Cap 16

CAPÍTULO

La valuaciá

Objetivo

• Explicar la teoría y la aplicación del método de valuación de lasobligaciones contingentes.

Contenido

16.1. Análisis de bonos riesgosos y acciones basado en las obligacionescontingentes

16.2. Bonos convertibles16.3. Reproducción dinámica16.4. Valuación de títulos contingentes del estado puro

El presente capítulo versa sobre la valuación de los flujos de efectivo inciertosaplicando el análisis de obligaciones contingentes (AOC). Es un método que seaplica a la valuación de acciones comunes, bonos convertibles y otras obliga-

ciones contingentes. Se vale de una serie diferente de datos procedentes del flujo deefectivo descontado. Esta última técnica descuenta los flujos esperados provenientes deuna acción común (dividendos pagados a los accionistas o flujos netos de efectivosprovenientes de las operaciones de la empresa) mediante una tasa de descuento ajus-tada al riesgo y no mediante la tasa libre de riesgo con la cual se descontarían los flujosde efectivos que se conocen con certeza. En vez de los flujos futuros esperados y de lastasas de descuento ajustadas al riesgo, el análisis de obligaciones contingentes usa elconocimiento de los precios de uno o más activos conexos y de sus volatilidades.

16.1 ANÁLISIS DE BONOS RIESGOSOS y ACCIONES BASADOEN LAS OBLIGACIONES CONTINGENTES

Iniciamos nuestra explicación del análisis de las obligaciones contingentes mostrandocómo se emplea para valuar las acciones y bonos de una compañía, cuando se cuentacon información acerca de su valor total. Primero estudiaremos el caso simple en quelos bonos no están expuestos al riesgo de incumplimiento (insolvencia) y luego el casomás difícil en que sí lo están.

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QUINTA PARTE La valuación de derivadas y de obligaciones contingentes

Pongamos el caso de Debtco, compañía hipotética en la industria 11.' J.Lil!OÚ' __ .-::::a...emite dos tipos de valores: acciones comunes (1 millón) y bonos de cu -valor nominal agregado de $80 millones de dólares (80,000 bonos, cadanominal de $1,000). Los bonos se vencen dentro de un año. Si conoc::=.::!:valor total de mercado de Debtco es de $100 millones, ¿cuáles son losduales de mercado de sus acciones y bonos?

Sean

Vel valor actual de mercado de los activos de la compañía ($100 millones .~V1 el valor de mercado de sus activos dentro de un año.E el valor de mercado de sus acciones.D el valor de mercado de sus bonos.

Sabemos que el valor combinado de mercado de las acciones y \compañía es $100 millones.

v = E + D = $100 millones

Queremos calcular el valor individual de cada valor: E y D.

16.1.1 Valuación de las acciones cuando se conoce el valor de la ec:~~.j

Supongamos primero que la deuda no está expuesta al riesgo de incump·:=:::::::::......-Idecir, la probabilidad de que los activos de la compañía valgan menos dede dólares al cabo de un año es cero. Supongamos además que la tasa de inriesgo es de 4% anual. Según la Ley del Precio Único, el valor de mercadodeberá ser entonces igual al valor presente de los $80 millones, en elprometido, descontado a esa tasa de interés:

D = $80 millones/1.04 = $76,923,077

Por sustracción el valor de mercado de las acciones debe ser

E = V - D = $100 millones - $76,923,077 = $23,076,923.

Para convencemos de que las acciones han de tener un valor de lli;:::.='-,

$23,076,923,observemos cómo funcionaría la fuerza del arbitraje si su valorAnte todo, es necesario definir exactamente lo que queremos decir

que el valor total de mercado de la empresa es de $100 millones de dólarformas de interpretar tal aseveración. Una consiste en pensar que sus abienes inmuebles, valen $100 millones en el mercado. Así, vender o ea _parte de la empresa significa vender o comprar parte de esas propiedades.

Otra manera de concebir el valor mezclado de la empresa es imaginar "'-&0_._pañía que posea exactamente los mismos, pero que se financie enterame -;.emisión de acciones. Decir que la compañía en conjunto posee un valor de _ .•.....•_de $100 millones significa que las acciones de esta empresa "gemela" de De$100 millones. Así, comprar o vender parte de ella significará comprar o' -acciones.

Retornemos ahora el tema del arbitraje para explicar por qué las aDebtco han de tener un valor de mercado de $23,076,923. Supongamos que _fuera menor a esa cantidad, digamos que fuera de $22 millones. Entonceslador (arbitrajista) podría adquirir todos sus bonos y acciones en $($76,923,077 + $22,000,000), vender sus activos en 100 millones y recibircomo utilidad de arbitraje.

CAPÍTULO 16 La valuaciáti de las obligaciones contingerues

Supongamos ahora que las acciones tuvieran un valor de me$23,076,923: $24 millones, por ejemplo. Un especulador (arbitrajistaadquirir por $100 millones bienes inmobiliarios idéntico a los e Deen la compañía gemela financiada enteramente con accion ~acciones contra esos activos, con un precio total de 100.9:~.$24,000,000). La utilidad de arbitraje sería de $923,077.

Con objeto de evitar las oportunidades del arbitraje, el valoacciones de Debtco debería ser de $23,076,923.

Repase y reflexione 16-1Suponga una tasa de interés libre de riesgo de 5% anual. ¿Cuál será emercado de las acciones y bonos de Debtco?

Supongamos ahora que existe el riesgo de incumplimiento. Considerposibles resultados de los tenedores de las acciones y bonos cuando esto 11' ínmosvencen dentro de un año. Si el valor de los activos de la empresa rebasannominal de su deuda (esto es, si V1 > $80 millones), recibirán la diferenci eambos (V1 - $80 millones). Pero si el valor de los activos no alcanza los $80 millones,la deuda no se liquidará y los accionistas no recibirán nada. En cambio, lo tenede los bonos recibirán el total de los activos.

Los diagramas de resultados se incluyen en las figuras 16.1 y 16.2. En la figura 6.se observa que, con valores de la empresa menores que $80 millones, los tenedores elos bonos reciben el valor íntegro de los activos y que, con valores superiores a mi-llones, recibirán $80 millones. En la figura 16.2 observamos también que, con valores dela empresa menores que $80 millones, los accionistas no reciben nada y que, con valoressuperiores a esa cantidad recibirán el valor de la empresa menos $80 millones.

Si queremos valuar las acciones y los bonos de Debtco mediante el análisis deobligaciones contingentes, es necesario conocer un poco la distribución de probabili-dad de su valor futuro. En las aplicaciones de este método al mundo real, en gran me-dida el esfuerzo se centra en estimar tales distribuciones. Pero para entender los as-pectos básicos del método basta suponer una distribución muy simple. Hemos, pues,

200

180

160

'" 140oQo 120.o

'"..s100

"'C:5-;¡¡>

40

20

FIGURA 16.1 Diagrama de resul-tados de los bonos de DebtcoNOTA: en el caso de valores de lacompañía menores a $80 millonesde dólares, los tenedores de bonosreciben el valor íntegro de los ac-tivos y reciben $80 millones en elcaso de valores de la compañía su-periores a $80 millones

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Valor de la empresa al cabo de un año

Q"LlNTA PARTE La valuación de derivadas y de obligaciones contingentes

200180160

'" 140'""o.(3 120u

'"'" 100.sO.l-e 80oro> 60

4020

OO 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Valor de la compañía al cabo de UD año

FIGURA 16.2 Diagrama de rtados de las acciones de DebNOTA: en el caso de valoresla compañía menores quemillones de dólares, los accitas no reciben nada y recibevalor de la compañía menomillones en el caso de valoreperiores a esta última cifra.

de suponer que la compañía puede adoptar solamente uno de dos valores posibdentro de un año, cuando se venzan los bonos: $140 o $70 millones de dólares.' o enecesario que conozcamos las probabilidades de esos dos valores futuros para llevarcabo la valuación. La tabla 16.1 contiene los resultados de las acciones y bonos ~Debtco en función del valor que la empresa tendrá en un año.

El análisis de obligaciones contingentes funciona indicando la manera de repducir los resultados de los títulos cuyo valor queremos calcular, utilizando los activos cu-precio de mercado conocemos. Pues bien, veremos cómo reproducir los resultadoslas acciones de Debtco, usando sus activos y consiguiendo un préstamo libre de riesgo.

Podemos hacerla adquiriendo 617 de la compañía y consiguiendo un préstampor el valor presente de $60 millones: $57,692,308. (En seguida explicaremos cómobtuvimos esas cifras tan rápidamente.)

La tabla 16.2 muestra que la cartera símil seleccionada por nosotros produ ~efectivamente los mismos resultados que las acciones de Debtco.

Primero veremos lo que sucede si el valor de la compañía resulta ser de $1millones de dólares. Como la cartera símil tiene 617 de la compañía, vale $120 millon _(617 X $140 millones). Pero el préstamo de $57,692,308 debe liquidarse con un interésde 4%. Esto asciende a $60 millones (1.04 X $57,692,308). Así, los ingresos net _procedentes de la cartera símil son $60 millones ($120 millones - $60 millones). Portanto, el resultado de esta cartera es igual al de las acciones de Debtco.

TABLA 16.1 Resultados de bonos acciones con un modelo de dos estados

Resultados posibles al caboValor de un año (en $ millones)

CompañíaBonos (80,000 con valor nominal de $1,000)Acciones (1 millón)

1408060

7070

O

1 Por tal razón, se le da el nombre de modelo de dos estados. Aunque la suposición de sólo dos valores posi-bles es irrealista, el modelo de dos estados sienta las bases de un modelo de valuación de análisis de obliga-ciones contingentes. Se le llama modelo binomial, es mucho más realista y se utiliza ampliamente.

