CAPITULO 9 TRENES DE ENGRANAJES, · PDF filecuando Arquímedes desarrolló un...

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CCAAPPIITTUULLOO 99

TTRREENNEESS DDEE EENNGGRRAANNAAJJEESS,, RREEDDUUCCTTOORREESS PPLLAANNEETTAARRIIOOSS YY DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS

División 1

Engranajes. Descripción General

Técnicas constructivas. Cinemática

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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1. Engranajes Generalidades y Nociones Históricas Los engranajes y las transmisiones de engranajes están presentes en muchas de las máquinas que se pueden hallar tanto en el mundo industrial como en el doméstico. Los engranajes promueven el movimiento de las ruedas y hélices de los medios de transporte, ya sea por tierra, mar o aire. Sin embargo, la tecnología asociada a los engranajes no es, en absoluto, una cuestión novedosa. Antes bien, para buscar su origen debemos de remontarnos, por lo menos hasta a la Grecia de la antigüedad. Así, hasta hace no mucho, se decía que la primera referencia a los engranajes correspondía a Aristóteles, o a los discípulos de su escuela, y aparecía en el libro "Problemas Mecánicos de Aristóteles" (280 a.C.). Tal apreciación, sin embargo, es incorrecta ya que lo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de fricción. Para una referencia más acertada deberíamos trasladarnos hacia el año 250 a.C., cuando Arquímedes desarrolló un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseños de máquinas de guerra. Por otro lado, el mecanismo de engranajes más antiguo que se conserva es el mecanismo de Antikythera (Figura 9.1) -descubierto en 1900 en la isla griega de ese nombre en un barco hundido-. El mecanismo, datado alrededor del año 87 D.C., resultó además ser extremadamente complejo (incluía trenes de engranajes epicicloidales) y podría tratarse de una especie de calendario solar y lunar. Con anterioridad a este descubrimiento, se había venido considerando como la primera aplicación conocida de engranajes diferenciales epicicloidales al llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 D.C.): un ingenioso mecanismo de origen chino (Figura 9.2) que mantenía el brazo de una figura humana apuntando siempre hacia el Sur (considerando, eso sí, que en las ruedas del carro no existía deslizamiento). Por otro lado en el Figura 9.3 se muestra un par de engranajes helicoidales tallados en madera y hallados en una tumba real en la ciudad china de Shensi, los cuales fueron datados en la época contemporánea a Jesucristo, específicamente 50 DC. Tales engranajes tienen 24 dientes con un diámetro de 15 mm y un ancho de 10 mm (ver la Referencia [6]) Posteriormente, la tecnología de los engranajes apenas sufrió avances hasta llegar a los siglos XI-XIII con el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronomía. Poco tiempo después esta tecnología se utilizó en Europa para el desarrollo de sofisticados relojes, en muchos casos destinados a catedrales, abadías y especialmente a monasterios de congregaciones religiosas; únicos lugares donde se generaba conocimiento antes de la creación de las universidades europeas. Un siglo más tarde, entre el siglo XV y XVII se desarrollan las primeras teorías de engrane y las matemáticas de los perfiles de los dientes de los engranajes, especialmente los perfiles cicloides debidos a Desargues y los perfiles de evolvente debidos La Hire. Luego con la


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revolución industrial la ciencia y tecnología de los engranajes alcanza su máximo esplendor. A partir de este momento, la aparición de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas aplicaciones para los engranajes, y con la llegada del automóvil -por ejemplo- la preocupación por una mayor precisión y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria.

Figura 9.1. Mecanismo de Antikytheras (Tomado de Referencia [6])

Figura 9.2. Mecanismo que apunta al sur (modelo del museo Smithsoniano)


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Figura 9.3. Engranaje helicoidal tallado en madera, hallado en una tumba de Shensi, China (Referencia [6])

Actualmente, los métodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajes han avanzado considerablemente, por ejemplo, las aplicaciones aeronáuticas en las que se utilizan engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de gran velocidad y que a su vez deben soportar cargas importantes. Por otro lado el avance conjunto de la interrelación de técnicas experimentales y computacionales complejas (Métodos de Elementos Finitos, por citar un caso), hace posible la evaluación detallada de casi todo tipo de fenómeno asociado a los engranajes. Funcionamiento Los engranajes tienen la función de transmitir una rotación entre dos ejes con una relación de velocidades angulares constante. Así, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas o Engrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecánica entre dos ejes mediante contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de los ejes. Se denomina "Relación de Transmisión" al cociente entre la velocidad angular de salida ω2 (velocidad de la rueda conducida) y la de entrada ω1 (velocidad de la rueda conductora): i=ω2/ω1. Dicha relación puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- o signo negativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relación de transmisión es mayor que 1 (i>1) se supondrá el empleo de un mecanismo multiplicador, y si es menor que 1 (i<1) -que suele resultar lo más habitual- supondrá el empleo de un mecanismo reductor, o simplemente de un reductor. Es claro que la obtención de una relación de transmisión constante entre dos ejes, no es algo privativo de los engranajes, ya que lo mismo puede obtenerse con correas o cadenas o ruedas de fricción, o hasta levas entre los más conocidos. Sin embargo dichos dispositivos poseen ciertas limitaciones principalmente en el orden de la carga o potencia que pueden movilizar.


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Los engranajes, por otro lado, poseen varias ventajas competitivas que los hacen óptimos para tal tipo de tarea (transmitir movimiento rotatorio entre dos ejes con una relación de transmisión constante), tales como su relativa sencillez de fabricación, su capacidad para transmitir grandes potencias, la gran variedad de opciones constructivas, etc.

Clasificación Los engranajes pueden clasificarse de diferentes maneras, a saber:

1) Según la distribución espacial de los ejes de rotación 2) Según la forma de dentado 3) Según la curva generatriz de diente

Una forma común de clasificar a los engranajes es a partir de la 1), es decir según la distribución espacial de los ejes de rotación, también denominados axoides. En la Figura 9.4 se puede apreciar un esquema muy general de distribución de axoides de rotación y sus respectivas direcciones. Dadas las direcciones X1 y X2 se puede trazar el vector opuesto a ω1, o sea –ω1 de manera que el sistema quede trabado con un movimiento resultante ω2-ω1, cuyo eje instantáneo de rotación y deslizamiento dará el tipo de movimiento entre los dos ejes.

