ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 1 de 26CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDADSe dice que un sistema es controlable en el instante t0 si es posible llevarlo de cualquierestado inicial x(t0) a cualquier otro estado, empleando un vector de control no acotado, en unlapso finito.Se dice que un sistema es observable en el tiempo t si, con el sistema en el estado x(t ),es posible determinar dicho estado a partir de las mediciones de la salida con un retaso finito detiempo.EltrabajopionerodeR.Kalmanenelaode1960introdujolosconceptosdecontrolabilidadydeobservabilidad,quejueganunpapelfundamentaleneldiseodelossistemasdecontrolusandolastcnicasdeestadoespacio.Enefecto,lascondicionesdecontrolabilidadydeobservabilidaddeterminanlaexistenciadeunasolucincompletaparaelproblema del diseo de un sistema de control. Tal vez no exista una solucin a este problema sielsistemaestudiadoesnocontrolable.Aunquelamayoradelossistemasfsicossoncontrolablesyobservables,losmodelosmatemticoscorrespondientespuedennotenerlapropiedaddecontrolabilidadodeobservabilidad.Entalcaso,esesencialconocerlascondicionesbajolascualesunsistemacontrolableyobservable.Veremosprimerolacontrolabilidad y dejaremos el anlisis de la observabilidad para el final.Acontinuacin,seobtendrprimerolacondicinparalacontrolabilidadcompletadelestado y enseguida se determinar la condicin para la controlabilidad de la salida.Controlabilidad completa del estado para sistemas en tiempo continuoConsideremos al sistema en tiempo continuo:Bu Ax x + =en donde x = vector de estado (vector de orden n)u = vector de control ( de orden r)A = matriz de orden n x nB = matriz de orden n x rSe dice que el sistema dado por la ecuacin anterior es de estado controlable en t = t0 sies posible construir r seales de control sin restriccin alguna que transfieran un estado iniciala cualquier otro estado finito en un intervalo de tiempo finito t0 t t1 Si todos los estados soncontrolables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable.Ahoraobtendremoslacondicinparaunacontrolabilidadcompletadelestado.Sinperder la generalidad, suponemos que el estado final es el origen en el espacio de estados y queel tiempo inicial es cero, o t0 = 0.La solucin de la ecuacin anterior esESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 2 de 26+ =tt td e e t0) () ( ) 0 ( ) ( Bu x xA AAplicando la definicin de controlabilidad completa del estado recin establecida,tenemos+ = =11 10) (1) ( ) 0 ( ) (tt td e e t Bu x 0 xA Ao bien =10) ( ) 0 (td e Bu xARefirindonos al teorema de Cayley-Hamilton, podemos escribir e-A como==10) (nkkke AA (3)Sustituimos e-Ade (3) en (2) por lo que= =1001) ( ) ( ) 0 (nktkkd u B A x (4)Definamosktkd U u ) ( ) (10= donde cada Uk es un vector columna de orden rAs, la ecuacin (4) se convierte en= =10) 0 (nkkkBU A x[ ] =1101nnUUUB A AB BMM L M M (5)Sielsistemaesdeestadocompletamentecontrolable,entoncesdadocualquierestadoinicial x(0), la ecuacin (5) debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de la matriz de n filasy nr columnas[ ] B A AB B1 nM L M MESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 3 de 26sea de rango n, o que contenga n vectores columna linealmente independientes. Lamatriz[ ] B A AB B M1 =nM L M Mrecibe el nombre de matriz de controlabilidad.Ejemplo:uxxx+ =5040 2 20 1 00 2 1321Dado que[ ] = =8 8 50 0 04 4 42B A AB B Mes singular el sistema no es controlable de estado completo.Otro ejemplo:uxxx+ =5040 2 22 1 00 2 1321Dado que[ ] 15228 