CAPÍTULO 16 La valuación de las obligaciones contingentes

de la cartera símil

PosiciónFlujo inmediato

de efectivo

Acciones de Debtco -$E o$60 millones

Cartera símil

Comprar o/, de los activos de DebtcoObtener un préstamo de $57,692,308 a la tasa libre de riesgoTotal de la cartera símil

$120 millones-$60 millones

$60 millones

60 millones- $60 millones

O

-$85,714,286$57,692,308

-$28,021,978

A continuación veremos lo que sucede si el valor de la compañía resulta ser de$70 millones de dólares. Como la cartera símil contiene o/¡ de ella, vale $60 millones(o/¡ X $70 millones). Esta cifra equivale exactamente a la cantidad requerida para liqui-dar el capital y los intereses del préstamo de $57,692,308. Por consiguiente, los ingresosnetos generados por la cartera símil serán cero ($60 millones - $60 millones). Una vezmás el resultado de la cartera será igual que el de las acciones de la compañía.

Debido a este último hecho, según la ley del precio único el valor de mercado delas acciones de la compañía habrá de ser igual al costo de formar una cartera símil,$28,021,978:

Costo de la cartera símil = ~ X $100 millones - $57,692,308

= $85,714,286 - $57,692,308 = $28,021,978

E = Costo de la cartera símil = $28,021,978

Puesto que un millón de acciones de la compañía están en circulación, cada unatiene un precio de $28.02.

Demos un paso atrás para explicar cómo determinamos la composición de lacartera que reproduce los resultados de las acciones de Debtco usando la compañíaen su conjunto y consiguiendo un préstamo libre de riesgo. ¿De qué manera sabemosque o/¡ es la parte de la compañía a comprar y que $57,692,308 (el valor presente de$60 millones) es el monto del préstamo a solicitar?

Sea x la parte de la compañía (acciones más bonos) que hemos de adquirir y seaYel monto a obtener prestado con una tasa libre de riesgo. En la tabla 16.3 se in-cluyen los resultados generados por la cartera símil en función de x y de Y.

Calculamos los valores de x y de Y estableciendo dos ecuaciones, una para cadauno de los resultados posibles de las acciones en la fecha de vencimiento de los bonos:

140x - 1.04 Y = 60

70x - 1.04 Y = O

La solución de este conjunto de dos ecuaciones es x == ~ y y == $57,692,308.Podemos, pues, reproducir los resultados de las acciones de Debtco adquiriendo ~

de ella a un costo de $85,714,286 y consiguiendo un financiamiento de $57,692,308 a unatasa de 4% libre de riesgo. La cartera símil tiene un costo de $28,021,978. Conforme a laLey del Precio Único, lo mismo sucede con el valor de las acciones de Debtco.

Adviértase que, a diferencia del caso en que no existía riesgo de incumplimiento(mencionado al inicio de la sección), la capacidad de reproducir los resultados proce-


Flujo de efectivoinmediato en

millones de dólaresFlujo de efectivo en la fecha de

vencimiento en millones de dólaresPosición

Acciones de Debtco -ESi VI = $140

60Si VI = $70

O

Cartera símil

$140x-$lOOx 70xComprar una parte x de la compañíaObtenga un préstamo Y

a la tasa libre de riesgoTotal de la cartera símil

- Y(1.04)60

- Y(1.04)O

y

. -$100x + y

dentes de las acciones de Debtco depende de conocer los posibles valores futuros dsus activos. En consecuencia, el resultante modelo de valuación se denomina modelde arbitraje condicional. La exactitud con que se conozcan esos valores rige la pre-cisión de la valuación.

Examinemos ahora la valuación de los bonos de Debtco. Puesto que )acabamos de calcular el valor de sus acciones, nos limitaremos a restarle el valorellas al valor total de la compañía:

D = V - E = $100 millones - $28,021,978 = $71,978,022

Tiene en circulación 80,000 bonos, cada uno con un valor nominal de $1,000 dólar -Por tanto, los bonos tienen un precio de $899.73 ($71,978,022/80,000) cada uno.

Procedemos a calcular él rendimiento al vencimiento de los bonos. Por defim-ción, ese rendimiento es la tasa de descuento que iguala al valor de mercado el valpresente del valor nominal prometido. En este caso, es de 11.145%.

$1,000(1 + YTM) = $899.73

YTM = $1,00~8;9.~~99.73 = 0.11145 u 11.145%

He aquí otra forma de expresar lo que hemos encontrado: es posible deseo -poner las acciones y los bonos de la compañía en cantidades equivalentes o expociones a ella en forma global (acciones y bonos combinados), conseguir financiamie •puro libre de riesgo de incumplimiento y otorgar financiamiento a una tasa de interé

TABLA 16,4

Monto Montoequivalente de equivalente de

Valor total la compañía deuda libre deValor de mercado en su conjunto riesgo de incumplimi

Bonos de Debtco (80,000 bonos) $71,978,022 $14,285,714 $57,692,308Acciones de Debtco

(1 millón de acciones) $28,021,978 $85,714,286 -$57,692,308Bonos y acciones de Debtco $100,000,000 $100,000,000 O


libre de riesgo. La tabla 16.4 resume nuestros hallazgos de esta modalidad.A continuación explicaremos cómo se interpretan los números de la tabla 16.4.

El primer renglón indica que el valor total del mercado de los bonos de Debtco es de$71,978,022. Estos bonos equivalen a una inversión de $14,285,714 en la compañíaglobal y de $57,692,308 de los bonos sin riesgo de incumplimiento que se vencen en unaño (esto es, bonos del Tesoro de Estados Unidos a un año). Ello significa que es posi-ble reproducir los resultados de los bonos de la compañía con sólo adquirir Y. de ella($14,285,714/$100,000,000) e invertir $57,692,308 en bonos a un año libre de rie go deincumplimiento que reditúan 4% de interés. La cartera símil cuesta $71 97 .022, quees el valor de los bonos de la compañía.

El segundo renglón de la tabla 16.4 muestra que las acciones de la compañíaequivalen a una inversión de $85,714,286 en su conjunto y a un financiamiento de

Repase y reflexione 16-2Suponga que los activos de Debtco son más volátiles que los del ejemploanterior: pueden adoptar valores de $200 millones o de $10 millones de dólaresen la fecha de vencimiento de los bonos. Dado que el valor actual de mercadode la compañía es de $100 millones, aplique el modelo dedos estados paradeterminar los valores individuales de mercado de las acciones y los bonos.¿Cuál es el rendimiento al vencimiento delos bonos?

$57,692,308 libre de riesgo de incumplimiento.

16.1.2 Valuación de los bonos cuando se conoce el precio de la acción

Supongamos ahora que lo que se conoce no es el valor global de mercado de una em-presa, sino el precio de las acciones de Debtco. Veremos cómo el análisis de obliga-ciones contingentes nos permite deducir el valor de mercado de sus bonos, basán-donos para ello en el precio de las acciones, en la tasa de interés libre de riesgo y en lagama de posibles valores futuros de la compañía.

Como en la sección anterior, supongamos que la compañía tiene dos valoresposibles (Vl), $70 y $140 millones de dólares, y que la tasa de interés libre de riesgo esde 4% anual. Sus bonos alcanzan un valor nominal de $80 millones. Tiene en circu-lación un millón de acciones y su valor de mercado es de $20 por acción. Así pues, elvalor total de mercado de las acciones es de $20 millones.

Aplicamos el método de dos pasos para calcular el valor de los bonos de lacompañía. En el paso 1 inferimos el valor total de ella y luego, en el paso 2, el valor delos bonos.

Con base en el análisis de la sección 16.1.1, sabemos que es posible reproducirlos resultados de las acciones de la compañía utilizándola en forma global y consi-guiendo un financiamiento libre de riesgo. Esto podemos hacerla al adquirir unaparte, ~, de ella y un préstamo de $57,692,308 a una tasa libre de riesgo de 4% anual.(Nótese que, para determinar la composición de la cartera símil, no es necesario cono-cer el valor de la compañía, V.)

Paso 1: determinación del valor implícito de la compañía

Sabemos que el valor de las acciones de la compañía en función de su valor, V, yque el monto del financiamiento libre de riesgo es

E = 0/7V - $57,692,308 = $20 millones.


Así que el valor implícito de V es

V = 716 X $77,692,308 = $90,641,026.

Paso 2: determinación del valor implícito de los bonos

Por tanto, el valor de los bonos es

D = V - E = $90,641,026 - $20 millones = $70,641,026

El rendimiento al vencimiento de los bonos es

YTM = $80 millones - $70,641,026 = ° 1325 1325°/$70,641,026 . o. /0.

Repase y reflexione 16-3Suponga que el precio de la acción es de $30 dólares cada una en vez de $20.Aplique el método de dos pasos para calcúlar el valor implícito de mercado delos bonos.

16.1.3 Valuación de las acciones cuando se conoce el precio de los bonosSuponga el lector que lo único que sabe es que el rendimiento al vencimiento de losbonos de Debtco es de 10% anual (o sea que el precio de un bono es de $909.09) yque, como en el caso anterior, el valor futuro de sus activos puede ser de $70 o $1millones de dólares. ¿De qué manera puede servirse del análisis de obligaciones con-tingentes para derivar el valor de las acciones?

