Cap. 4: Matemáticas para la Administracion

CURSO:

Métodos Cuantitativos I

Prof. Juan Serrano, MA

Texto:

MATEMATICAS APLICADASa la Administración y a la Economía

Quinta Edición, 2009

1

Contenido:

• Coordenadas cartesianas

• Líneas rectas

• Líneas paralelas y perpendiculares

• Aplicaciones

• Examen

2

3

Coordenadas Cartesianas

4

Objetivos

1. Localizar puntos en el plano cartesiano.

2. Trazar la gráfica (poligonal) de un conjunto

de puntos.

3. Encontrar la distancia y el punto medio entre

dos puntos en el plano.

5

Plano Cartesiano

Un plano cartesiano se compone de dos

rectas numéricas reales que se intersecan

formando un ángulo de 90 grados en el cero

de las dos rectas.

El plano cartesiano se utiliza como sistema

de referencia para localizar puntos en un

plano.

6Plano Cartesiano

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

I CuadranteII Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante

OrigenEje de las

Abscisas

Eje de las

Ordenadas

7

Pares Ordenados

Un par ordenado es un par de números de

la forma ( x, y ) en donde el orden en que

se escriben los números es importante. La forma

general de un par ordenado es:

(abscisa, ordenada)

Cada par ordenado representa un punto

en el plano cartesiano y viceversa.

8

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

Signos de los puntos (pares ordenados)

en los cuadrantes

Eje de las ordenadas

Cuadrante I

x > 0, y > 0

Cuadrante IV

x > 0, y < 0

Cuadrante III

x < 0, y < 0

Cuadrante II

x < 0, y > 0

Origen

(+,+)(-,+)

(-,-) (+,-)

Eje de las

abscisas

9

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

Ejemplos

Localiza los siguientes pares ordenados en el

plano cartesiano.

1. A(2, 3)

2. B(-2, 4)

3. C(-3, -2)

4. D(1, -3)

5. E(2, 0)

6. F(0, -1)

A(2, 3)

B(-2, 4)

C(-3, -2) D(1, -3)

E(2, 0)

F(0, -1) Puntos

cuadrantales

10

Ejemplo

La cantidad (en miles) de automóviles vendidos

en P.R. para los años 1988 al 1993 está dada en

la tabla. Localiza los puntos en el plano

cartesiano y traza una gráfica poligonal de los

datos. La gráfica poligonal se obtiene uniendo

los puntos con segmentos de líneas.

1988 1989 1990 1991 1992 1993

25 20 28 30 15 40

11

y

t

10

20

30

40

50

60

88 89 90 91 92 93 94Años

Cantidad

en Miles

1988 1989 1990 1991 1992 1993

25 20 28 30 15 40

A B C D E F

A

B

CD

E

F

12

País Precio por Galón,

p(U.S. $)

Millas Promedio

por Auto

Canada 1.57 10,371 England 2.86 10,186 France 3.31 8740

Germany 3.34 7674 Sweden 3.44 7456

United States 1.24 11,099

Ejemplo

Los datos mostrados representan el precio por galón de

gasolina en 1994 y el número promedio de millas

recorridas por autos en varios países. Dibuja una

gráfica poligonal de los datos.

13

M

P

7000

8000

9000

10000

11000

12000

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5Precio

Cantidad

Millas

4.0

24.1 57.1 86.2 31.3 34.3 44.3

11099 10371 10186 8740 7674 7456

A B C D E F

A

B

C

D

E

F

14

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

Distancia entre dos puntos del plano

Distancia entre A y B

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y

1x

2 1x x1y

2y

2 1y yd

2x

15

Usando el Teorema de Pitágoras tenemos que

2 2 2

1 2 2 1 2 1,d P P x x y y

Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados

obtenemos

2 2

1 2 2 1 2 1,d P P x x y y

16

1 1 1 2 2 2

2 2

1 2 2 1 2 1

La distancia entre dos puntos , y ,

en un plano se donota y define por

d , .

P x y P x y

P P x x y y

Fórmula de Distancia

17

1 23,8 , 1,2P P

2 2

1 2 2 1 2 1,d P P x x y y

2 2

1 2, 1 3 2 8d P P

2 2

1 2, 4 6d P P

1 2, 16 36d P P 52 2 13

Ejemplo 1:

Encuentra la distancia entre los puntos (3, 8) y (-1, 2).

18

Ejemplo 2:

En un mapa el punto A tiene las coordenadas

(2 , -1.4) y el punto B tiene unas coordenadas

(-4.6 , 2.5). Calcule la distancia entre A y B.

