Capítulo 3 - Análisis Matricial de Redes
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ANLISIS MATRICIAL DE REDES
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Introduccin:
El anlisis de redes consiste en determinar las corrientes y tensiones en las distintas ramas del circuito.
Se puede aplicar distintas tcnicas (leyes de Kirchhoff, anlisis de mallas, anlisis de nodos, teoremas de redes, etc.)
La desventaja de estas tcnicas es la seleccin y el nmero de variables desconocidas cuando las redes son ms complejas.
El anlisis se puede hacer ms simple utilizando la topologa de la red, es decir considerando su estructura geomtrica (patrn).
Adems, el anlisis de redes complejas se puede facilitar con la utilizacin de matrices.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 2
-
Grfico de una red (Grafo)
Es un diagrama en donde se muestra como estn interconectados los elementos de un circuito.
Cada elemento de dos terminales (dipolo) se representa por medio de una lnea que se denominada rama.
Cada terminal de la rama es un punto que se denomina nodo.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 3
-
Grfico orientado
Los grficos son orientados si se asume un sentido de corriente en las ramas.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 4
-
Grfico plano: Las ramas no se cruzan en otro punto que no sea un nodo.
Grfico no plano: Las ramas se intersectan en otro punto que no es un nodo.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 5
-
Grado de un nodo: Nmero de ramas que incide en l.
Trayectoria de longitud m: Secuencia de m ramas diferentes con m+1 nodos.
Lazo de longitud m: Trayectoria en la cual el nodo inicial y el nodo final coinciden (trayectoria cerrada).
Autolazo: Lazo de longitud 1.
Grfico interconectado: Si existe por lo menos una trayectoria entre dos nodos cualquiera.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 6
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Conjunto de ramas de un grfico ():
Conjunto de nodos de un grfico ():
Nodo de referencia (): Preferentemente el que tiene mayor grado (ms ramas), pero puede ser cualquiera.
El grfico se denota como (, ): Conjunto formado por todas las ramas y nodos.
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= , , , .
= , , , . + +
-
Subgrfico: Formado por un subconjunto (grupo) de nodos y ramas del grfico. El subgrfico se denota como (, ).
Subgrfico propio: Tiene menos ramas y nodos que el grfico.
Subgrfico impropio: Utiliza todos los nodos del grfico.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 8
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rbol (): Es un subgrfico de G con las siguientes propiedades:
Contiene todos los nodos de G
No contiene ningn lazo
Cualquier rama adicional que se coloque al rbol formar un lazo.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 9
-
El rbol se denota como:
Entonces el conjunto de ramas es:
Otras propiedades del rbol:
En el rbol existe una sola trayectoria entre dos nodos.
El rango del rbol es igual al rango del grfico (N).
Para N+1 nodos, el rbol contiene N ramas.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 10
= ,
:
:
= ,
-
Conjunto de corte: Es un grupo de ramas y nodos tales que:
Si estas ramas se remueven (quitan) del grfico, se obtiene dos subgrficos separados.
Debe contener por lo menos una rama de rbol porque el rbol del grfico interconecta cada nodo.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 11
-
Conjunto de corte fundamental:
Conjunto de corte que cruza a una sola rama de rbol y el resto son ramas de enlace.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 12
# = #
-
Se considera el siguiente grfico como ejemplo:
Se hace cumplir la ley de corrientes de Kirchhoff.
Sentido positivo cuando la corriente est saliendo del nodo (es arbitrario).
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 13
: + + =
: + =
: + =
: =
: + + =
: =
-
Matriz de incidencia aumentada :
Filas nodos
Columnas ramas
Orden: ( + )
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 14
=
0
0
0
0
0
0
110000000
001110000
000001100
111000110
000100011
000011001
9
8
7
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
987654321
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
n
rrrrrrrrr
-
La matriz de incidencia aumentada tiene N filas linealmente independientes, por lo tanto el rango de la matriz es N.
Se cumple la ley de corrientes de Kirchhoff:
En forma matricial:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 15
=
=
= = , , . +
=
-
Matriz de incidencia :
Se obtiene eliminando cualquiera de las filas (nodo de referencia) de la matriz de incidencia aumentada.
Orden:
La matriz se incidencia es linealmente independiente.
Ley de corrientes de Kirchhoff:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 16
=
-
Ejercicio: Para el circuito de la figura, determine:
a) La matriz de incidencia aumentada.
b) La matriz de incidencia.
c) Ecuaciones de nodo en forma matricial.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 17
-
Considere los conjuntos de corte que se muestran en el grfico:
La suma algebraica de las corrientes que inciden en un conjunto de corte es igual a cero.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 18
C1
C2
C3
C4
C6 C5
-
Matriz aumentada del conjunto de corte :
Se considera positivas a las corrientes que estn entrando en el conjunto de corte (es arbitrario).
