Universidad de Concepcion Profesor Patrocinante

Facultad de Ingenierıa Dr. Frank Tinapp Dautzenberg

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Caracterizacion de un Sistema Motriz conMotor Brushless para un avion no tripulado

Francisco Roco Morales

Informe de Memoria de Tıtulopara optar al Tıtulo de

Ingeniero Civil Aeroespacial

Concepcion, Marzo 2011

A Florcinia, Raul, Teresita y Benjamın por su compresion y amor.

Indice

Indice ii

Indice de figuras iv

Indice de tablas vi

1 Introduccion 11.1 Objeto de estudio de la investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Partes del sistema propulsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Funcion del sistema propulsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 La Helice 62.1 Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Parametros caracterısticos de una helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Parametros geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 El paso de la helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Aerodinamica de la helice: Teorıa de vortices para helices . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Coeficientes de la helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Desempeno de la helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Validacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Motor sin escobillas 223.1 Caracterısticas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Analisis del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Ecuaciones de torque y velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Diagrama torque velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Desempeno del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ii

iii

3.4 Validacion del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.1 Velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.2 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4.3 Potencia y eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.4 Resumen de incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Desempeno de la Helice y el motor 414.1 Elementos de analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.2 Helices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Calculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.1 Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.1 Condicion estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.2 Condicion dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.3 Disponibilidad del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Conclusiones 525.1 Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliografıa 54

Indice de figuras

1.1 Componentes del sistema propulsor electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Diagrama de funcionamiento de la helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Parametros geometricos que caracterizan a una helice. . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Relacion entre angulos de pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Descripcion del paso de una helice y relacion con el angulo de pitch . . . . . . . . 92.5 Vorticidad de borde ΓB y vorticidad libre ΓF sobre la pala. . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Triangulo de velocidades para una seccion de la pala . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7 Trıangulo de velocidades asumiendo hipotesis de Goldstein . . . . . . . . . . . . . 142.8 Helicoide de vortices de una helice de tres palas, y denotacion de paso constante. . 142.9 CP experimental y calculado para la helice APC 10x4,7 Slow flyer . . . . . . . . . 182.10 CT experimental y calculado para la helice APC 10x4,7 Slow flyer . . . . . . . . . 202.11 ηp experimental y calculado para la helice APC 10x4,7 Slow flyer . . . . . . . . . . 20

3.1 Diagrama de funcionamiento de un motor BLDC de una fase . . . . . . . . . . . . 233.2 Esquema de un motor con configuracion outrunner (a), y outrunner (b) . . . . . . 233.3 Esquema de conexion de fases en configuracion “Estrella” y “Delta” . . . . . . . . 243.4 Estator y rotor de un motor BLDC outrunner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Conexiones del ESC al motor, baterıas y de control de potencia. . . . . . . . . . . 263.6 Posicion del stick y voltajes del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Esquema de un circuito equivalente de un motor BLDC . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Tıpico diagrama Torque-velocidad angular para un motor BLDC . . . . . . . . . . 323.9 Lınea de voltaje maximo para el motor Hacker A50-16S . . . . . . . . . . . . . . 333.10 Diagrama de operacion calculado del motor Hacker A50-16S . . . . . . . . . . . . 343.11 Diagrama de operacion y lıneas de eficiencia calculadas del motor Hacker A50-16S 353.12 Diagrama de operacion, lıneas de eficiencia y potencia del motor Hacker A50-16S . 363.13 (a) Valores experimentales, calculados y (b) error de velocidad angular del motor

AXI 5345/14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.14 (a)Valores experimentales, calculados y (b) error del torque del motor AXI 5345/14 393.15 Valores experimentales y calculados de la potencia mecanica del motor AXI 5345/14 39

iv

v

3.16 (a)Valores experimentales, calculados y (b) diferencia de la eficiencia del motorAXI 5345/14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1 Vistas frontal y lateral de la helice APC 11x7 Thin Electric . . . . . . . . . . . . . 424.2 Vistas frontal y lateral de la helice APC 10x4, 7 Slo Flyer . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Vistas frontal y lateral de la helice Master Airscrew 10x6 G/F . . . . . . . . . . . . 424.4 (a) Distribucion de cuerda y (b) de angulo pitch de las las helices APC 11x7-TE,

APC 10x4,7 SF y MAS 10x6 G/F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Diagrama del motor Hacker A30-10XL, curvas de torque y empuje de las helices

APC 11x7-TE, APC 10x4,7 SF y MAS 10x6 G/F en condiciones estaticas . . . . . 454.6 Diagrama de operacion del motor Hacker A30-10XL y de las helices APC 11x7-

TE, APC 10x4,7 SF y MAS 10x6 G/F @ 2550 MSNM y 20 [km/hr] . . . . . . . . 484.7 Diagrama de operacion del motor Hacker A30-10XL y de las helices APC 11x7-

TE, APC 10x4,7 SF y MAS 10x6 G/F @ 2550 MSNM y 20 [km/hr] . . . . . . . . 50

Indice de tablas

2.1 Variables necesarias para calcular la caracterizacion de una helice . . . . . . . . . 172.2 Parametros que caracterizan una helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Parametros para calcular el desempeno del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Comparacion entre parametros del motor AXI-5345/14 calculados por ecuacion de

voltaje y suministrados por el fabricante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Comparacion de parametros del motor AXI-5345/14 calculados por relacion

Torque-Corriente y suministrados por el fabricante . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Resumen de incertidumbres del calculo del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1 Caracterısticas del motor Hacker A30-10XL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Mision para un UAV de pequenas dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Eficiencia del sistema propulsor en condicion de ascenso . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Eficiencia del sistema propulsor en condicion crucero . . . . . . . . . . . . . . . . 51

vi

Nomenclatura

Lista de SımbolosB Campo magnetico [T ]CD Coeficiente de arrastre por unidad de longitud [1/m]cb Longitud de la cuerda para una seccion de la pala. [m]CL Coeficiente de sustentacion por unidad de longitud [1/m]CL,α Pendiente de CL respecto del angulo de ataque α. [1/m/]CP Coeficiente de PotenciaCQ Coeficiente de TorqueCT Coeficiente de empujeD Arrastre [N]Dc Ciclo de trabajo de la senal PWM de control del motor []D Arrastre por unidad de longitud [1/m]dp Diametro de la pala [m]E Fuerza contra electro motriz [V]Fθ Fuerza circunferencial opuesta al giro de la helice [N]Fθ Fuerza circunferencial opuesta al giro de la helice por unidad de longitud [N/m]f Factor de perdida en punta de Prandtl -Prandtl tip loss factor- []G Funcion de Goldsteinh Distancia axial entre vueltas del sistema de vortices. [m]I Intensidad de corriente [A]I0 Intensidad de corriente del motor sin carga de torque [A]Ic Intensidad de corriente nominal de operacion del motor [A]Imax Intensidad de corriente maxima especificada para cierto tiempo [A]

de funcionamientoJ Razon de avance

vii

viii

K Razon paso aerodinamico-diametro λ/(dp/2)Kc Razon paso geometrico-diametro λc/(dp/2)Ke Constante de voltaje de un motor sin escobillas [V/rad/s]Km Contante del motor Km = Ke = KQ

KQ Constante de torque de un motor sin escobillas [Nm/A]Kv Constante de voltaje de un motor sin escobilllas [RPM/V]k Numero de palas de la heliceL Sustentacion [N]L Sustentacion por unidad de longitud [N/m]l Longitud del estator del motor [m]L f ase Inductancia de fase [Wb]Lmotor Inductancia de motor [Wb]Nbobina Numero de vueltas por bobinanb Numero de bobinasN f ase Numero de vueltas por faseNm Numero de imanes en el rotorPelec Potencia electrica suministrada al motor [W]P f reno Potencia suministrada por el eje del motor a la helice [W]Pmec Potencia mecanica [W]Pp Potencia Propulsiva [W]PR Potencia Resistiva PR = RI2 [W]Q Torque de la helice [Nm]Qelec Torque electrico KI [Nm]r Coordenada radial medida desde el centro de la helice relativa al plano de [m]

la helicerhv Coordenada radial medida desde el centro de la helice [m]

relativa al sistema de vorticesre Radio del estator del motor [m]rh Radio del calculo interior de la helice [m]R Resistencia del motor [Ω]T Empuje [N]T Empuje por unidad de longitud [N/m]t Tiempo [s]tw Tiempo del ciclo de trabajo de la energizacion ESC motor. [s]tc Ancho de pulso de la senal Receptor -ESC [s]tzc Tiempo entre la energizacion de una fase y el cambio de signo de otra. [s]

ix

v∞ Velocidad del flujo libre [m/s]vb Velocidad de una seccion transversal de la pala [m/s]vi Velocidad inducida de una seccion transversal de la pala [m/s]vxi,hv Componente en el la direccion axial de la helice relativa [m/s]

al sistema de vorticesvθi,hv Componente de la velocidad en la direccion de rotacion de la pala relativa [m/s]

al sistema de vorticesvxi Componente en el la direccion axial de la helice relativa al plano de la helice [m/s]

al plano de la helicevθi Componente de la velocidad en la direccion de rotacion de la pala relativa [m/s]

al plano de la heliceVb Voltaje de los terminales de la Baterıa [V]Vind Caıda de voltaje asociada a la inductancia L en el motor [V]Vm Voltaje efectivo entre terminales del motor [V]Vmax Voltaje [V]w Velocidad del sistema de vortices tras la helice [m/s]

x

Griegas

α Angulo de ataque de una seccion la pala []αL0 Angulo de ataque de un determinado perfil, medido desde la cuerda; []

para el cual el perfil tiene un coeficiente de sustentacion igual a ceroβ Angulo de pitch aerodinamico de una seccion de la pala []βc Angulo de pitch geometrico de una seccion de la pala []βt Angulo de pitch en la punta de la pala []εb Angulo de downwash debido a la velocidad total al que se somete []

una seccion de la palaεi Angulo de downwash debido a la velocidad inducida al que se somete []

una seccion de la palaε∞ Angulo de downwash debido a la velocidad del flujo libre al que se somete []

una seccion de la palaΓ Intensidad de vortice [1/s]ΓB Intensidad de vortice de borde [1/s]ΓF Intensidad de vortice libre [1/s]Φ Flujo magnetico [Tm2]κ Factor de Goldsteinλ Paso aerodinamico de una helice [m]λc Paso geometrico de una helice [m]ζ Razon posicion radial r y semidiametro : r/(dp/2)ηp Eficiencia propulsiva de la heliceηm Eficiencia del motorηS Eficiencia del total del sistemaρ Densidad del aire [kg/m3]θe Posicion angular electrica del eje del motor sin escobillas [rad]θm Posicion angular mecanica del eje del motor sin escobillas [rad]ω Velocidad angular [RPM]ωe Velocidad angular electrica [RPM]

xi

AbreviacionesBLDC Brushless Direct Current. Sin escobillas de corriente continuaCFD Computational fluid dynamics. Dinamica de fluidos computacionalESC Electronic Speed Control. Control de velocidad electronicoFEM Fuerza electro motrizLiPo Litio-Polımero, Baterıas deMAS Master Airscrew

MSNM Metros sobre el nivel del marPWM pulse-width modulation. Modulacion por ancho de pulsosRPM Revoluciones por minutoSF Slo Flyer

TE Thin Electric

UAV Unmanned Aerial Vehicle. Avion No Tripulado

Capıtulo 1

Introduccion

1.1 Objeto de estudio de la investigacion

El Laboratorio de Tecnicas Aeroespaciales de la Universidad de Concepcion periodicamente estadedicado al diseno y fabricacion de aeronaves no tripuladas. Para reducir los tiempos y facilitar eldiseno se proyecta construir un programa computacional, para el cual se requieren modulos de lasareas de diseno de aeronaves: aerodinamica, estructura, logıstica, propulsion, etcetera.

Con el fin de crear en un siguiente paso el modulo de propulsion, en el presente trabajo seestudian los componentes de dicho sistema basado en un motor sin escobillas o brushless.