Figura 9.4. Distribución de los ejes de rotación y sus direcciones

Así pues, según que los ejes sean paralelos o se corten o se crucen corresponderán a las siguientes subclases de engranajes Cilíndricos, Cónicos o Hiperbólicos, respectivamente. Engranajes Cilíndricos:

- De Dientes Rectos Exteriores (Ver Figura 9.5.a) - De Dientes Rectos Interiores (Ver Figura 9.5.b) - De Dientes Helicoidales Exteriores (Ver Figura 9.5.c) - De Dientes Helicoidales Interiores (Ver Figura 9.5.d) - De Dientes Rectos con cremallera (Ver Figura 9.5.e)

Engranajes Cónicos - De dientes Rectos (Ver Figura 9.5.f) - De dientes Helicoidales (Ver Figura 9.5.g)

Engranajes Hiperbólicos - Sin Fin-Corona (Ver Figura 9.5.h)


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- Hipoidales (Ver Figura 9.5.i) - De dientes helicoidales y ejes cruzados (Ver Figura 9.5.j)

Engranajes No circulares - Ruedas dentadas para fines específicos similares a los de las levas o los de ciertos

mecanismos (Ver Figura 9.5.k)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

(j) (k) Figura 9.5. Ejemplos de engranajes.

En la Figura 9.6 se muestra una caja de velocidades, con aplicaciones de diversos tipos de pares de ruedas dentadas como las expuestas en la Figura 9.5. Esta caja de velocidades,


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muestra a su vez lo económicamente funcional y atractivo de utilizar varias etapas diferentes para incrementar la velocidad, en vez de utilizar un solo par de engranajes para cumplir el mismo cometido. Las características más fáciles de ver son:

a) Aspecto compacto y sólido del cuerpo: dado que los ejes son más bien cortos y simplemente apoyados y los engranajes se ubican muy cercanos a los cojinetes para evitar deflexiones excesivas.

b) Robusteza en aumento desde la entrada de par motor a la salida del par motor

Figura 9.6. Ejemplos de aplicaciones de engranajes: caja de Velocidades: Reductora.

Con el objeto de mostrar las características operativas más importantes de los engranajes, desde los principios de funcionamiento hasta consideraciones de seguridad y control se emplearán preferentemente configuraciones de engranajes de dientes rectas por poseer mayor simplicidad constructiva. El conocimiento de este tipo de engranaje es fundamental para comprender el funcionamiento de los pares de engranajes con mayor complejidad geométrica, lo cual incluye a los engranajes cilíndricos de dientes helicoidales, que son más preferidos que los de dientes rectos por ser operativamente más efectivos, compactos y permiten mayores velocidades. Aun así, los lineamientos generales del funcionamiento de los engranajes de rientes rectos son plenamente útiles en diferentes escalas de potencia y tamaño, como lo atestiguan los dos ejemplos de la Figura 9.7. En la Figura 9.7.a se puede observar un dispositivo micromecánico donde la rueda dentada genera los movimientos para los actuadores longitudinales. En la Figura 9.7.b se muestra una aplicación de engranajes planetarios para la transmisión de grandes potencias en un puente rotativo. En definitiva, sea en escala micro o macro, la mecánica de los engranajes se rige por las mismas expresiones analíticas.


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(a) (b) Figura 9.7. Escalas de aplicación de engranajes. (a) micromecánica (b) macromecánica (Referencia [7])

La Ley de Engrane, acción conjugada y obtención de perfiles conjugados Los dientes de los engranajes para transmitir el movimiento de rotación, actúan conectados de modo semejante a las levas, siguiendo un patrón o pista de rodadura definido. Cuando los perfiles de los dientes (o levas) se diseñan para mantener una relación de velocidades angulares constante, se dice que poseen "Acción Conjugada". En consecuencia los perfiles de dientes de engranajes que ostenten acción conjugada, se denominarán “perfiles conjugados”. En términos generales, cuando una superficie hipotética empuja a otra (Figura 9.8), el punto de contacto "c" es aquél donde las superficies son tangentes entre sí. En estas circunstancias las fuerzas de acción-reacción están dirigidas en todo momento a lo largo de la normal común "ab" a ambas superficies. Tal recta se denomina "Línea de Acción" y cortará a la línea de centros "O1O2" en un punto P llamado "Punto Primitivo". En los mecanismos de contacto directo, en los cuales se produce contacto entre superficies que deslizan y/o ruedan, la relación de velocidades angulares es inversamente proporcional a la relación de segmentos que determina el "punto primitivo" sobre la línea de centros (la demostración se apoya en el teorema de Aronhold-Kennedy), o sea:

POPO

rri

2

1

2

1

1

2 ===ωω (9.1)


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O1P y O2P se denominan "Radios Primitivos" y a las circunferencias trazadas desde O1 y O2 con esos radios "Circunferencias Primitivas". En consecuencia, para que la relación de transmisión se mantenga constante, el punto P deberá permanecer fijo: la línea de acción, para cada punto de contacto, deberá pasar siempre por P.

