CAPITULO 5

Cuadripolos

Teoría de Circuitos I

Hemos visto que una red arbitraria de dos terminales (dipolo) compuesta por fuentes y elementos pasivos puede representarse por su equivalente de Thevenin o de Norton.

Podemos extender el concepto de circuito equivalente para incluir una clase importante de redes de cuatro terminales denominadas cuadripolos.

En la figura siguiente se muestra un cuadripolo vinculado a una red genérica y la nomenclatura asociada a los bornes.

RED GENÉRICA

a y a’ configuran el Puerto 1 (entrada)

b y b’ configuran el Puerto 2 (salida)

IMPORTANTE !!!

Para que sea un cuadripolo se debe cumplir que:

I1 = I1’ y I2 = I2’

Se denomina cuadripolo a cualquier red de cuatro terminales (dos puertos) en la cual se cumple que la corriente neta que entra a cada puerto es igual a cero.

Las condiciones impuestas a las corrientes que entran a un cuadripo-lo son, a veces, el resultado de los elementos que lo componen, sin embargo, frecuentemente, dichas condiciones dependen de la forma en que se conecta a otros cuadripolos o a la red. Algunos ejemplos,

1) 2)

3) 4)

* *j L1 j L 2

j M 1 2

Caracterización de cuadripolos

De las cuatro variables, V1, V2, I1 e I2, un par cualquiera puede considerarse como variables independientes, y el par restante como variables dependientes.

Así, tenemos 6 posibles combinacio-nes para elegir el par de variables independientes. Para cada una po-dremos escribir las variables depen-dientes como combinación lineal de las restantes.

A diferencia de los dipolos que pueden caracterizarse mediante un solo parámetro (relación entre una variable independiente y una dependiente, como ocurre en una resistencia V = R I), un cuadri-polo requiere cuatro parámetros, siendo posibles seis conjuntos diferentes de cuatro parámetros cada uno.

Parámetros admitancia en cortocircuito ( Y )

Tomando V1 y V2 como variables independientes, e I1 e I2 como dependientes, podemos escribir:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. .

. .

I y V y V

I y V y V

Donde, los parámetros quedarán definidos según:

2 1 2 1

1 1 2 211 12 21 22

0 0 0 01 2 1 2V V V V

I I I Iy y y y

V V V V

Para el cálculo práctico de y11 y y21 podemos cortocircuitar los bornes 2-2’, conectar una fuente V1=1 V, medir I1 e I2 y calcular las relacio-nes respectivas.

+1 V

Un planteo similar vale para los otros parámetros de y12 y y22 cortocircuitando los bornes 1-1’ y forzando por ej. V2 =1V

• En caso de trabajar en CC hablaremos de conductancias.

• y11 , y22 son las admitancias de entrada vistas desde 1-1' o 2-2‘.

• y12 , y21 son las admitancias de transferencia.

Parámetros admitancia en cortocircuito ( Y )

En notación matricial:

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

. .I y y V V

YI y y V V

Así, podemos sintetizar un modelo de cuadripolo como:

Podemos ver las ecuaciones del cuadripolo como las LKC en dos nudos:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. .

. .

I y V y V

I y V y V

Parámetros impedancia en circuito abierto ( Z )

Tomando I1 e I2 como variables independientes, y V1 y V2 como de- pendientes, tenemos:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. .

. .

V z I z I

V z I z I

Donde, los parámetros quedarán definidos según:

2 1 2 1

1 1 2 211 12 21 22

0 0 0 01 2 1 2I I I I

V V V Vz z z z

I I I I

Para calcular los parámetros z11 y z21 podemos dejar los bornes 2-2' abiertos, conectar una fuente I1=1A , medir V1 y V2 y calcular las relaciones correspondientes.Un planteo similar vale para los otros parámetros de z12 y z22 dejando abiertos los bornes 1-1’ y forzando por ej. I2 =1A

• En caso de trabajar en CC hablaremos de resistencias.

• z11 , z22 son las impedancias de entrada vistas desde 1-1' o 2-2‘.

• z12 , z21 son las impedancias de transferencia.

1 A+V1

-

+V2

-

En notación matricial:

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

. .V z z I I

ZV z z I I

Así, podemos sintetizar un modelo de cuadripolo como:

Podemos ver las ecuaciones del cuadripolo como las LKT en dos mallas:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. .

. .

V z I z I

V z I z I

Parámetros impedancia en circuito abierto ( Z )

Parámetros híbridos ( H )

Tomando I1 y V2 como variables independientes, y V1 e I2 como de- pendientes, tenemos:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. .