1.1.1 Motivacion

El diseno de aeronaves es un proceso iterativo que empieza por estimar la masa de la aeronave.Cada componente de la aeronave se disena a partir de la la masa estimada de la aeronave, de losrequerimientos y condiciones de vuelo. Una vez dimensionado dicho componente, se conoce sumasa, la cual hace cambiar la masa estimada de la aeronave completa. Al cambiar la masa de laaeronave completa, empieza una nueva iteracion para dimensionar el componente.

El proceso descrito involucra todos los componentes del avion, tales como alas, componentesestructurales y los componentes del sistema propulsor. La diferencia entre los componentes delsistema propulsor y los otros componentes de la aeronave, es que estos ultimos pueden ser di-mensionados de cualquier tamano. Los componentes del sistema propulsor, por el contrario, estandisponibles en ciertos tamanos proporcionados por sus fabricantes, debiendo ser seleccionados.

Para resolver el problema expuesto, se propone construir un codigo computacional que sea ca-paz de seleccionar los componentes del sistema propulsor para una aeronave a partir de su mision.Para lograr la maxima autonomıa posible, se busca minimizar el consumo energetico, seleccio-nando las partes del sistema propulsor que en conjunto sean eficientes en las etapas de vuelo demayor tiempo, pero ademas que cumplan con la totalidad de requerimientos de empuje dada lamision.

1

2

Como etapa inicial del proceso de construccion del programa, en el presente trabajo, se buscareunir las caracterısticas de funcionamiento de las partes del sistema propulsor y hacer una se-leccion de sistema propulsor, para en un siguiente paso crear el optimizador.

1.1.2 Partes del sistema propulsor

Como se muestra en la figura 1.1, el sistema propulsor electrico consta de:

1. Helice. Produce la fuerza de empuje

2. Motor electrico sin escobillas - brushless direct current BLDC -.

3. Controlador de velocidad -Electronic Speed Controller ESC -

4. Receptor de senal/Autopiloto. Envıa la senal para el movimiento del motor.

5. Baterıa/Fuel Cell/Acumulador-Celdas Solares. Fuente de energıa de corriente continua.

Figura 1.1: Componentes del sistema propulsor electrico

1.1.3 Funcion del sistema propulsor

La funcion del sistema propulsor de una aeronave es cumplir los requerimientos de empuje,definidos en las etapas de la mision. Para una etapa de la mision el requerimiento de empujese caracteriza por tres parametros:

• El empuje T necesario para volar

3

• La velocidad de vuelo v∞

• La densidad del medio ρ. Relacionada con la altura de vuelo y la temperatura del medio.

Para extender lo maximo posible la autonomıa del UAV se debe aprovechar de manera eficientela energıa proporcionada por la fuente -baterıa o fuel cell-. Esto significa que el sistema propulsordebe operar en zonas de desempeno donde la eficiencia de sus componentes helice-motor-ESC seala maxima posible durante la mayor cantidad de tiempo de la mision.

Por esta razon es de interes la relacion entre las eficiencias de los componentes operando paracierta condicion de empuje.

1.2 Objetivos

Dada la influencia del sistema propulsor en la autonomıa del UAV, el presente trabajo tiene comoobjetivos:

1. Revisar el funcionamiento de la helice y el motor BLDC .

2. Identificar parametros que caracterizan las partes del sistema.

3. Identificar los parametros que afectan el empuje y la eficiencia del sistema propulsor.

1.3 Metodologıa

Se revisa el funcionamiento de la helice y el motor, luego para ambos casos se selecciona unmodelo de calculo que permita examinar las tendencias que tiene el desempeno para las variablesque caracterizan a cada parte.

Posteriormente, y para helice y motor por separado, se comparan valores calculados mediantelos modelos seleccionados con datos experimentales.

Luego, para un requerimiento de empuje, se muestra el desempeno conjunto del motor y lahelice y los diagramas correspondientes para su visualizacion.

Finalmente se muestran las conclusiones y proyecciones del trabajo.

1.4 Estado del arte

Un analisis al sistema propulsor se hizo en [1] por Gur y Rosen, donde se muestra el fun-cionamiento de las partes de un sistema propulsor generico basado en un motor BLDC y en baterıasde litio-polımero. Tambien se hace un analisis de las variables que caracterizan cada una de las

4

partes y su influencia en el sistema. Se concluye que la densidad energetica de las baterıas incre-menta el tiempo de loiter1 de manera lineal. Tambien se concluye que la densidad energetica de labaterıa y la razon potencia maxima/masa del motor son las variables que tienen mas influencia enel diseno y desempeno del sistema propulsor.

Un equipo del Georgia Tech [2] muestra un metodo de diseno para un UAV con motor electricopotenciado por una fuel cell. En la fase de diseno conceptual se menciona que el aspecto masimportante para la eficiencia del sistema es la seleccion correcta helice/motor.

En el trabajo de Lindahl et al [3] se simula, disena y valida un sistema propulsor basado enhelice-motor BLDC y una fuel cell. Tambien se construye un diagrama para ver los lımites deoperacion del motor y la helice, y la influencia en la fuel cell

En lo que a la helice respecta, existe una escasez de datos sobre su desempeno, en [4] sepresenta un grupo de mediciones de helices comercialmente disponibles para UAV de pequenasdimensiones. Para los casos en que no hay datos disponibles, en la literatura se muestra comocalcular el desempeno de la helice.

Phillips [5] muestra la aerodinamica de la helice descrita por medio de el Blade Element Theory

, el cual explica el funcionamiento de una pala de helice como si esta fuera un ala, dividiendo lapala en secciones transversales y calculando para ellas sustentacion y arrastre. En cada seccion, lasustentacion y arrastre son descompuestos en las direcciones axial y radial de la helice, y luego sonintegrados a lo largo de la pala.

Mediante el Blade Element Theory se llega a la expresion del empuje y torque en funcion delas caracterısticas geometricas de la helice, sus condiciones de operacion y la velocidad inducidapara cada seccion transversal de la pala.

El Blade Element Theory es combinado con distintos metodos para conocer la velocidad in-ducida de las secciones de la pala y calcular el empuje y torque de la helice.

La combinacion mas usual por su simplicidad es la Blade Element Theory -Momentum theory,explicada y no recomendada para calculos en [5], debido a su alta diferencia respecto la realidad.En [5] y [6] se muestra que Goldstein calculo la funcion circulacion y elaboro tablas para suresolucion. Prandtl desarrollo una aproximacion de la funcion de Goldstein, mostrada en [5] y [6],la cual es mas simple de implementar que la funcion de Goldstein, pues no usa tablas. El trabajo deTeodorsen, mostrado tambien en [6], se amplıa la teorıa de Goldstein, la cual es solo para helicesligeramente cargadas, haciendo depender la funcion de Goldstein de la helicoide de vortices. Unavalidacion del metodo de Goldstein-Teodorsen fue realizada por Moffitt y Bradley [7] comparandoresultados del metodo con mediciones de tunel de viento. En ella se concluye que el metodo deGoldstein-Teodorsen es apto para calcular helices para mini UAVs.

En el trabajo de Gur y Rosen [1] la helice es modelada mediante el Blade Element Theory -Momentum theory. El equipo del Georgia Tech [2] uso el Blade Element Theory con el Metodode Goldstein. Y Lindahl et al [3], usan polinomios de grado dos para modelar los coeficientes de

1Fase de vuelo en que la aeronave sobrevuela una region determinada

5

empuje y potencia de la helice.En los trabajos de modelacion del sistema propulsor, tanto en [1], [2] y [3] las ecuaciones

usadas para calcular el desempeno del motor, solo consideran la resistencia interna del motor, laconstante de voltaje del motor y, la corriente y voltaje sin carga -cuando el motor no esta sometidoa torque-. Dichas ecuaciones son descritas en [8] y son la representacion ideal del motor BLDC ,pues desprecian perdidas de energıa debido a la inductancia y otros efectos parasitos.

En [3] tambien se muestra la relacion entre el voltaje proporcionado por el ESC al motor, lasenal de control modulada por pulsos PWM y el voltaje de la fuente de energıa.

Capıtulo 2

La Helice

La helice es el elemento de la cadena de propulsion encargado de generar la fuerza de empuje. Lahelice esta compuesta por palas, las cuales rotan en torno a un eje a cierta velocidad.

2.1 Funcionamiento

Las palas de la helice, en su seccion, poseen un perfil aerodinamico para producir sustentacion,que tambien produce arrastre. La sustentacion y el arrastre generados por el perfil aerodinamico,se descomponen en: la fuerza de empuje, que tiene como direccion el eje de rotacion; y en la fuerzaresistente al giro, que esta contenida en el plano de rotacion de la helice. El empuje generado porla helice es requerido por el avion para moverse, la fuerza resistente al giro, forma un torque endireccion contraria al giro de la helice. Las fuerzas aerodinamicas generan un torque resistente algiro de la helice. Cuando la velocidad del eje es constante, y las fuerzas sobre la helice no cambian,el torque resistente es igual al al torque motriz, proporcionado por el eje del motor. Desde el puntode vista de la potencia, cuando la helice opera a velocidad constante y el torque requerido por lahelice es constante, la potencia requerida por la helice es el producto del torque requerido por estay la velocidad angular a la que opera. Dicha potencia es denominada potencia de freno - breakpower- . Vease figura 2.1.

P f reno = Qω (2.1)

La potencia obtenida del sistema propulsor, es decir, la que resulta de multiplicar el empuje T

por la velocidad de entrada a la helice v∞ es llamada potencia propulsiva Pp.

Pp = Tv∞ (2.2)

Si tomamos como volumen de control la aeronave con el sistema propulsor en cuestion, lacomparacion mediante el cociente de la potencia de entrada, la potencia de freno, y la potencia

6

7

Figura 2.1: Diagrama de funcionamiento de la helice

de salida, la potencia propulsiva, es definida como la eficiencia propulsiva.

ηp =Pp

P f reno=

Tv∞Qω

(2.3)

La eficiencia propulsiva es util para ver el consumo de energıa, lo que se traduce en ciertacantidad de combustible o cierta cantidad de baterıas. La evaluacion del desempeno usando laeficiencia propulsiva se utiliza para distintas condiciones de operacion, tanto de velocidad angularω y de velocidad de entrada v∞.

Cuando la velocidad de entrada es cero, v∞ = 0 -por ejemplo, al estar detenida la aeronave - laeficiencia propulsiva tambien es cero, por eso es importante tambien, conocer el empuje para estacondicion, el cual, para este caso particular es llamado empuje estatico. Es importante conocerlos valores de empuje estatico para la condicion de despegue, pues generalmente la carrera dedespegue se inicia con la aeronave detenida.

2.2 Parametros caracterısticos de una helice

2.2.1 Parametros geometricos

Los parametros geometricos -figura 2.2 -que caracterizan a una helice son:

• Parametros referidos a la pala:

– dp Diametro de la helice

– rh Radio interior de la helice, donde comienzan la palas

• Parametros de una seccion ubicada a una distancia r del centro de la helice:

– Perfil aerodinamico.

– cb(r) Longitud de la cuerda.

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– βc Angulo de pitch medido desde el plano de rotacion de la pala hasta la lınea de cuerdadel perfil.

Generalmente el perfil aerodinamico va variando a lo largo de la pala, de igual forma que lalongitud de la cuerda como se muestra en la figura 2.2.

Figura 2.2: Parametros geometricos que caracterizan a una helice.

Tambien el angulo de pitch varıa a lo largo de la cuerda. Generalmente las helices tienen unadistribucion pronunciada de angulo de pitch o twist. Ello se debe a que las secciones cercanas aleje de giro de la helice tienen una velocidad tangencial menor que las secciones que estan cerca dela punta, y para elevar la cantidad de sustentacion producida - la cual se transforma en empuje - sesube el angulo de pitch , con lo que se sube el angulo de ataque y con ello la sustentacion.