Figura 9.8. Esquema para la ley de engrane

La ley de engrane basada en el análisis de la expresión (9.1) se puede enunciar como sigue: "La relación de transmisión entre dos perfiles se mantendrá constante, siempre y cuando la normal a los perfiles en el punto de contacto pase en todo instante por un punto fijo de la línea de centros." Como se ha mencionado anteriormente los perfiles que verifican la ley de engrane constante, son denominados perfiles conjugados. Si se tiene un perfil cualquiera η1 que gira alrededor de O1, siempre se puede calcular un perfil η2 que girando alrededor de O2 y en contacto con η1 dé lugar a una relación de transmisión constante i = cte. es decir, tal que η2 sea el perfil conjugado de η1 según se puede apreciar en la Figura 9.9. Si se conocen los puntos O1 y O2 junto con la relación de transmisión i, se puede hallar el punto primitivo P, el cual se ubica sobre la línea de centros (y por tanto tangente a las circunferencias primitivas de radios r1 y r2). resolviendo el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

POPO

rri

DPOPOrr

2

1

2

1

1

2

2121

===

=+=+

ωω (9.2)

El lugar geométrico de los puntos que coinciden en cada instante con el punto de contacto entre ambos perfiles o superficies se le denomina "Línea de Engrane". El ángulo α que forma la normal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la línea de


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centros se denomina "Ángulo de Presión". El ángulo α determina, por tanto, la dirección en la que tiene lugar la transmisión de potencia entre ambos perfiles. Si este ángulo varía, la dirección de transmisión de potencia varía y esto es algo que, desde el punto de vista dinámico, puede resultar muy perjudicial. Lo ideal sería poder obtener una "línea de engrane" que fuese una línea recta (con lo que el ángulo de presión se mantendría constante).

η

1

Figur Las superficies o perfiles conju

a) Si η2 es el perfil conjuconjugado de η2.

b) Si η2 es el perfil conjuson el mismo perfil.

c) Si se fija un perfil conjsobre una circunferencidel perfil η1 según se aperfil η1 en todas esas p

d) La recta normal a dos p

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de

r

η
r2
a 9.9. Cinemática de los perfiles conju

gados gozan de las siguientes p

gado de η1, se verifica la inve

gado de η1 y η3 es el perfil con

ugado η1 a una circunferencia rua base de radio r2 se obtendrá unprecia en la Figura 9.10, de manosiciones dará el perfil conjugaerfiles conjugados pasa siempre

Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo

1

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2

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cir que η1 es el perfil

η2, entonces η3 y η1

dio r1 y se hace rodar e posiciones sucesivas curva envolvente del

nto primitivo P.

n

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Figura 9.10. Envolvente de un perfil conjugado.

La esencia en la mecánica y cinemática de los perfiles conjugados, no es estrictamente privativa de los perfiles de dientes de engranajes, dado que aquella se presenta en muchas otras aplicaciones no necesariamente emparentadas con los engranajes. Entre otras aplicaciones importantes de las superficies conjugadas se encuentran, los impulsores de bombas de lóbulo (ver Figura 9.11.a), o la bomba de espiral (ver Figura 9.11.b).

(a) (b) Figura 9.11. Otras superficies conjugadas. (a) bomba de lóbulos (b) Bomba de espiral

El perfil de envolvente Una de las cosas que interesa en los engranajes es encontrar perfiles conjugados que, por una parte, satisfagan la ley general de engrane y, por otra, sean fáciles de construir. Un perfil que cumple estas condiciones es el de evolvente tal como se muestra en la Figura 9.12. Este tipo de perfil es el que se emplea en la mayor parte de los engranes. El perfil de envolvente o una curva de envolvente se puede definir de la siguiente manera.

- La Evolvente es una curva tal que el lugar geométrico de los centros de curvatura de todos sus puntos forma una circunferencia.


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(a) (b) Figura 9.12. (a) Perfil de envolvente (b) Generación para un diente de engranaje

La obtención del perfil envolvente sigue un patrón bastante claro si se observa la Figura 9.12.b. Así pues la curva de envolvente se obtiene a partir del punto A0, desarrollando sobre las tangentes sucesivas A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, etc., las longitudes de arco de A1A0, A2A0, A3A0, A4A0, etc. con lo cual se obtienen los segmentos A1C1, A2C2, A3C3, A4C4, etc. uniendo los puetos Ci se obtiene la curva envolvente deseada. Entre las propiedades de los perfiles de evolvente se pueden destacar:

- La línea de engrane es una recta: Llamábamos línea de engrane al lugar geométrico de los puntos de contacto entre perfiles conjugados. En el caso de los perfiles de evolvente la línea de engrane es AB: la tangente común a las circunferencias base de ambos perfiles (según se muestra en la Figura 9.13). La normal a los perfiles de evolvente, que coincide con la línea de engrane, da la dirección de transmisión de los esfuerzos El ángulo α que forma la línea de engrane con la horizontal, se denomina ángulo de presión. El ángulo de presión en este caso es constante, lo que resulta beneficioso desde el punto de vista dinámico.

- Las superficies pueden engranar en cualquier distancia entre centros: Así pues, si se modifica la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con distinto ángulo de presión α' y distintos radios primitivos (r1i y r2i). Esto se debe a que la relación de velocidades depende sólo de los radios de la circunferencia base (ρ1 y ρ2), y no de la distancia entre centros. Conclusión que puede deducirse de forma directa observando la Figura 9.13. Esto se puede ver analíticamente como:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

cteirr

rr

POPO

CosrCosPOBOCosPOBOCosrCosPOAOCosPOAO

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

222222

111111 ===′′

===⇒′⋅′=′⋅′=′′=⋅==

′⋅′=′⋅′=′′=⋅==ωω

ρρ

αααραααρ (9.3)

- Los perfiles de evolvente son fáciles de generar: Recurriendo a la fórmula de Euler-

Savary se puede comprobar que todos los perfiles de evolvente son conjugados entre


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sí, porque todos son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil con un perfil solidario que es una línea recta. Este plano se apoya, a su vez, sobre una base que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje. De esta forma, si se hace evolucionar un plano móvil, en el que se encuentra una curva Cm de centro de curvatura Om. Su conjugada en el plano fijo es Cf, de centro de curvatura Of. El punto de contacto entre ambas es A. Esta construcción se puede apreciar en al Figura 9.13.b. Por otro lado, conociendo las curvas base y ruleta del movimiento relativo entre ambos planos, se puede plantear la ecuación de Euler-Savary de la siguiente manera:

[ ] cte2

SenPO

1PO

1cteSenOmP

1OfP

1

21

=

+⇒=

+

πϕ (9.4)

En consecuencia se puede escribir

[ ]PO

1PO

1SenOmP

1OfP

1

21

+=

+ ϕ (9.5)

(a) (b) Figura 9.13. (a) Propiedad de separación de los perfiles conjugados. (b) Generación de envolvente

