CAPÍTULO II I. MARCO TEÓRICO 1. Antecedentes de la...
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10 CAPÍTULO II I. MARCO TEÓRICO 1. Antecedentes de la Investigación Los antecedentes de la investigación están representados por todos los estudios realizados con anterioridad, que en forma directa o indirecta se relacionan con la investigación propuesta. Para efectos del presente trabajo, se realizó una revisión exhaustiva de documentación bibliográfica, donde se encontró un grupo reducido de ellos, que muestran algún tipo de relación con sistemas de control avanzado aplicados a reactores de polimerización de estireno. Para efectos de la presente investigación se consultaron las siguientes publicaciones: Hidalgo y Brosilow (1990) realizaron el siguiente trabajo titulado “Nonlinear Model Predictive Control of Styrene Polymerization at Unstable Operation Points” para el departamento de ingeniería química de la Universidad de Case Western Reserve, Cleveland. El objetivo principal de este trabajo fue el uso de un algoritmo de control predictivo en un proceso modelo, para estimar las perturbaciones no medibles y calcular los esfuerzos
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CAPÍTULO II
I. MARCO TEÓRICO
1. Antecedentes de la Investigación
Los antecedentes de la investigación están representados por todos los
estudios realizados con anterioridad, que en forma directa o indirecta se
relacionan con la investigación propuesta.
Para efectos del presente trabajo, se realizó una revisión exhaustiva de
documentación bibliográfica, donde se encontró un grupo reducido de ellos,
que muestran algún tipo de relación con sistemas de control avanzado
aplicados a reactores de polimerización de estireno. Para efectos de la
presente investigación se consultaron las siguientes publicaciones:
Hidalgo y Brosilow (1990) realizaron el siguiente trabajo titulado
“Nonlinear Model Predictive Control of Styrene Polymerization at Unstable
Operation Points” para el departamento de ingeniería química de la
Universidad de Case Western Reserve, Cleveland. El objetivo principal de
este trabajo fue el uso de un algoritmo de control predictivo en un proceso
modelo, para estimar las perturbaciones no medibles y calcular los esfuerzos
11
de control necesarios para suprimir los disturbios y forzar al proceso a seguir
la trayectoria deseada hacia el punto de ajuste.
De manera general, Hidalgo y Brosilow (1990), proponen un sistema de
control multivariable para obligar a las variables del proceso a seguir la
trayectoria deseada. Para el caso específico de un reactor de estireno, estos
autores establecen dos (2) variables a ser controladas, el flujo de agua a la
chaqueta del reactor es seleccionado como variable principal de control,
mientras que el flujo de monómero sería la segunda variable a ser
controlada.
Como conclusión se demostró a través de herramientas de simulación
que el modelo de control predictivo se puede aplicar para controlar procesos
inestables y no lineales con resultados buenos.
El antecedente anterior es importante en la investigación ya que en el
desarrollo del trabajo se plantea la posibilidad de que si la variable principal
de control (flujo de agua a la chaqueta) puede mantener la trayectoria
deseada de las variables del proceso, entonces el flujo de monómero se
mantendría en su valor nominal (establecido por el operador), teniendo
entonces la posibilidad de establecer una estrategia de control basada solo
en el flujo de agua a la chaqueta. Lo anterior expone una posible estrategia
de control con la misma variable controlada que en la estrategia de control
utilizada actualmente, lo que implica pocas modificaciones para la
implantación de la nueva estrategia de control.
12
Rantow y Soroush (2005) realizaron el siguiente artículo “Optimal Control
of a High-Temperature Semi-Batch Solution Polymerization Reactor” para el
departamento de ingeniería química de la Universidad Drexel, Philadelphia.
El artículo expone el cálculo y la aplicación, en tiempo real, del control óptimo
en controles de temperatura y caudal de alimentación en un reactor de
polimerización de acrilato de N-butyl utilizando una solución de Semi-Batch.
Estos autores obtuvieron un modelo para la polimerización en solución de
acrilatos de alquilo en un reactor discontinuo, estableciendo que dicho
modelo representa satisfactoriamente (evaluado y validando el modelo) el
mecanismo de reacción complejo.
Rantow y Soroush (2005), efectuaron la validación del modelo con
mediciones realizadas en regiones diferentes a las medidas utilizadas para la
estimación de los parámetros. Dichos autores establecieron una estrategia
de control óptimo considerando tres (3) corrientes de alimentación (solvente,
monómero e iniciador) y la temperatura del reactor, y realizaron la
minimización de un índice de rendimiento multiobjetivo. Mediante la
investigación, lograron operar en tiempo real un reactor de polimerización
con la estrategia de control óptimo predefinida y utilizaron dicho experimento
para realizar mediciones que permitieron evaluar y validar la estrategia
planteada.
La conclusión del estudio arrojo que la optimización de la estrategia de
control permite una mayor producción de resinas de polímetro de mayor
calidad a costos más bajos.
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El antecedente anterior es importante en la presente investigación, ya
que muestra un proceso de obtención del modelo de la reacción de
polimerización para el acrilato de alquilo en un reactor discontinuo, realizando
además la estimación de parámetros y validación del modelo. Se establece
un antecedente en la utilización del control óptimo en reactores de
polimerización y logran validar el proceso de optimización mediante un
estudio en tiempo real, realizado en un laboratorio, revelando la factibilidad
de la aplicación de dicha estrategia en procesos de polimerización.
Eizaga y Aboukheir (2009) realizaron el articulo “Estrategias Prácticas
para Modelado y Control de un Separador Gas-Líquido bajo Condiciones de
Flujo Intermitente” para la revista técnica “Telematique” de la Universidad
Rafael Belloso Chacín, Venezuela. El presente artículo logró la
caracterización de un separador gas-líquido de tipo horizontal bajo
condiciones de flujo intermitente, a través de la estrategia de identificación de
sistemas conocida como modelado en caja gris.