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 19
: =
: + =
: + =
: =
: + + =
: + =
C1
C2
C3
C4
C6 C5
-
Matriz aumentada del conjunto de corte :
Orden: ( ? )
Slo tres ecuaciones son linealmente independientes.
Rango:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 20
0
0
0
0
0
0
01101
10110
10101
11000
01110
00011
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
54321
i
i
i
i
i
C
C
C
C
C
C
rrrrr
0ra iQ
-
Matriz del conjunto de corte fundamental :
Se plantea las ecuaciones de los conjuntos de corte fundamentales.
La direccin positiva est dada por la corriente de la rama de rbol.
La numeracin del conjunto de corte debe estar dado por las ramas de rbol. Se escoge el rbol y luego se numera las ramas.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 21
C1 C3
C5
: =
: + =
: + + =
-
Matriz del conjunto de corte fundamental :
:
= +
=
=
:
=
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 22
0rf iQ
0
0
0
10110
11000
00011
5
4
3
2
1
5
3
1
54321
i
i
i
i
i
C
C
C
rrrrr
-
Matriz del conjunto de corte fundamental :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 23
: + =
: + + =
: + + =
C3
C4
C5
0
0
0
10110
10101
11000
5
4
3
2
1
5
4
3
54321
i
i
i
i
i
C
C
C
rrrrr
-
Matriz del conjunto de corte fundamental :
Elementos:
=
Las ramas de rbol tiene que unir todos los nodos sin formar caminos cerrados.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 24
-
Se aplica la ley de voltajes de Kirchhoff.
La suma algebraica de las cadas de tensin en un lazo es igual a cero.
Matriz aumentada de lazos
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 25
: + + =
: + + =
: + =
: + + =
-
Matriz aumentada de lazos
Orden: ( ? )
Rango: = Ramas de enlace (Re)
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 26
0
0
0
0
1010011
0001100
0110010
1100001
7
6
5
4
3
2
1
4
3
2
1
7654321
v
v
v
v
v
v
v
rrrrrrr
0ra vB
-
Matriz fundamental de lazos
Los lazos fundamentales y su sentido estn dados por las ramas de enlace.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 27
: + + =
: + + =
: + =
-
Matriz fundamental de lazos
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 28
0
0
0
0001100
0110010
1100001
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
7654321
v
v
v
v
v
v
v
rrrrrrr
0rf vB
-
Matriz fundamental de lazos
Elementos:
=
Ley de voltajes de Kirchhoff:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 29
=
= = , , . ( )
-
Para el grfico orientado de la figura, determine:
a) Matriz del conjunto de corte fundamental :
b) Matriz fundamental de lazos :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 30
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 31
# = + =
# = = # = =
# = =
# = + =
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 32
C1 C5
C3
C2 C4
100110000
001101000
101000100
011000010
110000001
5
4
3
2
1
987654321
C
C
C
C
C
rrrrrrrrr
Q f
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 33
100010101
010000011
001001110
000111000
4
3
2
1
987654321
rrrrrrrrr
B f
-
Se aplica nicamente a redes planares (ecuaciones de malla).
Un red planar es aquella en la que su grfico se puede dibujar sin que se corten ramas excepto en los nodos.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 34
Redes planares
Redes no planares
-
Malla: Un lazo de un grfico planar se llama malla si no contiene ninguna rama en su interior.
Se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 35
# : = = =
: + =
: + =
: + + =
-
=
Orden: ( ) Rango:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 36
0
0
0
100101
011010
110001
6
5
4
3
2
1
3
2
1
654321
v
v
v
v
v
v
m
m
m
rrrrrr 0rvM
Matriz de mallas
-
Matriz de incidencia []:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 37
011010
110100
101001
4
3
1
654321
n
n
n
rrrrrr
ANodo de referencia:
Cuando sale es positiva.
-
Matriz de conjuntos de corte fundamental []:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 38
C1 C3
C2
110100
011010
101001
3
2
1
654321
C
C
C
rrrrrr
Q fEl sentido positivo est dado por la rama de rbol.
-
Matriz de lazos fundamental []:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 39
100101
010110
001011
3
2
1
654321
rrrrrr
B fLa direccin del lazo corresponde a la rama de enlace.