8 56 10 024 4 42= = = M B A AB B Mes no singular el sistema si es controlable de estado completo.Veamos un ejemplo ms complejo resuelto con MATLAB usando el comando ctrbA %n = 4-5 0 0 0 3-2 0 0-5 0 0 0 4 0 0-1ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 4 de 26B % r = 2 010 1 -10-412 0 -10C % m = 2-2-1 0-1-2 0 0 0M = ctrb(A,B)%matriz de orden 4x8 010 0 -50 0 2500-1250 1 -10-250 4-250 -8 1250-412 0 -50 0 2500-1250 0 -10 050 0-2500 1250rank(M) 3%Como el rango de M es menor que n, el sistema no es controlable de estadocompleto.Forma alternativa de la condicin para la controlabilidad de estadoConsiderar el sistema definido mediante:Bu Ax x + =(6)en donde x = vector de estado (vector de orden n)u = vector de control ( de orden r)A = matriz de orden n x nB = matriz de orden n x rSi los valores principales de A son distintos, es posible encontrar una matriz detransformacin P tal que= =n000 0211O MKV AP PNotarquesilosvaloresprincipalesdeAsondistintos,losvectorespropiosdeAtambin son distintos; empero, lo contrario no es verdad. Por ejemplo una matriz simtrica realdenxnconvaloresprincipalesrepetidos,tienevectorespropiosdiferentes.Considerartambin que cada columna de la matriz de transformacin P es un vector propio deA asociadocon i(i = 1,2,...,n)ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 5 de 26Definamos x = Pz (7)Sustituyendo la x de la ecuacin (6) por la ecuacin (7) se obtieneBu P APz P z1 1 + = (8)Definiendo P-1B= F = (fij) la ecuacin (8) queda comor ru f u f u f z z1 2 12 1 11 1 11 + + + + =L r ru f u f u f z z2 2 22 1 21 2 22 + + + + =L . .. .r nr n n n nn u f u f u f z z + + + + =L2 2 1 1Si todos los elementos de cualquier rengln de la matriz F de n x r son cero, entonces lavariabledeestadoasociadanoescontrolableporcualquieradeloscontrolesui.Porello,lacondicindecontrolabilidadcompletadeestadoesque,silosvaloresprincipalesdeAsondistintos, el sistema es de estado completo controlable si y slo si ningn renglon de P-1B tienetodossuselementoscero.Convienesealarque,conelfindeaplicarestacondicinparaunacontrolabilidad completa de estado, debemos poner en forma diagonal a la matriz P-1APdelaecuacin (8).Para ilustrar la forma alternativa veamos un ejemplo==1 30 10 24 42 0 8 03 1 3 00 0 6 020 0 20 3B ALos valores principales de A son 1 = -3,2 = -1,3 = 2, y 4 = -6.La matriz de transformacin para diagonalizar viene dada por[ ]= =1 1 0 00 1 1 01 0 0 00 4 0 14 3 2 1X X X X Pdonde cada vector Xi se halla a partir de AXi = iXi.La matriz diagonal V, resulta serESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 6 de 26=6 0 0 00 2 0 00 0 1 00 0 0 3VLa matriz F = P-1B queda como=0 21 11 00 0FComo el primer rengln de F slo tiene ceros, concluimos que elsistema no es controlable de estado completo.Con MATLAB se puede calcular la matriz de controlabilidad paracorroborar el resultado anterior:M = ctrb(A,B) 4-4 8-816 -1632 -32-2 012 0 -72 0 432 0 1 0 2-3 4-3 8-9 3-1 -10-276-4-424-8rank(M) 3Puesto que el rango de M es menor que 4, se concluye que el sistema no es controlable deestado completo, lo que concuerda con lo establecido antes.Si la matriz A de la ecuacin (6) presenta valores propios repetidos, la diagonalizacines imposible. En tal caso, transformamos A en una forma cannica de Jordan. Por ejemplo, siA tiene valores propios 1, 1, 1 ,4, 4, 6 y 7; esto es tiene tres races iguales entre s, otrasdos iguales entre s, distintas a la primeras y otras dos diferentes entre s y de las anteriores, laforma de Jordan de A resulta