. .

V h I h V

I h I h V

Donde, los parámetros quedarán definidos según:

2 1 2 1

1 1 2 211 12 21 22

0 0 0 01 2 1 2V I V I

V V I Ih h h h

I V I V

Para calcular h11 y h21 habrá que cortocircuitar los bornes 2-2' y realizar los cálculos correspondientes, mientras que para calcular h12 y h22 deberemos dejar los bornes 1-1' abiertos.• h11 impedancia de entrada del puerto 1 con el puerto 2 cortocircuitado• h12 inversa de la ganancia en tensión en circuito abierto.• h21 ganancia de corriente en cortocircuito.• h22 admitancia de entrada del puerto 2 con el puerto 1 en circ. abierto.

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

. .V h h I I

HI h h V V

En este caso podemos pensar la primera ecuación como una LKT, la segunda como una LKC y sintetizar un modelo de cuadripolo:

Parámetros híbridos ( H )

En notación matricial:

A diferencia de los parámetros Y y Z que tienen dimensiones de y respectivamente, los parámetros H tienen diferentes dimensiones (inclusive hay 2 que son adimensionales).

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

' '. ' .

' '

I h h V VH

V h h I I

Se ve claramente que H' = H-1 si H es no singular.

Ejercicio: Plantear un modelo circuital genérico de un cuadripolo representado a partir de parámetro H’.

Parámetros híbridos ( H’ )

También podríamos haber definido una segunda matriz híbrida, to-mando como variables independientes la tensión V1 y la corriente I2. A esto parámetros se los conoce como parámetros H’.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

' . ' .

' . ' .

I h V h I

V h V h I

En notación matricial:

Parámetros de transferencia o fundamentales ( T )

Tomando I2 e V2 como variables independientes, y V1 e I1 como de- pendientes, tenemos:

1 2 2

1 2 2

. .

. .

V A V B I

I C V D I

Donde, los parámetros quedarán definidos según:

2 2 2 2

1 1 1 1

0 0 0 02 2 2 2I V I V

V V I IA B C D

V I V I

En este caso los ensayos para poder determinar los parámetros se realizan cortocircuitando (para los parámetros B y D) o dejando abierto (para los parámetros A y C) el puerto 2.• A : ganancia de tensión c/puerto 2 en circuito abierto.• B : impedancia de transferencia en cortocircuito.• C : admitancia de transferencia en circuito abierto.• D : opuesto de la ganancia de corriente c/puerto 2 en cortocircuito

En notación matricial:

1 2 2

1 2 2

. .V V VA B

TI I IC D

En este caso, no se puede dibujar un circuito equivalente como se hizo en los casos anteriores, dado que ambas ecuaciones corres- ponden a las variables tensión y corriente en el mismo puerto.

Estos parámetros son muy convenientes para analizar redes conectadas en cascada, como se vera más adelante.

Parámetros de transferencia o fundamentales ( T )

2 11 12 1 1

2 21 22 1 1

' '. ' .

' '

V t t V VT

I t t I I

Vemos que, la matriz de transferencia directa T expresa tensión y corriente en el puerto 1 en función de la tensión y corriente en el puerto 2, y la matriz de transferencia inversa T ' expresa la tensión y corriente en el puerto 2 en función de la tensión y corriente en el puerto 1, resulta que ambas matrices son inversas, es decir [T'] = [T]-1.

Si hubiéramos tomando como variables independientes la tensión V1 y la corriente I1 podríamos también haber definido una segunda matriz de transferencia, tal que:

En notación matricial:

Parámetros de transferencia inversa ( T’ )

2 11 1 12 1

2 21 1 22 1

' . ' .

' . ' .

V t V t I

I t V t I

Cálculo de parámetros para un circuito

Ejemplo 1: Hallar los parámetros Z para el circuito mostrado

Las ecuaciones de los paráme-tros Z son:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. .

. .

V z I z I

V z I z I

Por lo tanto, forzando V1 y dejando abierto el puerto 2 podemos calcular z11 y z21:

2

1 111

01 1

b e

I

V I r I rz

I I

2

221

01 1

c e

I

V I r I rz

I I

I2=0 I1= - I

1

1

b eb e

I r rr r

I

I2=0 I1= - I

V1

++

V2

-

= 0

1

1

c ee c

I r rr r

I

Cálculo de parámetros para un circuito

Ejemplo 1: Hallar los parámetros Z (continuación)

Para calcular z12 y z22 dejamos el puerto 1 en circuito abierto.