Una vez más emplearemos el método de dos pasos. En el paso 1 calcularemos evalor implícito de la compañía en su conjunto y en el paso 2, el valor implícito de lasacciones. Pero antes debemos explicar la manera de reproducir los resultados de lobonos, usando la compañía en forma global y un préstamo libre de riesgo. En la tabla16.5 se indica cómo hacerla.

Determinamos los valores de x y de Y estableciendo dos ecuaciones, una paracada uno de los resultados posibles de los bonos en la fecha de vencimiento:

140x + 1.04Y = 80

70x + 1.04Y = 70

La solución de este conjunto de dos operaciones es x = 'hYY = $57,692,308.

TABLA 16.5 R~ roducci6n de los resultados de los bonos

PosiciónFlujo de efectivo

inmediato

Flujo de efectivo en la fechade vencimiento

en millones de dólares

Sí VI = 14080

Sí VI = 7070Bonos de Debtco -$D

Cartera Símil

140xY(1.04)

80

70xY(1.04)

70

Adquirir una parte x de la compañíaObtener el préstamo Ya la tasa libre de riesgoTotal de la cartera símil

-xV-$Y

-xV- y

16.2 BONO

CAPÍTULO 16 La valuación de las obligaciones contingentes 67

Por tanto, podemos reproducir los resultados de los bonos de la compañía, consólo adquirir J¡¡ de ella y otorgar un préstamo de $57,692,308 a la tasa de 4% anuallibre de riesgo. Por tanto, la fórmula con que se calcula el costo de la cartera símil entérminos de Ves

Costo de la cartera símil = V/7 + $57,692,308.

Sabemos que el valor de mercado de un bono de Debtco es de $909.09 dólares.Puesto que la compañía tiene en circulación 80,000 bonos, sabemos también queD = $72,727,273:

D = V/7 + $57,692,308 = $72,727,273

Paso 1: determinación del valor implícito de la compañía

El valor implícito de Ves $105,244,753:

V = 7 X ($72,727,273 - $57,692,308) = $105,244,753.

Paso 2: determinación del valor implícito de la acción

Por tanto, el valor de la acción es

E = V - D = $105,244,753 - $72,727,273 = $32,517,480.

16.2 BONOS CONVERTIBLES

200180160

'" 140oeo 120.ro'".Q 100""O•.. 80o-.¡

>- 604020

FIGURA 16.3 Diagrama de losresultados de los bonos de Con-vertidettNOTA: si el valor de la compañíano alcanza los $80 millones dedólares, los tenedores de bonosreciben el valor íntegro de ella.Entre los valores de $80 y $130millones, recibirán $80 millones.En el caso de valores superioresa $130 millones, recibirán 61.5%del valor de la compañía.

Un bono convertible obliga a la compañía emisora a rescatarlo a un valor a la parcuando se venza o a perrnitirle al tenedor convertirlo en un número preestablecido deacciones comunes. Si el valor de conversión en la fecha de vencimiento rebasa suvalor nominal, entonces el tenedor lo convertirá en acciones comunes.

Con un ejemplo explicaremos la aplicación del análisis de obligaciones contin-gentes al valuar esta clase de bono. Convertidett Corporation tiene activos idénticos alos de Debtco, pero su estructura de capital se compone de un millón de acciones co-munes y bonos de cupón cero a un año con un valor nominal de $80 millones de dólares(80,000 bonos, cada uno con un valor nominal de $1,000), convertibles en acciones co-munes a su vencimiento. Cada uno de ellos puede convertirse en 20 acciones de la com-pañía. Si se convierten todos los bonos, el número total de las acciones comunes será de2.6 millones: el millón de las acciones ya emitidas más 1.6 millones de acciones nuevas.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Valor de la compañía al cabo de un año


200

180

160

'" 140G)

"o'ü 120u.,'" 100~G).",

80•..oO;> 60

40

20

OO 20

FIGURA 16..4 Diagrama de losresultados de las acciones deConvertidettNOTA: si el valor de la compañíano alcanza los $80 millones dedólares, los accionistas no recibi-rán nada. Entre los $80 y $130millones, recibirán el valor de lacompañía menos $80 millones.Con valores superiores a $130millones, recibirán 38.5% de suvalor.

40 60 80 100 120 140 160 180 200Valor de la compañía al cabo de un año

Ahora estudiemos en las figuras 16.3 y 16.4 los diagramas de resultados de los bonosconvertibles y de las acciones comunes de la compañia. Nótese que cada uno de los dia-gramas consta de tres segmentos lineales. El primero corresponde a los valores que tendrádentro de un año y que no alcanzan los $80 millones. Si el valor de la empresa es menor alos $80 millones, los accionistas no cumplirán con sus obligaciones financieras, y entonceslos tenedores de los bonos recibirán el valor total de la compañia. El segundo segmentocorresponde a los valores futuros de la empresa en los que los bonos liquidarán íntegra-mente su valor nominal y no serán convertidos en acciones. El tercer segmento corres-ponde a los valores futuros en que los bonos serán convertidos en acciones.

A continuación calcularemos el valor de la compañia en el cual conviene conver-tir bonos en acciones comunes. Lo denotaremos con Vt.

Tras la conversión de los bonos, habrá un total de 2.6 millones de acciones co-munes (el millón inicial más las 1.6 millones emitidas para los tenedores de bonos con-vertibles). Cada acción tendrá un valor de V1 /2.6 millones. Así, el valor de 1.6 millonesde acciones que los tenedores de bonos convertibles tienen el derecho de recibir será:

1.6/2.6 X V1.

Si queremos determinar el valor en que conviene convertir los bonos, igualamoesta expresión del valor de conversión de los bonos a su valor nominal en la fecha devencimiento ($80 millones) y obtenemos

1.6/2.6 X Vf = $80 millones

Vf = $130 millones

Retornando el diagrama de resultados de los bonos convertibles de la figura16.4, ahora sabemos lo siguiente: si dentro de un año el valor de la compañía no al-canza los $130 millones, los bonos no serán convertidos; pero serán convertidos encaso de que superen esa cifra. Si los bonos se convierten, los tenedores de los bonosobtendrán 1.6/2.6Vl> o sea aproximadamente 61.5% del valor de la compañía.

A continuación explicaremos la manera de valuar los bonos convertibles me-diante el método de obligaciones contingentes de dos estados. En la tabla 16.6 semuestran los resultados que pueden obtener los accionistas actuales y los tenedoresde los bonos convertibles.


Valor Resultados posibles al cabo de un año

Empresa en su conjuntoAcciones (1 millón)Bonos convertibles (80,000)

$140,000,000$53,846,154$86,153,846

$70,000,000O

$70,000,000

Sea x la parte de la compañía (acciones más bonos) que debemos adquirir parareproducir las acciones de Convertidett y sea Yel financiamiento a conseguir con unatasa anual de 4% libre de riesgo.

Para determinar los valores de x y Y establecemos dos ecuaciones, una para cadauno de los resultados posibles de las acciones en la fecha de vencimiento de los bonos:

140,000,000x - 1.04 Y = 53,846,154

70,000,000x - 1.04 Y = °La solución de este conjunto de ecuaciones es x = 0.76923077 YY = $51,775,148.

Por tanto, podemos reproducir los resultados de las acciones de la compañía consólo adquirir 0.76923077 de ella a un costo de $76,923,077 y consiguiendo un préstamode $51,775,148 a una tasa libre de riesgo de 4%. La cartera símil tiene un costo neto de$25,147,929:

E = $76,923,077 - $51,775,148 = $25,147,929

Puesto que hay un millón de acciones, el precio de cada una es $25.15.¿Cuál será el valor de mercado de los bonos de la compañía?Para determinar el valor de los bonos convertibles, al valor total de la compañía

le restamos el de las acciones:D = V - E = $100 millones - $25,147,929 = $74,852,071

Hay 80,000 bonos en circulación, cada uno con un valor nominal de $1,000. Por con-siguiente, cada bono tiene un precio de $935.65 ($74,852,071/80,000).

Calculemos ahora el rendimiento al vencimiento de los bonos de la compañía.Por definición el rendimiento al vencimiento (RA V) es la tasa de descuento queiguala el valor presente del valor nominal prometido ($1,000) al precio de mercado.En este caso, es de 6.8775%:

$1,000 = $935 65(1 + RAV) .

RA V = $1,00~9;5.:35.65 = 0.068775 06.8775%

Como lo hicimos con los bonos y acciones de Debtco, podemos descomponer lasacciones y los bonos de Convertidett en montos o exposiciones equivalentes de éstaen su conjunto (acciones y bonos combinadas), consiguiendo financiamiento purolibre de riesgo de incumplimiento y prestando a la tasa de interés libre de riesgo. En latabla 16.7 se sintetizan nuestros hallazgos de esta forma.

He aquí la interpretación de las cifras de la tabla 16.7. El primer renglón mues-tra que el valor total de mercado de los bonos de Convertidett es de $74,852,071.Estos bonos convertibles son equivalentes a $23,076,923 de la compañía en su con-junto y a $51,775,148 de los bonos sin riesgo de incumplimiento que se vencen en unaño (esto es, bonos del Tesoro de Estados Unidos a un año). El segundo renglón de latabla 16.7 indica que las acciones son equivalentes a $76,923,077 de la compañía y queel préstamo libre de riesgo de incumplimiento es de $51,775,148.