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 40
100
010
001
110
011
101
011010
110100
101001
]][[ TfBA
000
000
000
]][[ TfBA =
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 41
000
000
000
]][[ Tff BQ =
100
010
001
110
011
101
110100
011010
101001
]][[ Tff BQ
-
Condiciones de ortogonalidad:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 42
=
=
=
=
-
Ejemplo:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 43
# =
# = +
Voltajes de rama: , , ,
=
=
=
=
=
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 44
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1001
1010
1100
0110
0011
n
n
n
n
r
r
r
r
r
v
v
v
v
v
v
v
v
v
nr vPv
=
= TaAP
nT
ar vAv
Orden de []: ( + ) Orden de []: ( + )
-
Teorema de Tellegen (conservacin de la potencia):
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 45
# =
# = +
=
=
TrRrrrr vvvvv ,,, 321
TrRrrrr iiiii ,,, 321
nT
ar vAv Reglas:
( + )= +
()=
()=
TnTaTr vAv
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 46
aT
n
T
r Avv
raT
nr
T
r iAviv
0ra iA
0rT
r iv Formulacin matricial del teorema de Tellegen
Significado fsico: Conservacin de la potencia
-
Dos redes diferentes, pero con el mismo grfico orientado:
Red 1:
Red 2:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 47
, ,
, ,
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 48
nT
r vAv
Avv TnT
r
0'''' 332211 RRiviviviv Se multiplica por
Como los grficos son iguales, entonces =
0'' riA
0' rT
r iv
0' rT
r iv
Para dos circuitos que tengan el mismo grfico orientado.
Se cumple independientemente de los elementos de las ramas.
No se interpreta como conservacin de la potencia, es una relacin matemtica.
0'''' 332211 RR iviviviv r
T
nr
T
r iAviv ''
0' riA
-
Red plana:
Ejemplo:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 49
# =
# = +
# = # =
=
=
=
=
=
=
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 50
3
2
1
6
5
4
3
2
1
001
010
110
100
101
011
m
m
m
r
r
r
r
r
r
i
i
i
i
i
i
i
i
i
mr iSi
=
= TMS
mT
r iMi
Orden de []: ( ) Orden de []: ( )
-
Red planar o no planar:
Considerando las corrientes de los lazos fundamentales:
De la misma forma puede demostrar que:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 51
TNRiiiii )(321 ,,,
# =
# = +
iBiT
fr
-
Ley de corrientes de Kirchhoff:
Ley de tensiones de Kirchhoff:
En total se tienen R ecuaciones con 2R incgnitas.
Estas ecuaciones slo dependen de la topologa de la red y no de los elementos.
Las R ecuaciones restantes se obtienen de las relaciones tensin-corriente en los elementos.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 52
= []
= []
(N ecuaciones linealmente independientes con R incgnitas)
(R-N ecuaciones linealmente independientes con R incgnitas)
-
Forma general de la rama:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 53
= +
=
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 54
TrRrrrr iiiii ,,, 321
TsRssss iiiii ,,, 321
TRiiiii ,,, 321
Corrientes de rama
Fuentes de corrientes de la rama
Corrientes de los elementos de la rama
TrRrrrr vvvvv ,,, 321
TsRssss vvvvv ,,, 321
TRvvvvv ,,, 321
Voltajes de rama
Fuentes de tensin de la rama
Voltajes de los elementos de la rama
[] = + []
[] = []
-
a) Si la rama es un resistor
a) Si la rama es un capacitor
a) Si la rama es un inductor
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 55
=
=1
=
1
= +
= s + s
=1
= +
-
Se recuerda la relacin:
Matriz de impedancia primitiva:
es una matriz cuadrada
es una matriz diagonal de resistencias
es una matriz diagonal formada por los inversos de las
capacitancias (susceptancias).
es una matriz que tiene las inductancias propias en la diagonal principal y fuera de ella las inductancias mutuas
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 56
=
= +
+
-
Relacin entre voltajes y corrientes de rama:
Donde:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 57
=
= +
= (Transformacin de fuentes de corriente en fuentes de tensin)
-
Combinando los dos conjuntos se obtienen ecuaciones linealmente independientes:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 58
= []
= []
= +
= []
Conjunto de ecuaciones linealmente independientes
Conjunto de ecuaciones linealmente independientes
=
+
-
Si el coeficiente de es una matriz no singular, entonces:
Los voltajes de rama se obtienen con la ecuacin anterior:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 59
=
+
=
-
Ejemplo: Determinar las corrientes y voltajes de rama aplicando el mtodo de la matriz de impedancia primitiva.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 60
-
Grfico de la red:
Matriz de incidencia [A]:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 61
-
Matriz de lazos fundamentales [Bf]:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 62
-
Fuentes de corriente de las ramas :
Fuentes de tensin de las ramas :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 63
-
Matriz de impedancia primitiva [Z]
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 64
-
Corrientes de rama :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 65
=
+
-
Voltajes de rama :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 66
=
-
Se recuerda la relacin:
Matriz de admitancia primitiva:
es una matriz cuadrada
es una matriz diagonal de conductancias
es una matriz diagonal de capacitancias
es una matriz que tiene en la diagonal principal el inverso de cada
inductancia propia (reluctancia propia), siempre que no existen inductancias mutuas.