El angulo entre el plano de giro de la helice y la cuerda del perfil es conocido como angulo depitch βc. El angulo de pitch aerodinamico β, esta medido desde el plano de giro de la helice hastala lınea que contiene al angulo de cero sustentacion, vease figura 2.3. En [5] se refieren al “angulode pitch aerodinamico” simplemente como “angulo de pitch ”. El angulo de cero sustentacion αL0

depende de la geometrıa de cada perfil aerodinamico y puede ser negativo o positivo.De la figura 2.3, la relacion entre el angulo de pitch y el angulo de pitch aerodinamico es

β(r) = βc(r) − αL0(r) (2.4)

2.2.2 El paso de la helice

En [5], el termino “pitch ” tambien es usado para referirse al “paso” de la helice, el cual es deno-minado originalmente “pitch length”, pero por comodidad es llamado pitch , lo que podrıa crearuna ambiguedad entre los terminos “angulo pitch ” y el paso.

9

Figura 2.3: Relacion entre angulos de pitch

Para una seccion ubicada a una distancia r medida desde el eje de giro de la helice, el paso es lalongitud de avance hacia adelante, como si la helice fuera un tornillo que avanza en el aire, cuandoesta da una revolucion. Vease figura 2.4

Figura 2.4: Paso de la seccion de la pala ubicada a una distancia r del centro de la pala.(a) Vista de perfil de la helice donde puede verse una vuelta en la espiral y el paso λ. (b)Vista de frente de la helice donde se ve la seccion ubicada a una distancia r del centro.(c) Vista de la seccion del perfil donde se muestra la relacion entre el paso λ, la distanciaradial r y el angulo de pitch β.

El paso de la helice se define en funcion del angulo de pitch , por lo que hay dos pasos: El pasoaerodinamico λ, basado en el angulo de pitch aerodinamico β. Y el paso basado en la cuerda λc,basado en el angulo de pitch βc.

λ(r) = 2πrtan(β) (2.5)

λc(r) = 2πrtan(βc) (2.6)

10

La relacion entre los dos pasos esta dada por la ecuacion 2.7.

λ(r) = 2πλc − 2πrtan(αL0)2πr + λctan(αL0)

(2.7)

Existen helices denominadas de “paso constante” - constant pitch, en las cuales el paso novarıa a lo largo de la pala, esto significa que el angulo va variando, de manera que su tangente esproporcional a 1/r.

Los terminos helices de paso variable -variable pitch- y helices de paso fijo -o fixed pitch- serefieren a la capacidad de la helice para variar el angulo de la pala mientras esta en funcionamiento.

2.3 Aerodinamica de la helice: Teorıa de vortices para helices

Para la prediccion de un punto de operacion de la helice se utilizara el metodo de la Teorıa deVortices para helices - Vortex Theory of Screw Propellers- el cual es mostrado en [6]. Se muestrandos formulaciones implementadas: La formulacion de Goldstein con la hipotesis de Teodorsen parahelices no necesariamente cargadas de forma ligera - con un pequeno cambio en el momentum delflujo que pasa a traves del rotor - y la formulacion de Prandtl que es una aproximacion de la deGoldstein.

La implementacion se realiza en una rutinas de MATLAB/GNU-Octave, para aprovechar laintegracion en trabajos futuros sobre el tema.

La razones para la utilizacion de este metodo son las ventajas que presenta respecto a otros: esde relativamente simple implementacion y bajo costo computacional frente a los metodos CFD. Lacombinacion Blade Element-Momentum Theory si bien es de facil implementacion y de bajo costocomputacional, Phillips [5] senala que no es recomendable para uso en aplicaciones de diseno,debido a que no considera la componente circunferencial de la velocidad inducida, es decir, vθi = 0.

La teorıa de vortices para helices esta basada en la “Lifting-line theory” sobre la pala de lahelice. La pala es aproximada a una superficie sustentadora la cual tiene una circulacion de borde,vease figura 2.5. La circulacion total se asocia con la vorticidad de borde de la pala y con lavorticidad libre que es desprendida de la helice en forma de helicoide [6]. La descripcion estabasada en la nomenclatura de Phillips [5] y del trabajo de Moffitt y Bradley [7].

El analisis de la aerodinamica de la helice parte por el triangulo de velocidades de una secciontransversal de una pala ubicada a una distancia r, medida desde el centro de la helice. Vease figura2.6.

El perfil esta orientado con un angulo pitch aerodinamico β, entre el plano de rotacion de lapala y la lınea de cero sustentacion del perfil.

Las velocidades que afectan a la seccion de la pala son:

ωr La velocidad tangencial, producto de la velocidad angular por la distancia al centro de lapala.

11

Figura 2.5: Vorticidad de borde ΓB y vorticidad libre ΓF sobre la pala. Obtenida de lareferencia [6]

Figura 2.6: Triangulo de velocidades para una seccion de la pala

v∞ La velocidad de entrada a la helice, la que para simplificar el analisis se asume paralela aleje de rotacion de la helice.

vi La velocidad inducida debido a downwash .

Para la seccion a analizar, se definen los angulos de downwash como los angulos que formanlas velocidades de direccion axial respecto al plano de rotacion de la helice. Ası el angulo total dedownwash εb es la suma de los angulos de downwash: ε∞ el angulo formado por la velocidad deentrada y εi el angulo de downwash formado por la velocidad inducida.

εb = ε∞ + εi (2.8)

El angulo de ataque para una seccion de la pala ubicada a una distancia r, que es el anguloentre la lınea de cero sustentacion y la velocidad total del fluido vb, es la diferencia entre el angulo

12

de pitch β y el angulo de downwash εb, como se muestra en la ecuacion 2.9.

α(r) = β(r) − εb(r) = β(r) − ε∞(r) − εi(r) (2.9)

La velocidad total vb es la suma de la velocidad tangencial ωr, la velocidad de entrada v∞ y lavelocidad inducida vi. La velocidad inducida, en general, tiene componentes en el eje tangencialvxi y en el eje circunferencial vθi, esta varıa segun la coordenada radial.

De la figura 2.6, la expresion de la velocidad total del flujo esta dada por la ecuacion 2.10

v2b = (ωr − vθi)2 + (v∞ + vxi)2 = ω2r2

[(1 −

vθiωr

)2+

(v∞ωr

+vxi

ωr

)2]

(2.10)

Usando la ecuacion 2.10, la sustentacion por unidad de longitud para la seccion de la pala, secalcula en la ecuacion 2.11.

L =12ρvb

2cbCL =12ρω2r2cbCL

[(1 −

vθiωr

)2+

(v∞ωr

+vxi

ωr

)2]

(2.11)

El coeficiente de sustentacion local para la seccion CL es funcion del angulo de ataque definidoen la ecuacion 2.9 y depende del perfil aerodinamico que tenga la seccion de la pala que se estaanalizando.

De manera analoga, el arrastre local para la seccion D, esta representado por la ecuacion 2.12.Dicha expresion solo incluye el arrastre parasito y no el arrastre inducido por sustentacion, yaque este ultimo esta incluido en la expresion de la sustentacion mediante la consideracion de lavelocidad inducida vi en la velocidad total vb, la cual provoca el arrastre inducido.

D =12ρvb

2cbCD =12ρω2r2cbCD

[(1 −

vθiωr

)2+

(v∞ωr

+vxi

ωr

)2]

(2.12)

De esta manera a partir de las ecuaciones, 2.11 y 2.12 el empuje por unidad de longitud y lafuerza resistente al giro por unidad de longitud para una pala queda representado por:

T =12ρω2r2cb

[(1 −

vθiωr

)2+

(v∞ωr

+vxi

ωr

)2] (

CLcos(εb) − CDsin(εb))

(2.13)

Fθ = −12ρω2r2cb

[(1 −

vθiωr

)2+

(v∞ωr

+vxi

ωr

)2] (

CDcos(εb) + CLsin(εb))

(2.14)

La expresion para el empuje total de la helice por unidad de longitud radial, es calculado apartir de la ecuacion 2.13 multiplicada por el numero de palas k, como se indica en la ecuacion2.15.

dTdr

= kT =k2ρω2r2cb

[(1 −

vθiωr

)2+

(v∞ωr

+vxi

ωr

)2] (

CLcos(εi + εb) − CDsin(εi + εb))

(2.15)

13

El torque Q requerido para mantener girando a la helice, es el momento producido por cadadiferencial de fuerza Fθ, en el plano de rotacion sobre las palas, por lo tanto el torque por unidadde longitud radial, se calcula:

dQdr

= −krFθ =k2ρω2r2cb

[(1 −

vθiωr

)2+

(v∞ωr

+vxi

ωr

)2] (

CDcos(εi + εb) + CLsin(εi + εb))

(2.16)

Para integrar las ecuaciones 2.15 y 2.16, y ası obtener el empuje T y el torque Q, falta conocerel angulo inducido εi -contenido en la expresion del angulo de downwash εi+εb - y las componentesde la velocidad inducida vθi y vxi.

Por esta razon es usado el teorema de Kutta-Joukowski, ecuacion 2.17. Para cualquier seccionde perfil de la pala, la sustentacion del perfil en esa seccion L, este relacionada con la densidad delfluido, la velocidad del fluido vb, y la circulacion total de la seccion Γ.

L = ρvbΓ (2.17)

Usando la condicion de Betz que asume la velocidad inducida vi es normal a la velocidad resultantevb. Se logran las siguientes relaciones entre las componentes de la velocidad inducida y los angulos- ver figura 2.7 -:

vb =

√ω2r2 + v2

∞cos(εi) =ωr

cos(ε∞)cos(εi) (2.18)

La velocidad inducida:

vi =

√ω2r2 + v2

∞sin(εi) =ωr

cos(ε∞)sin(εi) (2.19)

La componente axial de la velocidad inducida

vxi = vicos(εb) =ωr

cos(ε∞)sin(εi)cos(εi + ε∞) (2.20)

La componente circunferencial de la velocidad inducida

vθi = visin(εb) =ωr

cos(ε∞)sin(εi)sin(εi + ε∞) (2.21)

Suponiendo la helicoide de vortices de paso constante, vease figura 2.8, Goldstein relacionala componente circunferencial de la velocidad inducida en el plano de la helice vθi con con lacirculacion de la seccion Γ.

kΓ = 4πrvθiκ (2.22)

Para encontrar el valor de la constante κ, Goldstein encontro una solucion numerica al problemaresolviendolo mediante la teorıa potencial, cuya solucion involucra la funcion de Lommel y la

14

Figura 2.7: Triangulo de velocidades sobre una seccion de una pala de una helice asu-miendo las hipotesis de Goldstein.

Figura 2.8: Helicoide de vortices de una helice de tres palas, y denotacion de paso cons-tante.

funcion modificada de Bessel. Los coeficientes de esta ultima son la solucion de un sistema deecuaciones lineal infinito [11].

Prandtl propone una aproximacion alternativa del factor κ de Goldstein : el “tip loss factor”

denotado por la letra f . Ecuacion 2.23

f =2π

acos(exp

[−

k(1 − 2r/dp)2sinβt

])(2.23)

Donde βt es el angulo de pitch en la punta de la pala. De esta manera, usando la ecuacion 2.23.la ecuacion 2.22 queda:

kΓ ≈ 4πrvθi f (2.24)

15

Luego, usando las ecuaciones 2.9, 2.15, 2.16, 2.17, 2.19, 2.20, 2.22 y 2.23, se obtienen lascomponentes de la velocidad inducida y los angulos de downwash . Y es posible integrar el empujey el torque a lo largo de la pala.