Ahora bien, la construcción genérica de la Figura 9.13.b con la expresión (9.5) se pueden disponer en el caso de la envolvente. Así pues, según la Figura 9.14, la normal por el punto P al perfil recto siempre es tangente a la circunferencia base. Luego, la envolvente de las distintas posiciones del perfil de la recta da el perfil de evolvente. Para comprobarlo basta con demostrar que el punto C de la Figura 9.14 es el centro de curvatura del perfil y que se encuentra sobre una circunferencia de radio ρ. Así, teniendo en cuenta (9.5) se puede escribir:

[ ]R11

R1Sen

OmP1

OfP1

=∞

+=

+ ϕ , pero Om luego ∞→ [ ]ϕSenROfP ⋅= (9.6)

Esto significa que el punto Of de la Figura 9.13.b, está siempre sobre una circunferencia de centro O y radio ρ = R. Sen[ϕ].


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Figura 9.14. Generación del perfil de envolvente y su relación con las circunferencias base y primitiva.

En términos generales cuando se debe decidir por seleccionar el tipo de perfil del diente, se puede hacer arbitrariamente. En tal caso, el perfil del diente de la otra rueda se calculará mediante el método general de determinación del perfil conjugado de uno dado. Las ventajas asociadas al perfil de evolvente que acaban de verse dan lugar a que éste sea el perfil mayormente extendido; no obstante, pueden encontrarse también otros tipos de perfiles, aunque en menor medida y en la mayor parte de los casos orientados a aplicaciones específicas.

- Engranajes Cicloidales: La cabeza del diente está trazada por una epicicloide y el pie por una hipocicloide. Tuvieron una gran difusión hace aproximadamente un siglo, en virtud de la facilidad para reproducirlos por fundición. No obstante, en la actualidad sólo se emplean en raras ocasiones para mecanismos especiales. En estos engranajes el perfil convexo contacta con el cóncavo. Lo cual hace que la presión específica en este tipo de contacto sea menor que cuando están en contacto dos perfiles convexos. Sin embargo, esto mismo los hace ser muy sensibles a las variaciones en la distancia entre ejes, requiriendo de una gran precisión. Al mismo tiempo, la velocidad de deslizamiento que tiene lugar entre dos dientes de este tipo es constante en cada una de las zonas del diente; y en ambos casos es significativamente menor que en el caso de los engranajes de evolvente. Esto da lugar a un menor nivel de desgaste del diente. Ver las Figuras 9.15 para entender el concepto de epicicloide e hipocicloide, mientras que en la Figura 9.16 se puede ver su ensamble. Una limitación significativa delos perfiles cicloidales reside en que la línea de engrane no resulta ser una línea recta, luego el ángulo de presión varía y en consecuencia varían tanto las magnitudes de las fuerzas de reacción en los cojinetes como las orientaciones de estas reacciones, lo que conduce al aflojamiento de los cojinetes.


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- Perfiles para engranajes de relojes: Utilizado en mecanismos de relojería y en ciertos aparatos. Son similares a los perfiles cicloidales, pero en ellos la cabeza del diente es una circunferencia y no una epicicloide, mientras que el pie tiene una configuración rectilínea. Sufren poco desgaste y, sobre todo, tienen un funcionamiento muy suave.

(a) (b)

Figura 9.15. (a) Epicicloide. (b) Hipocicloide

Figura 9.16. Combinación de perfiles cicloidales.

2. Engranajes cilíndricos de dientes rectos Los engranajes cilíndricos de dientes rectos tienen su antecedente en las denominadas ruedas de fricción (Ver Figura 9.17) para poder transmitir movimiento entre dos ejes paralelos.


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Figura 9.17. Ruedas de Fricción y su relación con los engranajes.

Estas ruedas de fricción aun cuando permitan transmitir cierto par torsor o torque, no siempre es constante debido al deslizamiento que se genera. Aprovechando las características de los perfiles conjugados se puede hacer lo mismo dando lugar a los engranajes.

Nomenclatura En la Figura 9.18 se muestra el desarrollo de una parte de la corona de un engranaje cilíndrico de dientes rectos. En la misma se pueden apreciar las entidades geométricas más importantes que definen a los engranajes. En cuanto sigue, los subíndices 1 y 2 indican los respectivos engranajes

Figura 9.18. Características de los engranajes.

- Circunferencia Primitiva (R): Llamada también circunferencia de paso y

corresponde a la homónima circunferencia de contacto de las ruedas de fricción. - Circunferencia Exterior (Re): Es denominada también circunferencia de addendum

o circunferencia de cabeza. - Circunferencia inferior (Ri): Es denominada también circunferencia de raíz o de pie

o de deddendum.


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- Ancho de cara: Es la longitud del diente medida axialmente. También se la denomina ancho de faja.

- Addendum (a): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio de cabeza.

RRa e −= (9.7) - Deddendum (l): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio inferior.

iRRl −= (9.8) - Paso Circular (p): es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes

consecutivos, medidos sobre la circunferencia primitiva o de paso

ZR2pc⋅

=π (9.9)

- Paso angular (pa): es el ángulo entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos.

Z2paπ

= (9.10)

- Ancho de espacio (h ): es el espacio entre dos dientes consecutivos, medido en la circunferencia de paso.

eph −= (9.11) - Juego (j): es la diferencia entre el huelgo de un diente y el espesor del engrana junto

con aquel.

21 ehj −= (9.12) - Holgura (c): es la diferencia entre el deddendum de un diente y el addendum del que

engrana con aquel.

12 alc −= (9.13) - Altura de diente (hT): es la distancia radial entre las circunferencias exterior e

inferior.

lahT += (9.14) - Espesor de diente (e): es el espesor medido sobre la circunferencia de paso. - Número de dientes (Z): es la cantidad de dientes que tiene el engranaje - Módulo (m ): es el cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el número de

dientes.