1

112

02 2

e

I

V I rz

I I

1

2222

02 2

c

I

I I rVz

I I

2

2

ee

I rr

I

2 2

2

1cc

I I rr

I

+

V1

-

= 0

V2

+

- I = I2

- I = I2

Cálculo de parámetros a partir de ensayos

Ejemplo 2: Se realizaron los siguientes ensayos sobre un cuadripolo.

Proponer un modelo cuadripolar.

Puerto 2 abierto:

V1 = 8 mV I1 = 4 µA V2 = - 8 V

Puerto 2 en cortocircuito:

V1 = 5 V I1 = 5 mA I2 = 250 mA

C

Como las variables que se anulan en los ensayos son siempre las variables independientes, V1 e I1 se escribirán en función de las mismas tal que:

1 2 2

1 2 2

. .

. .

V A V B I

I C V D I

2 2

2 2

1 1

0 02 2

1 1

0 02 2

8 5

8 250

4 5

8 250

I V

I V

V mV V VA B

V V I mA

I A I mAC D

V V I mA

luego

Relaciones entre los distintos tipos de parámetros

Sucederá a veces que teniendo expresado un cuadripolo a través de un determinado juego de parámetros, nos interesará conocer otra representación. Para ello, operando algebraicamente, podremos obtener cualquiera de los otros juegos de parámetros.

Ejemplo 3: Hallar los parámetros H en función de los Z

Conocidos queremos calcular

11 12

21 2

1 2

2

1

2 1 2

. .

. .

V I V

I

h h

I Vh h

11 12

21 2

1 2

2

1

2 1 2

. .

. .

V I I

V

z z

I Iz z

Despejando I2 de la segunda ecuación: 212 2 1

22 22

1. .

zI V I

z z

112 22 12 21 121 11 1 12 1 2

22 2

1

2

21

22

. .. . .

..

z z z z zV

V zz I z I V

z z

I

z

Reemplazando en la primer ecuación y reagrupando tenemos:

Relaciones entre los distintos tipos de parámetros

De manera similar se pueden calcular las restantes relaciones entre los diferentes parámetros (en el apunte pueden encontrarse otros ejemplos).

Todos los resultados están en la:

Ejemplo anterior

H = f( Z )

Cuadripolos recíprocos

Se dice que un cuadripolo es recíproco si su matriz de admitancia en cortocircuito y su matriz impedancia en circuito abierto son simétricas (es decir, si aij = aji para todo j). En otras palabras, si es simétrica respecto a la diagonal principal. Para que se verifique esta condición el cuadripolo solo debe contener elementos pasivos (pero no fuentes controladas).

Analizando las ecuaciones del modelo en parámetros Z:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. .

. .

V z I z I

V z I z I

11 11 1 2

2 1 222 2

2

1

. .

. .

V z I I

V I

z

z I z

Vemos entonces que podemos caracterizarlo solo con tres paráme-tros. Si suponemos que las ecuaciones anteriores corresponden al método de bucles, vemos que existe un vínculo galvánico entre las mallas de entrada y de salida debido justamente al elemento z12 .

Cuadripolos recíprocosLuego, podemos proponer un circuito que sintetice al cuadripolo, tal que se cumpla:

1 11 1 12 2

2 12 1 22 2

. .

. .

V z I z I

V z I z I

CC

z11 - z12 z22 - z12

z 12

A este modelo circuital se lo denomina modelo “ T ”.

Análogamente, veamos que ocurre si consideramos las ecuaciones de un cuadripolo a partir de sus parametros Y, pero pensando en ecuaciones de nudos:

1 11 1 12 2

2 12 1 22 2

. .

. .

I y V y V

I y V y V

C

y12

y 11 -

y12

y 22 -

y12

A este modelo circuital se lo denomina modelo “ ”.

Transformaciones de red T a red Ambas representaciones son únicas para redes recíprocas, es decir, cada red recíproca tiene una y sólo una T equivalente, y una y solo una equivalente. Surge así que cualquier red T que consista sólo en elementos pasivos tiene una red equivalente también pasiva, y viceversa. La transformación de T a es la que se conoce como estrella-triángulo, fue analizada en el Capítulo 4,

12 1 2

. . . . . . . . .A B A C B C A B A C B C A B A C B C

C B A

z z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z

z z z

1 12 12 2 1 2

1 12 2 1 12 2 1 12 2

. . .A B C

z z z z z zz z z

z z z z z z z z z

Interconexión de cuadripolos

A continuación, analizaremos las distintas posibilidades de inter-conectar 2 cuadripolos según como se conecten entre si los puertos de entrada y de salida de cada cuadripolo.