ser=76441110000100 01 00 1JESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 7 de 26Las submatrices cuadradas de la diagonal principal se denominan bloques de Jordan.Suponemos que hallamos una matriz S de transformacin tal queS-1 AS=JSi definimos un vector de estado z mediantex =Sz (9)entonces la sustitucin de la ecuacin (9) en la ecuacin (6) produceBu S Jz Bu S ASz S z1 1 1 + = + = (10)Lacondicinparaunacontrolabilidaddeestadocompletodelsistemadadopor(6)seenuncia del siguiente modo: El sistema es de estado completamente controlable si y slo si a)dosbloquesdeJordanenJdelaecuacin(10)noestnasociadosconlosmismosvalorespropiosb)loselementosdecualquierrenglndeS-1Bquecorrespondenalltimorenglondecada bloque no son todos cero y c) los elementos de cada rengln deS-1B que corresponden avalores propios distintos no son todos cero.Veamos un ejemplo ilustrativo de quinto orden, resuelto con MATLABA 0 1-1 1 0 0 0-3 2 0 0 0 2-1 1 0 0 4-2 1 0 0 -14 5-6B 0 0 0 0 1eig(A) 0 0 -4.0000 -1.0000 -1.0000Se obtuvieron los vectores propios mediante: AX1 = 0; b) AX2 = X1 ; c)AX3 = -4X3; d) AX4 = -X4 y e) AX5 = X4 X5.ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 8 de 26S = [X1 X2 X3 X4 X5]; %Matriz para obtener forma de Jordan 1 0 1 1 0 0 1 -20-2 3 0 0 -48 0 1 0 0 -32 1-1 0 0 256 1-4J = inv(S)*A*S %Matriz de Jordan 01.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4.00000.0000 0 0 0 -0.0000 -1.00001.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -1.0000inv(S)*B -0.56250.25000.00690.55560.3333Los renglones segundo, tercero y quinto de S-1B son diferentes de cero,por lo que el sistema es controlable de estado completo.Para corroborar tambin con MATLAB:M = ctrb(A,B) %Matriz de controlabilidad0 0 0 0 10 0-1 7 -330 1-521 -850 1-415 -581-627-112 453rank(M)5 %El rango de M es igual a n, por lo que se concluye que escontrolable de estado completoLos siguientes sistemas son de estado completamente controlableuxxxx+=235 00 22121uxxxxxx+=7204 0 00 2 00 1 2321321ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 9 de 26+=2154321543211 30 00 20 01 03 01 3001 0 01 1 00 1 1uuxxxxxxxxxxLos siguientes sistemas no son de estado completamente controlableuxxxx+=204 00 22121uxxxxxx+=5016 0 00 2 00 1 2321321+=2154321543211 30 00 00 41 04 01 4001 0 01 1 00 1 1uuxxxxxxxxxxCondicin para la controlabilidad completa de estado en el dominio de sLa condicin para una controlabilidad completa del estado se plantea en trminos de lasfunciones de transferencia o las matrices de transferencia.Unacondicinnecesariaysuficienteparaunacontrolabilidadcompletadeestadoesque no ocurra una cancelacin en la funcin de transferencia o en la matriz de transferencia. Siocurredichacancelacinelsistemanopuedesercontroladoenladireccindelmodocancelado.Ejemplo: Consideremos la funcin de transferencia siguiente:s s sss s sss Us Y15 812 4) 5 )( 3 () 3 ( 4) () (2 3+ ++=+ ++=Esobvioqueocurreunacancelacindelfactor(s+3)enelnumeradoryeneldenominadordeestafuncindetransferencia(PortantosedeberarepresentarmedianteunamatrizAdeorden2).Debidoadichacancelacinelsistemadetercerordennoesdeestadocompletamente controlable.ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 10 de 26La misma condicin se obtiene si se escribe esta funcin de transferencia en la forma deuna ecuacin de estado. La representacin en la forma cannica normal viene dada poruxxxxxx+ =20408 15 01 0 00 1 0321321y=[ 100 ]x0500 100 20100 20 420 4 0] [2= = = M B A AB B MEs obvio que la matriz de controlabilidad es singular por lo que el sistema no escontrolable de estado completo.Controlabilidad de la salida de sistemas de tiempo continuoEneldiseoprcticodeunsistemadecontrolsepretendenormalmentecontrolarlasalida en lugar del estado del sistema. Una controlabilidad completa de estado no es necesarianisuficienteparacontrolarlasalidadelsistema.Pordicharaznestildefinirunacontrolabilidad completa de la salida por separado.Considerar el sistema descrito por:Bu Ax x + =(11)y = Cx +Du (12)en donde x = vector de estado (vector de orden n)u = vector de control ( de orden r)y = vector de salida ( de orden m)A = matriz del sistema de orden n x nB = matriz de control de orden n x rC = matriz de salida de orden m x nD = matriz de transmisin directa de orden m x rSe dice que el sistema dado por (11) y (12) es de salida completamente controlable si esposible construir un vector de control u(t) no acotado, tal que transfiera cualquier salida inicialdeterminada y(t0) a cualquier salida final y(t1) en un intervalo de tiempo finito t0t t1Es factible demostrar que la condicin para una controlabilidad completa de la salida esla siguiente: el sistema descrito mediante las ecuaciones (11) y (12) es de salida completamentecontrolable si y slo si la matriz de orden m x (n + 1)rESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 11 de 26[ CB !CAB !CA2B !. . . ! CAn-1B !D ]es de rango m.Veamos un ejemplo con MATLAB:A = 0 1-1 0 0-5 3 0 0-6 4 0 0 0 0-1B = [2 1 1 2];C = [0-10100];D = 0;rank([C*B C*A*B C*A*A*B C*A*A*A*B D]) 0 %No es controlable a la salidactrb(A,B) 2 0 0 0 1-2 4-8 1-2 4-8-2 2-2 2rank(ans) 3 %No es controlable de estado completoControlabilidad completa del estado para sistemas en tiempo discretoConsideremos al sistema de control en tiempo discreto definido porx[(k+1)T] = Fx(kT)+Gu(kT) (13)y(kT) =Cx(kT)+Du(kT) (14)dondex(kT) = vector de estado de orden n en el periodo k de muestreou(kT) = vector de control de orden r en el periodo k de muestreoy(kT) = vector de salida de orden m en el periodo k de muestreo F = matriz de estado de orden n x n, constante.G= matriz de control de orden n x r, constante.C= matriz de salida de orden m x n, constante.T = Periodo de muestreo.ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 12 de 26Seasumequeu(kT)esconstanteparakTt(k+1)T.Sedicequeelsistemamuestreado dado por (13) es controlable de estado completo si existen r secuencias de controlcontinuoatrozosui(kT)definidasobreunnmerofinitodeperiodosdemuestreo,iniciandodesde cualquier estado x(kT), este pueda ser transferido a el estado deseado xf en n periodos demuestreo.Puedeprobarsequelacondicinparalacontrolabilidadcompletadelestadoesquela matriz de n filas y nr columnas[G !FG !. . . !Fn-1G]sea de rango n. O bien rango([G !FG !. . . !Fn-1G])= n.Controlabilidad de la salida de sistemas de tiempo discretoEl sistema de control dado por (13) y (14) es controlable a la salida si la matriz de mfilas por (n+1)r columnas[D !CG !CFG !. . . !CFn-1G]es de rango m. O bien rango([D !CG !CFG !. . . !CFn-1G]) = m.Veamos un ejemplo con MATLABA %matriz para el modelo de tiempo continuo 0 1-3 0-2 0 0-2-1B = [0;1;1]; %Matriz de control del modelo de tiempo continuoC2037 -37[F,G] = c2d(A,B,0.05) % 0.05 segs de periodo de muestreoF % Matriz de estado del modelo discreto 1.00000.0547-0.1463 0 0.9048 0 0-0.09280.9512G -0.00240.0476ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 13 de 260.0464Md = 100*ctrb(F,G)%por 100 para ver ms dgitos -0.2358 -0.6543 -0.99984.75814.30533.89564.63923.97153.3783rank(Md/100)3% El