El artículo utilizó las leyes físicas (ecuaciones generalmente conocidas)
para la describir las características del sistema y luego determinó los
parámetros de las ecuaciones planteadas, utilizando la herramienta de
identificación de sistemas de Matlab®. Los autores seleccionaron el sistema
de control óptimo dada la complejidad del proceso a controlar. Compararon
las respuestas del sistema para diferentes estrategias de control tales como:
controlador PID y PI óptimo.
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El antecedente anterior presenta de manera resumida todo el proceso de
modelización del sistema por medio de leyes físicas, y mediante las
herramienta de identificación de sistemas de Matlab®, logra obtener y validar
un modelo matemático, al cual se le aplicaron distintas técnicas de control
clásico y moderno, dando como resultado que aunque ambas estrategias
dieron resultados satisfactorios, la técnica de control moderno,
específicamente el control óptimo, presenta una alta efectividad que se
evidencia en cortos tiempos de repuesta a pesar de lo exigente del proceso,
en comparación el con la técnica de control clásico PID.
El modelado en caja gris resulto sumamente útil y efectivo, y permitió,
mediante el conocimiento de la herramienta Matlab®, el conocimiento del
modelo matemático del proceso y los datos de entradas y salidas del
sistema, un ahorro en el tiempo de cálculo empleado.
En el caso particular de esta investigación los parámetros determinados,
permitieron obtener ajustes entre el modelo identificado y el modelo original
del separador que superan el 98 % para el lazo de nivel y el 95 % para el
lazo de presión. Este precedente aporta información a la presente
investigación ya que presenta una metodología práctica para la solución de
control planteada, específicamente se realiza un modelado matemático del
sistema por leyes físicas, se obtienen los parámetros del modelo por medio
del toolbox de Matlab® system identification, y se plantea y simula una
estrategia de control óptimo, teniendo gran importancia ya que esta
metodología podría utilizarse para la presente investigación.
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2. Bases Teóricas
2.1. Sistemas de Control
2.1.1. Definición de Sistema de Control
Según Kuo (1996), un sistema de control está conformado por los
siguientes componentes básicos:
1. Objetivos de control.
2. Componentes del sistema de control.
3. Resultados o salidas.
En el gráfico 1 se esquematiza la relación de estos componentes.
Fuente: Kuo (1996, figura 1-1) .
Gráfico 1. Componentes de un sistema de control
Simplificando, los objetivos se pueden considerar como las señales de
entrada y los resultados como señales de salida o variables controladas. “En
general, el objetivo de un sistema de control es controlar las salidas en
16
alguna forma prescrita mediante las entradas a través de los elementos del
sistema de control” (Kou, 1996, p.2).
Por su parte, Dorf (1993) indica que “un sistema de control es una
interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que
proporcionan una respuesta deseada del sistema” (p.2). Por lo tanto, un
sistema de control es una interconexión de elementos de control que permite
obtener una respuesta deseada, a través del comportamiento de las señales
de entrada.
2.1.2. Tipos de Sistemas de Control
Los sistemas de control se pueden dividir en dos (2) sistemas, sistemas
de control de lazo cerrado y sistemas de control de lazo abierto. A
continuación se definen cada uno de ellos.
2.1.2.1. Sistemas de control en lazo cerrado
Ogata (1998) define que, en un sistema de control a lazo cerrado, el
controlador se alimenta con una señal de error, que es la diferencia entre la
señal de entrada y la señal retroalimentada de la salida. Este sistema
también es conocido con los nombres de sistema de control retroalimentado
o sistema de control por autorregulación.
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Según Kuo (1996), en un sistema de control a lazo cerrado “[…] la señal
controlada y[sic.] debe ser realimentada y comparada con la entrada de
referencia, y se debe enviar una señal actuante proporcional a la diferencia
de la entrada y la salida a través del sistema para corregir el error” (p.9).
En el gráfico 2, se observa un esquema de este tipo de sistema.
Fuente: Kuo (1996, figura 1-11) .
Gráfico 2. Sistema de control lazo cerrado
2.1.2.2. Sistemas de control en lazo abierto
Éste es un sistema en el cual la salida no se compara con la entrada, por
lo tanto a cada entrada de referencia le corresponde una señal de salida fija,
teniendo como resultado que la precisión del sistema depende de la
calibración (Ogata, 1998).
18
Según Kuo (1996), un sistema de control en lazo abierto está constituido
por dos (2) elementos el controlador y el proceso controlado, en el gráfico 3
se muestra la relación entre estos dos (2) elementos.
Fuente: Kuo (1996, Figura 1-10) .
Gráfico 3. Sistema de control lazo abierto
En función de lo indicado en el gráfico 3, Kuo (1996) establece que “una
señal de entrada o comando r se aplica al controlador, cuya salida actúa
como señal actuante u; la señal actuante controla el proceso controlado de
tal forma que la variable controlada y se desempeñe de acuerdo con
estándares preestablecidos” (p.9).
Según Ogata (1998):
Para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control en lazo abierto. Los sistemas de control en lazo cerrado sólo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles en los componentes del sistema (p.8).
Ambos sistemas de control, lazo abierto y lazo cerrado, son utilizados en
la actualidad, pero cada uno posee características, que permiten su
implementación o no, en un específico problema de control.
19
2.1.3. Tipos de Sistemas
Existen dos (2) tipos de sistemas en función de su comportamiento
entrada/salida, que determinan el estado de un proceso a controlar, estos
son: sistemas lineales y sistemas no lineales.
2.1.3.1. Sistemas lineales
Con respecto a este punto, Ogata (1998) explica que un sistema se
denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio
establece que la respuesta producida, por la aplicación simultánea de dos (2)
funciones de entradas diferentes, es la suma de las dos (2) respuestas
individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas
se calcula tratando una entrada a la vez y sumando los resultados. Este
principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación
diferencial lineal a partir de soluciones simples.
Si en una investigación experimental, de un sistema dinámico, son
proporcionales la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio
de superposición, el sistema se considera lineal.