QUINTA PARTE La valuacián. de derivadas y de obligaciones contingentes

TABLA 16.7 Descom~ci6n de acciones Convertidett

Cantidadequivalente dela compañía

en su conjunto

Cantidadequivalente de la

deuda libre de riesgode incumplimientoValor

Valor totalde mercado

$23,076,923$76,923,077

$100,000,000

Bonos de Convertidett (80,000 bonos) $74,852,071Acciones de Convertidett (1 millón) $25,147,929Bonos y acciones de Convertidett $100,000,000

$51,775,148-$51,775,148

O

16.3 REPRODUCCIÓN DINÁMICA

Es irrealista suponer que, dentro de un año, la compañía no puede tener más de dvalores. Por ello, para adoptar una actitud más realista subdividiremos el periodo =-un año en dos periodos semestrales. Supondremos que el valor de la compañía al eade seis meses puede ser $115 millones o $90 millones. Si dentro de seis meses su val -s-

es $115 millones, al final del año su valor será de $140 o $90 millones. Pero si su valdentro de seis meses es $90 millones, al final del año su valor será de $110 o $Tmillones. Ahora tendremos cuatro valores posibles de la compañía al final del año$140, $110, $90 y $70 millones. Suponemos que la tasa de interés libre de riesgo es de2% en los subperiodos semestrales.

Los títulos o instrumentos que queremos valuar tienen las mismas condicion _que las acciones de Debtco y que los bonos descritos en la sección 16.1. Dado queéstos tienen un valor nominal total de $80 millones, los posibles resultados por lasacciones de Debtco son $60, $30, $10 o O millones de dólares. En la tabla 16.8 eresumen lo que producen sus acciones y sus bonos.

Es dinámica la estrategia de inversión que reproduce la estructura de los resulta-dos de las acciones de la compañía. Exige ajustar la posición en la compañía y la cuan-tía del financiamiento después de seis meses, conforme al valor de la compañía que sematerializa en ese momento. Pero en todo momento la estrategia reproductora esesencialmente la que ya vimos en el modelo de dos estados. La figura 16.5 muestra loque está involucrado en la forma de un árbol de decisión.

La estrategia reproductora y su costo inicial se obtienen mediante un proceso deinducción hacia atrás. Ello significa comenzar con el último punto de decisión y partirde allí hacia atrás.

El diagrama de árbol contiene tres "nodos" de decisión, indicados con las letrasA, B YC. Consideremos la decisión a tomarse en el nodo B a lo largo de la rama supe-rior del árbol de la figura 16.5. El valor observado de la compañía en ese punto es de$115 millones de dólares. En un lapso de seis meses, el valor será de $140 o de $90millones.

TABLA 16.8 Resultado de los bonos y acciones de Debtco

Valor Resultados en millones de dólares

CompañíaBonos (80,000)Acciones (1 millón)

1408060

1108030

908010

7070

O

Valoractual de

la companía

$100 millonAdquirir 82.Obtener unTotal de la i

FIGURA 16.5


Valoractual de

la companía

Valor de lacompañía

dentro de seis meses

Valor de lacompañía

dentro de un año

Valorterminal dela cartera

/B ~$140 millones

$115mill~Comprar 17.843137% más de la compañía

aumenta a $78,431.372.55 el financiamiento recibido<,

$90 millones Vender 100% de la compañía $90 millonesLiquidar la deuda -$80 millones

Total $10 millones

Vender 100% de la compañía $140 millonesLiquidar la deuda -$80 millones

Total $60 millones

A$100 millonesAdquirir 82.156863% de la compañíaObtener un préstamo por $56,776,240Total de la inversión $25,380,623

~ $110 millones

e/$90 millones

Vender 7.156863% de la compañía yreducir la deuda a $51,470,588.24

Vender 75% de la compañía $82.5 millonesLiquidar la deuda -$52.5 millones

Total $30 millones

<,$70 millones Vender 75% de la compañia $52.5 millones

Liquidar la deuda -$52.5 millonesTotal O

FIGURA 16.5 Árbol de decisión para la reproducción dinámica de las acciones de Debtco

¿Cómo reproducimos las acciones de la compañía en el nodo B? Como hicimosen la sección 16.4, determinamos los valores de x y de Y estableciendo dos ecuaciones,una para cada uno de los resultados posibles de las acciones:

140x - 1.02 Y = 6090x - 1.02 Y = 10

La solución de este conjunto de dos ecuaciones es x = 1 Y Y = $80 millones/1.02.Lo anterior significa que, para reproducir el resultado de las acciones de Debtco,

hay que tener 100% de ella y conseguir un préstamo cuyo valor nominal sea de $80 mi-llones a una tasa semestral de 2% libre de riesgo. La cartera símil cuesta $36,568,627.45($115 millones - $80 millones/1.02).

Consideremos ahora el nodo e a lo largo de la rama inferior de la figura 16.5, a laderecha del punto de decisión semestral. Este nodo corresponde a la posibilidad de quela compañía valga $90 millones en seis meses. Al final del año su valor puede ser de$110 o de $70 millones, y los valores correspondientes de sus acciones son $30 milloneso cero. Para reproducir el resultado de las acciones habría que tener 75% de la com-


pañía y conseguir un préstamo cuyo valor nominal sea de $52,500,000.=Essímil tendría un valor de $16,029,411.76 (0.75 X $90 millones - $52.5 millones .•..•.._

Retrocedamos ahora en el tiempo al nodo A del diagrama. Al inicio ~que formar una cartera símil que genere un resultado de $36,568,627.45si ecompañía en el punto semestral es de $115 millones, o un resultado de $16. _~-su valor en el punto semestral es de $90 millones. La cartera que reprodu .gresos consiste en adquirir 82.1568627% de la compañía y conseguir un finan.::;¡;:==-de $56,776,240.3 Esta cartera símil cuesta $25,380,623 (0.821568627 X $100 --'-'--$56,776,240).

Esto completa la solución mediante la inducción hacia atrás y nos oírtrategia dinámica autofinanciable que nos permitirá reproducir las acciones de

A continuación examinaremos la estrategia reproductora desplazándadelante a través del árbol de decisión de la figura 16.5. En el nodo A, debemlA~-"=",,~bolsar $25,380,623 para crear la cartera símil inicial: $82,156,863 se invierten enpañía y se consigue un préstamo de $56,776,240 a una tasa de interés semestra;

Si después de seis meses el valor de la compañía es de $115 millones -habrá que incrementar el financiamiento a $78,431,372.55 ($80 millones/1.02 . ~ ...;;;JI.cantidad, $57,911,765 sirven para liquidar el préstamo en el nodo A y con los :-es::=:::!:.$20,519,608 se adquiere un 17.843137% de la compañía, lo cual hace que la .".••..---total sea 100% de la compañía. Así pues, a diferencia de lo que sucede en ei -

en el nodo B no se requieren más desembolsos de efectivo neto. En este nodzamos el segundo periodo semestral con una cartera cuyo 100% correspon -compañía y $78,431,372.55 a financiamiento. La cartera produce los mismosdos al final del año que las acciones de Debtco: $60 millones si VI es de $1o $10 millones si VI es de $90 millones.

Si después de seis meses el valor de la compañía es de $90 millones de(nodo C), habrá que vender $6,441,177 (0.07156863 X $90 millones) de ella' _dinero liquidar parte de la deuda, quedando así una deuda de $51,470,588 ( .: -X 1.02 - $6,441,177) que pasa al segundo periodo semestral. Igual que en el -tampoco en el nodo e se requieren más desembolsos de efectivo neto. En el nciamos el segundo periodo semestral con una cartera cuyo 75% corresponde apañía y $51,470,588 a financiarniento. Esta cartera produce los mismos resfinal del año que las acciones de Debtco, esto es $30 millones si V1 es $110 .LLLU •••••••• ""-'

cero si VI es $70 millones.Vemos, pues, que la estrategia dinámica de cartera con que se reproducen

ciones de Debtco es totalmente autofinanciable tras el desembolso in'$25,380,623. En otras palabras, no es necesario que el inversionista aportedos. El costo inicial de esta estrategia que reproduce los resultados de las acci -Debtco es de $25,380,623; ello nos permite concluir que éste debe ser tambiéntotal de mercado. Por tanto, el precio de una acción debe ser de $25.38.

Nótese que, al derivar la estrategia reproductora y al calcular el precio de lasde la compañía no fue necesario conocer las probabilidades relacionadasramas del árbo1. Tampoco se requirieron tasas de descuento ajustadas al ri .::único que necesitamos fue conocer los valores que el valor de una compañía -tener en el futuro y la tasa r de interés libre de riesgo.

110x - l.02Y = 3070x - 1.02Y = O

Esto nos permite resolver y encontrar x = 0.75 Y Y = $52.5 millones/1.02.3 115,OOO,OOOx- Y = 36,568,627.45

9O,OOO,000x - Y = 16,029,411.76

Esto nos permite resol~r y encontrar x = 0.821568627 Y Y = 56,776,240.


Aunque en este ejemplo hemos utilizado un árbol binomial simple de dos pasos,los mismos principios se aplican a un árbol multietapas más realista capaz de aproxi-mar mejor la verdadera distribución de probabilidad del valor futuro de la compañía.

En seguida resumiremos y generalizaremos lo que acabamos de explicar. Segúnel principio fundamental del análisis de obligaciones contingentes, es posible repro-ducir los valores emitidos por una compañía mediante la compra y la venta de ella enconjunto, y consiguiendo y otorgando financiamiento libre de riesgo. E ta estrategiadinámica reproductora es autofinanciable. El valor del título a reproducir es el costode establecer esta posición inicial.

En consecuencia,la valuación de las obligacionescontingentes es un método consis-tente en aplicardirectamente la Ley del PrecioÚnico dentro de un contextodinámico.