sistema discreto si es controlable de estado completoSistema estabilizableCuando un sistema no es controlable de estado completo, pero sucede que la parte nocontrolable es estable, se dice entonces que el sistema es estabilizable, aunque no seacontrolable. Un sistema controlable de estado completo es siempre estabilizable.Veamos un ejemploConsiderar al sistema de orden 3, con polos en 2, 2 y 1: = =0151 0 00 2 00 4 2B AEl sistema no es controlable de estado completo; pero la tercera variable de estado, quees la parte no controlable, es estable, y por lo tanto es sistema es estabilizable.ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 14 de 26OBSERVABILIDADAnalizaremos ahora la observabilidad de los sistemas lineales. Consideremos el sistema sinexcitacin descrito por las ecuaciones siguientes:Ax x =(15) y=Cx (16)en donde x = vector de estado (vector de orden n)y = vector de salida ( de orden m)A = matriz del sistema de orden n x nC = matriz de salida de orden m x nSedicequeelsistemaescompletamenteobservablesielestadox(t)sedeterminaapartirdelamedicindey(t)duranteunintervalodetiempofinitot0tt1.Portantoelsistema es completamente observable si todas las transiciones de estado afectan eventualmenteatodosloselementosdelvectordesalida. El concepto de observabilidad es til al resolver elproblema de reconstruir seales o variables de estado nomediblesapartirdevariablesquesison medibles en un tiempo lo menor posible. En estas notas trataremos con sistemas lineales einvariantes en el tiempo; por lo que sin perder generalidad supondremos que t0 es 0.Elconceptodeobservabilidadesmuyimportanteporque,enelterrenoprctico,ladificultad que se encuentra con el control mediante retroalimentacin del estado es que algunasvariables de estado no son asequibles para una medicin directa , por lo que se hace necesarioestimar las variables de estado no medibles para formar las seales de control. Ms adelante sedemostrar que tales estimaciones de las variables de estado son posibles si y slo si el sistemaes completamente observable.Al estudiar las condiciones de observabilidad consideramos el sistema sin excitacincomo el que se obtiene mediante las ecuaciones (15) y (16). La razn de esto es la siguiente: siel sistema se describe medianteBu Ax x + = y = Cx +Duentonces+ =tt td e e t0) () ( ) 0 ( ) ( Bu x xA Ay y(t) esDu Bu C x C yA A+ + =tt td e e t0) () ( ) 0 ( ) ( DadoquelasmatricesA,B,CyDseconocenaligualqueu(t),losdosltimostrminosdelsegundomiembrodelaecuacinanteriorsoncantidadesconocidas.Portantosepuedenrestardelvalorobservadoy(t).As,afindeinvestigarunacondicinnecesariayESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 15 de 26suficienteparalaobservabilidadcompleta,bastaconsiderarelsistemadescritoporlasecuaciones (15) y (16).Observabilidad completa de sistemas de tiempo continuoConsidere al sistema dado por (15) y (16), vuelto a escribir comoAx x =(15) y=Cx (16)el vector de salida y(t) es) 0 ( ) ( x C yAte t =Refirindonos a la ecuacin (8) o la (10) tenemos que==10) (nkkktt e AAPor lo tanto tenemos== =10) 0 ( ) ( ) 0 ( ) (nkkkC e t x A x C yA o bieny(t)=0(t)Cx(0)+1(t)CAx(0)+ . . . + n-1(t)CAn-1x(0) (17)Asi, si el sistema es completamente observable, dada la salida y(t) durante un intervalode tiempo 0 t t1, x(0) se determina nicamente a partir de la ecuacin (17). Se demuestraque esto requiere que el rango de la matriz de nm filas y n columnas=1 nCACACNMsea n. La matriz N recibe el nombre de matriz de observabilidad.Ejemplo: Considerar al sistema siguienteuxxxxxx+=12010 8 021 16 02 1 0321321ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 16 de 26[ ] =3214 2 7xxxyEs el sistema controlable y observable?Puesto que la matriz[ ] = =28 6 150 11 21 0 0B A AB B M2es de rango 3, el sistema es controlable de estadocompleto.La matriz [CBCABCA2BD ] es [02-50 ] cuyo rango es 1y por ello el sistema es controlable a la salida.Dado que la matriz==27 16 012 7 04 2 72CACACNes de rango 3, el sistema es observable completamente.Condiciones para la observabilidad completa en el dominio sLas condiciones para la observabilidad completa tambin se plantean en trminos de lasfuncionesdetransferenciaolasmatricesdetransferencia.Lacondicinnecesariaysuficientepara una observabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelacin en la funcin detransferenciaoenlamatrizdetransferencia.Siocurreunacancelacinelmodocanceladonose puede observar en la salida.Ejemplo: Demuestre que el sistemaBu Ax x + = y = Cxen donde== ==545400,001,5 1 04 0 10 0 0,321C B A xxxxESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 17 de 26no es completamente observable. Tomar en cuenta que la funcin de control u no afectala observabilidad completa del sistema. Para examinar la observabilidad completa,simplemente establecemos el control u = 0. Para este sistema tenemos.==5454545454545454002CACACNTodo determinante formado al tomar tres filas de la matriz N es igual a cero. En efectoel rango de N es igual a 2. Por ello, el sistema no es controlable de estado completo. Formandola matriz de transferencia evaluando C[sI A]-1B, la matriz G(s) resulta ser:+ +++ ++=) 4 )( 1 () 4 ( 5) 4 )( 1 () 4 ( 4) (s s sss s sss GEs obvio que los factores (s + 4) se cancelan entre si, lo que implica que no haycondiciones iniciales x(0) que se puedan calcular a partir de la medicin de y(t).La funcin de transferencia o la matriz de transferencia no presenta cancelacin si yslo si el sistema de estado-espacio es de estado completamente controlable y completamenteobservable.Forma alternativa de la condicin para la observabilidad completaConsidere el sistema descrito por las ecuaciones (15) y (16), vueltas a escribir comoAx x =(18) y=Cx (19)Asumir que la matriz de transformacin X transforma a A enuna matriz diagonal V.X-1AX=VDefinir x = XzDe esta manera las ecuaciones (18) y (19) pueden escribirse comoVz AXz X z = =1ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 18 de 26y=CXzpor lo tantoy(t)=CxeVtz(0)o bien==) 0 () 0 () 0 () 0 (00) (221121nnttttttz ez ez eeeetnM OCX z CX yEl sistema es completamente observable si ninguna de las columnas de la matriz CX deordenmxnestformadasloporceros.EstosedebeaquesilacolumnajdeCXestformada slo por ceros, la variable de estadozj(0) no aparecer en la ecuacin de salida y, portanto,nopuededeterminarseapartirdelaobservacindey(t).Entalcasox(0)queserelaciona conz(0) mediante la matriz no singularX,nopuededeterminarse(Estapruebaslopuede aplicarse si los valores propios i de A son diferentes)Ejemplo Sistema de cuarto orden con races distintas:1 = 0, 2 = -1 3 = 1 y 4 = -4uxxxxxxxx+=10024 1 4 01 0 0 00 1 0 08 2 9 043214321y = [10100-20]xLa matriz X, formada por los vectores propios de A viene dada por: =16 1 1 04 1 1 01 1 1 075 . 