Se cumple que:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 67
=
= +
+
=
-
Relacin entre voltajes y corrientes de rama:
Donde:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 68
= + +
= + +
= (Transformacin de fuentes de tensin en fuentes de corriente)
-
Combinando los dos conjuntos se obtienen ecuaciones linealmente independientes:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 69
= []
+ + = []
= []
Conjunto de ecuaciones linealmente independientes con R incgnitas
Conjunto de ecuaciones linealmente independientes
=
=
-
Si el coeficiente de es una matriz no singular, entonces:
Las corrientes de rama se obtienen con la ecuacin anterior:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 70
=
= + +
-
Ejemplo: Determinar las corrientes y voltajes de rama aplicando el mtodo de la matriz de admitancia primitiva.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 71
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 72
-
Matriz de admitancia primitiva [Y]:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 73
00377.00000
000213.0000
00723.0482.00
00482.0206.10
00000377.0
j
jj
jj
j
Y
1 ZY
-
Voltajes de rama :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 74
=
-
Corrientes de rama :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 75
= + +
-
Red:
Cuando el nmero de nodos es menor que el nmero de ramas, este mtodo es mas eficiente que cualquier otro.
Se toma como incgnitas los voltajes de nodo respecto a la referencia, as se tienen ecuaciones con incgnitas.
Vector de voltajes de nodo respecto a la referencia:
Lo voltajes de rama sern:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 76
# =
# = +
TnNnnnn vvvvv ,,, 321
nT
r VAV
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 77
sr VVV
nT
s VAVV
0rIA
sr III
0 sIAIA
sIAIA
VYI
ssnT
IAVYAVAYA
snT
VVAV
ssnT
IAVYAVAYA
Tn AYAY
Matriz de admitancia de nodos:
Matriz cuadrada de
ssnn IAVYAVY
Entonces:
snsnn IAYVYAYV11
Conjunto de ecuaciones linealmente independientes de los voltajes de nodo .
-
Ejemplo: Aplicando el anlisis de nodos, determine los voltajes de nodo, los voltajes y corrientes de rama.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 78
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 79
-
Matriz de admitancia de nodos :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 80
00377.00000
000213.0000
00723.0482.00
00482.0206.10
00000377.0
1
j
jj
jj
j
ZY
AYAYn
961.0720.0
720.0164.100213.0
jj
jjYn
-
Voltajes de nodos :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 81
snsnn IAYVYAYV11
932.145073.7
505.145433.4
962.3859.5
511.2654.3
j
jVn
-
Voltajes de ramas :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 82
nT
r VAV
-
Corrientes de rama :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 83
= + +
-
Red:
Este mtodo es til cuando el nmero de lazos fundamentales es menor que el nmero de nodos.
Se escoge un rbol y se asigna una direccin arbitraria a los lazos fundamentales , , .
Vector de corrientes de lazos :
Las corrientes de rama sern:
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 84
# =
# = +
TNRIIIII )(321 ,,,
IBIT
fr
-
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 85
0rf VB
sr VVV
0 sff VBVB
IZV
sfsfT
ff VBIZBIBZB
sT
f IIBI
Tff BZBZ
Matriz de impedancias de lazos:
Matriz cuadrada de ( ) ( )
Entonces:
Conjunto de ecuaciones linealmente independientes de las corrientes de lazos .
sr III
sff VBVB
sff VBIZB
sfsfT
ff VBIZBIBZB
sfsf VBIZBIZ
sfsf VBZIZBZI11
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Ejemplo: Aplicando el anlisis de nodos, determine los voltajes de nodo, los voltajes y corrientes de rama.
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 86
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27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 87
-
Matriz de impedancias de lazos :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 88
127.2640377.0
0526.26470526.26
377.0526.26018.25
jj
jj
jjj
Z
Tff BZBZ
-
Corrientes de lazos :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 89
351.12300995.0
46.270807.0
54.133241.0
00831.000547.0
0372.00716.0
175.0166.0
j
j
j
I
sfsf VBZIZBZI11
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Corrientes de rama :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 90
IBIT
fr
-
Voltajes de ramas :
27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 91
=