Suponga que la escala es en centímetros.

19

2

12

2

12 yyxxd

224.15.226.4d

224.15.26.6

La distancia entre A(2, -1.4) y B(-4.6, 2.5) es:

20

224.15.26.6d

229.36.6

77.58

67.7 cm

21

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

El punto medio entre dos puntos del plano

Punto medio entre A y B

1x2x1y

2y

2

21 xx

2

21 yy

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y

22

1 2 1 2PM , ,2 2

x x y yA B

Fórmula del Punto Medio

El punto medio del segmento de línea con extremos

y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y se define y denota por;

23

Encuentra el punto medio del segmento entre

1 3, 8P y 2 1, 2P .

1 2 1 21 2PM , ,

2 2

x x y yP P

PM 1,5

1 2

3 1 8 2PM , ,

2 2P P

1 2PM , 1,5P P

Ejemplo 1:

24

Ejemplo 2:

La cadena de los supermercados Ortíz tuvo

unas ventas anuales de $1.7 millones en 1997

y de $1.95 millones en 1999. Haga un

estimado de las ventas de estos supermercados

en 1998. Asumir que las ventas siguieron un

patrón lineal.

25

Como las ventas siguieron un patrón lineal y

el año 1998 está en el medio de los años 1997

y 1999 podemos usar la fórmula de punto

medio.

:puntos los Tenemos

1.95 ,1999y1.7 ,1997

26

1.7 ,1997 y 1.95 ,1999

PM2

95.17.1,

2

19991997

millones 825.1 , 1998

Las ventas en el 1998 fueron de 1.825 millones.

27Ejercicios:

1. Encuentra la distancia entre 2,3 y -2,-5

2. Encuentra la distancia entre 3 2,2 3 y -4 2,-3 3

3. Encuentra la distancia entre 2,3 y el punto medio

entre 2,-2 y (-4,-6)

4. Encuentra los puntos ,5 , cuya distancx ia al

punto 2,3 es 20.

Solución

Solución

Solución

Solución

Finalizar

28

.5,23,2 entre distancialaEncuentra.1 y

223522d

2 22 2 8d

0 64d

8d

Ejercicios

292. Encuentra la distancia entre,

3 2, 2 3 4 2, 3 3 .y

2 2

4 2 3 2 3 3 2 3d

2 2

7 2 5 3d

49(2) 25(3)d

98 75d

173dEjercicios

303. Encuentra la distancia entre,

2,3 y el punto medio entre 2,-2 y (-4,-6).

2 21 2 4 3d

2 21 7d

50d

4,12

)6(2,

2

)4(2..MP

25 2d 5 2d

Ejercicios

31

2 220 2 5 3x

4. Encuentra los puntos ,5 , cuya distancia al

punto 2,3 es 20.

x

2 220 2 2x

220 2 4x

22 220 2 4x

Ejercicios

32220 2 4x

216 2x

216 2x

4 2x

2 4x

. . 6,5 , 2,5C S

6 2x x

Ejercicios

Trabajo en el salón

• Realiza los ejercicios• 1, (3 al 6), (7 al 9), (20 al 23)

33

34

4.2

Lineas rectas y ecuaciones lineales

Líneas Rectas • Ejemplo 1: Encuentre la pendiente de la línea que une los

puntos (1, -3) y (3, 7).

Solución:

Paso 1: Escribe la formula de la pendiente de una línea:

Paso 2: Sustitución:

35

2 1

2 1

y ym

x x

2 1

2 1

y ym

x x

7 3

3 1

10

25

36

Líneas Rectas • Ejemplo 2: Encuentre la pendiente de la línea que une los

puntos (3, 2) y (5, 2).

Solución:

Paso 1: Escribe la formula de la pendiente de una línea:


36

2 1

2 1

y ym

x x

2 1

2 1

y ym

x x

2 2

5 3

0

20

Nota:

De modo que la línea

que une los dos puntos

es horizontal.

Ecuación Punto - Pendiente37

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

1x 2x1y

2y

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y

1 1y y m x x

Punto - Pendiente

• Ejemplo: Encuentre la ecuación de la línea que pasa por el

punto (5, -3) con pendiente en 2.

Solución:

Paso 1: Escribir la formula Punto – Pendiente:


38

1 1y y m x x

3 2 5y x

3 2 10y x

2 7y x 2 7y x

Punto - Pendiente• Determina la ecuación de la línea recta que pasa por los

puntos (1, -2) y (5, 6).