31 3 1 1XEl producto CX resulta ser: [10.00000 20.0000 7.5000]Se infiere que el sistema no es observable de estado completo pues unacolumna de CX (la segunda) est formada por un elemento cero. Paracorroborar con MATLAB, se calcul N, la matriz de observabilidad:N = obsv(A,C)1010 0 -20 01010 0 0 01010ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 19 de 26 04010 -30rank(N)3V = inv(X)*A*X %Matriz diagonal 0 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 01.0000 0 0 0 0 -4.0000M = ctrb(A,B) %Matriz de controlabilidad 2-834-135 0 0 1-4 0 1-417 1-417 -68rank(M) 4Los siguientes sistemas son completamente observables[ ] ==2121217 2 ,4 00 2xxyxxxx==32121321321500023,3 0 00 5 00 1 5xxxyyxxxxxx==543212154321543210 1 0 0 00 0 0 0 1,4 01 4001 0 01 1 00 1 1xxxxxyyxxxxxxxxxxLos siguientes sistemas no son completamente observables[ ]==2121210 2 ,5 00 2xxyxxxxESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 20 de 26==321213213210461000,3 0 00 5 00 1 5xxxyyxxxxxx==543212154321543210 1 0 3 00 0 2 0 0,3 01 3001 0 01 1 00 1 1xxxxxyyxxxxxxxxxxPRINCIPIO DE DUALIDADAhora estudiaremos la relacin entre la controlabilidad y la observabilidad.Introduciremos el principio de dualidad, presentado por Kalman, para aclarar las analogasevidentes entre los conceptos de controlabilidad y observabilidad.Consideremos el sistema Sis1 descrito medianteBu Ax x + = y=Cxen donde x = vector de estado (vector de orden n)u = vector de control de orden ry = vector de salida ( de orden m)A = matriz del sistema de orden n x nB = matriz de control de orden n x rC = matriz de salida de orden m x nY al sistema Sis2 descrito mediantev C z A z ' ' + = n=Bzen donde z = vector de estado (vector de orden n)v = vector de control de orden mn = vector de salida ( de orden r)A = matriz del sistema de orden n x nB = matriz de salida de orden r x nC = matriz de control de orden n x mEl principio de dualidad plantea que sistema Sis1 es de estado completamentecontrolable (observable) si y slo si el sistema Sis2 es completamente observable (controlable).ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 21 de 26Para corroborar este principio repasemos las condiciones necesarias y suficientes parala controlabilidad completa y la observabilidad completa de los sistemas Sis1 y Sis2.Para el sistema Sis1:1Una condicin necesaria y suficiente para la controlabilidad completa del estadoes que el rango de la matriz de n x nr[ B!AB !. . . !An-1 B]sea n.2Una condicin necesaria y suficiente para la observabilidad completa del estadoes que el rango de la matriz de nm x n[ C!AC !. . . !(A)n-1 C]= 1 nCACACMsea n.Para el sistema Sis2:3Una condicin necesaria y suficiente para la controlabilidad completa del estadoes que el rango de la matriz de n x nm[ C!AC !. . . !(A)n-1 C]= 1 nCACACMsea n.4Una condicin necesaria y suficiente para la observabilidad completa del estadoes que el rango de la matriz de nr x n=1) ' ( '' ''nA BA BBM[ B!AB !. . . !An-1 B]sea n.ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 22 de 26Comparando estas condiciones, y tomando en cuenta que una matriz cualquiera y sutranspuesta tienen el mismo rango, se infiere la validez del principio de dualidadVeamos un ejemplo ilustrativo con MATLABA 2 0 0 0 2 0 0 3 1B 0 1 1 0 0 1C 1 0 0 0 1 0D = zeros(2);Sis1 = ss(A,B,C,D);Sis2 = ss(A',C',B',D); % Sistema dual de Sis1ctrb(Sis1) 0 1 0 2 0 4 1 0 2 0 4 0 0 1 3 1 9 1rank(ans) 3 % Sis1 es controlable de estado completoobsv(Sis2) 0 1 0 1 0 1 0 2 3 2 0 1 0 4 9 4 0 1rank(ans)ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 23 de 26 3 % Sis2 es observable de estado completoobsv(Sis1) 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 2 0 4 0 0 0 4 0rank(ans) 2 % Sis1 no es observable de estado completoctrb(Sis2) 1 0 2 