Los sistemas lineales no existen en la práctica, ya que los sistemas
físicos reales presentan algún grado de no linealidad, pero cuando el rango
del comportamiento del sistema a estudiar presenta características de
linealidad, este rango de operación se puede considerar lineal.
20
2.1.3.2. Sistemas no lineales
De acuerdo con lo expuesto por Ogata (1998), un sistema es no lineal si
no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no
lineal la respuesta a dos (2) entradas no puede calcularse tratando cada una
a la vez y sumando los resultados. Aunque muchas relaciones físicas se
representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en la mayor parte de
los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales.
Por otra parte Kuo (1996) indica que “En el diseño de sistemas de
control, es práctico, primero diseñar el controlador con base en un modelo de
un sistema lineal despreciando las no linealidades del sistema. Entonces, el
controlador diseñado se aplica al modelo del sistema no lineal para su
evaluación o rediseño mediante simulación en computadora” (p.16).
Según el comportamiento del sistema con respecto al tiempo, Kou (1996)
clasifica los sistemas en:
1. Sistemas invariantes con el tiempo. Son aquellos sistemas donde los
parámetros del sistema de control son estacionarios con respecto al tiempo
durante la operación del sistema. También son llamados sistemas estáticos.
En estos sistemas las salidas varían instantáneamente al variar las
entradas, son sistemas sin memoria y no almacenan energía ni información.
2. Sistemas variantes con el tiempo. Son aquellos donde los
parámetros del sistema cambian con respecto al tiempo. También son
llamados sistemas dinámicos.
21
Su principal característica es que su salida en cualquier instante depende
la ha historia (memoria) y no solamente de la(s) entrada(s) presente(s). La
representación de un sistema dinámico se realiza mediante un modelo
matemático basado en ecuaciones diferenciales.
2.2. Identificación de Sistemas
La identificación de sistemas es una herramienta que permite construir
un modelo matemático de sistemas dinámicos basado en data experimental
del sistema.
Ljung (1999) establece tres (3) entidades básicas para el proceso de
identificación de sistemas:
1. Datos experimentales. Estas conformado por la data de entrada y
salida que es recolectada durante una etapa de la identificación de sistemas
llamada diseño de experimento, donde el usuario podrá determinar que
señales debe medir, cuando se deben medir y también decidir que señales
de entrada debe tomar, ya que el objetivo de esta etapa es tomar las
decisiones para que los datos obtenidos tengan la máxima información
significativa del sistema.
2. Conjunto de estructuras de modelos posibles. Un conjunto de
posibles modelos se pueden obtener de las estructuras ya establecidas, solo
se debe ubicar la que más se ajuste al sistema estudiado. Este punto es de
gran importancia en la identificación de sistemas, ya que aquí se combinan el
22
conocimiento a priori del proceso, la intuición de ingeniería y el conocimiento
de las propiedades de los modelos.
3. Reglas con las cuales las estructuras de modelos puedan ser
evaluadas con la data. Se evalúa la estructura del modelo planteado, esto
generalmente se basa en cómo se comportan los modelos cuando son
evaluados con data medida de entrada del sistema real.
Cada entidad conlleva a su vez a etapas que permiten lograr
exitosamente un proceso de identificación de sistemas. Ljung (1999)
estableció un orden lógico para dichas etapas (ver gráfico 4).
Fuente: Ljung (1999, figura 1-11) .
Traducido por: Gómez (2012) .
Gráfico 4. Proceso de identificación de sistemas
23
Es probable que, aunque se siguieran las etapas en un orden lógico, el
primer modelo obtenido no logre pasar las pruebas de validación del modelo,
y esto puede ser debido a diferentes causas como:
1. El criterio no fue bien elegido.
2. El conjunto de modelos no era el adecuado, ya que no tenía una
buena descripción del sistema.
3. El conjunto de datos no era suficientemente informativo para llevar a
selección de un buen modelo.
Por lo tanto se hace necesario regresar a pasos o etapas anteriores y
verificar las posibles causas de que el modelo planteado no sea
representativo del modelo real. Las etapas para el proceso de identificación
se describen a continuación.
2.2.1. Diseño de Experimentos
El diseño de experimentos es la primera etapa del proceso de
identificación de sistemas, y es donde se determina las señales que se
deben medir, cuando medirlas, las señales a manipular y cuando
manipularlas.
2.2.1.1. Principios básicos
Las condiciones del experimento para la recolección de data deben ser
24
realizadas bajo condiciones similares a las cuales el modelo va a ser
utilizado, según lo expresado por Ljung (1999). Lo expresado anteriormente
es debido a que los parámetros estimados convergerán, a los valores que
obtengan el mejor acercamiento a las propiedades del sistema bajo las
condiciones durante las cuales fue recolectada la data de proceso.
En función de lo expresado por Ljung (1999) “un experimento es lo
suficientemente informativo, si este genera un conjunto de datos que son lo
suficientemente informativo” (p.411), por lo que la elección de la señal de
excitación es de vital importancia para el diseño del experimento de
identificación.
Así mismo, es importante tomar en cuenta la persistencia de la
excitación, donde una señal cuasi estacionaria tu , con espectro wu
es llamada persistentemente excitante de orden n si para todos los filtros de
la forma:
nn
11n qm...qmqM (1)
La relación:
0weM u2jw
n (2)
Estos principios básicos pueden ser utilizados como criterios para la
elaboración del plan del experimento, especificadamente para la toma de
datos que es la base (muestra) para el diseño y validación de los modelos
matemáticos del sistema.
25
2.2.2. Técnicas de Identificación de Sistemas
Existen variadas técnicas para la identificación de sistemas,
considerando si son sistemas lineales o no lineales, y dentro de cada uno de
estos existen distintos modelos que darán solución, con mayor o menor
exactitud, en función de las características que presente dicho sistema a
identificar.
Según lo expresado por Ljung (1999) de los sistemas lineales “Es cierto
que representan idealizaciones del proceso se encuentran en la vida real.