T =

∫ r=dp/2

r=rh

dTdr

dr (2.25)

Q =

∫ r=dp/2

r=rh

dQdr

dr (2.26)

La formulacion presentada es para helices ligeramente cargadas. Wald [6] muestra queTeodorsen propuso una modificacion para abolir esta restriccion, haciendo que la circulacion de-penda solamente de la configuracion del sistema de vortices a una distancia de la helice. Tomandoen cuenta lo anterior, se define la funcion circulacion de Goldstein:

G(rhv) =Γ(rhv)

hw(2.27)

Donde h es la distancia axial entre dos vueltas adyacentes en el sistema de vortices y w esel desplazamiento axial para la helicoide de vortices tras la helice. Calculando el valor de h laecuacion 2.27 queda:

G(rhv) =kωΓ(rhv)

2πw(v∞ + w)(2.28)

La solucion de la ecuacion anterior no es trivial, Theodorsen la resolvio mediante una analogıareo-electrica. En [11] existen valores tabulados para la funcion de circulacion para la funcion decirculacion de Goldstein.

Luego, con la funcion de Goldstein y las ecuaciones 2.17 y 2.28 se llega a la expresion:

kcbCL =4πw(v∞ + w)G(rhv)

ωvb(2.29)

Las ecuaciones 2.30 y 2.31 relacionan las componentes de la velocidad inducida en la helicoidede vortices con el valor de w:

vxi,hv =w

1 +(

v∞+wωrhv

)2 (2.30)

vθi,hv =w

(v∞+wωrhv

)1 +

(v∞+wωrhv

)2 (2.31)

Wald [6] muestra que las velocidad inducidas tienden a ser la mitad en el sistema de vortices:

vxi =12

vxi,hv (2.32)

16

vθi =12

vθi,hv (2.33)

Luego las relaciones entre las coordenadas radiales de la pala y el sistema de vortices son:(r

dp/2

)2

=

(rh

dp/2

)2

+

(rhv

dhv/2

)2 1 − (rh

dp/2

)2 (2.34)

(dp/2dhv/2

)2

=1(

1 −(

rhdp/2

)2) (2.35)

La implementacion de las ecuaciones anteriores sera denomidada en el informe como formu-lacion de Goldstein-Teodorsen.

2.4 Coeficientes de la helice

Para poder comparar su influencia, los parametros que caracterizan a una helice son presentadosde forma adimensional, como coeficientes. Para adimensionalizar se utilizan la densidad del flu-ido ρ, la velocidad angular ω y el diametro de la pala dp. Es ası como se definen los siguientescoeficientes:

1. Coeficiente de empuje

CT ≡T

ρ(ω2π

)2dp

4(2.36)

2. Coeficiente de torque

CQ ≡T

ρ(ω2π

)2dp

5(2.37)

3. Coeficiente de potencia

CP ≡T

ρ(ω2π

)3dp

5(2.38)

Los parametros de la pala tambien se adimensionalizan:

1. Razon de avance advance ratio

J ≡2πv∞ωdp

(2.39)

2. razon paso geometrico - diametro

Kc ≡λc

dp(2.40)

3. razon paso - diametro

K ≡λ

dp(2.41)

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La eficiencia propulsiva puede escribirse en funcion de los coeficientes.

ηp =CT JCP

(2.42)

2.5 Desempeno de la helice

Sintetizando, las variables necesarias para caracterizar una helice son mostradas en la tabla 2.1.

Parametros referidos a la paladp Diametro de la helicerh Radio interior de la helice, donde comienzan la palas

Parametros de una seccion ubicada a una distancia r del centro de la helicePerfil aerodinamico

cb(r) Longitud de la cuerdaβc Angulo de pitch medido desde el plano de rotacion de la pala

Parametros referidos a la condicion de operacionω Velocidad angular de la helicev∞ Velocidad del flujo de entrada de la heliceρ Densidad del aire en el lugar de operacion, dependiente de la altura sobre el nivel del mar y la temperatura

Tabla 2.1: Variables necesarias para calcular la caracterizacion de una helice

Con los parametros mostrados en la tabla 2.1, es posible calcular el desempeno de la helice.Sin embargo la caracterizacion de helices tambien se realiza en tunel de viento, como por ejemploen el trabajo de Burton [4].

Los valores de empuje y torque obtenidos en distintas condiciones de operacion, son tabuladosy graficados en forma de los coeficientes de empuje, torque, potencia, ademas de calcularse sueficiencia. Veanse ecuaciones 2.36, 2.37, 2.38 y 2.42.

Los coeficientes adimensionales se tabulan y grafican respecto de la razon de avance J. Veaseecuacion 2.39.

De esta manera, si se dispone de los datos de tunel de viento para una helice, o si se utiliza unmetodo de calculo para caracterizarla, los parametros que caracterizan la helice son mostrados entabla 2.2

Coeficientes de la helice determinados con mediciones de tunel de viento o calculadosCT Coeficiente de empujeCP Coeficiente de PotenciaJ Razon de Avance

Parametros geometricos de la helicedp Diametro de la helice

Parametros referidos a la condicion de operacionω Velocidad angular de la helice.v∞ Velocidad del flujo de entrada de la helice.ρ Densidad del aire en el lugar de operacion, dependiente de la altura sobre el nivel del mar y la temperatura.

Tabla 2.2: Parametros que caracterizan una helice

18

2.6 Validacion

Para la validacion fue usada una helice APC 10x4,7 Slow Flyer. Los datos experimentales fueronobtenidos del trabajo de Burton [4], en el cual se presentan mediciones para varias helices desde9 [in] hasta 19 [in] hechas en el tunel de viento de baja velocidad de University of Illinois at

Urbana-Champaign.Ademas de los datos experimentales, del trabajo de Burton [4] se obtienen, la distribucion de

la cuerda a lo largo de la pala cb(r) y el angulo de pitch geometrico a lo largo de la pala βc.El detalle de la medicion de la forma de los perfiles transversales de la helice fue realizada en

el trabajo de Gamonal [12].Imitando el procedimiento de Moffitt y Bradley [7], los coeficientes de sustentacion y arrastre

son obtenidos de dos fuentes: calculados con XFOIL, y del trabajo de Sheldahl y Klimas [13].XFOIL es usado para la zona lineal del coeficiente de sustentacion respecto del angulo de ataque.Las mediciones para altos angulos de ataque de la referencia [13] son usados desde un angulo deataque de 35 [] hasta 90 []. Los datos entremedio de ambas fuentes, son interpolados medianteuna spline.

Figura 2.9: Valores experimentales y calculados del coeficiente de potencia para la heliceAPC 10x4,7 Slow flyer

Los resultados para la aplicacion del metodo Goldstein-Teodorsen y la aproximacion de Prandtldel metodo de Goldstein son mostrados en las figuras 2.10 para el coeficiente de empuje, en lafigura 2.9 para el coeficiente de potencia y en la figura 2.11 para le eficiencia.

Para los tres parametros calculados se ve que el metodo de Goldstein-Teodorsen no tiene valo-res para razones de avance J entre 0 y 0, 35. Esto se debe a que la ecuacion 2.29 no converge enlas regiones de la pala cercanas al centro de la helice. En contraste, el metodo de aproximacion de

19

Prandtl converge para todos los valores de J donde hay datos experimentales.En la figura 2.10 se observa que ambos metodos subestiman el coeficiente de empuje, siendo

mas cercano el metodo de Prandtl. En la curva del metodo Prandtl se ve un cambio de pendientepara una razon de avance cercana a J = 0, 2. Dicho cambio se debe a que para razones de avancemayores, el angulo de ataque de algunas secciones es menor al angulo para sustentacion cero αL0,haciendo que el coeficiente de sustentacion sea negativo, disminuyendo empuje y torque. En lafigura 2.9 se ve tambien el cambio de pendiente en el coeficiente de potencia.

Si bien tanto para el coeficiente de empuje como para el de potencia, los metodos de Goldstein-Teodorsen y de Prandtl subestiman los valores, la pendiente de ambos coeficientes graficamentesigue la misma tendencia que los valores medidos.

En la figura 2.11 se muestra la eficiencia propulsiva de la helice. El metodo Goldstein-Teodorsen subestima la eficiencia y el punto de maxima eficiencia esta mas a la izquierda que elde las mediciones. El metodo de Prandtl sobrestima la eficiencia para razones de avance menoresa 0, 55. Para valores mayores la eficiencia es subestimada igual que por el metodo de Goldstein-Teodorsen.

Ambos metodos muestran una diferencia en la razon de avance para la maxima eficiencia.Este valor es importante, pues eso determina las condiciones de maxima eficiencia del motor y lavelocidad del avion.

Los valores de los coeficientes de empuje y potencia poseen un error maximo que supera el20%, en contraste con los resultados mostrados en [7], donde una de las conclusiones es que elmetodo de Goldstein-Teodorsen es aplicable a helices de mini-UAVs.

20

Figura 2.10: Valores experimentales y calculados del coeficiente de empuje para la heliceAPC 10x4,7 Slow flyer

Figura 2.11: Valores experimentales y calculados de la eficiencia propulsiva para la heliceAPC 10x4,7 Slow flyer

21

Del analisis de incertidumbre hecho en [7] se muestra que las dos grandes fuentes de incer-tidumbre en el calculo del desempeno de la helice son el angulo de pitch βc y el coeficiente desustentacion de las secciones CL. Dado que existen zonas de angulos bajos y negativos dondeXFOIL no converge, las cuales fueron interpoladas, es posible que ellas sean las causantes delerror obtenido.

Capıtulo 3

Motor sin escobillas

3.1 Caracterısticas generales

Los motores sin escobillas de imanes permanentes, o motores sin escobillas de corriente continua,- Brush Less Direct Current BLDC motors- tienen en el estator un devanado con bobinas donde sealterna corriente y un rotor con imanes. Los motores BLDC necesitan necesariamente un contro-lador de velocidad - o Electronic Speed Control ESC - para poder funcionar.

El motor funciona con imanes que son atraıdos por la fuerza magnetica producida por lasbobinas. En la figura 3.1 se esquematiza el funcionamiento del motor BLDC mostrando el fun-cionamiento de un par de polos y una fase que gira hacia la derecha. En la figura 3.1 (a) Lacorriente es tal que el campo magnetico de las bobinas atrae a los imanes. En la figura 3.1 (b) losimanes estan sobre la bobina. El cambio del campo magnetico hecho por las bobinas se realizacambiando la direccion de la corriente por los cables y se denomina “conmutacion”, esto ocurreen la figura 3.1 (c). Notese que en el esquema la corriente cambia de direccion y la direccion delcampo en las bobinas tambien. En la figura 3.1 (d) los imanes son atraıdos por la bobina mas lejanaa ellos y repelidos por la bobina mas cercana

El movimiento del motor se logra debido a la atraccion de los imanes del rotor hacia ciertasbobinas del estator que se van energizando en un orden determinado. Los imanes son atraıdos orepelidos segun sea el caso segun la direccion de la corriente en las bobinas.

Dependiendo la posicion del rotor y los imanes respecto de las bobinas, existen dos clasifica-ciones. Los motores outrunner - figura 3.2 (a)- tienen los imanes en la parte externa del motor. Laparte externa del rotor es movil. Los motores inrunner - figura 3.2 (b)- poseen el rotor y sus imanesen la parte interna, por lo que la parte externa del motor no es movil.

En la figura 3.4 se muestra el rotor y el estator de un motor outrunner. Los imanes del rotorvan girando en torno al eje. En el estator las bobinas se van energizando para atraer a los imanes.Usualmente el motor BLDC tiene mas de dos pares de bobinas. Las bobinas son conectadas enserie unas con otras, a este grupo se le denomina fase. Para el caso de la figura 3.4 el estator tiene12 bobinas agrupadas en tres fases.

22

23

Figura 3.1: Diagrama esquematico de funcionamiento de un motor BLDC outrunner deuna fase

Figura 3.2: Esquema de un motor con configuracion outrunner (a), y outrunner (b)

En la figura 3.3 se ve un ejemplo de la conformacion de una fase. En la figura 3.3 (a) se ve unestator de un motor outrunner el cual posee seis bobinas. Si se desarma el bobinado de la figura3.3 (a), se veran los cables como en la figura 3.3 (b). En ella cada fase esta conformada por dosbobinas: La fase A por la bobina A1 y A2, la fase B por la bobina B1 y B2 y, la fase C por las bobinasC1 y C2.