ZR2m= (9.15)

- Paso diametral (pd): es el cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el número de dientes.

m1

pp

cd ==

π (9.16)


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El valor numérico de módulo determina el tamaño del diente, ya que el paso es el mismo sin importar si los dientes se colocan en una rueda pequeña o en una rueda grande. Nótese que a mayor "m", mayor será el diente y a mayor pd menor tamaño de diente. Por otro lado, y con respecto a otro tipo de pasos (pc, pa) el módulo tiene la ventaja de no depender del número π. En la Figura 9.19 se puede ver una galga de identificación de pasos diametrales normalizados.

Figura 9.19. galga de pasos diametrales.

En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entre sí, se deben cumplir las siguientes condiciones.

- Tener el mismo módulo (o mismo paso circular o diametral según (9.16)). - Igual ángulo de presión de generación. - Presentar addendum y dedendum normalizados. - Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia

primitiva. Existen diferentes criterios y formas de normalización de los perfiles de dientes, según las normas técnicas de cada país:

- DIN de Alemania - AFNOR de Francia - UNE de España - AGMA de Estados Unidos de Norteamérica

Sin embargo la más conocida y empleada es la última. En la Tabla 9.1 se muestran algunos casos estándar para cuatro clases de dientes.

CLASE pd [pul-1] Grueso ½, 1, 2, 4, 6, 8, 10 Semi Grueso 12, 14, 16, 18 Fino 20, 24, 32, 48, 64, 72, 80, 96, 120, 128 Extrafino 150, 180, 200

Tabla 9.1. Paso diametral estándar (AGMA) para cuatro clases de dientes


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Distancia central entre engranajes Observando la Figura 9.17 y teniendo en cuenta las definiciones (9.7) a (9.16) se puede obtener la siguiente expresión de la distancia entre ejes:

( ) ( )21d

21c

21d ZZp21ZZ

2p

RRc +=+=+=.π

(9.17)

Es claro que conocidos los radios de las circunferencias primitivas de los engranajes, se puede obtener fácilmente la distancia central.

Construcción de engranajes rectos Los procedimientos más comunes para el tallado de ruedas dentadas se dividen en dos grandes grupos:

- Procedimientos de reproducción. - Procedimientos de generación o rodadura.

Procedimientos de Reproducción En los procedimientos de mecanizado o tallado de ruedas dentadas por reproducción, el borde cortante de la herramienta es una copia exacta de la rueda a tallar o de cierta parte de ella (por ejemplo, del hueco entre dientes contiguos). Estos métodos exigen de un número elevado de herramientas, ya que incluso para fabricar ruedas dentadas con el mismo módulo es necesario contar con una herramienta para cada número de dientes puesto que el hueco interdental varía. Se pueden distinguir los siguientes procedimientos:

- Fundición: Se puede considerar como herramienta el molde que se llena con el material colado. Este molde es una copia exacta de la futura rueda, si no se considera el sobreespesor que va asociado a la fundición.

- Procesos de metalurgia de polvos o pulvimetalurgia. - Estampado: La matriz que sirve como herramienta cortante tiene la forma de la futura

rueda. Es un procedimiento empleado generalmente con ruedas delgadas. - Por corte con herramientas: La herramienta tiene la forma exacta del hueco

interdental. Cabe distinguir dos procedimientos según la máquina herramienta utilizada

o Cepillado: La herramienta en la sección perpendicular a la dirección de su movimiento tiene perfiles cortantes que se corresponden perfectamente con el contorno del hueco interdental del engranaje a tallar.

o Fresado: se utiliza una herramienta denominada fresa estandarizada o “fresa de módulo" cuyos dientes tienen perfiles idénticos a la forma del hueco interdental que se pretende. Al final de cada operación de fresado la fresa vuelve a su posición inicial y la pieza bruta gira un ángulo igual a 1/Z de vuelta para poder fresar el siguiente hueco. Ver Figura 9.20


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Figura 9.20. Características del fresado.

Procedimientos de Generación Entre los procedimientos de generación de ruedas dentadas se pueden hallar:

- Generación por cremallera: para esto se aprovecha una propiedad del perfil de evolvente, según la cual todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil, que apoya sobre una base que es la circunferencia primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una línea recta. Así se pueden generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la línea primitiva de ésta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en varios planos rectos unidos rígidamente, de modo que pueden generarse simultáneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano del dibujo de la Figura 9.21. Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se gira la pieza que se está tallando un ángulo determinado y se repite el proceso.

Figura 9.21. Generación por cremallera.

- Generación por mortajadora: es un procedimiento análogo al de la cremallera, pero la

mortajadora además del giro comunica un movimiento complementario de vaivén axial. Después de cada operación de corte la rueda-herramienta y la pieza bruta giran unos ángulos que mantienen la misma relación que las velocidades angulares. Ver Figura 9.22.


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Figura 9.22. Generación por mortajadora.

Razón de contacto Para garantizar un funcionamiento continuo y suave, cuando un par de dientes termina de hacer contacto, debe haber un par sucesivo de dientes que entren en contacto inmediatamente o que ya estén en contacto. Un objetivo en el diseño de ruedas dentadas es tener la mayor superposición como sea posible. En la Figura 9.23 se muestran los elementos necesarios para poder definir la relación de contacto, la cual es una medida de la superposición que se puede obtener en un dentado determinado. La razón de contacto es un cociente entre la longitud de la línea de acción al paso de la circunferencia de base.

Figura 9.23. Elementos geométricos para definir la razón de contacto.