La estrategia dinámica de reproducción no incluye más que dos valores básicos-la firma en su conjunto y la deuda libre de riesgo-, por ello, los datos necesariospara utilizarlos son relativamente pocos. Es necesario conocer la tasa de interés librede riesgo, r, el valor total actual de la compañía, V, y los valores que puede tener en elfuturo. A diferencia de los métodos más tradicionales de valuación, como el del flujode efectivo descontado, no es necesario conocer sus probabilidades ni tasas de des-cuento ajustadas al riesgo.

16.4 VALUACIÓN DE TÍTULOS CONTINGENTES DEL ESTADO PURO

En el caso de Debtco y de Convertidett Corporation, no había más que dos valoresque podían tener en la fecha de vencimiento. Definamos ahora títulos que pagan $1en uno de esos estados y $0 en el otro. A este tipo de títulos se les da el nombre detítulos contingentes del estado puro," Si conocemos el precio de dos de esos valores,estaremos en condiciones de valuar cualquier título que emita la compañía: acciones,bonos, bonos convertibles y otros valores.

En este caso el razonamiento es análogo al que se empleo al valuar los flujos deefectivo conocidos en el capítulo 8. Lo primero que hicimos allí fue calcular los pre-cios de los bonos puros de cupón cero y valuar cualquier otro título que pagara efec-tivo en el futuro a partir de los precios de los bonos.

La tabla 16.9 contiene los resultados de dos títulos contingentes del estado puro.Supongamos que el valor de mercado de la compañía (V) es de $100 millones de

dólares y determinemos los precios de dos valores de este tipo. Aplicando el métodoreproductor del análisis de obligaciones contingentes, comenzamos calculando x y Ytales que los resultados de la cartera símil obtenida sean iguales a los resultados de losvalores contingentes del estado puro.

TABLA 16.9 Resultado de .\os:valQl"e!!eontingMtes del estada puro


CompañíaValor número 1 contingente del estadoValor número 2 contingente del estado

$140millones$1

O

$70millonesO

$1

4 Estas obligaciones puras contingentes del estado puro son similares a los valores Arrow-Debreu.

QUINTA PARTE La valuacián de derivadas y de obligaciones contingentes

Flujo inmediato Flujo de efectivoPosición de efectivo en la fecha de vencimiento

Si VI = 140 Si VI =-millones millon

Valor número 1 contingentedel estado de Debtco $1 O

Cartera símil

Adquirir una parte x de la compañía -xV $140x $70xOtorgar un préstamo Ya la tasa

libre de riesgo -$Y Y(1.40) Y(1.40Total de la cartera símil -xV- Y $1 O

La tabla 16.10 muestra la cartera símil del valor contingentes 1. Para determina:los valores de x y de Y establecemos dos ecuaciones, una para cada uno de los valorposibles de la compañía:

x140 millones + 1.04 Y = 1

x70 millones + 1.04 Y = O

La solución de este conjunto de dos ecuaciones es x = Yío millones y Y = -$1/1.-$0.9615. Del hecho de que Y resulte ser negativa se deduce que conviene más

obtener un préstamo que financiar una cantidad igual al valor presente de $1. En otraspalabras, el primer valor contingente del estado puro consiste en adquirir una parte dela compañía igual a Yío millones y conseguir un préstamo de $0.9615385 a una tasa librede riesgo.

Dado que el valor de la compañía es de $100 millones, el precio del primer valocontingente del estado puro, P¡, será

PI = $1.4285714 - $0.9615385 = $0.4670329.

TABLA.16.1l ReprodUCci6n del valor 2 con~ente del estado

PosiciónFlujo inmediato

de efectivoFlujo de efectivo

en lafecha de vencimiento

Si VI = $140millones

Si VI = $70millones

Valor número 2 contingentedel estado de Debtco O

Cartera símil

x $140 millones x $70 millonesAdquirir una parte x de la compañíaOtorgar un préstamo Ya la tasa

libre de riesgoTotal de la cartera símil

-xV

-$Y-xV- Y

Y(1.04)O

Y(1.04)$1

$1


La tabla 16.11 contiene la cartera símil en el caso del valor contingente del estado 2.Para determinar los valores de x y de Y establecemos dos ecuaciones, una para

cada uno de los valores posibles de la compañía:

x140 millones + 1.04 Y = O

x70 millones + 1.04 Y = 1

La solución de este conjunto de dos ecuaciones es x == -)00 millones y Y == $2/1.04 ==$1.9230769. En otras palabras, el segundo valor contingente del estado puro, consisteen vender en corto una parte de la compañía igual a )00y otorgar financiamiento por$1.9230769 a la tasa libre de riesgo.

Por tanto, el precio del segundo valor puro de Debtco dependiente del estado,P2, será

P2 = -100/70 + $2/104 = $0.494505

Nótese que, si se compra uno de esos valores, se recibirá $1 dólar sin importarcuál sea el valor de la compañía en un año. En consecuencia, un conjunto completo detítulos contingentes del estado equivale a un bono libre de riesgo de cupón cero quepague $1 dentro de un año.

Conforme a la ley del precio único, el costo de un conjunto completo de estetipo de valores deberá ser igual al de bono libre de riesgo de cupón cero que pague $1en un plazo de un año. Esto podemos verificarlo así:

P1 + P2 = $0.4670329 + $0.494505 = $0.9615385

Valor presente de $1 = $111.04 = $0.9615385

Ahora explicaremos cómo, usando los precios de los títulos contingentes del es-tado, se fija el precio de los valores emitidos por la firma.

En la tabla 16.12 se incluyen los resultados de una acción y de un bono deDebtco.

Una acción de Debtco equivale a 60 títulos contingentes del estado de tipo 1.Por tanto, su precio será

Precio de una acción de Debtco = 60P1 = 60 X $0.4670329 = $28.02.

Un bono de esta compañía equivale a 1,000 de sus valores contingentes del es-tado puro de tipo 1 y 875 del tipo 2. Por tanto, su precio será

Precio de un bono de Debtco = 1,000P1 + 875P2 =1,000 X $0.4670329 + 875 X $0.494505 = $899.73.

Obsérvese que estos precios de las acciones y bonos de la compañía son los mismosque los obtenidos en la sección 16.1.

TABLA 16.12 ResultMas de una acci6ny de un bono de Debtco


CompañíaAcción de DebtcoBono de Debtco

$140 millones$60

$1,000

$70 millonesO

$875


TABLA 16.lS


$140millones$53.84615$1,076.923

$70millonesO

$875

CompañíaAcciónde ConvertidettBono de Convertidett

La tabla 16.13 contiene los resultados de una acción y de un bono detidett.

Calcularemos a continuación los precios de las acciones y bonos de Convepartiendo de los precios de los dos valores contingentes del estado y verificar;:que sean los mismos que los de Convertidett derivados en la sección 16.5.

Precio de una acción de Convertidett = 53.84615P1

= 53.84615 X $0.4670329 = $25.1:Precio de un bono de Convertidett = 1,076.923Pl + 875Pz =

1,076.923 X $0.4670329 + 875 X $0.494505 = $935.65

Adviértase que estos precios son efectivamente iguales a los que derivamossección 16.2.

La principal ventaja de los títulos contingentes del estado puro radica en quepermiten fijar el precio de cualquier tipo de título cuyos resultados dependan delde la compañía. A esta categoría pertenecen los que tal vez no existen en este momLos títulos contingentes del estado puro no sólo nos indican cómo fijarles precioque se emitan después, sino también cómo reproducirlos utilizando las dos estrubásicas: la empresa y el financiamiento libre de riesgo a obtener o a conceder.

16.4.1 Ejemplo: valuación de una garantía de bono

Para explicar con un ejemplo lo que hemos venido exponiendo, supóngase que d -mas un título que ofrece los siguientes resultados: $125 dólares si el valor de lapañía resulta ser de $70 millones y nada si resulta ser de $140 millones. El título o-las resultados de una garantía de bono contra el riesgo de incumplimiento. Esaprecia en la tabla 16.14.

En otras palabras, si se agregan los resultados de un bono de Debtco a 1 _una garantía de bono, se logra un resultado libre de riesgo de $1,000 dólarcualquiera que sea el valor de la compañía.

¿Cuál es el precio justo de mercado de esa garantía y de qué manera puedeproducirse usando la compañía y la concesión y obtención de financiamiento libreriesgo? En este ejemplo, la garantía del bono de Debtco equivale a 125 valores cogentes del estado de tipo 2. Por tanto, su precio será

TABLA 16.14 Resultados de una garantía de bono de Debtco


$140millones$1,000

$70millones$875

CompañíaAcciónde DebtcoGarantía de un

bono de Debtco $0 $125


Garantía del precio de un bono de Debtco = 125P2= 125 X $0.494505 = $61.81.

Si queremos reproducir los resultados de la garantía del bono. habrá que venderen corto una parte de la compañía equivalente a 125/70 millones y conseguir un prés-tamo de 125 x $1.9230769 a una tasa libre de riesgo.

A manera de verificación de nuestros cálculos, nótese que el costo de un bonomás una garantía de bono es el valor presente de un bono libre de riesgo que pague$1,000 dólares en la fecha de su vencimiento:

Precio de un bono de Debtco + una grantía = $899.725 + $61.81= $961.54

Valor presente de $1,000 @ 4% = $1,000/1.04 = $961.54

ResumenEl principio fundamental del análisis de obligaciones contingentes es el siguiente:pueden reproducirse los valores emitidos por una firma mediante la compra y la ventade ella en su conjunto, y concediendo y obteriiendo financiamiento libre de riesgo.Esta estrategia reproductora es autofinanciable. El precio del valor a reproducir es elcosto de establecer la posición inicial. Así pues, la valuación de obligaciones contin-gentes es un método que consiste en aplicar directamente la Ley del Precio Único.