Pero aun así las aproximaciones que se realizan a menudo se justifican, ya
que el diseño cuenta con la base de la teoría lineal y da buenos resultados
en muchos casos”. Por lo anteriormente explicado, se desarrolló y utilizó la
teoría de los sistemas lineales, por ser la manera más sencilla y eficiente de
obtener la identificación del sistema.
2.2.2.1. Modelos paramétricos de sistemas lineales invariantes en el tiempo
Kunusch (2003) señala que “un modelo de un sistema consiste en una
descripción conveniente de algunas de sus propiedades, y de acuerdo a un
propósito particular” (p.15). El modelo no necesita ser una exacta descripción
del sistema, pero si debe ser lo aproximadamente similar para el análisis en
cuestión, pudiendo existir una margen de diferencia aceptable.
26
Luego del diseño del experimento, el siguiente paso en la identificación
de sistemas es determinar una clase de modelos, dentro de la cual se hallará
el modelo más conveniente.
Modelos lineales y sets de modelos lineales.
La representación de un modelo lineal invariante en el tiempo puede ser
expresado por su respuesta impulsiva 1kg y por el espectro de la
perturbación aditiva 2j2vv eH , y, posiblemente por la función de
densidad de probabilidad ( fdp ) de la perturbación te . Por lo tanto un
modelo completo estaría dado por:
te.qHtu.qGty (3)
tedefdp,xfe
Con,
1k
k
1k
k q.kh1qH,q.kgqG (4)
En la mayoría de los casos es impracticable el hecho de hacer esta
especificación tomando las secuencias infinitas kg y kh
conjuntamente con la función xfe . En lugar de esto uno elige trabajar con
estructuras que permitan la especificación de G y H en términos de un
número finito de valores. Tal es así que las funciones de transferencia
racionales son típicos ejemplos de esto. Incluso es muy común que la fdp no
sea especificada como función, pero descripta en función de unas pocas
características numéricas como los momentos de primero y segundo orden:
27
0dx.xf.xteE e (5a)
2e
22 dx.xf.xteE (5b)
Es también muy común asumir que te tiene una distribución Gaussiana,
en cuyo caso la función de densidad de probabilidad ( fdp ) queda
enteramente especificada por las ecuaciones 5a y 5b.
La especificación (ecuación 3) en términos de un número finito de
valores, o coeficientes, se conoce como modelado paramétrico e involucra
métodos de estimación y predicción conocidos métodos de identificación
paramétrica.
Muy a menudo no es posible determinar a priori estos coeficientes
partiendo del conocimiento de las leyes físicas que gobiernan el
comportamiento del sistema. Es por eso que la determinación de todos o
algunos de dichos valores debe ser dejada a los procedimientos de
estimación. Esto quiere decir que los coeficientes en cuestión entran en el
modelo como parámetros a ser determinados. Se llamará entonces al
vector que contenga todos los parámetros a estimar, por lo que la descripción
del modelo será la siguiente:
te.,qHtu.,qG,ty (6a)
te;tedefdp,,xfe ruido blanco (6b)
Es importante resaltar que este resultado no es un modelo sino un set de
modelos.
28
Partiendo de la ecuación general para predecir un valor futuro de y:
ty.qH1tu.qG.H1tty 11
(7)
Usando la ecuación 7, se predice las muestras futuras para la ecuación
6, y para enfatizar la dependencia que mantiene el estimador con el vector de
parámetros , la notación se hace de la siguiente manera:
ty.,qH1tu.,qG.,qH,ty 11
(8)
Se puede observar que la forma de este predictor no depende de ,xfe
ya que es posible llegar a la ecuación 8 sin hacer consideraciones
probabilísticas.
Familias de modelos de funciones de transferencia.
Para Ljung (1999) el camino más inmediato para parametrizar G y H
sería representarlas como funciones racionales y dejar que los parámetros
sean los coeficiente del numerador y del denominador.
A continuación se presentan varias estructuras modelos conocidas como
modelos de caja negra.
(a) Estructura ARX.
Probablemente la relación entrada-salida más simple que se puede
obtener, ya que es descrita como una ecuación lineal en diferencias.
tentub...2tub1tub
ntya...2tya1tyaty
bn21
an21
b
a
(9)
29
Debido a que el término de ruido blanco te entra como un error directo
en la ecuación en diferencias, el modelo (ecuación 9) es también conocido
como modelo o estructura de ecuación de error.
En este caso los parámetros a ajustar serán:
Tn21n21 ba
b...bba...aa (10)
Si se propone dos polinomios A(q) y B(q) de la forma,
a
a
nn
22
11 qa...qaqa1qA
a
a
nn
22
11 qb...qbqb1qB
(11)
Se verá que la ecuación 9 se corresponde con la ecuación 6a, siendo:
qA
1,qH,qAqB,qG (12)
Fuente: Ljung (1999, figura 4-1) .
Gráfico 5. Estructura ARX
30
A este modelo se lo conoce como estructura “ARX”, donde “AR” hace
referencia a la parte autorregresiva ty.qA y “X” a la entrada extra (extra
imput) tu.qB también conocida como variable exógena.
El flujo de señal del gráfico 5 indica que posiblemente este no sea el
modelo más natural desde un punto de vista físico, ya que el ruido blanco es
sumado a la salida luego de pasar a través del denominador del sistema
dinámico. Sin embargo, el set de modelos de ecuación de error posee una
propiedad importante que lo convierte en una buena primera elección en
muchas aplicaciones, y es que la forma del predictor define una regresión
lineal.
(b) Estructura ARMAX.
La principal desventaja del modelo ARX reside en la escasez o falta de
libertad en la descripción del término de perturbación. Sin embargo, es
posible incorporar mayor flexibilidad al modelado si se le agrega un término
conocido como media en movimiento (moving average) del ruido blanco.
cnbn1
an1
ntectentub...1tub
ntya...1tyaty
eb
a
(13)
Con:
c
c
nn
22
11 qc...qcqc1qC (14)
Por lo tanto:
te.qCtu.qBty.qA (15)
Dicha ecuación se corresponde con la ecuación 6a si:
31
qAqC,qH,
qAqB,qG (16)
Siendo ahora el nuevo vector de parámetros:
Tnnn cba
cccbbbaaa ......... 212121 (17)
Debido al nuevo término de media en movimiento teqC , el modelo
descrito con la ecuación 15 será llamado ARMAX.