Notese que las tres fases estan unidas a un punto. Esta configuracion se denomina “estrella” o“Configuracion Y”.

En la figura 3.3 (d) y 3.3 (e) se muestra las bobinas unidas en tres fases, igual que en el casoanterior. La diferencia esta en como estan unidas. La configuracion de union se denomina “Delta”.

El esquema de conexiones tıpico del motor BLDC en el sistema propulsor se puede observaren la figura 3.4. El motor tiene tres cables de conexion, correspondientes a las tres fases mostradasen la figura 3.3. Cada uno de esos cables terminan en un conector. Dichos conectores van al con-trolador de velocidad o ESC . En la figura 3.5 tambien se ven los tres cables entre el motor BLDCy la ESC . La ESC se conecta a la baterıa, de donde obtiene energıa electrica, y se conecta tambienal receptor, quien le envıa la senal de control para regular la velocidad del motor.

24

Figura 3.3: Esquema de union de un estator con configuracion “Estrella” o “Y” (a). Es-quema de fases en configuracion “Estrella” o “Y” (b). Estator con configuracion “Delta”(d). Esquema de fases en configuracion “Delta”

Control de velocidad

El proceso de control de velocidad es realizado principalmente por el ESC .Para explicar mejor el proceso y las senales involucradas se veran paralelamente las figu-

ras 3.5 y 3.6. En esta ultima se muestra la operacion a tres velocidades angulares distintas,ω = 2400 [rpm], ω = 6400 [rpm] y ω = 8000 [rpm].

El proceso empieza con la posicion del stick de la radio de control. Vease figura 3.5 (1). En lafigura 3.6, se grafica la posicion del stick de un 30 % para las ω = 2400 [rpm]. De un 80 % paralas ω = 6400 [rpm] y de un 100 [%] ω = 8000 [rpm].

La radio envıa una senal correspondiente a la posicion del stick, la cual es recibida por elreceptor. El receptor envıa una senal modulada por pulsos, cuyo ancho es proporcional a la posiciondel stick, vease 3.5 (2). La senal correspondiente, para las tres velocidades angulares distintas seve en los graficos (2) de la figura 3.6.

Esta senal es la misma con la cual son controlados los servos de radio-control. La senal tieneuna amplitud de 5 [V] y su ancho varıa entre 1[ms] y 2 [ms]. Esta senal va siendo actualizada cada200 [ms], es decir tiene una frecuencia de 50 [Hz].

En la figura 3.6 se ve que que los valores del ancho de pulso van aumentando a medida que va

25

Figura 3.4: Estator y rotor de un motor BLDC outrunner

creciendo la posicion del stick. La maxima posicion es alcanzada a los 100% del stick con 2 [ms].Se define el ciclo de trabajo de la senal Receptor-ESC como la razon entre el ancho del pulso

dado, menos el ancho de pulso mınimo, partido por el ancho de pulso maximo menos el mınimo.Vease ecuacion 3.1.

Dc =(tc − 1[ms])

1[ms](3.1)

Para la figura 3.6 los valores son Dc = 0, 30 para las ω = 2400 [rpm]. De un Dc = 0, 80 paralas ω = 6400 [rpm] y de un Dc = 1 para las ω = 8000 [rpm].

El ESC lee la senal que viene del receptor y genera un voltaje efectivo para energizar el motor.El voltaje efectivo es proporcional a la senal que llega a la ESC .

La amplitud del voltaje que envıa el ESC al motor, es el voltaje de la baterıa Vb. La frecuenciacon que el ESC energiza puede ser 8 [KHz] o 16 [KHz] segun el fabricante Hacker [18]. En lafigura 3.6 se grafica con una frecuencia de 8 [KHz], es decir, cada 1, 25 × 10−4 [s]

26

A diferencia de la senal Receptor-ESC , el ciclo de trabajo que el ESC crea para energizar elmotor, tiene como valor mınimo un ancho de pulso igual a cero, este va creciendo con la posiciondel stick, hasta alcanzar el valor maximo del pulso correspondiente a la frecuencia dada 8 [KHz] o16 [KHz].

En el caso de la figura 3.6 (3) para las tres velocidades distintas, se muestra como el ancho depulso va creciendo hasta completar todo el ancho posible, es decir con un voltaje igual al de labaterıa, vease 3.6 (3) para la velocidad ω = 8000 [rpm].

Figura 3.5: Conexiones del ESC al motor, baterıas y de control de potencia: La senalempieza con la posicion del stick en la radio la cual transmite la senal al receptor queva en la aeronave(1). El receptor manda una senal PWM al controlador ESC (2). El ESCgenera un voltaje efectivo proporcional a la posicion del stick (3). Dependiendo de lavelocidad el ESC regula la conmutacion cambiando el voltaje en las conexiones a las tresfases por los cables (a), (b) y (c).

En las figuras 3.6 (3) para las tres velocidades distintas, se grafica con lınea punteada el voltajeefectivo que pasa al motor y que es producto del control por ancho de pulsos hecho por el ESC .El analisis posterior utiliza el concepto de voltaje efectivo.

El ESC junto con energizar con un voltaje efectivo el motor, tambien debe ser capaz de cambiarlos campos de las bobinas a medida que los imanes del rotor van pasando sobre ellas. El cambiode direccion en la corriente a traves de las bobinas es llamado conmutacion y es realizado por elESC . Para hacer esta tarea el ESC energiza por dos de los tres cables - vease figura 3.5 (a), (b) y(c) - y el tercero lo utiliza para medir la posicion angular del rotor.

27

En la figura 3.6 se ven los voltajes correspondientes a las fases del motor, denominadas fases(a), (b) y (c). El ESC energiza dos de las tres fases -en la figura 3.6 (a) y (b)- y empieza a contar eltiempo, cuando la fase que no energiza cambia de signo - en la figura 3.6 la fase (c) - el ESC dejade contar el tiempo.

La diferencia de tiempo entre que energizo y que la fase desenergizada cambio de signo, de-nominado tiempo de cruzamiento o zero crossing time tzc es contado de nuevo para realizar unaconmutacion. El tiempo de cruzamiento puede verse en la fase (c) para las ω = 2400 [rpm]. Eltiempo de cruzamiento depende del paso de un iman por la bobina que mide. Cuando pasa un imaneste induce un voltaje en la bobina que mide. Los turnos de cada cable se van repitiendo en unciclo, llamado “ciclo de conmutacion”. [14]

Notese que si crece la velocidad angular, el tiempo de conmutacion va decreciendo. Esto puedeser observado en la figura 3.6 en las columnas derechas para las tres velocidades angulares.

Otro punto importante es que cuando el ciclo de trabajo de la senal Receptor-ESC es menora uno, se puede ver en las fases el voltaje modulado por pulsos. Cuando el ciclo de trabajo esmaximo, voltaje efectivo es igual al de la baterıa. Notese que para la velocidad ω = 8000 [rpm]no se ve la senal modulada por ancho de pulsos por esta razon.

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Figura 3.6: Posicion del stick (1). Voltaje de la senal PWM del Receptor a la ESC (2).Voltaje efectivo (3) y voltajes en las conexiones (a), (b) y (c) de la figura 3.5

29

3.2 Analisis del motor

Lindahl [3] y Moffitt [10] muestran la relacion entre el voltaje continuo suministrado a la ESC Vb,el ciclo de trabajo - duty cycle- de la senal de control del motor que llega a la ESC Dc y el voltajeefectivo que va hacia el motor Vm.

Vm = DcVb (3.2)

Tambien la relacion entre la corriente de entrada al ESC y la de salida hacia al motor se rela-ciona por medio del ciclo de trabajo:

I =Ib

Dc(3.3)

La resistencia a la corriente ofrecida por las bobinas del motor, es representada como la re-sistencia R en la ecuacion 3.4.

El circuito equivalente se muestra en la figura 3.7, en el se identifican: el Voltaje suministradoal motor Vm, la corriente que pasa por el motor I, la resistencia del motor R y la contra FEM .

Figura 3.7: Esquema de un circuito equivalente de un motor BLDC

El circuito equivalente de la figura 3.7 es la representacion ideal del motor BLDC , es decir,desprecia perdidas de energıa debido a la inductancia y otros efectos parasitos como indica Miller[8]. La ecuacion 3.4 muestra la relacion entre los voltajes del circuito equivalente.

Vm = E + RI (3.4)

3.2.1 Ecuaciones de torque y velocidad angular

Constante de velocidad angular y torque Ke y KQ

El voltaje inducido por los imanes sobre el devanado del estator es representado por E, este voltajees denominado fuerza contra electromotriz o FEM contraria, ya que cuando el motor gira y estasometido a un torque esta FEM es generada y su direccion es contraria al voltaje de alimentacion

30

Vm.

E = Keω (3.5)

conKm = Ke = KT = 4N f aseΦ (3.6)

Donde N f ase es el numero de vueltas de cada fase, es decir el en numero de bobinas por la cantidadde vueltas por bobina Nbobina.

N f ase = nbNbobina (3.7)

El flujo magnetico esΦ = Breπl (3.8)

Donde re es el radio del estator y l su largo. La constante del motor Km es entregada por elfabricante. En el caso de los fabricantes de motores para aeromodelos la constante entregada es lainversa de la constante del motor y esta en unidades [RPM/V]. La relacion entre ambas constanteses:

Kv =1

Km

602π

[RPM/V] (3.9)

Los fabricantes de motores BLDC industriales usualmente entregan la constante del motor Km enunidades [V s/rad]

En la referencia [15] las constantes del motor Ke y KT son determinadas mediante la medicionde la FEM inducida en la fase no energizada. Ademas, en [15], este metodo fue validado con undinamometro para las condiciones nominales estaticas de un motor sin escobillas de un disco durode 9 polos y 12 [V]

En la referencia [16] se determinan las constantes a partir de la medicion de voltajes entre losterminales del las fases y la velocidad angular. A partir de la ecuacion 3.5 conocidos el voltajeinducido E, y la velocidad angular ω se puede determinar la constante. La velocidad angular seobtiene de sensores de medicion Hall o bien de sensores por induccion. El voltaje inducido seaproxima a partir de la ecuacion 3.4.

El torque de la ecuacion 3.12, es calculado como resultado del balance de potencias a partirde la ecuacion del circuito equivalente 3.4, el balance puede verse en la ecuacion 3.10. En ella lapotencia electrica Pelec es el producto del voltaje y la intensidad de corriente que pasa por el motory la potencia resistiva PR disipada por la resistencia del motor.

Pmec = Pelec − PR (3.10)

De las ecuaciones 3.4, 3.5, La potencia mecanica Pmec es:

Pmec = KmIω = Qelecω (3.11)

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Qelec = KT I (3.12)

Para representar las perdidas de potencia, en la referencia [17] se toma en cuenta que existeuna corriente de funcionamiento I0 para la condicion en que el motor no esta cargado, es decir,para la condicion cuando el motor gira y no proporciona torque. De esta manera, segun [17], eltorque proporcionado por el eje, es el torque electrico Qelec menos un torque de perdida, debido alfuncionamiento “sin carga” del motor.

Q = Qelec − KmI0 (3.13)

La ecuacion 3.13, puede dejarse en funcion de la corriente:

Q = Km(I − I0) (3.14)

De las ecuaciones 3.5 y 3.11 puede determinarse la velocidad angular en funcion de losparametros electricos:

ω =1

Km(Vm − RI) (3.15)

3.2.2 Diagrama torque velocidad angular

El diagrama de Torque v/s velocidad angular presenta areas donde pueden estar los puntos deoperacion del motor, pares ordenados de torque y velocidad angular. Existen areas de operacioncontinua, en las cuales el motor puede operar siempre por ejemplo en la figura 3.8 el punto a; yareas de operacion intermitente en las cuales el motor puede operar por poco tiempo, por ejemploel punto b.