Los datos requeridos para utilizar el método de análisis de obligaciones contin-gentes son relativamente pocos. Para ello, no es necesario conocer la tasa de des-cuento ajustada al riesgo.

Términos relevantes

• análisis de obligaciones contingentes• resultados• bono convertible

• valores contingentes del estado puro• árbol de decisión

Respuestas a la sección de "Repase y reflexione"

Repase y reflexione 16-1 Suponga que la tasa de interés libre de riesgo es de 5%anual. ¿Cuál será el valor de mercado de las acciones y bonos de Debtco?

Respuesta: el valor de mercado de los bonos debe ser igual al valor presente de los$80 millones de dólares de valor nominal prometido descontado a la tasa de interéslibre de riesgo:

D = $80 millones/1.05 = $76,190,476

Por sustracción, el valor de mercado de·las acciones debe ser

E = V - D = $100 millones - $76,190,476 = $23,809,524.

Repase y reflexione 16-2 Suponga que los activos de Debtco son más volátiles quelos del ejemplo anterior: pueden adoptar valores de $200 millones o de $10 millones dedólares en la fecha de vencimiento de los bonos. Dado que el valor actual de mercadode la compañía es de $100 millones, aplique el modelo de dos estados para determinarlos valores individuales de mercado de las acciones y los bonos. ¿Cuál es el rendimientoal vencimiento de los bonos?

Si V¡ = $200 Si V¡ = 1-E 120 O

Cartera símil Pregunt~y

-$100x $200x 10x

y - Y(1.04) - Y(1.04-$100x + y 120 O


TABLA 16.5' Re

Posición

Flujo de efectivoinmediato en

millones de dólares

Flujo de efectivoen la fecha de vencimiento

en millones de dólares

Acciones de Debtco

Adquirir una parte x de la compañíaObtener el préstamo Ya la tasa

libre de riesgoTotal de la cartera símil

Respuesta: Sea x la parte de la compama (acciones más bonos) que debemosadquirir y sea Yel préstamo que ha de conseguirse a la tasa libre de riesgo. La tabla16.3' contiene los resultados de la cartera símil en función de x y de Y.

Calculamos los valores de x y de Y estableciendo dos ecuaciones, una para cadauno de los posibles resultados de las acciones en la fecha de vencimiento de los bono.

200x - 1.04Y = 12010x - 1.04Y = O

La solución de este conjunto de dos ecuaciones es x = 1% YY = $6,072,874.Podemos, pues, reproducir los resultados de las acciones de la comparua

adquiriendo J?S.9 de ella a un costo de $63,157,895 y consiguiendo un financiamientode $6,072,874 a la tasa libre de riesgo de 4%. La cartera símil tiene un costo de$57,085,021. Conforme a la ley del precio único, esté debe ser también el valor de susacciones.

Si queremos determinar el valor de los bonos, basta restarle al valor total de lacompañía el valor de sus acciones:

D = V - E = $100 millones - $57,085,021 = $42,914,979

La compañía Debtco tiene 80,000 bonos en circulación, cada una con un valor nomi-nal de $1,000 dólares. Por tanto, cada uno cuesta $536.4372 ($42,914,979/80,000). Eneste caso el rendimiento al vencimiento es

$1,000 = $536 4372(1 + RAN) .

·RAN = $1,00~5~6.!;~~.4372 = 0.86415 u 86.415%

Repase y reflexione 16-3 Suponga que el precio de la acción es de $30 dólarescada una en vez de $20. Aplique el método de dos pasos para calcular el valor implícitode mercado de los bonos.

Respuesta:Paso 1:determinación del valor implícito de la compañía:

Sabemos que el valor de las acciones en función del valor de Debtco, V, y elmonto del préstamo libre de riesgo es

E = ~V - $57,692,308 = $30 millones.


Por tanto, el valor implícito de V es

V = 716 X $87,692,308 = $102,307,692.

Paso 2: determinación del valor implícito de los bonos:Por tanto, el valor implícito de los bonos es

D = V - E = $102,307,692.7 - $30 millones = $72,307,692.67

Preguntas y problemas

1. Valuación de los bonos sin riesgo de incumplimientoSafeco Corporation tiene activos con un valor de $95 millones. Los activos se finan-cian con dos tipos de valores: acciones comunes (1 millón de acciones) y bonos decupón cero con un valor nominal agregado de $75 millones. Los bonos no están ex-puestos al riesgo de incumplimiento y se vencen en un año. La tasa de interés libre deriesgo es de 3% anual. ¿Cuál será el valor de mercado de los bonos de la compañía?¿Cuál será el valor de sus acciones?

2. Valuación de los bonos sin riesgo de incumplimientoContingo Corporation tiene activos cuyo valor es de $110 millones de dólares. Se finan-cian con dos tipos de valores: acciones comunes (1.5 millones de acciones) y bonos decupón cero con un valor nominal agregado de $90 millones (90,000 bonos, cada uno conun valor nominal de $1,000). Los bonos no están expuestos al riesgo de incumplimientoy vencen en un año. La tasa de interés libre de riesgo es de 4.5% anual. ¿Cuál es el valorde las acciones? ¿Cuál es el valor de los bonos? ¿Cuál es el precio de la acción?

3. Valuación de bonos sin riesgo de incumplimiento: un método alternoSuponga que Contingo Corporation valdrá $90 o $120 millones de dólares dentro de unaño; así que sus bonos siguen estando libres del riesgo de incumplimiento. Aplicando elanálisis de obligaciones contingentes, ¿cuál es el valor de sus acciones?, ¿de qué manerase reproducen los resultados de sus acciones?, ¿qué valor tienen los bonos?

4. Valuación de los bonos con riesgo de incumplimientoSuponga que Contingo Corporation es la misma compañía que la anterior, salvo quesus activos valdrán $70 o $160 millones de dólares dentro de un año. Sus activostienen un valor actual de mercado de $110 millones. Sus bonos con un valor nominaltotal de $90 millones presentan ahora riesgo de incumplimiento. Trace los diagramasde resultados de las acciones y bonos cuando su valor dependa del que tendrá la com-pañía al cabo de un año.a. Basándose en su intuición, ¿deberían los bonos sin riesgo de incumplimiento valer

más, menos o igual que los que están expuestos a ese riesgo?b. ¿Cuáles son las dos ecuaciones lineales con las cuales se determina una cartera que

reproduzca los resultados de los bonos de la compañía?c. ¿Cuáles son los valores de x, la parte de la compañía que debe adquirirse o

venderse en corto y de Y (el monto del financiamiento otorgado o conseguido auna tasa libre de riesgo para reproducir los resultados de los bonos)?

d. ¿Cuál es el valor de los bonos de la compañía?e. ¿Cuál es el valor de sus acciones?

5. Reproducción de los resultados de las accionesPongamos otra vez el caso de Contingo Corporation. Tiene en circulación 1.5 millonesde acciones y ha emitido 90,000 bonos con un valor nominal total de $90 millones.a. ¿Cuáles son las dos ecuaciones lineales con que se determina la cartera que repro-

duce los resultados de la compañía?b. ¿Cuáles son los valores de x, de la parte de la compañía que es preciso adquirir o

vender en corto y de Y (el monto del financiamiento concedido u obtenido para

Q 1Th1A PAR1E La valuación de derivadas y de obligaciones contingentes

reproducir los resultados de las acciones)?c. ¿Cuál es el valor de las acciones de la compañía?d. ¿Cuál es el valor de sus bonos? ¿Coinciden sus respuestas con las del probl

6. Valuación de una garantía de bonoNYC Investment Bank ha decidido garantizar los bonos de Contingo Corporatitenedor de un bono compra la garantía, tendrá la seguridad de que le pagarán H' -. - ••• -~

mente el valor del bono, sin importar el valor que tenga la compañía dentro dea. En el caso de un garantía de un bono individual (con un valor nominal de ~

¿cuáles son sus posibles resultados según los dos valores que la compañía _tener en un año?

b. Determine el valor de esta garantía calculando el costo de reproducir lacomo lo haría para determinar el valor de las acciones o bonos de la compañía,

7. Bonos convertiblesContingo Corporation tiene activos con un valor de $110 millones. La tasade riesgo es de 4.5%. Dentro de un año la compañía valdrá $160 o $70 millo--dólares. Tiene en circulación 1.5 millones de acciones y ha emitido 90,000 bonun valor nominal total de $90 millones. Cada uno de sus bonos de cupón cero pconvertirse en 25 acciones comúnes.a. ¿Con cuál valor de la compañía conviene a los tenedores de bonos efectuar

versión?b. ¿Cuáles son los resultados que perciben los tenedores de bonos con los dos .•

de la compañía en un año? ¿Y cuánto perciben los accionistas actuales?c. ¿Cuál es el precio de cada bono (valor nominal de $l,OOO)?¿Cuál es el preci

acción?8. Bonos convertibles

Consideremos la empresa CVC: tiene activos con un valor de $110 millones de dóLa tasa libre de riesgo es de 4.5%. La empresa valdrá $160 o $70 millones de dólares -tro de un año. Tiene en circulación 1.5 millones de acciones y ha emitido 90,000con un valor nominal total de $90 millones. ¿Qué ocurre si sus bonos de cupónpueden convertirse en 30 acciones comunes en vez de 25?a. ¿Con cuál valor de la compañía conviene a los tenedores de bonos efectuar la _

versión?b. ¿Cuáles son los resultados que perciben los tenedores de bonos con los dos va,

de la compañía en un año? ¿Y cuánto perciben los accionistas originales?c. ¿Cuál es el precio de cada bono (valor nominal de $1,000)? ¿Cuál es el precio-

acción? ¿Qué relación guardan estos precios con los del problema 7?9. Reproducción dinámica y el modelo binomial