Par aun par de dientes, el contacto arranca en el punto “a” y concluye en el punto “b” (ver Figura 9.23). Con rp y rg se identifican los radios los engranajes que intervienen. Con α se identifica el ángulo de presión. Observando la Figura 9.23 se puede llegar a obtener la siguiente relación entre longitudes:


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( )( )2

cacb2

bp2ba

2bp

2op

2

cbac2

bp2

ab

2bg

2og

LLrLrr

LLrLrr

**

**

++=+=

++=+= (9.18)

pero teniendo en cuenta que

[ ]p

ca

g

cb

r

L

r

LSen

**==α (9.19)

se pueden despejar de (9.18) Lac y Lcb de forma que la longitud de la línea de acción Lab viene dada por:

[ ]αSencrrrrL d2

bg2

og2

bp2

opab −−+−= (9.20)

Luego la razón de contacto viene dado por la siguiente expresión:

[ ] [ ][ ] [ ]

c

d2bg

2og

2bp

2op

cc

abr p

Tancrrrr

Cosp1

CospL

Cα

αα−−+−== (9.21)

Por observaciones experimentales, las normas AGMA sugieren el diseño de engranajes que tengan como mínimo una relación de contacto Cr = 1.2. Una razón de contacto entre 1 y 2 significa que en algún momento se encuentran dos pares de dientes en contacto. Mientras que relaciones de contacto mayores que 2 o que 3 implica que habrá en algún momento tres o cuatro pares de dientes en contacto simultáneo. La razón de contacto ofrece una idea del número de dientes que engranan en cada instante y nunca podrá ser menor que uno. Por ejemplo, una relación de contacto de 1.6 sugiere que el 60% del tiempo hay dos pares de dientes en contacto simultáneamente, mientras que el 40% restante sólo hay uno. Asociado a la razón de contacto, se halla el concepto de ángulo de conducción o ángulo de contacto, el cual es el ángulo descripto desde el punto de primer contacto entre un par de dientes hasta que los dientes pierden el contacto.

Interferencia Se llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a la interferencia de la propia materia. Pueden distinguirse dos tipos:

- Interferencia de Tallado o Penetración. - Interferencia de Funcionamiento.

La “Interferencia de tallado o penetración” tiene lugar cuando la cremallera de generación corta material en puntos situados en el interior de la circunferencia base, es decir, más allá de donde termina el perfil de evolvente. Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y provoca un debilitamiento en la base del diente que afecta negativamente la resistencia del mismo, como se puede ver en la Figura 9.24.a. El tallado de un engranaje con cremallera se realiza haciendo rodar la "línea primitiva de la cremallera" (que tiene circunferencia primitiva de R = ∞) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. Así los dientes de la rueda se tallan


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como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (envolventes de sus sucesivas posiciones). Sin embargo hay que tener en presente que el perfil de evolvente termina en el punto C de la Figura 9.24.b (punto de la circunferencia base), y si la línea exterior de la cremallera pasa por debajo de C se produce interferencia de tallado. Para que no se produzca interferencia, el addendum debe cumplir con la siguiente expresión:

[ ] [ ]αα 2c SenRSenPCPMa ⋅=⋅=≤ (9.22)

pero teniendo presente que

⇒=ZR2m [ ]α2

c Sen2

mZa ⋅≤ (9.23)

y si los dientes son normalizados según AGMA, donde se cumple que ac=m, entonces

[ ]α2Sen2Z≥ (9.24)

La expresión (9.24) pone ciertos límites al tallado de engranajes con el método de cremallera, ya que favorece la interferencia en ruedas con menos de 17 dientes (con el ángulo de presión normalizado α=20°).

(a) (b) Figura 9.24. (a) efecto de la interferencia de penetración. (b) Simulación de la interferencia

Existen sin embargo, algunas técnicas para salvar este inconveniente, entre las que están

- Incrementar el ángulo de presión a 25° - Disminuir el tamaño del addendum del diente - Tallar engranajes corregidos desplazando la cremallera

Estas tres alternativas exceden el alcance de estas notas y por ello se sugiere recurrir a la literatura especializada (referencia [8]). La “Interferencia por Funcionamiento” tiene lugar cuando un diente de una de las ruedas entra en contacto con el de la otra en un punto que "no está tallado" como función evolvente, tanto en el caso de que se pretenda engranar fuera de "segmento de engrane", como en el que se pretenda engranar en un punto de este segmento que no esté tallado como perfil de evolvente.


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En la Figura 9.25 se puede apreciar el potencial efecto de la interferencia de funcionamiento, para lo cual se prevé una holgura circunferencial determinada, llamada también juego o “backlash”. En la Tabla 9.2 se suministran algunos valores indicativos de juegos mínimos recomendados para el buen funcionamiento de engranajes de paso basto. Un efecto contraproducente que puede traer el “backlash” o golpeteo, es que puede no transferir toda la carga de manera uniforme y genera condiciones de potencial rotura por fatiga.

Figura 9.25. Interferencia de funcionamiento y juego.

distancia central cd [pul] Paso diametral pd [pul-1] 2 4 8 16

18 0.005 0.006 - - 12 0.006 0.007 0.009 - 8 0.007 0.008 0.010 0.014 5 - 0.010 0.012 0.016 3 - 0.014 0.016 0.020

Tabla 9.2. Juego recomendado (medido en [pul]) por AGMA 1012-F90. Formas analíticas de los perfiles de envolvente: Aplicaciones Se puede obtener una forma analítica para hallar el perfil de envolvente, con el cual luego se puede tiene una forma para medir el espesor del diente para diferentes radios, conociendo el espesor del diente en la circunferencia de paso. Así pues, en la Figura 9.26.a se puede observar la generación de un perfil de envolvente. De acuerdo a lo expuesto en los apartados anteriores, queda claro que la longitud del arco AB es igual a la longitud del segmento BC. En consecuencia se puede escribir:

( )[ ]

⇒

⋅=

+⋅=

ψ

θψ

TanRBC

RAB [ ] [ ]ψψψθ Θ=−=Tan (9.25)

La expresión recuadrada es denominada función envolvente. Se puede calcular el ángulo θ de generación en función de y, lo cual es muy fácil de obtener. Pero para construir la curva es necesario emplear la inversa de (9.25) cuya solución se halla con métodos aproximados, luego

[ ]θψ Ψ= (9.26)

Las funciones Ψ y Θ son funciones inversas. Luego el radio r, medido desde O, se obtiene de la siguiente manera:


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[ ] ( )[ ]θψ ΨCosR

CosRr == (9.27)

(a) (b)

Figura 9.26. Función de envolvente y la ponderación de espesor. Ahora bien, Para hallar el espesor del diente en un punto T, conocido dicho espesor en otro punto A, del análisis de la Figura 9.26 se pueden establecer las siguientes relaciones:

e

TTAA

AAA

TTT

R2R2e

βθβθββ

+=+⋅⋅=⋅⋅=

(9.28)