Así, tendremos cinco opciones: serie-serie, paralelo-paralelo, en cascada y mixta (serie-paralelo o paralelo-serie).

Es interesante analizar para cada una cuál es el juego de parámetros más conveniente para hallar un cuadripolo equivalente.

Interconexión paralelo-paralelo (o simplemente paralelo)

11 12

21 22

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

. .

. .

I y V y V I VY

I y V y V I V

oo 1 1

o2 2

V VY Y

V V

o

1

o2

1 1

2 2

I II

I I I

11 12

21 22

o o o o o o o1 1 2 o1 1o o o o o o o2 1 2 2 2

. .

. .

I y V y V I VY

I y V y V I V

En esta interconexión ambos cuadripolos tienen idénticas ten-siones de entrada (V1) e idénticas tensiones de salida (V2) por lo que decimos que se encuentran en paralelo.

Si modelizamos ambos cuadripolosde manera que las variables independientes sean las tensiones:

Observando la corriente del cuadripolo total:

o 1

2

VY Y

V

o

o

1 1

2 2

I I

I I

o o

1 1 1 2 2 2V V V y V V V equivY

Interconexión serie-serie (o simplemente serie)

11 12

21 22

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

. .

. .

V z I z I V IZ

V z I z I V I

11 12

21 22

o o o o o o o1 1 2 o1 1o o o o o o o

2 1 2 2 2

. .

. .

V z I z I V IZ

V z I z I V I

En esta interconexión ambos cuadripolos tienen idénticas co-rrientes de entrada (I1) e idénticas corrientes de salida (I2) por lo que decimos que se encuentran en serie.

Si modelizamos ambos cuadripolosde manera que las variables independientes sean las corrientes:

Observando la tensión del cuadripolo total:o

o 1 1o2 2

I IZ Z

I I

o

1

o2

1 1

2 2

V VV

V V V

o 1

2

IZ Z

I

o

o

1 1

2 2

V V

V V

equivZo o

1 1 1 2 2 2I I I y I I I

Interconexión mixta serie-paralelo

11 12

21 22

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

. .

. .

V h I h V V IH

I h I h V I V

oo 1 1

o2 2

I IH H

V V

o

1

o2

1 1

2 2

V VV

I I I

11 12

21 22

o o o o o o o1 1 2 o1 1o o o o o o o2 1 2 2 2

. .

. .

V h I h V V IH

I h I h V I V

En esta interconexión ambos cuadripolos tienen idéntica co-rriente de entrada (I1) e idéntica tensión de salida (V2) por lo que decimos que la interconexión es mixta.

Si modelizamos ambos cuadripolosde manera que las variables independientes sean I1 y V2:

Observando las variables V1 y I2 del cuadripolo total:

o 1

2

IH H

V

o

o

1 1

2 2

V V

I I

o o

1 1 1 2 2 2I I I y V V V equivH

Interconexión mixta paralelo-serie

11 12

21 22

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

. .

. .

I h V h I I VH

V h V h I V I

oo 1 1

o2 2

I IH H

V V

o

1

o2

1 1

2 2

I II

V V V

11 12

21 22

o o o o o o o1 1 2 o1 1o o o o o o o

2 1 2 2 2

. .

. .

I h V h I I VH

V h V h I V I

En esta interconexión ambos cuadripolos tienen idéntica ten-sión de entrada (V1) e idéntica corriente de salida (I2) por lo que, como en el caso anterior, decimos que la interconexión es mixta.

Si modelizamos ambos cuadripolosde manera que las variables independientes sean V1 y I2:

Observando las variables I1 y V2 del cuadripolo total:

o 1

2

VH H

V

o

o

1 1

2 2

I I

V V

o o

1 1 1 2 2 2V V V y V V V equivH

Interconexión de cuadripolos

Resumiendo, de acuerdo a como estén conectados los puertos de entrada y los puertos de salida de los cuadripolos será conveniente utilizar un juego de parámetros determinados para hallar una repre-sentación equivalente resultante de la interconexión.

Puertos de entrada

SERIE PARALELO

Pu

erto

s d

e sa

lid

a

SE

RIE

PA

RA

LE

LO

oequiv

Z Z Z

oequiv

Y Y Y

oequiv

H' H' H'

oequiv

H H H

Interconexión en cascada (o en tandem)

1 2 2 1 2

1 2 2 1 2

. .