Solución:

Paso 1: Escribir la formula de la pendiente de una línea:


39

2 1

2 1

y ym

x x

6 2

5 1m

8

42

Pendiente = m = 2

Punto - Pendiente 40

Paso 3: Formula punto – pendiente a través del punto (1, -2) con

la pendiente m = 2:


1 1y y m x x

2 2 1y x

2 4y x

2 4y x


• Realiza los ejercicios 4-2• (1 al 5)

• (8, 10, 12, 16, 22)

42

4.2

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Objetivos

1. Definir rectas paralelas y rectas

perpendiculares.

2. Encontrar la ecuación de una línea recta que

es paralela o perpendicular a otra línea recta.

3. Determinar si dos rectas son paralelas o

perpendiculares analizando sus pendientes.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Definición

Dos líneas rectas se dice que son paralelas

si no tienen puntos en común.

Observación: Las líneas tienen la misma dirección.

Teorema

Dos líneas no verticales son paralelas si sus pendientes (o

sus inclinaciones) son iguales.

21 mm

Teorema: Criterio para líneas paralelas

La pendiente es m = -3

1 1y y m x x

5 3 1y x

5 3 3y x

3 8y x

Ejemplo 1 Encuentra la ecuación de la línea recta

paralela a y = - 3x +5 que pasa por (1, 5).

La pendiente es m =–– 4

1 1y y m x x

y – 2 = – 4( x – (– 1))

y – 2 = – 4x – 4

y = – 4x – 2

PM = (–1, 2)

Ejemplo 2Encuentra la ecuación de la línea

paralela a y = – 4x + 15 que pasa por

el punto medio entre (2, 6) y (–4, –2).

2

)2(6,

2

)4(2.MP 1,2

La pendiente es m = 5

Ejemplo 3Encuentra la ecuación de la línea paralela a

y = 5x +10 , que pasa por el punto ( x, 3 ) y

cuya distancia al punto ( 2, 6 ) es 3 unidades.

2

12

2

12 yyxxd

2 2 3 x 2 63

2 29 2 3 6x

29 2 9x

20 2x

2 0x

2x

El punto es 2,3

La pendiente es m = 5

y x

Punto = ( 2, 3 )

3 5 2

y 3 5 2 x

y 3 5 10x

y 5 7x

1 1y y m x x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Definición

Dos líneas rectas se dice que son

perpendiculares si se intersecan a un ángulo de

90o.

Dos líneas rectas no-verticales son

perpendiculares si y solo si el producto de sus

pendientes es –1. Esto es,

121mm

mm

12

1

Teorema: Criterio para líneas perpendiculares

1

3

1 1y y m x x1

5 13

y x

3

1

3

15 xy

1 14

3 3y x

Ejemplo 1

Encuentra la ecuación de la línea perpendicular

a y = – 3x + 5 que pasa por (1, 5).

La pendiente es m =

1 15

3 3y x

1 1 15

3 3 3y x

53

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

1 14

3 3y x

3 5y x

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación de la línea recta

que pasa por el punto (-1 , 3) y es

perpendicular a la línea 2x – y = 3.

32 yx

32xy

2m

2

1pm

Tenemos que la pendiente es –1/2 y el punto es (-

1 , 3).

11 xxmyy

12

13 xy

12

13 xy

12

13 xy

2

1

2

13 xy

2

5

2

1xy

1 13

2 2y x

1 1 6

2 2 2y x

57

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

2

5

2

1xy

32 yx

Ejemplo 3

Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a

y = - 4x + 15 que pasa por el punto medio entre

(2, 6) y (-4, -2).

La pendiente es m = 1/4

1 1y y m x x

Punto =(-1, 2)

2

)2(6,

2

)4(2.MP 1,2

12 ( 1)

4y x

1 12

4 4y x

1 9

4 4y x

1 12

4 4y x

1 1 8

4 4 4y x

Ejemplo 4

Determine si las gráficas de

y = 2x + 1 y y = 3x - 1 son rectas paralelas,

perpendiculares o ninguna.

12xy 13xy

2m 3m

Las rectas no son paralelas,

ni perpendiculares.

61

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

12xy

13xy

Ejemplo 5

Determina si las líneas rectas 2x + 3y = 4 y

3x – 2y = 5 ; son paralelas o perpendiculares.

432 yx 523 yx

3

4

3

2xy

2

5

2

3xy

Conclusión:

3

21m

2

32m

Las gráficas de las rectas son perpendiculares.

12

3.

3

2. 21 mm

Ejemplo 6

Determine si las gráficas de x - 4y = 2 y

2x – 8y = 1 ; son rectas paralelas, perpendiculares o

ninguna.

