2. Demuestre, utilizando la definicin de lmite:

(a) lmx2

3x2 + 5x 2x+ 2

= 7.

(b) lmx1

6x

x+ 2= 2.

(c) lmx2

x+ 7 = 3.

(d) lmx3

x3 2x2 3xx 3 = 12.

(e) lmx 1

2

8x2 + 10x+ 3

2x+ 1= 1.

(f) lmx1

(2x2 3x+ 4) = 3.

(g) lmx1

x2 7x+ 52x+ 3 = 1.

1.6 Energa solar para Intipamba

Intipamba es una pequea comunidad asentada en una meseta. Desde all, se tiene la sensacinde poder acariciar las trenzadas montaas que, ms abajo, estn rodeadas por un lmpido cieloazul la mayor parte del ao. El sol es un visitante asiduo de Intipamba. En algunas ocasionesse ha quedado tanto tiempo que las tierras alrededor de Intipamba no han podido dar sufruto, y los lugareos han tenido que ir muy lejos en busca de agua.

Los viejos ya no recuerdan cuando lleg la energa elctrica a Intipamba y los jvenes, sino la tuvieran ya, la extraaran, pues, desde que tienen memoria, la han tenido. Pero en losltimos aos la energa elctrica que llega al pueblo ya no es suficiente. El gobierno les hadicho que llevar ms energa es muy costoso. Sin embargo, una organizacin no gubernamentalha propuesto a la comunidad solventar la falta de energa mediante la construccin de unapequea planta que genere energa elctrica a partir de energa solar, para aprovechar, as, elsol de Intipamba.

Para abaratar los costos, la comunidad entera participar en la construccin de la planta.Entre las tareas que realizarn los lugareos, est la construccin de los paneles solares. Lasespecificaciones tcnicas indican que los paneles deben tener una forma rectangular, que ellargo debe medir el doble que el ancho, el cul no debe superar los tres metros, y que el readebe ser de ocho metros cuadrados, tolerndose a lo ms un error del uno por ciento.

Se ha decidido que cada panel tenga por dimensiones 2 y 4 metros, lo que satisface elrequerimiento de que la longitud del largo sea el doble que la del ancho. El problema en quese encuentran los encargados de la construccin de los paneles consiste en determinar con qugrado de precisin debe calibrarse la maquinaria que corta los paneles para que se garanticeque el rea obtenida no difiera de los ocho metros cuadrados en ms del uno por ciento.

1.6 Energa solar para Intipamba 41

1.6.1 Planteamiento del problema

En primer lugar, qu significa que el rea no difiera de los ocho metros cuadrados en msdel uno por ciento? Ninguna mquina cortar los lados de cada panel de dos y cuatro metrosexactamente, sino que, en algunos cortes, por ejemplo, la dimensin del ancho ser un pocomenos que dos metros; en otros cortes, podra ser un poco ms; una situacin similar ocurrirrespecto de la dimensin del largo. El resultado de esto es que el rea de cada panel no serexactamente igual a ocho metros cuadrados.

La diferencia entre el rea real de un panel y los ocho metros cuadrados esperados sedenomina error. Esta cantidad puede ser positiva o negativa, segn el rea real sea mayor omenor a ocho metros cuadrados. Para cuantificar nicamente la diferencia entre el rea real yla esperada, se define el concepto de error absoluto como el valor absoluto del error. El errorabsoluto no da cuenta de si el rea obtenida es mayor o menor que los ocho metros cuadradosesperados, solo da cuenta de la diferencia positiva entre estos dos valores.

Si se representa con la letra a el nmero de metros cuadrados que mide el rea real de unpanel, el error absoluto se expresa de la siguiente manera:

error absoluto = |a 8|.

La especificacin de que el rea no difiera de los ocho metros cuadrados en ms del unopor ciento quiere decir, entonces, que el error absoluto sea menor que el uno por ciento delrea esperada; es decir, que el error absoluto sea menor que el uno por ciento de ocho metros,valor igual a 0.08 metros cuadrados. Por lo tanto, para que se cumpla con la especificacintcnica, la calibracin de la mquina debe asegurar la verificacin de la siguiente desigualdad:

|a 8| < 0.08.

En resumen, el problema a resolver por el equipo de Intipamba es:

calibrar la mquina de los paneles para garantizar que la desigualdad

|a 8| < 0.08. (1.46)

sea verdadera.

