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Coulombideunmtodoingeniosoparahallarcomodependedesucargala fuerza ejercida por o sobre un cuerpo cargado. Para eso se bas en la hiptesis dequesiunconductoresfricocargadoseponeencontactoconunsegundo conductoridntico,inicialmentedescargado,porrazonesdesimetralacarga delprimerosereparteporigualentreambos.Deestemododispusodeun mtodo para obtener cargas iguales a la mitad, la cuarta parte, etc., de cualquier cargadada.Losresultadosdesusexperimentosestndeacuerdoconla conclusin de que la fuerza entre dos cargas puntuales, q y q', es proporcional al productodestas.Laexpresincompletadelafuerzaentredoscargas puntuales. LaleydeCoulombesunaleyexperimentalquellevaelnombredelcoronel francs Augustin de Coulomb , que en 1785 formul que la fuerza que una carga puntualejercesobreotracargapuntual.porcargapuntualseentiendeuna cargalocalizadaenuncuerpocuyasdimensionessonmuchomenoresquelas dems dimensiones pertinentes. Por ejemplo, una serie de cargas elctricas en la cabeza de un alfiler son una carga puntual. Esta carga se mide en coulomb, y uncoulombesaproximadamente6x1018electrones,setrataas,deuna unidad de carga muy grande !=-1.6019x1019 C. 1 LEY DE COULOMB La ley de coulomb establece que la fuerza F entre dos cargas puntuales Q1 y Q2 es: 1.De direccin igual a la de la lnea que las une. 2.Directamente proporcional al producto Q1Q2de las cargas. 3.Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R entre ellas. Expresado matemticamente como: Dondekeslaconstantedeproporcionalidad.Enunidadesdelsistema internacional (SI), las cargas Q1 y Q2 estn en coulomb (C), la distancia d en metros(m)ylafuerzaFenNewtons(N),demaneraquek=1/4!"0. La constante"0 seconocecomopermitividaddelvaco(enfaradspormetro)y posee el valor: O Ejemplo: Determinar la fuerza que acta sobre las cargas elctricas q1=-1,25x109 C. YQ2=2x105 C.Queseencue3ntranenreposoyenelvacoaunadistanciade10 cm. Datos: q1=-1,25x109 Q2=2x105 C d=10 cm= 10x102m Solucin: Paracalcularlafuerzadeinteraccinentredoscargaselctricaspuntualesen reposo aplicamos la Ley de Coulomb: ! !!!!!!!!!!!!"! !!!!!!!!!!! !!!"!!!!!! Como las cargas tienen signos contrarios entonces la fuerza es de atraccin que tiene un modulo de !!!"!!!!!! . 5 CAMPO ELECTRICO Elcampoelctricoexistecuandoexisteunacargayrepresentaelvnculoentre stayotracargaalmomentodedeterminarlainteraccinentreambasylas fuerzasejercidas.Tienecarctervectorial(campovectorial)yserepresentapor medio de lneas de campo. Si la carga es positiva, el campo elctrico es radial y saliente a dicha carga. Si es negativa es radial y entrante. El campo elctrico es un campo fsico que es representado mediante un modelo quedescribelainteraccinentrecuerposysistemasconpropiedadesde naturalezaelctrica.Sedescribecomouncampovectorialenelcualunacarga elctrica puntual de valor sufre los efectos de una fuerza elctrica dada por la siguiente ecuacin: Campo elctrico producido por un conjuntodecargaspuntuales.Se muestraenelladoderechola sumavectorialdeloscamposde las cargas individuales; . Q INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO EselvalordelcocienteobtenidoaldividirfuerzaFejercidasobreuncuerpode prueba colocado en un punto, sobre la cantidad de carga del cuerpo de prueba. CARGA PUNTUAL: es la consideracin de concentracin de toda la carga elctrica deuncuerpoelectrizadoenunsolopuntodelpropiocuerpo.Estaconsideracin solosehaceparaefectodeestudioydeclculos,porqueenrealidadlacarga elctrica se distribuye uniformemente en toda la superficie exterior del cuerpo. Mediante la relacin de las ecuaciones de intensidad de campo elctrico y de la ley de Coulomb es posible determinar la magnitud de la intensidad de campo elctrico en cualquier punto cercano a una carga elctrica. Paraelloseconsideralaexistenciadeunacargaelctricapositivaquegeneraun campo elctrico, y para evaluar su intensidad se utiliza una carga de prueba positiva q, cuya magnitud es mucho menor que la carga q y por lo tanto se puede considerar despreciableascomotambinsepuedeconsiderarinsignificanteelpequeo campo elctrico generado por la carga elctrica de prueba. ! ! !"