Dynarep Corporation posee activos con un valor de $110 millones de dólares. Tiencirculación 1.5 millones de acciones y ha emitido 90,000 bonos de cupón cero covalor nominal total de $90 millones. La tasa libre de riesgo por un periodo de seis mes de 2.25%. La compañía valdrá $130 o $95 millones en un plazo de seis meses. Si$130 millones en seis meses, su valor será de $160 o $105 millones al final del añvale $95 millones en seis meses, su valor será de $120 o $70 millones al final del -Denotaremos los nodos A, B Y C como los puntos correspondientes a un valor de$130 y $95 millones, respectivamente.a. ¿Cuánto valen las acciones y los bonos en los nadas B y C? ¿Y en el nodo _-

¿Cuál es el precio de las acciones en el nodo A? ¿Cuál es el precio de un(valor nominal de $1,000)?

b. ¿Cuál combinación de la compra y venta de la compañía con la concesión y obtción de financiamiento en el nodo A reproduce los resultados de la acción ennodos By C?

c. Si el valor terminal de la compañía es de $120 millones, ¿qué monto de la deudebe liquidarse y qué parte de la compañía debe venderse en ese momento a finreproducir el resultado de la acción?


d. ¿Qué inversiones de efectivo neto se requieren en los nodos A, B YC para repro-ducir los resultados de las acciones?

10. Bonos convertiblesEl siguiente árbol contiene el valor de una compañía que fabrica las muñecas Her-mosas y Delicadas. Los fundadores/directivos conservaron algunas acciones. perovendieron una parte considerable de la compañía en bonos convertibles de cupóncero de dos periodos cuyo valor nominal total asciende a $85 millones de dólare . Lacaracterística de conversión da a los tenedores el derecho de cambiar -una veztranscurridos dos periodos-los $85 millones en 85% de la compañía. La tasa libre deriesgo está fija en 6%.

121110

100 999081

a. ¿Cuánto vale la emisión de bonos convertibles?b. ¿Cuál es el valor del capital del directivo?

11. Problema integradorCursa usted el penúltimo año en la universidad y, habiendo aprendido la valuación debonos y acciones, se pregunta si le gustaría ser inversionista profesional. Le emocionala idea de ser otro Warren Buffet, un billonario asesor de inversionistas. Comienza aleer los informes anuales de las empresas y a buscar en The Wall Street Journal accio-nes y cotización de PIE. Desea compra sólo acciones y bonos subvaluados. Comienzaconsiderando tres compañías de la industria electrónica: Steady Corporation, GrowthCorporation y NormalGro Corporation. Las tres tienen utilidades por acción de $10dólares y la tasa de capitalización del mercado de la industria es 10%.

• El precio actual por acción de Steady Corporation es de $90 dólares. También se lee en elinforme anual que la compañía planea liquidar todas sus utilidades en forma de dividen-dos y que los directivos confían que pueda pagar $10 por acción en forma indefinida.

• El precio actual por acción de Growth Corporation es de $200 dólares. En el informeanual se lee que, en opinión de los directivos, la compañía posee un enorme potencial deinversión y que, por lo mismo, va a retener 60% de las utilidades.

• Las acciones de NormalGro Corporation se venden en $100 dólares cada una. Por ahorapaga todos sus utilidades en forma de dividendos y espera conseguir una utilidad de $10por acción en forma indefinida.

a. ¿Cuál es el precio por acción de Steady Corporation según sus estimaciones? Te-niendo en cuenta su precio de mercado, ¿compraría usted acciones de Steady Cor-poration?, ¿lo haría en el caso de las de NormalGro Corporation?

b. ¿Cuál es el rendimiento implícito sobre la inversión que, a juicio del mercado,recibirá Growth Corporation de sus utilidades retenidas?

c. ¿Cuál es el valor presente de la inversión de Growth Corporation?d. ¿Si luego de consultar a uno de sus pesimistas amigos de ingeniería eléctrica decide

que Growth Corporation puede obtener 12% sobre las utilidades retenidas, ¿cuáldebería ser el precio de sus acciones?, ¿le compraría acciones si su precio de mer-cado se mantuviera en $200?

e. Pero si el resto de los ingenieros coinciden en que la compañía realmente tiene unaexcelente oportunidad de inversión y en que podría ganar 15% sobre las utilidadesretenidas, ¿estudiaría ahora la posibilidad de adquirir sus acciones a $200?

Leyó que NormalGro Corporation modificó su política de dividendos y que proyectaconservar el 60% de las utilidades. Un analista adopta una actitud muy optimista antelas acciones de la compañía y señala que, como se parece mucho a Growth Corporationy planea invertir una cantidad similar de sus utilidades, seguramente sus acciones regis-trarán un alza. En los informes anuales de NormalGro Corporation se lee que los direc-tivos proyectan realizar inversiones que les reportarán un rendimiento de 10%.

Q ITA PARlE La valuación de derivadas y de obligaciones contingentes

I f. ¿Debe usted creer el informe del analista? .Ahora realiza una investigación sobre Risco Corporation, compañía queculación cinco millones de acciones y bonos con un valor nominal de $100 •...~........,•.•••..__dólares. La tasa libre de riesgo es de 5%. Indique con V el valor actual deEn un año la compañía valdrá $150 u $80 millones.g. ¿Qué resultados perciben los accionistas de la compañía y los tenedores

en un año?h. ¿Cómo podría reproducir los resultados de las acciones de la compañía? .~_ ••....•••_

cuesta la cartera símil en función de V?i. Si el valor actual de las acciones es de $3.401 por acción, ¿cuál será el valo ~-j. ¿Cuánto valen los bonos de la compañía? ¿Cuál será, pues, el rendimi

vencimiento?Suponga que en el informe anual de Risco Corporation lee que, de acuerdoauditoría reciente, su valor actual es V = $100 millones de dólares. Además -100,000 bonos, cada uno con un valor nominal de $1,000.k. Si los bonos se negocian con un rendimiento de 15% al vencimiento por

de $869.57 cada uno, ¿los compraría?1. Si las acciones se negociaran a $3 cada una, ¿las compraría?

12. Bouchard and Parizeau, Limited, fabricante canadiense de novedades y artífiestas, acaba de emitir una deuda corporativa por 14,000 bonos de cupón reuno con un valor nominal de $10,000 dólares canadienses y con un vencimientaño. Según los pronósticos de los analistas de la industria, si la economía cana..::;;::::::i:-supera la recesión, en un año los activos B y P valdrán $240,000,000 dólaresdienses, pero en caso contrario valdrán sólo la mitad. Suponiendo que actualmtasa anual de interés a la cual los inversionista s pueden financiar o financiarsea. Derive una expresión para calcular el valor agregado del capital contable d -

en el periodo siguiente, basándose en el anterior pronóstico de la industria. e-de que la economía canadiense supere la recesión y en caso de que no lo hag

b. Derive una expresión de cartera, compuesta sólo por una acción de los activ sy P y prestando o financiándose a la tasa libre de riesgo r, que duplica exacel resultado en un año obtenido de la cartera constituida exclusivamente porciones de B y P. En particular, según la cartera, ¿de cuánto debe ser el préque se consiga u otorgue y qué acción de los activos de B y P se comprarávenderá en corto?

c. Derive una expresión con la cual calcular el valor agregado del capital contaBy P en función de su valor actual, V, y de la tasa de interés r.

d. Si el valor actual de las acciones de B y P es $59.10 dólares canadienses pory si hay un millón de acciones en circulación, ¿cuánto deberán valer actuaímectzlos activos de B y P?

e. Si por el contrario el valor de los activos de B y P es de $210,000,000 dólaredienses, ¿cuál será el valor actual por acción del capital contable, suponiend _haya un millón de acciones en circulación?

f. Suponiendo que el valor actual de los activos de B y P sea de $180,000,000 dócanadienses, ¿cuál será el valor actual de mercado de los bonos emitidos porP?, ¿cuál será su rendimiento al vencimiento?

g. Suponiendo por el contrario que el valor actual de los activos de B y P$210,000,000 dólares canadienses, ¿cuál será el valor actual de mercado de un -que emitan?, ¿cuál será su rendimiento al vencimiento?

h. Recalcule sus respuestas al valor de la deuda correspondientes a los casos d, _la tasa a que los inversionista s pueden prestar o financiarse se reduce a 0.05.

13. Considere el caso de Lange and Muldoon, compañía de Nueva Zelanda que se _cializa en la fabricación de balones de aire caliente. Acaba de emitir una deudarativa por la cantidad de 80,000 bonos de cupón cero, cada uno con un valor node 1,000 dólares neozelandeses y con un vencimiento a un año. Según los pronóde los analistas de la industria, si Nueva Zelanda firma el nuevo pacto coro


APEC, en un año sus activos valdrán $140,000,000 dólare neozelandese. perocaso contrario valdrá la mitad de esa suma. Suponiendo que actualmente laterés anual a que los inversionistas pueden financiar o financiarse a 0..

a. Calcule el valor actual de una acción de la compañia suponientual de mercado de sus activos sea de 100,000,000 de dólares zeianuesesen circulación 500,000 acciones.

b. Calcule el precio actual de un bono de cupón cero a un año emiti opañia en esas mismas condiciones. ¿Cuál será su rendimiento al vencimiento?

c. A la compañia le gustaría vender un nuevo valor a los inversionistas.y o conrratéusted como consultor para que estime su valor. El nuevo activo es un contrato {JUe

venderá hoya un precio de C y que dará al comprador el derecho de adacción por un precio de $30 dólares neozelandeses dentro de un año. Pero etrato no obligará al comprador a adquirir la acción, si el precio de ésta no alcanza$30 dólares; en este caso el activo simplemente será desechado. ¿Puede determinar.con el método de obligaciones contingentes, un valor actual de ese activo.suponiendo que se vendan 500,000 contratos.