Luego, teniendo en cuenta (9.25) y (9.28) se puede despejar eT como:

( ) ( )[ ]

−+= TA

A

ATT 2

ReRe ψψ ΘΘ (9.29)

Normalmente, el espesor del diente conocido es el situado sobre la circunferencia primitiva (A está sobre la circunferencia primitiva). Para engranes tallados a cero (sin corrección) se verifica que eA = pc/2 = m π/2. La expresión (9.29) puede emplearse para evaluar analíticamente la corrección de dentado. Los dientes de engranajes vistos en los apartados anteriores corresponden a engranajes normales o tallados a cero, es decir, tallados de forma que la circunferencia primitiva de tallado (la que rueda sobre la línea primitiva del piñón o de la cremallera) tiene igual espesor de diente que de hueco. Además del interés que se puede tener en obtener una relación de contacto razonable y en mejorar la resistencia mecánica de los dientes de las ruedas, estos engranajes tienen dos importantes limitaciones:

- Un Número de dientes mínimo, por debajo del cual se produce interferencia de tallado, según la (9.24)

- La distancia entre centros viene impuesta por la normalización de los módulos y los números de dientes, pues:


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( )2121c ZZ2mRRd +=+= (9.30)

La solución a estos problemas se obtiene con los engranajes corregidos. La idea consiste en tomar como línea primitiva de la cremallera de tallado -en el caso de generación por cremallera- una línea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco, según se puede apreciar en la Figura 9.27. Donde ϕ es el ángulo de presión. De esta manera la cremallera es desplazada una cantidad “m·x”, donde “x” es denominado factor de corrección y “m” el módulo del engranaje. Así una corrección positiva, evitará la interferencia de tallado, nótese por otro lado la Figura 9.28 con las diferentes situaciones de interferencia.

Figura 9.27. Tallado para un engranaje corregido.

Figura 9.28. Interferencias y tallado.

En la Figura 9.28, se muestra un engranaje de Z = 12, ángulo de presión 20°, módulo 2. La parte superior tiene una interferencia de x = 0.1, mientras que la parte inferior tiene una interferencia de x = 0.5. Obsérvese, por otro lado, las diferencias en el espesor en la cabeza del diente, para un caso y otro, siendo ambos maquinados con la misma herramienta. En determinadas circunstancias es necesario plantear el problema de interferencia de tallado de modo inverso, es decir conocido el número de dientes a tallar, calcular cuál será el factor de corrección mínimo (x) para que no exista interferencia de tallado. En virtud de lo visto en los apartados anteriores, tal solución es viable desde un punto de vista analítico, el cual redunda en importantes conclusiones de índole más práctica en el tallado de engranajes por cremallera.


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Figura 9.29. Esquema de corrección de dentado por cremallera.

Si se observa la Figura 9.29 se desprende que para que no exista interferencia por tallado, se debe cumplir la siguiente relación:

( ) [ ]ϕSenCPx1m ⋅≤− (9.31)

de la cual teniendo en cuenta la expresión (9.24) y que:

[ ] [ ] [ ]ϕϕϕ 22 Sen2

mZSenRSenCP ⋅=⋅=⋅ (9.32)

se tiene finalmente el factor de corrección mínimo como:

[ ]

límite

2

ZZ1

2SenZ1x −=⋅

−≥ϕ

(9.33)

Ahora bien, en cuanto a la distancia entre centros, considérense dos ruedas de radios primitivos R1 y R2 maquinadas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x1 y x2, respectivamente. Si x1 y x2 son positivos, las ruedas no engranarán a la distancia entre centros igual a la suma (R1 + R2), porque ha aumentado el espesor de los dientes en las circunferencias primitivas, y cada diente no cabe en el hueco de la otra rueda. Análogamente, si ambas son negativas, existirá gran holgura entre el espesor del diente y el hueco sobre la circunferencia primitiva. En cualquier caso, las ruedas engranarán a otra distancia entre ejes y los radios de las circunferencias primitivas de tallado no coincidirán con los de las circunferencias primitivas de funcionamiento. Estos tendrán los siguientes valores R1v y R2v, formando en consecuencia un nuevo ángulo de presión efectivo a ϕv. Esto puede verse en la Figura 9.30. Los radios de base se mantienen iguales, es decir se cumple que

[ ] [ ][ ] [ ]vv222b

vv111b

CosRCosRRCosRCosRR

ϕϕϕϕ

⋅=⋅=⋅=⋅=

(9.34)

Ahora bien observando la Figura 9.31, se pueden deducir los espesores de diente sin modificación (e) y modificado (e’), los cuales vienen dados por las siguientes expresiones:

2

m2pc π.==e , e' [ ]ϕTanmx2 ⋅⋅⋅+= .e (9.35)


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Figura 9.30. Esquema de funcionamiento.

Figura 9.31. Esquema de modificación en el tallado.

Luego los espesores en las circunferencias primitivas de los engranajes 1 y 2 vienen dados por:

[ ]

[ ]ϕπ

ϕπ

Tanmx22

m

Tanmx22

m

2

1

⋅⋅⋅+=

⋅⋅⋅+=

..

.

2

1

e'

e' (9.36)

Ahora bien teniendo en cuenta la expresión (9.29), los espesores

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

−+=

−+=

v2

v2

v1

v1

2R

R

2R

R

ϕϕ

ϕϕ

ΘΘ

ΘΘ

22v

11v

e'e'

e'e' (9.37)

E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobre las circunferencias primitivas de funcionamiento se tiene:

1

v1

1

v1

1

v1v R

Rm

mR2R2

ZR2

p πππ

====+/2v1v e'e' (9.38)

Sustituyendo (9.36) y (9.37) en (9.38) y teniendo en cuenta que

2b

1b

v2

v1

2

1

RR

RR

RR

== (9.39)


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Luego de algunas manipulaciones algebraicas se obtiene finalmente:

( ) ( ) ( )( )

[ ]ϕϕϕ TanZZxx2

21

21v +

++=ΘΘ (9.40)

La cual es la condición geométrica para que un engranaje engrane con otro sin juego y garantice las condiciones de funcionamiento.

3. Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales

Nociones Básicas Los engranajes rectos tienen la característica de que cada diente empieza a engranar bruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los pequeños errores geométricos inevitables en la fabricación de los dientes se traducen en pequeños choques al empezar el engrane, acompañados del correspondiente ruido. Además, al ser variable con el tiempo el número de dientes en contacto (por ejemplo, para una relación de contacto del 1,7), ello se traduce en variaciones de carga súbitas sobre los dientes (no es lo mismo que un diente soporte toda la carga que ésta sea repartida entre dos); es decir, variaciones bruscas de la fuerza transmitida a cada diente. Debido a esto, los engranajes cilíndricos rectos no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (producen vibraciones, ruidos, etc). Una primera aproximación para solucionar este problema podría consistir en tallar engranajes rectos desplazados, de modo que los saltos súbitos se suavicen. Es lo que se conoce como engranajes cilíndricos escalonados y su funcionamiento es tanto más suave cuanto mayor es el número de escalones en los que es tallado el engranaje. La idea de los engranajes helicoidales surge así como el paso al límite de los engranajes escalonados, en donde los saltos son tan pequeños (infinitesimales) que hay continuidad. En ellos, el engrane de dos dientes empieza y termina de forma gradual, lo que se traduce en una marcha más “suave” (menos ruido y vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permiten obtener, con cualquier número de dientes, una relación de contacto tan grande como se quiera.

Figura 9.32. Esquema de engranaje helicoidal como límite de sucesión de engranajes rectos infinitesimales.

En un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales (véase la Figura 9.33), una sección formada por un plano normal al eje de giro presenta un perfil análogo al de un engranaje de dientes


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rectos (perfil de evolvente, ángulo de presión, línea de engrane, etc). Este es el denominado perfil frontal de la rueda, situado sobre el plano frontal o aparente.

Figura 9.33. Plano de corte frontal de un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales.

Los engranajes helicoidales tienen dos pasos relacionados, uno en el plano de rotación y otro en el plano normal al diente. En los engranajes de dientes rectos, los pasos se miden solo en el plano de rotación. En los engranajes de dientes helicoidales existe además un paso axial. En la Figura 9.34 se muestran estos pasos.

Figura 9.34. Pasos de los engranajes helicoidales.

- pc es el paso circunferencial - pcn es el paso normal - pa es el paso axial - ψ es el ángulo de hélice

[ ]ψCospp ccn ⋅= , [ ]ψCosp

p ddn = , [ ] [ ]ψψ Sen

pTan

pp cnc

a == (9.41)

En los engranajes helicoidales se pueden caracterizar tres ángulos diferentes, que influyen en la definición geométrica y distribución de las fuerzas. Estos ángulos son:

- El ángulo de hélice ψ - El ángulo de presión en la dirección normal φn - El ángulo de presión en la dirección tangencial φt

Estos tres ángulos pueden ser identificados en la Figura 9.35. Se podría ver sin mayores complicaciones que los tres ángulos están relacionados por la siguiente expresión


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[ ] [ ][ ]t

n

TanTan

Cosφφ

ψ = (9.42)

Ahora bien, observando la Figura 9.35, donde se presenta un cilindro cortado por un plano oblicuo en un ángulo igual al ángulo de hélice. El plano oblicuo corta un arco que tiene radio de curvatura R. En el caso de que ψ = 0 (engranaje de dientes rectos), el radio de curvatura es igual a R = D/2. Pero si se va aumentando paulatinamente el valor del ángulo ψ, hasta llegar a ψ = 90°, se tendrá que el radio de curvatura es INFINITO. El radio de curvatura R del cilindro intersectado por el plano oblicuo, es el radio de paso aparente de un diente de engranaje helicoidal cuando se ve en la dirección de los elementos del diente. Un engranaje con el mismo paso y con el ángulo y, tendrá un mayor número de dientes debido al radio incrementado. Este número de dientes se denomina Número de Dientes Virtuales y se calcula de la siguiente forma

[ ]ψ3Cos

NN =′ (9.43)

donde N es el número de dientes real, N’ es el número de dientes virtual.

Figura 9.35. Identificación de ángulos en un perfil helicoidal.

Al igual que los engranajes rectos, los helicoidales pueden presentar interferencia, el número mínimo de dientes para un engranaje que opera sin riesgo de interferencia se calcula con la siguiente expresión (ver referencia [9])

[ ][ ]

[ ]( )t2

t2P Sen311

Sen6kCos4N φ

φψ

++= con k =

cortosdientesPara80completosdientesPara1

___.___

(9.44)

4. Engranajes cónicos

Nociones Básicas Los engranajes cónicos se emplean para transmitir movimiento entre ejes que se intersecan. En la Figura 9.36 se muestra un par de engranajes cónicos y se ilustra la terminología de los mismos. Los ángulos de paso se definen por los conos de paso que se unen en el ápice. Así


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pues, si NP y NG son los números de dientes en el engranaje pequeño y grande, respectivamente; entonces:

[ ]γTanNN

G

P = , [ ]ΓTanNN

P

G = (9.45)

Figura 9.36. Engranajes cónicos.

En la expresión (9.46) se indica una forma aproximada para calcular el número virtual de dientes de un engranaje cónico

c

b

pr2

N⋅

=′π

(9.46)

siendo rb el radio del cono posterior, pc es el paso circular medido en el extremo mayor de los dientes.

5. Bibliografía [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002 [2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000 [3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1999 [4] A.H. Erdman y G.N. Sandor, “Diseño de Mecanismos” Prentice Hall 1998 [5] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000 [6] M.J.T Lewis “Gearing in the ancient world” [7] Editorial. “Lifting Boats, measuring gears”. Gear Technology. May-June 2003, 9-11. [8] D.P. Townsend “Dudley´s gear handbook” McGraw Hill 1992 [9] R. Lipp, “Avoiding Tooth interference in Gears”. Machine Design 54(1) 122-124 (1982)


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