Ahora, en lugar de modelar el error como promedio móvil, será descrito
como una autoregresión. Esto genera un set de modelos:
teqD
tuqBtyqA .)(
1.. (18)
Con:
d
d
nn qdqdqdqD ...1 2
21
1 (19)
Que, análogamente a la terminología anterior, se podría llamar ARARX. En
términos más generales, se podría usar la descripción de la ecuación de
error ARMA, dando lugar a una estructura ARAMAX
teqDqCtuqBtyqA .
)()(.. (20)
32
Fuente: Ljung (1999, figura 4-2) .
Gráfico 6. Estructura AMX
(c) Estructura de Error de Salida.
Hasta ahora se han visto estructuras en las cuales la descripción de las
funciones de transferencia tienen el polinomio qA como factor común en
sus denominadores. Pero desde un punto de vista físico sería más natural
parametrizar estas transferencias en forma independiente.
Supóngase entonces por un momento que la relación entre la entrada y
una salida no perturbada tw puede ser representada como una ecuación
en diferencias lineal, y que la perturbación consiste en ruido blanco.
bn1
fn1
ntub...1tub
ntwf...1twftw
b
f
(21a)
tetwty (21b)
33
Con:
f
f
nn
22
11 qf...qfqf1qF (22)
Se puede escribir la ecuación del modelo como:
tetu.qFqBty (23)
Fuente: Ljung (1999, figura 4-3) .
Gráfico 7. Estructura OE
(d) Estructura Box-Jenkins.
El desarrollo del modelo de error de salida (ecuación 23) es para
adicionar al modelo las propiedades del ruido en la salida. Pero si se describe
esto mismo en el marco de un modelo ARMAX se llega a lo siguiente:
teqDqCtu.
qFqBty (24)
Siendo esta la parametrización de dimensiones finitas más natural si es
que partimos de la ecuación 6a. Ya que las funciones de transferencia G y H
son parametrizadas en forma independiente como funciones racionales.
34
Entonces, de acuerdo a la ecuación 8 el predictor para el set de modelos de
la ecuación 24 será:
tyqC
qDqCtu.qF.qCqB.qD,ty
(25)
Todas las estructuras seleccionadas anteriormente fueron utilizadas en la
presente investigación, formando un conjunto de modelos que fueron
comparados entre sí, escogiendo el que mejor describió el proceso real.
Fuente: Ljung (1999, figura 4-4) .
Gráfico 8. Estructura ARX
2.2.3. Selección de Estructura y Validación del Modelo
La elección de una estructura apropiada (por ejemplo: arx, armax, etc.)
es un paso crucial en el camino de la identificación de sistemas dinámicos. Y
dicha elección debe estar basada tanto en el entendimiento del proceso de
identificación, como en un vasto conocimiento del sistema a identificar.
Una vez que la estructura ha sido escogida, el próximo paso consiste en
seleccionar un modelo particular de dicha estructura, es decir, determinar un
35
conjunto particular de parámetros para dicha estructura. Concluido este paso
el modelo hallado puede llegar a ser el mejor disponible, sin embargo, más
importante aún es saber a ciencia cierta si dicho modelo es suficientemente
bueno para nuestros propósitos.
El proceso de evaluación de un modelo para determinar si es el
apropiado, es conocido como validación del modelo.
2.2.3.1. Aspectos generales en la elección de una estructura modelo
El camino hacia una estructura particular involucra, al menos, tres (3)
pasos:
Paso 1: Elección del tipo del set de modelos.
Esto involucra, por ejemplo, la selección entre modelos lineales y no
lineales, entre caja negra y modelos en variables de estado parametrizados
físicamente.
Paso 2: Elección del tamaño del set de modelos.
Aquí se plantean varios temas como la selección de los grados de los
polinomios en el modelo y el problema de qué tipo de variables incluir en la
descripción del modelo.
Paso 3: Elección de la parametrización del modelo.
Cuando un set de modelos ha sido seleccionado, todavía resta
parametrizarlo, esto es, encontrar una estructura particular que se adecue al
set de datos disponible y a la aplicación buscada.
36
El propósito fundamental de un proceso de identificación es, en pocas
palabras, obtener un modelo bueno y confiable con una cantidad razonable
de trabajo. Es por eso que la elección de una estructura, seguramente tendrá
un considerable efecto tanto en la calidad del modelo resultante, como en el
precio que significó arribar al mismo.
(a) Calidad del Modelo.
La calidad del modelo resultante puede ser medida por un criterio de
reducción de bias (polarización de los parámetros), que consiste
básicamente en la implementación de grandes estructuras para obtener una
mayor flexibilidad. Pero a su vez, el hecho de aumentar el número de
parámetros produce un incremento en la varianza (que sería algo así como
un grado indeterminación) de los parámetros estimados. Es por todo esto
que se llega a una situación conflictiva de requerimientos produciéndose un
compromiso entre:
Flexibilidad: que consiste en el empleo de estructuras modelo que
ofrezcan una gran capacidad de descripción de posibles sistemas. La
flexibilidad se puede incrementar de dos formas básicas, usando muchos
parámetros o bien ubicando los mismos en posiciones estratégicas.
Parsimonia: que es el no hacer uso de una gran cantidad de parámetros
en forma innecesaria.
37
(b) Precio del Modelo.
El precio de un modelo está asociado con el esfuerzo realizado para
arribar al mismo, esto es, tanto para realizar la minimización requerida por el
método de cuadrados mínimos, como para calcular las correspondientes
estimaciones. Este trabajo en particular es altamente dependiente de la
estructura adoptada.
