CalculoVectorial-GuiaETS
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A.
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL
Prof. Sergio Flores Corona 1
FUNCIONES VECTORIALES DE UN ESCALAR
(1) Encuentre la velocidad, rapidez, aceleración, aceleración tangencial y aceleración normal de una partícula
con función de posición dada en el tiempo indicado. 2 2( ) (25 ) (10 16 ) ; t=0tr t te i t t j
( ) ( cos ) ( ) ; t=4
t t tr t e t i e sent j e k
2 2( ) 2 ln( ) ; t=er t t i tj t k
23( ) ( ) (2 ) ( ) ; t=42
r t t i t j t t k
(2) Calcule el valor de la longitud de arco de la curva en el intervalo o entre los puntos indicados
3 3 34 4( ) ( ) ( ) ; 2 1
3 3r t t i t j t k t
33 2 32
1 1 2( ) ( 4) ; 3 5
3 3 3r t t i t j t k t
1 2( ) 4 3 ( ) 3 (cos ) ; (0,0,0); (12.5664,0, 9.4248)r t ti t sent j t t k P P
2( ) (2 6) 2 6 ; 3 6r t ti t j k t
2 2
1 2( ) 2 ln( ) ; (1,1,1); ( ,2 ,1)r t t i tj t k P P e e
(3) Encuentre la curvatura del radio vector en el punto indicado.
( ) ( cos ) ( ) ; (1,0,0,)t t tr t e t i e sent j e k P
322( ) 4 ; (1,4, 1,)r t ti t j t k P
2 3( ) ; (2,4,8)r t ti t j t P
(4) Determine la función que representa la función posición de acuerdo a las ecuaciones y condiciones
iniciales dadas en cada ejercicio.
2 1'( ) ; (3) 2 5
2r t t i j r i j
t
2 2'( ) ( ) (2cos ) ; ( ) 0r t sen t i t j r
2 8'( ) 6cos(2 ) sec ( ) ; ( ) 3 2
4r t t i t j k r i j k
3"( ) ( ) ; '(0) 4 2 4 ; (0) 4 2tr t e i tj sen t k r i j k r j k
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (CAMPOS ESCALARES)
(1) La temperatura T en ºC, en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está dado
por la ecuación 2 23 2 4( , , ) 4 y xT x y z x y z xz e . Calcule en el punto (1, 2, 3)
a) La dirección, así como la razón del cambio máximo de temperatura
b) La razón de cambio de la temperatura en la dirección 2 2a i j k
indicando si aumenta,
disminuye o es invariante. (2) El campo magnético B (webers), en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está
dado por la ecuación 2( , , ) cos( ) ( )yB x y z xe x xy sen yz . Calcule en el punto (2, 0, --3)
a) La dirección, así como la razón del cambio máximo.
b) La razón de cambio del campo en la dirección 2 2a i j k
.
(3) Considere la función 3 2( , ) 3 4f x y x y y xy Determine en el punto P(1, 2)
a) La dirección, así como la razón de cambio de la máxima derivada direccional
b) La derivada direccional sobre el vector 4 3a i j
(4) Obtenga las ecuaciones para el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado
a) 2 3 2 2 3( , , ) ; M(3,2,1)F x y z xy z x y yz xz
b) 2( , , ) 2 +10 ; M(-5,5,1)F x y z xy yz xz
c) ( , , ) 2 cos ; M(0, 3,1)xF x y z e y z
(5) Determine las coordenadas de los puntos máximos, mínimos y silla, si existen, de la función
3 2( , ) 48 32 24f x y xy x y
4 2( , ) 4 2 2f x y xy x y
3 3( , ) 3f x y x xy y 2 2( , ) 4 2 2 10 2f x y x y xy y x
2 2( , )f x y xy x y x y 3 2 2( , ) 4 2f x y y y xy x
(6) Utilizando la regla de la cadena determine las derivadas parciales ,z z
u t
a) 2 2 3 3cos(4 ); ; z x y x u t y u t ;cuando 1, 2u t
b) 2 2 2 2; ; t tz x y x e y e ;cuando 0t
c) 2ln( 2 ); ( ); cosz x x y x u sent y u t ;cuando 2,
3u t
d) 2 2ln( )z x y ; x u t , 2y ut ;cuando 2, 1u t .