0 4 0 0 1 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0rank(ans) 2 % Sis2 no es controlable de estado completoObservabilidad completa del estado para sistemas en tiempo discretoConsideremos al sistema de control en tiempo discreto definido porx[(k+1)T] = Fx(kT)+Gu(kT) (20)y(kT) =Cx(kT)+Du(kT) (21)dondex(kT) = vector de estado de orden n en el periodo k de muestreou(kT) = vector de control de orden r en el periodo k de muestreoy(kT) = vector de salida de orden m en el periodo k de muestreo F = matriz de estado de orden n x n, constante.G= matriz de control de orden n x r, constante.C= matriz de salida de orden m x n, constante.T = Periodo de muestreo.Se acostumbra omitir al periodo de muestreo T en las dos ecuaciones anteriores, porobtener brevedad, por lo que es comn que stas se presenten comox(k+1)=Fx(k)+Gu(k) (20a)y(k) =Cx(k)+Du(k) (21a)ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 24 de 26Se dice que el sistema dado por (20) y (21) es observable de estado completo si esposible determinar el estado x(0) a partir de las observaciones de y(kT) sobre un nmero finitode periodos de muestreo. El sistema es observable si cada transicin de estado afectaeventualmente a la salida.Se puede demostrar que el sistema dado por (20) y (21) es completamente observable sila matriz de nm filas y n columnasOd = 1 nCFCFCMEs de rango n. Od es la matriz de observabilidad.Veamos un ejemplo que ilustra lo antes dicho, resuelto con MATLABA% Matriz de estado del modelo de tiempo continuo21-1 -10-52-6 -3 -1B = [0;1;1];C % Matriz de salida para ambos modelos14-3 3[F,G] = c2d(A,B,0.04) % Periodo de muestreo es 40 milisegundosF = % Matriz de estado de tiempo discreto1.07990.0400 -0.0392 -0.38600.80700.0784 -0.2216 -0.11080.9608G =0.00000.03770.0369Od = obsv(F,C) % Matriz de observabilidad del modelo discreto 14.0000 -3.00003.0000 15.6124 -2.19382.0982ESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 25 de 26 17.2424 -1.37881.2317rank(Od) 3 % el sistema es observable de estado completoSistema detectableSi un sistema es no observable de estado completo, pero su parte no observable esestable, entonces se dice que dicho sistema es solamente detectable. Un sistema observable deestado completo es siempre detectable Veamos un ejemplo:Considerar al sistema de orden 3, con polos en 2, 2 y 1:[ ] 1 0 01 0 00 2 00 4 2= = C AEl sistema no es observable de estado completo; pero las variables de estado 1 y 2, queson la parte no observable, incluyen la segunda variable de estado que es inestable, ypor lo tanto es sistema no es ni siquiera detectable.PROBLEMAS PROPUESTOS1.Dado el sistema de tiempo continuo, efectuar anlisis de controlabilidad y deobservabilidad+=21432143210 12 00 00 24 1 4 01 0 0 00 1 0 08 2 9 0uuxxxxxxxxy = [1010020]4321xxxx2. Dado el sistema de tiempo discreto, efectuar anlisis de controlabilidad y deobservabilidadESIME-IPN Controlabilidad y Observabilidad del Estado-EspacioTEORIA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M I pgina 26 de 26kk kuxxxxxxxx+ =+12 . 01 . 025 . 009 . 0 0 0 00 75 . 0 0 30 . 00 135 . 0 6 . 0 135 . 00 0 0 45 . 0432114321kkxxxxyy =432121040220053Dado el diagrama a bloques del sistema continuo determinar controlabilidad,estabilizabilidad, observabilidad y detectabilidad.4En el siguiente circuito x1 y x2 son las variables de estado y corresponden a los voltajesen los capacitores C1 y C2, respectivamente. Si el producto R1C1 es igual al productoR2C2 , ser el sistema controlable? y/o observable?.