24yx

24 xy

2

1

4

1xy

182 yx

128 xy

8

1

4

1xy

4

11m

4

12m

Las rectas son paralelas.

65

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

66


• Realiza los ejercicios• 31 al 38

67

4.3

Aplicaciones de Ecuaciones lineales

68

INTRODUCCION:

En esta sección, estudiaremos algunas aplicaciones de las ecuaciones lineales

y líneas rectas a problemas en la administración y la economía.

En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos

de costos; se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos

hay que enfrentarse sin importar la cantidad producida del articulo; es

decir, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las

rentas, intereses sobre prestamos y salarios de administración.

Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la

cantidad de artículos producidos. Los costos de los materiales y de la mano

de obra son ejemplos de costos variables.

El costo total está dado por:

Costo total = Costos variables + Costos fijos

69Ejemplo 1: (Modelo de costo lineal)

El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 centavos y los costos

fijos por día son de $300.

a) Dé la ecuación del costo lineal y dibuje su gráfica.

Solución:

Si y representa el costo (en dólares) de procesar x kilos de granos de café en un día, se

sigue que de acuerdo con el modelo lineal,

en donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo.

y mx b

50 $0.50 $300m c y b

0.5 300y x

400

200

x

y

70

200 400

(0,300)

(200,400)

Hacer gráfica:

71Ejemplo 1: (Modelo de costo lineal) (Continuación)

El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 centavos y los

costos fijos por día son de $300.

b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en

un día.

Solución:

Sustituya x = 1000 en la ecuación creada al principio:

10000.5 300y

500 300y

800y

72Ejemplo 2: Modelo de costosEl costo de fabricar 10 máquinas de escribir al día es de $350, mientras que cuesta $600

producir 20 maquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal,

determine la relación entre el costo total y de producir x maquinas de escribir al día y

dibuje su gráfica.

Solución:

Tenemos los puntos (10, 350) y (20, 600) que están sobre la gráfica de un modelo de

costo lineal. La pendiente que une estos dos puntos es:

Para hallar la ecuación que muestra el costo es: Datos importantes: (10, 350), la

pendiente = m = 25.

2 1

2 1

y ym

x x

600 350

20 10

250

1025

1 1y y m x x

350 25 10y x

350 25 250y x

25 100y x

8 16 24 32 40 48 56

400

800

73Hacer gráfica:

74Ejemplo 3: (Depreciación)Una empresa compra maquinaria por $150 000. Se espera que el tiempo de vida útil de la

maquinaria sea de 12 años con un valor de desecho de cero. Determine el monto de

depreciación anual y una formula para el valor depreciado de x años.

Solución:

Depreciacion = Precio de adquisicion inicial Vida util

= 150 000 12

= 12 500

Valor despues de anos = Valor inicial Depreciacion por ano Numero de anosx

= 150 000 12 500 x anos

= 150000 12500 x dolares

75Ejemplo 3: (Depreciación) (Veamos la grafica)

2 4 6 8 10 12

50,000

100,000

150,000

Valor

X

76Ejemplo 4: (Demanda)Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una,

pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Determine la

ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Solución:

Considerando la cantidad x demandada como abscisa (x) y el precio p por unidad como

ordenada (y) los dos puntos sobre la curva de demanda tienen coordenadas.

x = 20, p = 25 y x = 30, p = 20

Datos: (20, 25) y (30, 20): Estos dos puntos son los puntos que unen la línea.

La pendiente de la recta es m = -0.5.

2 1

2 1

y ym

x x

20 25

30 10

5

100.5

77Ejemplo 4: (Demanda) (Continuación)

Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al

precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de

$20 a cada rasuradora eléctrica. Determine la ecuación de demanda,

suponiendo que es lineal.

Dado que p = y, tenemos que:

Datos: (20, 25) y (30, 20), La pendiente es m = -0.5

1 1y y m x x

25 0.5 20p x

0.5 35p x Esta la ecuación que se necesita

para demostrar la demanda.

78Ejemplo 4: (Demanda) (Gráfica)

20 30 40 60

20

30

P

X

40

60

79

Asignación para entregar:

Pág. 168

2 – 30

31, 33, 35, 37.

80

4.4

Sistema de Ecuaciones

El propietario de una tienda de televisores desea

expandir su negocio comprando y poniendo a la venta dos

nuevos modelos de televisores que acaban de salir al mercado.