Otro precio asociado es el hecho de que un modelo complejo es más
difícil de ser usado para hacer simulación y diseño de control. En cambio, el
uso de un modelo marginalmente mejor a uno simple, implica por lo general,
un buen precio de modelado.
2.2.3.2. Validación del modelo
El proceso de estimación de parámetros opta por el mejor modelo dentro
de una estructura preseleccionada. Pero lo importante en todo esto es saber
si dicho modelo es lo suficientemente bueno para cumplir con el propósito de
la identificación de sistemas.
El problema ahora se encuentra en la validación del modelo
seleccionado, para lo cual es necesario responder a tres (3) aspectos
fundamentales:
1. ¿Se adapta lo suficientemente bien el modelo a los datos
observados?
38
2. ¿Es el modelo lo suficientemente adecuado para el propósito de
identificación del sistema?
3. ¿Describe el modelo al sistema real?
Por lo general, la solución a estos aspectos es examinar el modelo con la
mayor cantidad posible de información acerca del sistema real. Esto incluye
conocimiento previo, análisis de los datos y experiencia en el uso del modelo.
En una aplicación de identificación el mayor problema a la hora de
enfrentarse con el modelo lo presentan los datos en sí mismos. Debido a
esto, las técnicas de validación del modelo tienden a centrarse en responder
las primeras dos preguntas.
(a) Validación del modelo con respecto al propósito del modelado.
Siempre existe un propósito particular que conduce a hacer el modelado,
ya sea el diseño de un compensador, la predicción de futuras salidas, o bien
la simulación del sistema. Es por eso que la última validación consiste en
verificar si el problema que motivó el modelado puede ser resuelto usando el
modelo obtenido.
A menudo será imposible, costoso, o peligroso evaluar todos los posibles
modelos respecto de su propósito planeado. En lugar de eso, se debe tomar
otros caminos para formar un criterio que le permita discernir entre varios
modelos.
Para la validación de los modelos en esta investigación, se aplicará el
análisis residual, en concordancia con lo establecido por Ljung, L (1999:512-
513), donde explica que para la validación se pueden realizar dos pruebas,
39
“whiteness test” o prueba de blancura y “independence test” o prueba de
independencia. De acuerdo al criterio utilizado por la prueba de blancura, un
modelo es bueno cuando tiene la autocorrelación residual dentro de un
intervalo de confianza, por otro lado, el criterio utilizado por la prueba de
independencia, un modelo es bueno cuando tiene la correlación cruzada
dentro de un intervalo de confianza.
(b) Viabilidad de los parámetros físicos.
Para una estructura que está parametrizada en términos de parámetros
físicos, una validación natural y a la vez efectiva es comparar los valores
estimados y sus varianzas, con valores razonables obtenidos en base a un
conocimiento previo del sistema. Es una buena práctica el evaluar la
sensibilidad que presenta el comportamiento entrada-salida, con respecto a
estos parámetros para chequear su correcta identificabilidad (esto debería
reflejarse en las varianzas estimadas).
(c) Consistencia del modelo entrada-salida.
En un modelo de caja negra, se centra el interés en sus propiedades de
entrada-salida. Particularmente, para modelos lineales se suelen presentar
dichas características a través de diagramas de Bode. Es por eso que
siempre es aconsejable evaluar y comparar diferentes modelos lineales por
intermedio de estas gráficas, incluso utilizando la varianza estimada de los
parámetros, trasladada a intervalos de confianza de
Gy
H . Comparaciones
en diagramas de Bode, entre estimaciones por análisis espectral y otras
40
derivadas de modelos paramétricos, son por lo general muy útiles ya que se
forman a partir de suposiciones diferentes.
Generalmente, cuando el sistema real no se corresponde con el set de
modelos, se obtiene una aproximación cuyas características dependen de las
condiciones del experimento, los filtros usados y de la estructura
seleccionada. Por lo tanto, este tipo la comparación en diagramas de Bode
permite establecer si es que las características esenciales del sistema
dinámico han sido capturadas correctamente.
(d) Reducción del modelo.
Un procedimiento que evalúa si el modelo es una descripción simple y
apropiada del sistema, consiste en aplicar alguna técnica de reducción en el
modelo. Esto es, si el orden del modelo puede ser reducido sin afectar
notablemente las propiedades de entrada-salida, entonces se dice que el
modelo original era innecesariamente complejo.
(e) Simulación.
Una rutina comúnmente utilizada que puede ser tenida en cuenta como
test de validación del modelo, es simular el sistema con la entrada actual y
comparar la salida medida con la simulada. Formalmente, para un modelo
general, esto significa que la salida simulada ty M es generada de acuerdo
con:
M1t
MM ;Z,tgty (26)
41
1u,1y,...,2tu,2ty,1tu,1tyZ MMM1t
M
El modelo de parámetros N puede entonces ser evaluado por una
comparación entre ty M e ty , ya sea por una comparación visual en un
gráfico o bien por alguna medida de distancia un poco más formal.
Para la comparación se debe usar, preferiblemente, un set de datos
diferente al usado para la estimación de N (validación cruzada).
2.3. Control Óptimo
Según lo expresado por Ogata (1998), un sistema de control óptimo es
un sistema en el cual se optimiza (minimiza o maximiza según sea
conveniente) el valor de una función denominada índice de desempeño,
estableciendo la diferencia que en el caso ideal es alcanzable, pero ante la
presencia de restricciones físicas este objetivo puede ser inalcanzable.
Una característica muy importante en el desarrollo del diseño de un
controlador óptimo, es la representación matemática del sistema a controlar
en la forma de espacio de estados, este método según se basa según Ogata
(1998) “en la descripción del sistema en termino de n ecuaciones en
diferencia o diferenciales de primer orden, que pueden combinarse en una
ecuación matricial en diferencias o diferencial de primer orden” (p.710). La
notación en espacio de estados simplifica la representación matemática de
42
los sistemas de ecuaciones. Para la presente investigación se trabajó con
ecuaciones en diferencias, dado el carácter discreto de la data obtenida.