Los lımites de operacion continua e intermitente son estimados debido a los lımites de tem-peratura que puede soportar el motor o los semiconductores del controlador [8]. La lınea oblicuaque limita la operacion de la velocidad angular, es calculada con el maximo voltaje que puedeentregarse al motor a partir de la ecuacion 3.5.

3.3 Desempeno del motor

Sintetizando, las variables necesarias para caracterizar el motor son mostradas en la tabla 3.1.Los fabricantes de motores BLDC para aviones radio controlados proporcionan dichas varia-

bles, por ejemplo en [18] se indican:

• La corriente del motor para la condicion de funcionamiento sin carga de torque -No load

current / Leer Strom I0.

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Figura 3.8: Tıpico diagrama Torque-velocidad angular para un motor BLDC .

Parametros de caracterizacion del motor BLDCI0 Corriente de funcionamiento sin cargaR La resistencia del motorKm La constante del motorInom La corriente nominal del motorImax La corriente maxima del motorVb El voltaje maximo de operacion (proporcionado por la baterıa)

Tabla 3.1: Parametros para calcular el desempeno del motor

• La corriente nominal del motor Ic.

• La corriente maxima del motor indicada con un cierto tiempo de operacion Imax.

• La Resistencia del motor R

• La constante del motor. Km en [V s/rad] o Kv [RPM/V]

• El voltaje maximo de operacion, indicado en numero de celdas de la baterıa Li-po ( 1 celda= 3, 7 [V] nominales )

A partir de las corrientes de operacion, se calculan los torques correspondientes para corrientesdesde 0 hasta la corriente maxima, usando la ecuacion 3.14. Usando las ecuaciones 3.4 y 3.5 secalculan las velocidades angulares a partir de las corrientes desde 0 hasta la corriente maxima, conla ecuacion 3.16:

ω =Vm − RI

K(3.16)

Ejemplo de contruccion de diagrama del motor

El motor Hacker A50-16s, que tiene los parametros:

• Vb = 22, 2 [V]

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• R = 0, 024 [Ω]

• Kv = 378 [RPM/V]

• I0 = 2 [A]

• Ic = 40 [A]

• Imax = 55 [A] por 15 [s]

Usando la ecuacion 3.9 la constante para el motor es K = 0, 0253 [V/rad/s]La lınea de operacion de voltaje maximo se grafica en la figura 3.9. El voltaje maximo depende

del voltaje de la baterıa, pues como se vio en la seccion anterior el voltaje efectivo maximo quepuede proporcionar el ESC , es el voltaje de la baterıa. Los puntos de operacion estan a la izquierdade la curva, siendo la curva el lımite de operacion.

Figura 3.9: Lınea de voltaje maximo para el motor Hacker A50-16S

Para la curva de operacion continua y la de operacion intermitente se deben modelar los flujosde calor que permitan mantener una temperatura segura tanto en el motor como en el controladoro ESC . No obstante lo anterior, el fabricante del motor proporciona dos corrientes, la corrientemaxima Imax que viene indicada con un tiempo maximo de operacion - para el motor Hacker es15 [s] - que indica que la operacion en esta condicion es intermitente. Por otra parte tambien seproporciona una corriente nominal Ic o Continuos current, en la que el motor puede operar demodo continuo.

Como el torque es directamente proporcional a la corriente, las dos corrientes antes men-cionadas se asocian por la ecuacion 3.14 a un torque. El torque calculado con la corriente maximasera usado como lımite intermitente y el torque calculado con la corriente nominal sera usado comolımite de operacion continua.

Lo anterior puede verse en la figura 3.10.

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Figura 3.10: Lınea de voltaje maximo, de operacion continua y operacion intermitentepara el motor Hacker A50-16S

Con el diagrama anterior puede verificarse si el motor es capaz de funcionar en cierto punto deoperacion, es decir, si es capaz de entregar cierto torque a cierta velocidad angular.

Un parametro importante a considerar en el funcionamiento del motor es la eficiencia del motorla cual es la razon entre la potencia mecanica o potencia de freno y la potencia electrica suminis-trada:

ηm =QωVmI

=P f reno

Pelec(3.17)

Para cada punto de las areas de operacion se tiene una eficiencia. Para incluir esta en el graficose calculan las lıneas de eficiencia constante. Usando la ecuacion 3.17, y las ecuaciones 3.4 y 3.14se llega a la expresion mostrada en la ecuacion 3.18. En ella se muestra la curva de velocidadangular cuando la eficiencia del motor es ηm = η0. En la figura 3.11 se ven las lıneas de eficienciade 75%, 80%, 85% y 90% para el motor Hacker A50-16s. Notese que las lıneas tienen forma dehiperbola, siendo las zonas de mas eficiencia las que tienen puntos de operacion con mas torque ymas velocidad angular respecto de las lıneas de menor eficiencia.

ω =

η0RQ2

K2 +2η0RQI0

K

Q − η0Q − η0KI0(3.18)

Notese tambien que las lıneas de menor eficiencia estan mas unidas que las de mayor eficiencia,es decir, para alcanzar puntos de mayor eficiencia necesariamente hay que operar en zonas convelocidades angulares altas, y tambien con cierta cantidad de torque pues las lıneas de eficienciatienen un valor de torque mınimo.

El valor de torque mınimo para cierto valor de eficiencia η0 puede ser calculado tomandoen la ecuacion 3.18 el lımite cuando la velocidad angular tiene a infinito, es decir igualando el

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Figura 3.11: Lınea de voltaje maximo, de operacion continua, operacion intermitente ylıneas de eficiencia de 75%, 80%, 85% y 90%; para el motor Hacker A50-16S

denominador a cero y despejando el valor para el torque, el cual resulta:

Qmin|(η=η0) =1

1η0− 1

KI0 (3.19)

El torque mınimo Qmin calculado para la eficiencia η0 es sensible al coeficiente 11η0−1

. El torque

mınimo para cierta eficiencia sera mayor cuanto mayor sea la eficiencia deseada.Eso puede verse en las lıneas de eficiencia de la figura 3.11 las cuales tienen una zona de

baja pendiente, y a medida que crece la eficiencia crece el torque mınimo. Notese que la lıneapara η = 90% no alcanza a tener una pendiente plana en las zonas de operacion del motor. Esimportante notar tambien que al crecer en torque y velocidad angular, a medida que se acerca alpunto de interseccion entre la lınea de voltaje maximo y la lınea de operacion continua, los valoresde eficiencia crecen de forma marginal comparados con los puntos cercanos al origen.

Es importante notar que si bien es deseado operar a alta eficiencia, esto implica tener puntosde operacion con cierto torque y velocidad angular.

Si se analiza la potencia del eje y su relacion con la eficiencia, figura 3.12, se vera que sobreel umbral de la eficiencia del 90% estan las lıneas sobre 700 [W], lo que muestra que las altaseficiencias se logran a altas potencias de freno.

3.4 Validacion del motor

Para la validacion de las ecuaciones del motor se utilizan datos disponibles en la tesis de Lin-dahl [9]. Para el motor AXI-5345/14 en combinacion con un ESC JETI Spin 99 modificado, estadisponible un set de datos que incluye los valores de:

• Dc El ciclo de trabajo de la senal al ESC

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Figura 3.12: Lınea de voltaje maximo, de operacion continua, operacion intermitente ylıneas de eficiencia de 75%, 80%, 85% y 90%; y lıneas de potencia de freno para el motorHacker A50-16S

• I Corriente de entrada al ESC .

• V Voltaje de entrada al ESC .

• ω Velocidad angular del eje del motor.

• Q Torque del motor.

3.4.1 Velocidad angular

Para validar la ecuacion 3.15, se calcula la constante del motor Km y su resistencia R mediante elajuste por mınimos cuadrados a los valores de velocidad angular, voltaje efectivo e intensidad decorriente efectiva del motor. Los valores de la constante del motor y la resistencia ajustados puedenverse en la tabla 3.2.

En las figuras 3.13 (a) y 3.13 (b) se observa que los valores de velocidad angular medidos sonmenores a los calculados con los parametros dados por el fabricante.

La velocidad angular es calculada por la expresion de la ecuacion 3.20. La razon por la cuallos valores calculados son mayores a los medidos es debido a que no se consideran las perdidasen el circuito electrico del motor, especıficamente los valores de la caıda de voltaje generada porla inductancia del motor. Al no considerar la inductancia, la resistencia ajustada es mucho mayorrespecto a los valores entregados por los fabricantes, esto se puede ver en el error del 220% de laresistencia en la tabla 3.2. Por otro lado la constante del motor Km tiene una diferencia de un 1%.

ω =1

Km(Vm − RIm) (3.20)

Los errores de la velocidad angular fluctuan entre un −7% y un −22%. A parte de la induc-tancia, el error debido a perdidas no consideradas en el modelo, pueden ser producto de la con-

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Valor Fabricante Valor ajustado Error [%]R [mΩ] 27 86 220

Km [V s/rad] 0, 042 0, 042 0Kv [RPM/V] 225 227 1

Tabla 3.2: Parametros del motor suministrados por el fabricante, ajustados a las medi-ciones con la ecuacion de circuito equivalente y su error; para el motor AXI-5345/14

mutacion realizada por el ESC o de la regulacion de voltaje mediante la modulacion por ancho depulso.

Figura 3.13: (a) Valores de velocidad angular medidos, calculados con los parametrosaportados por el fabricante y calculados con parametros ajustados para el motor AXI5345/14. (b) Errores para la velocidad angular, calculados con los parametros aportadospor el fabricante y calculados con parametros ajustados para el motor AXI 5345/14

3.4.2 Torque

En la figura 3.14 (a) se muestran los valores medidos y las curvas calculadas usando los valoresproporcionados por el fabricante y por los valores ajustados. Es visible que los valores de torquetienen una tendencia lineal respecto de la corriente, sin embargo la constante del motor Km resultaser menor que la ajustada a los valores medidos. Vease tabla 3.3 donde la diferencia entre lasconstantes del fabricante y la ajustada es de un −19%. Producto de la diferencia de pendiente, elcoeficiente de posicion tambien presenta un error.

La diferencia de pendiente resulta de la no consideracion de la inductancia. Esto puede serexplicado si en la ecuacion 3.4 se considera la caıda de tension debido a la inductancia.

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Valor Fabricante Valor ajustado Error [%]Km [V s/rad] 0, 042 0, 050 −19Kv [RPM/V] 225 188 −16

I0 [A] 2, 6 7, 6 195

Tabla 3.3: Parametros del motor suministrados por el fabricante, ajustados a las medi-ciones con la ecuacion Torque-Corriente y su error; para el motor AXI-5345/14

El valor de la caıda de tension por inductancia es:

Vind = LdI(t)

dt(3.21)

Como el valor de la derivada de la corriente es proporcional a la velocidad, a modo meramenteilustrativo para la presente explicacion, puede asumirse la aproximacion:

Vind = LdI(t)

dt= Lω (3.22)

Agregando el valor de la caıda de voltaje a la ecuacion del circuito equivalente - ecuacion 3.4-y multiplicando por la intensidad de corriente efectiva del motor, el balance de potencias queda:

VI︸︷︷︸Pelec

≈ (Km + L)I︸ ︷︷ ︸Qelec

ω + RI2︸︷︷︸PR

(3.23)

La ecuacion anterior es la ecuacion 3.10 con el termino ilustrativo de potencia de la inductancia.De 3.23 una expresion, a modo ilustrativo, para una aproximacion del torque del eje en funcion dela inductancia:

Q ≈ (Km + L)(I − I0) > Km(I − I0) (3.24)

La expresion muestra que una aproximacion del torque medido, el cual incluye los valoresdebido a la caıda de voltaje por la inductancia, es mayor que el torque calculado con la constantedel motor Km. Lo anterior explica porque en la figura 3.14 (a) y en la tabla 3.3 , la pendiente delos valores medidos es mayor a la pendiente de los valores calculados por medio de los parametrosdados por el fabricante.