(7) La altura de un cono circular recto crece a razón de 40 cm/min, el radio disminuye a razón de 15 cm/min.
Calcule la razón de cambio del volumen en el instante que la altura es de 2000 cm y el radio de 600 cm. (8) La longitud del cateto A un triángulo rectángulo crece a razón de 3 cm/min., la del cateto B decrece a
razón de 2 cm /min. Calcule la razón de cambio del ángulo agudo opuesto a B en el instante que A = 100 cm y B = 120 cm
(9) En un tanque elástico en forma de cilindro circular recto entra gua a razón de 2 m
3/min . El tanque se
expande pero conservando su forma, su radio crece a razón de 0.005 m/min. ¿Con qué rapidez sube el agua cuando el radio tiene 1.5 metros y el volumen del agua dentro del tanque es de 40m
3?
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INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES
(1) Evalúe la integral 2 2
R
x y dA sobre la región encerrada por las curvas 0x y , x y localizada
en el primer cuadrante
(2) Evalúe la integral (cos(2 )R
x y dA sobre la región encerrada por las curvas
; 3 0; y x x y y
(3) Evalúe1
( )R
dAx sobre la región en plano XY:
2y x , 24y x x
(4) Evalúe 2 x
R
ye dA
sobre la región en el plano XY: 2x y , 2y , 9x
(5) Cambia el orden de integración y evalúa la integral
a) 2
2
3 9
04 x
yye dxdy
b) 1 1
2
0( )
ysen x dxdy
c) 22 2
0
y
xe dydx
d) 2
2 4
0( )
yx senx dxdy
(6) Evaluar ( , )R
f x y dA sobre la región de la figura
2
2
2 0
3 6 0
y x y
y y x
( )
cos( )
y sen x
y x
4 3R
y dAR
xydA
2 2 50x y
y x
2 2
R
x y dA
2
2y x
y x
( )R
xsen y dA
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INTEGRALES MÚLTIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS
Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.
(1) Interior al cilindro 2 2 4x y , bajo la esfera
2 2 2 16x y z , sobre el plano 1z
(2) Paraboloide 2 2z x y , cilindro
2 2 25x y , planos 0; 36z z
a) Interior al cilindro b) Exterior al cilindro
(3) El cono horizontal 2 2x z y , el paraboloide
2 26x y z
INTEGRALES MÚLTIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS
Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.
(1) Cono 2 2z x y ; esfera
2 2 2 9x y z
(2) Esfera2 2 2 4x y z ¸ planos verticales
1
3y x ; 3y x
(3) Bajo el plano 3z , exterior al cono 2 2z x y , interior al cono
2 23 3z x y ,
(4) Dentro de la esfera 2 2 2 1x y z , fuera del doble cono
2 2 2z x y
(5) Determinar z
D
e dv donde D es el sólido en el primer octante bajo la superficie 2 2z x y , interior al
cilindro 2 2 9x y , sobre el plano XY
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FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR (CAMPOS VECTORIALES)
INTEGRALES DE LÍNEA
1) Evalúe la integral de línea 23
Cydx xdy xz dz donde C es la curva dada por las ecuaciones
cos x t y sent z t ; 0 t
2) Evalúe la integral de línea 2 2(6 2 ) 4
Cx y dx xydy donde C es la curva dada por las ecuaciones
3; ; 0 1x t y t t
3) Evalúe la integral de línea 3C
xydx xdy ydz donde C es la curva dada por
( ) cos( ) ( ) 2r t t i sen t j tk
; 02
t
TEOREMA DE GREEN
1) Por medio del Teorema de Green evalúa la integral de línea cerrada
2 3cosC
xy dx ydy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada
por las gráficas 2 3, y x y x
2) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada
2 2( 2 cos ) ( )C
xy x y dx x seny dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada
por las gráficas: 2y x ,
3y x
3) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada
2 2 3( 3 ) ( )C
y x y dx xy x dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada
por las gráficas 2y x , 2y x
4) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada 2 31
( )3C
xy xy dx y dy
donde C es la frontera encerrada por la gráficas x y , 21x y , 0y