1.6.2 El modelo

Qu se quiere decir con calibrar la mquina para garantizar que la desigualdad (1.46) seaverdadera? Desde el punto de vista de la mquina, cuando sta dice que va a cortar el anchode dos metros, cortar, en realidad, de un poco ms de dos metros, en algunas ocasiones;en otras, de un poco menos que dos metros. Lo mismo suceder con el largo. Esto significaque el rea del panel obtenida en cada corte no ser, con toda seguridad, igual a ocho metroscuadrados. La calibracin consiste, entonces, en decirle a la mquina en cunto se puedeequivocar a lo ms en el corte del largo y del ancho para que asegure a los lugareos deIntipamba que el error absoluto en el rea del panel no difiera de ocho metros cuadrados enms del uno por ciento. En otras palabras, los constructores de los paneles quieren saber encunto la mquina puede equivocarse en el corte del largo y del ancho para que el rea delpanel no difiera en ms del uno por ciento; es decir, quieren saber el valor mximo permitidopara el error en las longitudes de los cortes, de manera que el rea no difiera en ms del unopor ciento con el rea esperada.

El rea real de cada panel no es, entonces, constante; depender de las dos dimensiones delpanel que la mquina cortadora produzca realmente. Bajo la suposicin de que sta mquinasiempre logra cortar el largo de una longitud el doble que la del ancho, el rea real de cada

42 Lmites

panel se puede expresar exclusivamente en funcin de una de las dimensiones. Por ejemplo,el ancho.

En efecto, los encargados de la construccin de los paneles utilizan la letra x para repre-sentar el nmero de metros que mide el ancho real de un panel; entonces, 2x representa elnmero de metros que mide el largo del panel. De esta manera, si el rea de cada panel es dea metros cuadrados, a puede ser expresada en funcin de x de la siguiente manera:

a = 2x2.

Vamos a representar con la letra A esta relacin funcional entre a y x. As, la funcin Adefinida por

A(x) = 2x2

nos permite escribir las siguientes igualdades:

a = A(x) = 2x2.

Cul es el dominio de la funcin A? La respuesta se encuentra despus de averiguarlos valores que puede tomar la variable x. Dentro de las especificaciones tcnicas para laconstruccin de los paneles, se indica que el ancho del panel no puede superar los tres metros;como, adems, el ancho no puede ser medido por el nmero cero ni por un nmero negativo,se puede elegir2 como dominio de A el intervalo ]0, 3]. En resumen, A es una funcin de ]0, 3]en R+.

El equipo de Intipamba encargado de los paneles ya pueden representar simblicamenteel error absoluto que comete la mquina en el corte del ancho de un panel: el valor absolutode la diferencia entre x, el valor de la longitud real del ancho, y 2, el valor esperado para elancho:

error absoluto = |x 2|.

El problema que tienen los constructores es, entonces, saber de qu valor no debe superareste error absoluto para asegurar que el rea del panel no difiera del uno por ciento del reaesperada. Es decir, los constructores necesitan encontrar un nmero > 0 tal que

si |x 2| < , entonces |A(x) 8| < 0.08;

es decir, deben hallar un > 0 tal que

si |x 2| < , entonces |2x2 8| < 0.08.

Ahora los lugareos de Intipamba acaban de formular un modelo matemtico del problema;es decir, tienen una representacin mediante smbolos que, por un lado, representan elementosdel problema de construccin de los paneles, pero que, por otro lado, representan conceptosmatemticos que, en su interrelacin, plantean un problema matemtico que, al ser resuelto,permita ofrecer una solucin al problema de los paneles solares. El modelo se puede resumirde la siguiente manera:

2No hay una sola manera de realizar esta eleccin; es decir, hay varias alternativas para el dominio de lafuncin A. En efecto, aunque los constructores de los paneles no saben de cunto exactamente es el ancho decada panel, estn seguros que no podr ser muy diferente de dos metros. Esto significa que se podra elegircomo dominio de la funcin A, por ejemplo, el intervalo [1.5, 2.5]; tambin se podra tomar el intervalo [1, 2.5].

1.6 Energa solar para Intipamba 43

Modelo para el problema de los paneles solaresSean

x : el nmero de metros que mide el ancho real de un panel y que no puede sermayor que tres metros.

a : el nmero de metros cuadrados que mide el rea real de un panel cuyo anchoy largo miden x y 2x metros, respectivamente.

A es un funcin de ]0, 3] en R+ definida por

A(x) = a = 2x2.

Se busca un nmero > 0 tal que si la desigualdad

|x 2| < (1.4)

fuera verdadera, la desigualdad

|A(x) 8| = |2x2 8| < 0.08 (1.5)

tambin sera verdadera.

1.6.3 El problema matemtico

El modelo plantea un problema exclusivamen

Calculo.diferencial.en.Una.variable. .Juan.carlos.trujillo

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