Si bien en la expresion aproximada 3.24 se utiliza el valor I0 como coeficiente de posicion tantopara la aproximacion del torque medido, como para el torque calculado, es posible que el torquecalculado sea mayor que el medido. Lo anterior se aprecia en los valores de torque para corrientespequenas y en el cambio de signo de los errores en la figura 3.14 (b).

3.4.3 Potencia y eficiencia

Las perdidas no consideradas, como la inductancia y las perdidas mecanicas asociadas almovimiento del eje y rodamientos, hacen que la potencia calculada sea mayor que la potencia

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Figura 3.14: (a) Valores de torque medidos, calculados con los parametros aportadospor el fabricante y calculados con parametros ajustados para el motor AXI 5345/14. (b)Errores para el torque, calculados con los parametros aportados por el fabricante y calcu-lados con parametros ajustados para el motor AXI 5345/14

medida, vease figura 3.15. El error porcentual de la potencia del eje calculada fluctua entre un−4% y un −15%.

En las figuras 3.16 (a) y 3.16 (b) se ve la diferencia entre las eficiencias, como la potencia deleje se sobrestima la eficiencia tambien, llegando a valores por sobre un 12% de eficiencia.

Figura 3.15: Valores de potencia del eje respecto de la potencia electrica , calculados conlos parametros aportados por el fabricante y calculados con parametros ajustados para elmotor AXI 5345/14

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Figura 3.16: (a) Valores de eficiencia, calculados con los parametros aportados por elfabricante y calculados con parametros ajustados para el motor AXI 5345/14. (b) Diferen-cia entre eficiencia calculada con los parametros aportados por el fabricante y calculadacon parametros ajustados para el motor AXI 5345/14.

IncertidumbresMagnitud Sımbolo Valor mınimo [%] Valor Maximo [%]

Velocidad angular ω −22 −7Torque Q −20 15

Eficiencia ηm 2, 8 12, 5

Tabla 3.4: Incertidumbres mınimas y maximas de los valores calculados respecto de losvalores medidos para el motor AXI 5345/14.

3.4.4 Resumen de incertidumbres

De los calculos expuestos se resumen los valores maximos y mınimos de incertidumbre entre loscalculos realizados y los valores medidos para el motor AXI 5345/14 y se exponen en la tabla 3.4.

Capıtulo 4

Desempeno de la Helice y el motor

Para analizar el desempeno conjunto motor helice, se toma un motor y tres helices recomendadaspor la experiencia de un aeromodelista para un avion de entrenamiento - trainer - de 2 [kg].

4.1 Elementos de analisis

4.1.1 Motor

Las caracterısticas del motor Hacker A30-10XL obtenidas de la referencia [19], son mostradas enla tabla 4.1.

Hacker A30-10XLCaracterıstica Valor UnidadConfiguracion Outrunner [ ]

Polos 14 [ ]Peso 177 [g]Kv 900 [RPM/V]

Imax 42 [A]Inom 30 [A]R 0, 024 [Ω]I0 1, 9 [A]ωmax 13000 [RPM]

Baterıa LiPo 5 celdas

Tabla 4.1: Caracterısticas del motor Hacker A30-10XL

41

42

4.1.2 Helices

Las helices consideradas son la APC 11x7 Thin Electric, la APC 10x4,7 Slo flyer y la Master

Airscrew 10x6 G/F. Las caracterısticas de las helices son tomadas del trabajo de Burton [4]. En elestan tabulados los datos de la geometrıa y mediciones de coeficientes de empuje, potencia y efi-ciencia. Las vistas frontal y lateral de las tres helices, obtenidas de la referencia [4] son mostradasen las figuras 4.1, 4.2 y 4.3.

Figura 4.1: Vistas frontal y lateral de la helice APC 11x7 Thin Electric

Figura 4.2: Vistas frontal y lateral de la helice APC 10x4, 7 Slo Flyer

Figura 4.3: Vistas frontal y lateral de la helice Master Airscrew 10x6 G/F

43

Mediciones de la cuerda y del angulo de ataque medido respecto a la cuerda βc son mostradosen las figuras 4.4 (a) y (b).

Figura 4.4: Cuerda y angulo pitch versus coordenada radial para las palas de las helicesAPC 11x7 Thin Electric, APC 10x4, 7 Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F

4.2 Calculos

4.2.1 Motor

Tomando los parametros de la tabla 4.1 se calculan las regiones de operacion del motor, con loslımites de operacion continua, de operacion intermitente y la curva de voltaje maximo.

4.2.2 Helice

Para el caso de las helices se calcula el empuje y la potencia requerida a partir de las curvas de loscoeficientes de empuje CT y potencia CP, las cuales son obtenidas de la referencia [4].

Las curvas de los coeficientes son tabuladas para distintas razones de avance J, y para algunasvelocidades angulares ω fijas. Por simplicidad y a modo ilustrativo, se toma una de las curvas parauna velocidad angular fija.

Con las curvas de los coeficientes de empuje y potencia, ademas de las siguientes condiciones:

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• ρ = 1, 22 [kg/m3] Correspondiente al nivel del mar segun la atmosfera estandar.

• diametros de las helices

– APC 11x7 Thin Electric: 0, 2794 [m]

– APC 10x4,7 Slo Flyer: 0, 2540 [m]

– APC 10x6 G/F: 0, 2565 [m]

Y usando las ecuaciones 2.36 y 2.38 se calculan los puntos de operacion de la helice.

4.3 Resultados

4.3.1 Condicion estatica

Para la condicion estatica de las helices, es decir a velocidad de entrada v∞ igual a cero, se super-ponen las lıneas de voltaje maximo para un voltaje nominal de 2 celdas de LiPo, 7, 4 [V], y de 3celdas LiPo, 11, 1 [V]. Tambien se grafican las lıneas de corriente maxima y nominal. Todas decolor gris en la figura 4.5 (a).

Para las tres combinaciones motor-helices consideradas se mide: la corriente, el voltaje y lavelocidad angular en el punto de operacion al maximo voltaje efectivo entregado por el ESC .El maximo voltaje efectivo entregado por el ESC es el voltaje de la baterıa. Al entregar valoresefectivos menores el ESC varıa el voltaje variando el ancho de pulso de una onda PWM .

A partir de las corrientes medidas para cada helice en la condicion de voltaje maximo y lavelocidad angular en este punto de operacion, se tiene el par ordenado torque/velocidad angu-lar para cada una de las tres helices. Lo anterior se hace para los voltajes maximos de 7, 4 [V],correspondiente a una baterıa LiPo de dos celdas , y 11, 1 [V], correspondiente a tres celdas.

En la figura 4.5 (a) se ven en color gris las lıneas lımites de operacion continua e intermitente,siendo el lımite de operacion intermitente un torque de 0, 4244 [Nm] y el de operacion continua0, 2971 [Nm].

La lınea de voltaje maximo para 2 celdas esta ubicada a la izquierda de la lınea de voltaje de 3celdas. Ambas lıneas correspondientes al lımite de velocidad para cada helice tienen proximas a sılos puntos de operacion a voltaje maximo calculados a partir de mediciones.

Para el caso de la lınea lımite de 2 celdas los puntos de operacion pueden compararse con losdatos de empuje estatico de la referencia [4], los cuales solamente estan disponibles para veloci-dades angulares menores a 7000 [RPM].

Idealmente, los puntos de operacion medidos son la interseccion entre las lıneas de empujeestatico de la helice y la lınea de voltaje maximo del motor, sin embargo estas no coinciden exacta-mente, teniendo una diferencia de 700 [RPM] en el peor de los casos entre el punto de operacion yla lınea de voltaje maximo. Para el caso de la lınea de 3 celdas no se dispone de curvas de empuje

45

Figura 4.5: (a) Diagrama del motor Hacker A30-10XL calculado con parametros sumi-nistrados por el fabricante - y calculado con parametros determinados por mediciones- . Lıneas de torque, calculadas del trabajo de Burton [4] y (b) lıneas de empuje , paralas helices APC 11x7 Thin Electric, APC 10x4,7 Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F,y puntos de operacion a voltaje maximo para las tres helices a 7, 4 [V] (∗) y 11, 1 [V] ()

estatico para comparar. Sin embargo, al igual que en el caso anterior de 2 celdas, los valores soncercanos a la recta de voltaje maximo.

Para analizar la diferencia entre las mediciones y los valores calculados considerense las ecua-ciones 3.4, 3.5 y 3.14, a partir de ellas se puede calcular que la recta de voltaje maximo en funcionde la velocidad angular y de los parametros del motor es como en la ecuacion 4.1.

Q = −

[K2

m

R

]ω +

[Km

(I0 −

Vmax

R

)](4.1)

46

Tanto el error de la pendiente como el del coeficiente de posicion son influenciados por laconstante del motor Km y la resistencia del motor R. La resistencia del motor no considera laresistencia del ESC , por lo que esta debiera ser ligeramente mayor. Si la resistencia del motor esmayor, la pendiente debiera ser menor y el coeficiente de posicion debiera ser menor.

A partir de las ecuaciones 3.4 y 3.5 se pueden calcular los valores de la resistencia del motorR y de la constante del motor Km. Esto a partir de las mediciones de voltaje, corriente y velocidadangular del motor al operar con cada helice. Lo anterior se hace con la ecuacion 4.2

V = Kmω + RI (4.2)

Para cada punto de operacion del conjunto motor-helice, se tiene la terna Voltaje/Velocidadangular/Intensidad de corriente, (V, ω, I). Con estos tres valores y la ecuacion 4.2 se realiza unajuste por mınimos cuadrados para encontrar el valor de la constante Km y de la resistencia R. Elajuste por mınimos cuadrados se hace con seis valores, correspondiente a las tres helices operadasprimero con una baterıa de 2 celdas de LiPo y luego con una de 3 celdas de LiPo

Del ajuste realizado por mınimos cuadrados se tiene que la pendiente en unidades [RPM/V] esKv = 927 [RPM/V] teniendo un error de un 3%.

De igual manera se calcula la resistencia del motor Rcalculada = 0, 05 [Ω], la cual comparadacon la entregada por el fabricante 0, 024 [Ω] tiene un error de un 136%,

Las curvas corregidas con la resistencia y la constante de velocidad son graficadas en lıneacontinua negra en la misma figura 4.5 (a).

En la figura 4.5 (b) se grafican las curvas de empuje estatico correspondientes a las curvas detorque de la figura 4.5 (a). A partir del diagrama del motor, conocida la velocidad angular de lahelice, puede conocerse en el diagrama de empujes de la figura 4.5 (b) el empuje correspondiente.

4.3.2 Condicion dinamica

Mision

Para la condicion dinamica se supondra una mision de una etapa, de una aeronave que vuela a 50metros sobre el terreno y despega desde catapulta. La altura de vuelo determina la densidad delaire a la que opera la aeronave, en este caso se toma la atmosfera estandar y se asocia la altura2500 MSNM con una densidad de 0, 96697 [kg/m3], y los 2550 MSNM con una densidad de0, 952001 [kg/m3].

Los datos de empuje son calculados a partir de las condiciones de vuelo tomando las curvas dela referencia [4], las cuales son la eficiencia propulsiva de la helice ηp y los coeficientes de empujeCT y potencia CP versus la velocidad angular de la helice.

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AscensoEmpuje [N] Velocidad [km/h] Altura [MS NM]

8 20 2500Crucero

Empuje [N] Velocidad [km/h] Altura [MS NM]4 50 2550

Tabla 4.2: Mision para un UAV de pequenas dimensiones

4.3.3 Disponibilidad del sistema

Basado en la mision mostrada en la tabla 4.2, se elaboran tres diagramas para cada etapa de mision.

1. El diagrama de empuje/velocidad angular, donde se ve el empuje producido a cierta ve-locidad angular para cada una de las tres helices analizadas. Conocida la velocidad angularal empuje requerido se puede ir a los dos diagramas siguientes buscando la curva de la helicecorrespondiente.