. .

V A V B I V VT

I C V D I I I

o 1

1

.V

TI

o

1

o1

1

1

VV

I I

o o o o o o oo1 2 2 1 2

o o o o o o o1 2 2 1 2

. .

. .

V A V B I V VT

I C V D I I I

En esta interconexión el puer-to de salida de un cuadripolo se conecta al puerto de entrada del siguiente. Así, dado que las variables de salida de un cuadripolo son las variables deentrada del siguiente, el modelo más conveniente para analizar la interconexión será el de parámetros T.

Observando las variables de entrada del cuadripolo total tenemos:

o 2

2

.V

T TI

o

o

o

2

2

.V

TI

equivTo o2 1 2 1V V y I I

o 2

2

.V

T TI

2 2 2 2V V y I I Observ: El producto matricial no es conmutativo! Respetar el orden según la conexión!

Ejemplo 4: Interconexión de cuadripolos

Hallar los parámetros del cuadri-polo equivalente correspondiente a la conexión mostrada.Lo primero que observamos es que ambos cuadripolos comparten en sus puertos de entrada la misma tensión (V1) y en sus puertos de salida también (V2).

Interconexión paralelo-paralelo

Conviene utilizar los parámetros Y

Para determinar los parámetros Y de cada cuadripolo habrá que ensa-yar cada cuadripolo con un corto en el puerto de entrada y con un corto en el puerto de salida y hallar las impedancias correspondientes.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. .

. .

I y V y V

I y V y V

Ejemplo 4: Continuación

Cuadripolo 1:

Cuadripolo 2:

V1

+

Ensayando el puerto de salida en corto

2

2

111

01

221

01

V

V

Iy

V

Iy

V

V1

+2

2

111

01

221

01

V

V

Iy

V

Iy

V

6x

1

2 10

3x

1

2 10

V2

+5

1 5

1

101075

75

V

V

V2

+

2 2

3 3 31 2

1

10 10 10

I I

I I

Ensayando el puerto de entrada en corto

1

1

112

02

222

02

V

V

Iy

V

Iy

V

1

1

112

02

222

02

V

V

Iy

V

Iy

V

0

= 0

= 0

1

75

2

332

1210102

I

I

33

1 2

1010 2

C1

C2

Cequiv

1

6x

5

10

2 10

10 1

75 75

CY

2

3 3x

33

1 1

2 10 10

1 2

1010

CY

Ejemplo 4: Continuación

Así, tenemos nuestra interconexión de dos cuadripolos en paralelo, donde cada cuadripolo está carac-terizado por sus paramtros Y.

Luego, como se dedujo anteriormente, el cuadripolo equivalente es-tará caracterizado por:

equiv 1 2C CY Y Y

Ejemplo 5: Interconexión de cuadripolos

Para la siguiente interconexión de los cuadripolos C1 y C2 se cono-cen dos ensayos realizados sobre C1 y la matriz H del cuadripolo 2.

C1 C2

Cequiv

+V1

-

+V2

-

I1 I2

Cuadripolo 1:

1) Puerto 1 en circuito abierto: Cuadripolo 2:

V1 = 8 mV I2 = 4 mA V2 = 8 V

2) Puerto 2 en circuito abierto:

V1 = 5 V I1 = 1 mA V2 = 2,5 V

Determinar el modelo cuadripolar equivalente más conveniente para caracterizar la interconexión.

2

3

3

10 10

10 10CH

Lo primero que vemos es que la interconexión es del tipo cascada, por lo que conviene trabajar con los parámetros T de cada cuadripolo.

A su vez de los ensayos sobre C1 vemos que al ser la variables inde-pendientes las que se anulan podemos calcular sus parámetros Z.

Ejemplo 5: Continuación

2 1

2 1

1 111 12

0 01 2

2 221 22

0 01 2

5 85 2

1 4

2,5 82,5 2

1 4

I I

I I

V V V mVz K z

I mA I mA

V V V Vz K z K

I mA I mA

Cuadripolo 1:

Cuadripolo 2:

2

3

3

10 10

10 10CH

ZC1 TC1

Tabla

HC2 TC2

Tabla

1 -3x

2 3998

0,4 10 0,8CT

2 -3x

9,9 1

0,1 10 0,1CT

Como ya vimos anteriormente para la interconexión en cascada, la matriz de parametros equivalente Tequiv se obtiene a partir de la multiplicación matricial de TC1 por TC2. C1equiv C2T T T