14. Gephardt, Armey y Gore (GAG), una agencia de reservaciones de teatros de varie-dades, emitió en la semana una deuda corporativa de 80 bonos de cupón cero, cadauno con un valor nominal de $1,000 dólares y a un plazo de un año. Los analistas de laindustria predicen que el valor de los activos de la compañía será de $160,000 enun año, si Rupert Murdoch logra comprar y convertir el Washington Press Club en unteatro de comedia, que será de $130,000 si compra el club pero conserva la progra-mación actual y que será de $20,000 si construye otro teatro de comedia en Washing-ton. Los analistas de la industria predicen también que el valor agregado de loactivos de una segunda empresa en la industria de la diversión de comedia, YeltsinYuks, Limited (YY), valdrá respectivamente $100,000, $100,000 y $40,000 en cadauno de los tres casos anteriores. Suponiendo que los inversionistas puedan comprarcarteras compuestas de acciones de los activos de GAG y YY, y también estén encondiciones de comprar o vender en corto los bonos gubernamentales de cupón ceroa un año y a una tasa anual libre de riesgo de 0.10:a. Deduzca los tres valores alterno s que el capital contable de la compañia GAG ten-

drá al cabo de un año.b. Diseñe una cartera que sustituya perfectamente los resultados producidos por una

cartera compuesta sólo por el capital contable de la compañía GAG.c. Determine el valor actual de mercado de una acción de la compañia GAG,

suponiendo que tenga en circulación 10,000 acciones, que el valor actual de mercadode sus activos sea de $120,000y que su valor actual de mercado de YY sea de $85,725.

d. Determine el valor actual de mercado de un bono emitido por la compañia GAG,suponiendo que en estas mismas circunstancias emite 80 bonos. ¿Cuál será elrendimiento de cada uno al vencimiento?

15. Considere una economía con dos activos originales cuyos valores actuales de mercadoson respectivamente VO y CO y que muestran los siguientes vectores de resultados:VI = V{ll}, V{12},V{13},y C1 = C{ll}, C{12},C{13},donde V{li} y C{li} denotan losresultados respectivos de estos dos activos en el estado i, i = 1, 2, 3. Suponga que losinversionistas también comprarán o venderán en corto un valor gubernamental librede riesgo que genera un rendimiento de r por periodo.a. Forme una cartera constituida por las acciones de los activos V y C, así como por la

posesión de bonos gubernamentales, que reproduzca exactamente el rendimientoaleatorio que los inversionistas perciben de un activo E, el cual tiene un vector derendimiento E{ll}, E{12}, E{13}. ¿Cuáles son los valores de las acciones de estostres activos originarios?

b. ¿Cuál será, en ausencia de arbitraje, el valor actual de mercado de EO? ¿Por qué?16. Considere una compañia con activos que tienen el valor actual de mercado VO;el vec-

tor de resultados VI V{ll}, V{12},V{13},donde V{li}denota el valor respectivo de susactivos del periodo 1 en el estado i, i = 1,2, 3. Suponga que los inversionistas también

QUINTA PARTE La valuacián de derivadas y de obligaciones contingentes

pueden comprar o vender en corto un valor gubernamental libre de riesgo querendimiento de r por periodo.a. ¿Puede derivar una cartera constituida por los activos de la compañía y por el

gubernamental, que reproduzca el valor terminal o del periodo 1 del capitaltable o de la deuda emitida por la compañía? Explique su respuesta afirmatinegativa.

b. ¿Puede diseñar, a partir del valor de los activos de la compañía, un tercer aoriginario que le permita valuar el capital contable de la compañía o su deuda?

17. Considere dos valores del mercado: Xl y X2, con los resultados respectivos, xl _x1{12}y x2{1l}, x2{12},donde xj{ls} representa el ingreso pagado al tenedor del ven la fecha 1 en el estado s, s = 1,2. Defina los valores Arrow-Debreu o valorestingentes del estado puro como activos que pagan un dólar en la ~echa 1 en un es'y cero en el otro, de modo que los valores Arrow-Debreu de una economía con "fechas, hoy (fecha cero) y mañana (fecha 1) y con dos estados, 1 y 2, tienen los re: •tivos vectores de resultados, (1, O)Y(0,1).a. Denotando con a{ij}la cantidad (unidades) del valor de mercado xj necesario

formar el valor Arrow-Debreu como combinación lineal (cartera) de dos valde mercado, Xl y X2.

b. Por medio de estas expresiones derive las combinaciones de los valores decado Xl y X2, que equivalen a los dos valores respectivos Arrow-Debreu.

18. Considere esta descripción de la asignación de la cartera óptima al inversiorepresentativo: q{*}(h, 1, 1)x1{1l} + q{*}(h, 1, 2)x1{12} = P1, q{*}(h, 1, 1)x2{1q{*}(h, 1, 2)x2{2} = P2, donde q{*}(h, 1, s), denota el precio relativo intertemcompetitivo contingente del estado, al cual el ingreso actual se intercambia pordólar de ingreso en la fecha 1 en el estado s, donde s = 1,2.a. Resuelva estas condiciones con los precios relativos contingentes q{*}(h, 1, :

q{*}(h, 1,2) en función de los resultados contingentes del estado, x{jL{ls} y loscios actuales de mercado, P.Iil. X{j},j = 1, 2.

b. Compare sus soluciones de q{*}(h, 1, s) con las de las carteras de los valoresmercado que se requieren para formar los dos valores Arrow-Debreu delblema 6.

c. Si las tasas marginales de sustitución o si los precios relativos contingentes q{*1, 1) Yq{*}(h, 1, 2) representan el ingreso actual que cada inversionista deberíatercambiar para obtener un dólar-de ingreso en la fecha 1 en los estados rtivos 1 y 2, exprese las relaciones existentes entre estas tasas marginales de sus .ción y los valores o precios actuales de los dos valores Arrow-Debreu eneconomía de dos estados y dos fechas.

19. Utilizando las respuestas a los problemas 17 y 18, exprese las dos relaciones dentre los valores actuales, 8J1} y $\8_{2}, de los valores Arrow-Debreu y los practuales PJ1} y PJ2}de los valores de mercado en nuestra economía de dos estaddos fechas.

20. Las unidades del valor de mercado X{l} pagan $30 dólares en el estado 1 en la fecy $10 en el estado 2 en la fecha 1, mientras que las del valor X{2}paga $20 en el es -1 Y$40 en el estado 2 en la fecha 1. Sus precios actuales son, respectivamente $5 ~_dólares. Usando estos valores de mercado:a. Forme dos carteras que representen, respectivamente, los dos valores Arrow-

breu en esta economía.b. Derive los valores actuales de estos dos valores.c. Valúe una cartera compuesta de una unidad de cada uno de los valores Arrow-De

breu e interprete la importancia económica de la cartera.21. Las unidades del valor de mercado X{l} pagan $12 dólares en el estado 1 en la fecha ,

y $24 en el estado 2 en la fecha 1, mientras que las del valor X{2}pagan $24 en eltado 1 y $10 en el estado 2 en la fecha 1. Estos valores tienen, respectivamente,precios actuales de $22 y $20. Usando estos valores del mercado:


a. Forme dos carteras que representen, respectivamente, los 'dos valores Arrow-De-breu en esta economía.

b. Derive los valores actuales de los dos valores.22. El inversionista Jaime Gutiérrez posee actualmente $1,200 dólar y. a u juicio. el fu-

turo le depara dos estados aleatorios y mutuamente excluyentes a lo que ingeniosa-mente los designa como estados 1 y 2. Puede invertir en dos valores del mercado X{l}y X{2}.Estos valores tienen, respectivamente, los precios de $10 y 12 dólares. Cadaunidad del valor del mercado X{l} paga $10 dólares en el estado 1 en la fecha 1 y 12en el estado 2 en la fecha 1, mientras que las unidades del valor X{2}pagan _O dóla-res en el estado 1 y $8 en el estado 2 en la fecha 1.a. Determine cuántas unidades del primer valor de mercado podría adquirir el señor

Gutiérrez si comprara sólo ese valor; haga lo mismo con el segundo valor. ¿Cuálsería el resultado de estas dos carteras en la fecha 1?

b. Suponga que el señor Gutiérrez puede emitir (vender en corto) y adquirir los dosvalores, a condición de que pueda cumplir con todas sus obligaciones en la fecha 1,sin importar cuál estado ocurra. Determine la cantidad máxima de unidades delvalor X{2} que podría vender en corto para comprar unidades de X{l}, y luegocalcule el número máximo de unidades del valor X{l} que el señor Gutiérrezpodría vender en corto para adquirir unidades de X{2}.¿Qué resultados pro-ducirían estas dos carteras en la fecha 1?

c. Considere ahora un tercer valor, X{3}, que paga $5 dólares en el estado 1 en lafecha 1 y $12 en los otros casos. ¿Cuál será el precio actual de mercado cuando noexiste el arbitraje?

d. ¿Cuáles son los valores actuales de dos valores Arrow-Debreu que están implícitosen esta economía?

Cap 16

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