Un parámetro fundamental en cualquier ley de control, y en especial para
el control óptimo es, según lo expresado por Aboukheir (2006), “saber de
antemano si una ley de control sea cual fuere la naturaleza de su diseño,
pueda estabilizar la planta a estudiar” (p.78), por lo que los criterios para
establecer que existe por lo menos una ley de control estabilizante, son los
criterios de controlabilidad y observabilidad.
Por lo tanto, al tener el sistema a estudiar, es necesario verificar los
criterios anteriormente expuesto. En cuanto a la controlabilidad, Según
Aboukheir (2006), si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo
en tiempo discreto, lo cual está descrito por la siguiente representación en
espacios de estado:
x((k +1)T) = Φx(kT) + Гu(kT) (27)
Y suponiendo que el estado inicial x(0) es conocido, entonces el estado
en un tiempo n, en donde n es el orden del sistema, se representa de la
siguiente manera:
x(n) = Φ n x(0) + Φ n -1Гu(0)+…+ Гu( n-1) (28)
La ecuación anterior es el punto de partida para el teorema que define
la controlabilidad, y expresa lo siguiente según Aboukheir (2006):
Un sistema de control se dice controlable si y sólo si, existe una señal por intervalos u(kT) definida a lo largo de un número finito de períodos de muestreo de forma que, a partir de cualquier estado
43
inicial x0 (kT) pueda ser transferido al origen en k períodos de muestreo. (p.79)
Lo anterior indica que es al cumplirse lo expresado, es posible construir
un controlador independiente de la técnica de diseño, que estabilizara el
sistema a lazo cerrado. Entonces la controlabilidad de un sistema se puede
verificar construyendo:
Co= [ Г ΦГ Φ 2Г … Φ n-1Г ] con n= número de entradas
(29)
Entonces para determinar la controlabilidad, se establece el siguiente
colorario según Aboukheir (2006) “un sistema se dice controlable si y sólo si
el Rango (Co) ≡ n”. (p.79)
De igual forma, la observabilidad, según Aboukheir (2006), se
establece, considerando que el sistema a estudiar es un sistema lineal e
invariante con el tiempo en tiempo discreto, el cual esta descrito por la
siguiente ecuación:
x((k +1)T) = Φx(kT) + Гu(kT)
y(kT)= Cx(kT)
(30)
Suponiendo ahora, que la salida es conocida en todos los instantes,
esto es que y(0) y(1) … y(m-1) es conocido, por lo cual es posible evaluar la
salida en cada instante a partir de los estados según:
44
y(0)= Cx(0)
y(1)= CΦx(0) . . .
y(m-1) = CΦ m-1x(0)
Al igual que en la controlabilidad, el concepto de observabilidad se
establece mediante el siguiente teorema según Aboukheir (2006):
Un sistema de control se dice observable si y sólo si, dada una salida y(kT) definida sobre un número finito de períodos de muestreo de forma que, es posible reconstruir el trayecto desde el origen hasta el estado inicial x0 (kT) en k períodos de muestreo. (p.80)
Al igual que para la controlabilidad, es posible verificar entonces la
observabilidad de un sistema de la siguiente manera:
Ob= [ C Φ C Φ 2 C … Φ (m-1) C ]
con m = número de salidas
(31)
Tenemos entonces el siguiente corolario, un sistema es observable si y
sólo si el Rango (0b) ≡ m.
Ahora, en cuanto al control del sistema propiamente dicho, es importante
resaltar el uso de controladores clásicos PI en la industria, que según
Aboukheir (2006) es de uso universal y es reconocido en todo los campos de
aplicación, más sin embargo, la representación equivalente de este esquema
de control utilizando la teoría de control óptimo, resulta una herramienta
altamente eficaz y aceptada en el diseño de controladores.
45
El esquema de control con rechazo a perturbaciones o PI óptimo, tiene la
finalidad de escoger las ganancias del controlador óptimas, por lo que se
considera la siguiente equivalente en el espacio de estados:
x(kT+1) = ΦEx(kT) + ГEu(kT)
y(kT)= CEx(kT)
(32)
Donde:
10
xCE
xCE
Según Aboukheir (2006), los parámetros en el espacio de estados
equivalente son obtenidos a partir de las perturbaciones originales. Partiendo
de esto y basados en los teoremas para la obtención del resultado de la
ecuación de Ricatti donde la matriz P es definida positiva, junto con el
teorema de control óptimo que señala, a partir de un tiempo N se retrocede
en el tiempo, es posible determinar la mejor ley de control para el paso N
independientemente de cómo el estado N-1 fue alcanzado, se construye una
nueva ecuación de Ricatti para el problema de rechazo a perturbaciones:
EET
EEET
EEEET
EEET
EEE PPRPPQP 1)( (33)
De donde es posible obtener la siguiente ley de control óptima para el
caso de rechazo a perturbaciones:
Lxu (34)
46
Dónde:
EET
EEET
E PPREL 1)( (35)
Donde la ley de control óptima L obtenida se divide en lo siguiente:
La ley de control óptima de realimentación de variables de estado:
]...[ 11 nLLLR (36)
La ley de control óptima del integrador
ni LL (37)
Siendo n la longitud del vector de control L, visto en forma esquemática
el esquema de control es el siguiente:
Fuente: Aboukheir (127, figura v8)
Gráfico 9. Estructura PI Óptimo
Este esquema de control, al igual que los esquemas derivados del control
óptimo, tienen un alto grado de aceptación y uso a nivel industrial, como se
47
mostro es los antecedentes de esta investigación, por lo tanto fue el
esquema bajo el cual se desarrolló la presente investigación.
3. Términos Básicos
CONTROLABILIDAD: se dice que un sistema de control es
completamente controlable, si es posible transferir el sistema de un estado
inicial arbitrario a cualquier estado (también arbitrario), en un período finito.
CONTROLADOR: es el encargado de regular la variable controlada a lo
que se espera en el sistema.
IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS: conjunto de teorías, métodos y
algoritmos que permiten obtener el modelo matemático de un sistema
dinámico (o el conjunto de modelos propuestos) a partir de datos
experimentales de las entradas y salidas.
MODELO: es una herramienta que permite predecir el comportamiento
de un sistema sin necesidad de experimentar sobre él; por lo que una
ecuación matemática puede utilizarse como un modelo de energía contenida
en un sistema.
OBSERVABILIDAD: se dice que un sistema es completamente
observable si cualquier estado inicial x(0) puede determinarse a partir de la
observación y(KT) sobre un número finito de períodos de muestreo.
POLIMERIZACIÓN: es un proceso químico por el que los reactivos,
monómeros (compuestos de bajo peso molecular) se agrupan químicamente
48
entre sí, dando lugar a una molécula de gran peso, llamada polímero, o bien
una cadena lineal o una macromolécula tridimensional.
REACTOR DE POLIMERIZACIÓN: es un reactor discontinuo que
consiste en un tanque con facilidades para la carga y la descarga, para la
transferencia de calor (intercambiadores, serpentines, bafles, reflujo,
recirculación externa y otros), lo mismo que para agitación de la mezcla
reaccionante.
4. Sistema de Variables
4.1. Variables
- Control óptimo de temperatura.
- Proceso de polimerización.
4.2. Definición
Carrasquero (2004), define “los polímeros son un tipo particular de
macromolécula, que se caracteriza por tener una unidad que se repite a lo
largo de la molécula. Las pequeñas moléculas se combinan entre sí
mediante un proceso químico llamado reacción de polimerización” (p.1).
49
Ogata (1996), establece que “un sistema de control óptimo (un sistema
cuyo diseño optima, minimiza o maximiza, según sea el caso, el valor de la
función seleccionada como el índice de desempeño) difiere de uno ideal en
que el primero es más alcanzable en presencia de restricciones físicas,
mientras que el último bien puede ser un objetivo inalcanzable” (p.566).
4.3. Definición operacional
En esta investigación se desea desarrollar un control óptimo de
temperatura capaz de realizar el control del proceso de polimerización del
poliestireno cristal, disminuyendo el error que se tiene entre el set point
deseado y la temperatura del producto en puntos operacionales donde el
control PID en cascada no logra los objetivos de control.
Las variables objeto de análisis fueron medidas por un conjunto de
objetivos, dimensiones, subdimensiones e indicadores que se muestran en la
siguiente tabla de variables.
50
Cuadro 1. Tabla de variables
OBJETIVO VARIABLE DIMENSION SUBDIMENCIONES INDICADORES TECNICAS E INSTRUMENTOS
DESCRIBIR EL PROCESO DE POLIMERIZACIÓN EN EL REACTOR
DE PROCESAMIENTO DE POLIESTIRENO CRISTAL
PROCESO DE POLIMERIZACIÓN
PROCESO DE POLIMERIZACIÓN
* TEMPERATURA * TIEMPO
* APERTURA DE VALVULA
* GRADOS CENTIGRADOS * MINUTOS / SEGUNDOS
* PORCENTAJE APERTURA
* SISTEMA SCADA * MICROSOFT EXCEL
IDENTIFICAR LAS VARIABLES DE CONTROL DEL PROCESO DE
POLIMERIZACIÓN DEL POLIESTIRENO CRISTAL
IDENTIFICAR LAS VARIABLES NO CONTROLABLES DEL PROCESO DE
POLIMERIZACIÓN DEL POLIESTIRENO CRISTAL
* PROCESAMIENTO DE DATOS DE ENTRADA Y SALIDA
* % APERTURA DE VALVULA * TEMPERATURA DEL PRODUCTO
* MODELADO DEL SISTEMA APLICANDO METODOS
PARAMÉTRICOS
* MODELO MATEMATICO DEL PROCESO DE POLIMERIZACIÓN
* VALIDACIÓN DE LOS MODELOS SEGÚN CRITERIOS
DE IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
* ANÁLISIS RESIDUAL
* VERIFICACIÓN DE MODELOS SEGÚN CRITERIOS DE
CONTROL OPTIMO
* MODELOS DE ESPACIOS DE ESTADOS * CRITERIOS DE OBSERVABILIDAD Y
CONTROLABILIDAD* APLICACIÓN DE CONTROL
OPTIMO * CONTROL PI OPTIMO
VALIDAR EL CONTROL ÓPTIMO PROPUESTO
CONTROL DE TEMPERATURA
* NIVEL DE AJUSTE AL VALOR DESEADO (DATA REAL)
* GRÁFICA COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA CON PI OPTIMO Y DATOS DE ENTRADA
REALES
* ESQUEMA PI ÓPTIMO * MATLAB
* SIMULINK
* ÁNALISIS DE GRÁFICAS * MICROSOFT EXCEL
MODELOS DE PROCESO DE
POLIMERIZACIÓN
* TÉCNICAS DE FILTRADO * REMOSIÓN DE TENDENCIAS Y
VALORES MEDIOS * TÉCNICAS DE IDENTIFICACIÓN
DE SISTEMAS * MATLAB
* SIMULINK
DISEÑAR UN MODELO MATEMATICO QUE DESCRIBA EL PROCESO DE
POLIMERIZACIÓN DE POLIESTIRENO CRISTAL
CONTROL ÓPTIMO DE
TEMPERATURA
* ESQUEMA PI ÓPTIMO * MATLAB
* SIMULINK
DESARROLLAR UN CONTROL ÓPTIMO DE TEMPERATURA PARA EL PROCESO DE POLIMERIZACIÓN
DE POLIESTIRENO CRISTAL
LEY DE CONTROL ÓPTIMO LINEAL
* GRÁFICAS DE COMPORTAMIENTO DE VARIABLES EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
* MANUALES DE OPERACIÓN DE PROCESO
CONTROL DE TEMPERATURA
* RELACIÓN * TEMPERATURA
* APERTURA DE VALVULA * TIEMPO