Cada televisor del primer tipo cuesta $300 y cada televisor del

segundo tipo cuesta $400. Cada televisor del primer tipo ocupa

un espacio de 4 pies cuadrados, mientras que cada uno del

segundo tipo ocupa 5 pies cuadrados. Si el propietario solo

tiene disponibles $2000 para su expansión y 26 pies cuadrados

de espacio, Cuantos modelos de cada tipo deberá comprar y

poner a la venta haciendo uso completo del capital disponible y

del espacio?

Supóngase que el propietario compra x televisores del

primer modelo y y del segundo. Entonces, le cuesta $300x

comprar el primer modelo y $400y comprar el segundo tipo de

televisores. Dado que la cantidad total que ha de gastar es de

$2000, es necesario que:

82Ejemplo 6 (Mezclas)

La tienda El Sol, que especializa en todo tipo de frituras, vende

cacahuetes a $0.70 la libra y almendras a $1.60 la libra. Al final de

un mes, el propietario se entera de que los cacahuetes no se venden

bien y decide mezclar cacahuetes con almendras para producir una

mezcla de 45 libras, que venderá a $1.00 la libra. Cuantos libras de

cacahuetes y de almendras deberá mezclar para mantener los

mismos ingresos?

Solución

Sea x las libras de cacahuetes que la mezcla contiene y y las libras

correspondientes de almendras. Dado que el peso total de la

mezcla es de 45 libras,

83

4.5

Aplicaciones a la

Administración y la Economía

84Ejemplo 1:Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj

es de $15 y los costos fijos son de $2000 diario. Si vende cada reloj a $20, ¿cuántos

relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se

mantenga en el punto de equilibrio?

Solución:Se x el numero de relojes producidos y vendidos cada día. El costo total de producir x

relojes es:

y = costos variables totales + costos fijos = 15x + 2000

Dado que cada reloj se vende a $20, el ingreso y obtenido por vender x relojes es:

y = 20x

El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir:

20x = 15x + 2000

Obtenemos que: x = 400

GRAFH

85

Punto de equilibrio

86Ejemplo 2:Análisis del punto de equilibrio

Supóngase que el costo total diario (en dólares) de producir x sillas esta dado por:

y = 2.5x + 300

a) Si cada silla se vende a $4, ¿Cuál es el punto de equilibrio?

y = 4x

Punto de equilibrio:

4x = 2.5x + 300 Punto de equilibrio es x = 200 sillas

b) Si el precio de venta se incrementa a $5 por silla, ¿Cuál es el nuevo punto de

equilibrio?

y = 5x

En el punto de equilibrio y1 = y2

5x = 2.5x + 300 Punto de equilibrio es x = 120

87

c) Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al día, ¿Qué precio deberá fijarse

con el objeto de garantizar que no haya perdidas?

150p = 675 p = 4.50

Por lo tanto el precio fijado por cada silla debe ser $4.50 con el propósito de garantizar

que no haya ganancias ni perdidas (en el peor de los casos), si al menos se vende al día

150 sillas.

88Ejemplo 3: Análisis no lineal del punto de equilibrio

Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a $2 cada una. Si x es el

numero de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador

sabe que los costos de producción están daos, en dólares, por:

Determine el nivel de producciones en que la compañía no obtiene utilidades ni

perdidas (punto de equilibrio),

Solución: Los ingresos por vender x miles de cajas a $2 cada una están dadas

por;

Con el objetivo de quedar en el punto de equilibrio, los ingresos deben ser

iguales a los costos; de modo que;

Si dividimos ambos lados de la ecuación por 100;

2

2 1000 1300 100y x x

1 2000y x

21000 1300 100 2000x x x

2 7 10 0x x


Si factorizamos esta expresión, obtenemos;

Por lo tanto, encontramos que hay dos puntos de equilibrio en este problema.

La compañía puede decidir fabricar 2000 cajas a la semana (x = 2), con

ingresos y costos iguales a $4000.

O puede fabricar 5000 cajas a la semana (x = 5), cuando los ingresos y los

costos estén otra vez en un equilibrio de $10 000.

En este ejemplo es conveniente considerar las utilidades de la compañía. La

utilidad mensual U esta dada por ingresos menos los costos;

2 5 0x x

1 2U y y22000 1000 1300 100U x x x

21000 700 100U x x

100 2 5U x x


Punto de equilibrio del mercado

Oferta

Punto de equlibrio del mercado

Demanda

91

• REPASAR

• Coordenadas cartesianas

• Líneas rectas

• Líneas paralelas y perpendiculares

• Aplicaciones

• Examen

Cap. 4: Matemáticas para la Administracion

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