2. El diagrama torque/velocidad angular, el cual incluye las curvas torque de la helice, paracada una de las tres helices analizadas. Ademas del diagrama de areas de operaciones delmotor, el cual incluye las lıneas lımite de operacion intermitente y continua, ademas laslıneas de operacion a voltaje maximo para dos y tres celdas. Para las lıneas de voltaje maximose grafican con la baterıa a nivel nominal, a 3, 7 [V] por celda, en lınea gris continua – ; ya nivel descargado correspondiente a 2, 9 [V] por celda en lınea gris discontinua - - .

3. El diagrama eficiencia del sistema/velocidad angular, el cual grafica la eficiencia total delsistema calculada como la multiplicacion de la eficiencia del motor y de la helice, como semuestra en la ecuacion 4.3.

ηS = ηmηp (4.3)

Condicion de Ascenso

En la figura 4.6 (a), se ubica el punto de operacion requerido para el ascenso para las tres helices, esdecir, un empuje T = 8 [N]. El empuje crece con la velocidad angular para las tres helices, variandoentre ellas el crecimiento. Puede observarse que para conseguir el mismo empuje la helice APC

11x7 Thin electric gira a una velocidad angular menor que las otras dos - 7191 [RPM] frente a8677 [RPM] y 8694 [RPM]-, debido a su mayor razon paso-diametro y a su mayor diametro. Ladiferencia entre las helices APC 10x4,7 Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F es bastante menor.En ello influye el hecho de que sean de un diametro muy cercano, ambas son de diametros 10[in]nominal.

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Figura 4.6: (a) Diagrama empuje/velocidad del sistema propulsor.(b) Diagrama del motorHacker A30-10XL, lıneas de voltaje maximo para 2 y tres celdas, para voltaje con cargade baterıa nominal – y para voltaje de baterıa descargada - y lıneas de torque de lashelices. (c) Eficiencia del sistema propulsor . Los tres graficos para las helices APC 11x7Thin Electric, APC 10x4,7 Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F y para la condicionascenso a v∞ = 20 [km/h] y 2550 MSNM .

En el diagrama torque/velocidad angular, figura 4.6 (b), se ve que el torque generado por las treshelices es cercano, variando entre el mınimo y el maximo un 4%. Todos los puntos de operacionestan a la derecha de la lınea de voltaje nominal de dos celdas, no pudiendose operar con 7, 4 [V]y haciendose necesario usar 3 celdas. En el caso de las tres celdas, notese que la diferencia develocidad angular ubica al punto de la helice APC 11x7 Thin electric en una zona alcanzable parala condicion de descarga con tres celdas, no ocurriendo lo mismo para las helices APC 10x4,7

Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F . Esto significa que en caso de descarga, si queda algun

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Eficiencias del sistemaHelice ω [RPM] ηp % ηm % ηS %

APC 11x7 Thin electric 7191 33, 6 89, 2 29, 9APC 10x4,7 Slo Flyer 8694 27, 8 89, 2 24, 8

Master Airscrew 10x6 G/F 8677 29, 0 88, 9 25, 7

Tabla 4.3: Eficiencias del sistema para las helices APC 11x7 Thin electric , APC 10x4,7Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F operando en condicion de ascenso

remanente de energıa en las baterıas, puede realizarse la maniobra de ascenso con la helice APC

11x7 Thin electric , pero no con las helices APC 10x4,7 Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F .Es importante decir que en los calculos no se considera la caıda de voltaje producto la resistenciainterna de las baterıas, lo que ocasiona que la lınea de voltaje maximo se mueva hacia la izquierda.

En el diagrama eficiencia del sistema / velocidad angular, figura 4.6 (c), se ve que las curvasde eficiencia del sistema para la combinacion motor y las tres helices, tienen un maximo. Lostres puntos de operacion estan ubicados a la derecha del maximo. En la tabla 4.3 se pueden verlas eficiencias del motor, la helice y del conjunto, para las tres combinaciones helice-motor. Laseficiencias del motor son cercanas al 90%, mientras que las eficiencias de la helice bordean el 30%.El elemento que influye mas en las eficiencias es la helice. Notese que la helice mas eficiente es lade mayor diametro.

Condicion de Crucero

En la figura 4.7 (a), se ubica el punto de operacion requerido en el crucero para las tres helices, unempuje T = 4 [N]. Al igual que en el ascenso, se observa que para conseguir el mismo empuje,la helice APC 11x7 Thin electric gira a una velocidad angular menor que las otras dos - 6877[RPM] frente a 8191 [RPM] de la APC 10x4,7 Slo Flyer y 8325 [RPM] de la Master Airscrew

10x6 G/F -. Esto se debe a que la APC 11x7 Thin electric tiene una mayor razon paso-diametro yun mayor diametro. La diferencia entre las helices APC 10x4,7 Slo Flyer y Master Airscrew 10x6

G/F es bastante menor pero es graficamente apreciable respecto de la condicion de ascenso. Lahelice Master Airscrew 10x6 G/F tiene una razon paso-diametro mayor que la APC 10x4,7 Slo

Flyer , - 0, 47 frente a 0, 6- lo que para helices de similares caracterısticas le darıa mas empuje auna velocidad menor. En este caso mas preponderante que la razon paso-diametro es la longitudde la cuerda. En la figura 4.4 se aprecia que la cuerda de APC 10x4,7 Slo Flyer es mayor a lo largode la pala que la cuerda de la helice Master Airscrew 10x6 G/F .

En el diagrama torque/velocidad angular, figura 4.7 (b), se repite la cercanıa entre los valoresde los torques de operacion y el requerimiento de operar con baterıas de 3 celdas, ya que el areacalculada con 2 celdas no incluye los puntos de operacion. Igual que en la condicion de ascenso, lahelice APC 11x7 Thin electric es incluida en el area de la baterıa descargada, pero las otras helicesno. Esto representa una ventaja pues si la mayorıa del tiempo de vuelo se hace en crucero es

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Figura 4.7: (a) Diagrama empuje/velocidad del sistema propulsor.(b) Diagrama del motorHacker A30-10XL, lıneas de voltaje maximo para 2 y tres celdas, para voltaje con cargade baterıa nominal – y para voltaje de baterıa descargada - y lıneas de torque de lashelices. (c) Eficiencia del sistema propulsor . Los tres graficos para las helices APC 11x7Thin Electric, APC 10x4,7 Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F y para la condicioncrucero a v∞ = 50 [km/h] y 2550 MSNM .

preferible que dicho punto de operacion pueda mantenerse por todo el vuelo. Si se trabaja muchotiempo, en algun momento los puntos de operacion de las helices Master Airscrew 10x6 G/F yMaster Airscrew 10x6 G/F no podran ser producidos con el motor, debido a la descarga de lasbaterıas. Esto tiene que ser contemplado para el diseno de una mision.

En el diagrama eficiencia del sistema/velocidad angular, figura 4.7 (c), a diferencia del casode ascenso, se ven curvas de una eficiencia mayor, y ahora los puntos estan a la izquierda delmaximo. La helice que hace el sistema mas eficiente es la APC 11x7 Thin electric con un 48, 6% deeficiencia, luego la Master Airscrew 10x6 G/F con un 43, 0% y luego la APC 10x4,7 Slo Flyer con

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Eficiencias del sistemaHelice ω [RPM] ηp % ηm % ηS %

APC 11x7 Thin electric 6877 56, 0 86, 8 48, 6APC 10x4,7 Slo Flyer 8191 47, 0 86, 9 40, 9

Master Airscrew 10x6 G/F 8325 49, 9 86, 0 43, 0

Tabla 4.4: Eficiencias del sistema para las helices APC 11x7 Thin electric , APC 10x4,7Slo Flyer y Master Airscrew 10x6 G/F operando en condicion de crucero

un 40, 9%. El orden de las helices mas eficientes es el mismo que en el caso del ascenso. En la tabla4.4 estan tabuladas las eficiencias para las combinaciones motor-helice. Notese que las eficienciasdel motor son hasta un 4% menores que en el caso del ascenso, mientras que las eficiencias de lashelice suben de casi un 15%. Lo anterior hace cambiar las eficiencias del sistema. Es importantenotar que la helice mas eficiente, igual que en el caso de crucero, es la de mayor diametro a pesarde que no esta funcionando a su maxima eficiencia.

Capıtulo 5

Conclusiones

Para un sistema propulsor basado en motor BLDC , se identificaron parametros de funcionamientode la helice y el motor.

Los parametros que caracterizan la helice y que influyen en la produccion de empuje son:diametro, paso, funcion de cuerda, numero de palas y perfil.

Las caracterısticas de funcionamiento que influyen en la produccion de empuje son la densidaddel aire, la velocidad de entrada de la helice y la velocidad angular.

El desempeno de la helice es conocido a traves de las curvas de coeficientes de empuje, potenciay su eficiencia. Dichos coeficientes son tabulados en funcion de la razon de avance. Las curvaspueden conocerse haciendo pruebas en un tunel de viento o haciendo calculos usando, por ejemplo,la teorıa de vortices de Goldstein.

La velocidad inducida es de gran influencia en los resultados del calculo de desempeno de lahelice. La velocidad inducida influye en el angulo de ataque de las secciones de la pala, lo quecambia el empuje.

La prediccion del desempeno de la helice mediante el uso de la teorıa de vortices de Golsteinesta limitada a la disponibilidad de los datos de la helice, especialmente a los coeficientes desustentacion y arrastre para los perfiles involucrados.

Para el caso estudidado, la teorıa de vortices de Goldstein aproximada con el factor de perdidaen punta de Prandtl ofrece una buena alternativa para estimar el punto de operacion de una helice.

El motor es caracterizado por el voltaje de operacion, la constante del motor, su resistencia ylas intensidades de corriente maxima, nominal y a cero carga.

La prediccion del desempeno del motor puede realizarse con las ecuaciones sin consideracionde la inductancia teniendo un error maximo de un 20 %.

El motor posee areas de funcionamiento continuo e intermitente, cuyos lımites pueden esti-marse por la corriente maxima y nominal.

El lımite de velocidad para las areas de operacion depende del voltaje maximo al cual seconecta el motor.

El voltaje de operacion proporcionado por una baterıa va disminuyendo con la descarga, lo que

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hace que el lımite maximo de velocidad disminuya, haciendo que el motor tenga una menor areade operacion. Esto provoca que ciertos puntos de operacion logrados con la baterıa cargada no seanalcanzables con la baterıa parcialmente descargada.

Con los parametros de caracterizacion del sistema es posible conocer si una combinacionhelice-motor es capaz de satisfacer un requerimiento de empuje, a cierta densidad del aire y ciertavelocidad de entrada de la helice. Para el caso particular se selecciono la combinacion motor heliceHacker A30-10XL con la helice APC 11x7 Thin electric , cuyas eficiencias en ascenso y cruceroson respectivamente: 29, 9 % y 48, 6 %.

5.1 Limitaciones

El desempeno de la helice se ve influenciado por cualquier cosa que cambie el angulo de ataque delflujo que ingresa a la pala, como geometrıas del avion cercanas a la helice. Como estas geometrıasno son incluidas en las mediciones o calculos de caracterizacion de la helice, el punto de operacioncalculado sera distinto al del sistema instalado en una aeronave con geometrıas cercanas.

La corriente del motor es conmutada y ademas, en caso de no ser el maximo voltaje efectivo, esmodulada por ancho de pulsos, es decir, la corriente que pasa por el motor es de naturaleza alterna.Debido a esto las bobinas tienen una inductancia que provoca una caıda de voltaje proporcional alcambio de corriente, la cual no es considerada en los calculos.

5.2 Proyecciones

El codigo realizado para caracterizar la helice puede ser mejorado refinando la determinacion delcoeficiente de sustentacion y arrastre de manera mas fiable, pues la robustez del programa dependede si los valores de los coeficientes existen o no.

Conocidas las caracterısticas del sistema propulsor es posible determinar si una combinacionhelice-motor cumple los requerimientos de empuje. En un trabajo futuro luego de ver que unacombinacion helice motor cumple con un requerimiento, se pueden probar varias combinacionesy ver cual de ellas satisface los requerimientos con un menor consumo de energıa.

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