#!!!!! O simplemente! ! !! EnelcasodeNcargaspuntualesQ1,Q2,#QN localizadasenr1, r2,#,rN, la intensidaddecampoelctricoenelpuntorseobtienenlasecuacionesenesta forma, (donde r=d=distancia) ! !!!!! !!!!!!!! ! !!! !!!!!! !!!!!!!! ! !!! !!!!!!! !!!!!!!! ! !!! ! 9 ! !!!!!!!!!! !!!!! !!! !!!!! E Ejemplo: Calcularlaintensidaddeuncampoelctrico,sialcolocarunacargadeprueba igual a 48 C acta con una fuerza de 1,6 N. Datos: q= 48 C=48 x1!!! C F=1,6 N Solucin: ! ! !! !!!! !!"!!!!! ! ! !!!!!!!! !!! CAMPOS ELECTRICOS DEBIDOS A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA La carga elctrica no se presenta siempre como una carga puntual. En la mayora de ocasiones la carga (aunque de naturaleza discreta) se presenta como una distribucin continuadecargaalolargodeunalnea,enunasuperficieovolumen.Asnos referimosahilosyplanoscargadosoinclusosistemasmascomplejoscomonubes atmosfricas o distribuciones de carga en una molcula. En el caso de la distribucin continua de carga, el campo elctrico que se produce en unpuntocualquiera,sepuedecalculardividiendolacargaenelementosmuy pequeos,dq,hastapoderconsiderarlospuntualesyashacerusodelcalculo integral.Seacostumbradenotarladensidaddecargalinealocargadelnea,ladensidadde cargasuperficialyladensidaddecargavolumtricacon !"!" !! ! !! !" !!! ! !!!" !!! !respectivamente.Estossmbolosnodeben confundirseconelde!(sinsubndice),elcualdesignaladistanciaradialen coordenadas cilndricas. I El elemento de carga dQ y la carga total Q debidos a estas distribuciones de carga se obtienen, en referencia a la figura siguiente. La intensidad de campo elctrico debida a cada una de las distribuciones de carga !", !! y !! puede considerarse como la sumatoria del campo al que contribuyen las numerosas cargas puntuales que componen la distribucin de carga. Luego tenemos las cargas de acuerdo a su distribucin; ! !!! !"!!!!!!!! #. # (carga de lnea) ! !!!!"!!!!!!!!.. (carga superficial) ! !!! !"!!!!!!!! (carga volumtrica) Cabe indicar que !! y !! varan al evaluarse las integrales. A. CARGA DE LINEA Considrese una carga de lnea con densidad de carga uniforme !! que se extiende de A a B a lo largo del eje z, como se muestra en la figura siguiente. El elemento de carga dQ asociado con el elemento dl=dz de la lnea es: dQ=!! !"= !! !" LR Evaluacin del campo E debido a una carga de lnea. Y de ah que la carga total Q sea ! ! !!!"!"!" En el caso especial de una carga de lnea infinita el punto B esta en (0,0,!) y A en (0,0,-!),demaneraque!1=!/2,!2=-!/2;lacomponentextiendeaceroyla ecuacin se convierte en: ! !!!!!!!!!! Tngase en mente que la ecuacin anterior, se obtiene con relacin a una carga de lnea infinita a lo largo del eje z, de modo que ! y !! mantienen su significado usual. Si la lnea no sigue la direccin del eje z, ! es la distancia perpendicular de la lnea al punto de inters y !! un vector unitario a lo largo de esa distancia dirigido de la carga de lnea al punto del campo. LL B. CARGA SUPERFICIAL Considreseunalaminainfinitadecargaenelplano!"condensidaddecarga uniforme !!. La carga asociada con un rea elemental !" esdQ=!!!" y de ah que la carga total sea! !!!!" Evaluacin del campo E debido a una lamina infinita de carga. En general, respecto de una lmina infinita de carga: ! ! !!!!!!! Donde!!esunvectorunitarionormalalalmina.Enuncapacitordelacas paralelas,elcampoelctricoexistenteentrelasdosplacasconcargasigualy opuesta esta dado por: ! ! !!!!!!!!! !!!!!!!!! !!!! !! L" C. CARGA VOLUMTRICA Sea la distribucin de carga volumtrica con densidad de carga uniforme !! como se muestra en la siguiente figura. La carga dQ asociada con el volumen elemental !" es:dQ=!! !" Y de ah que la carga total en una esfera de radio ! sea: Q=!! !" ! !! !" =!! !!!!! elcampoelctricoelementaldEenP(0,0,z)debidoalacargavolumtrica elemental es: Evaluacindel campoEdebido aunadistribucin volumtricade carga. L- !" ! !! !"!!!!!!!! donde!! ! !"# ! !!! !"# ! !!.Acausadelasimetradeladistribucinde carga, las contribuciones a !! o !! resultan en cero. As, solo resta !!, dado por: !! ! ! ! !! ! !"!"# ! ! !! !!!!!"!"# !!! a causa de la simetra de la distribucin de carga, el campo elctrico en P(r, !, ") se obtiene fcilmente la siguiente ecuacin: ! !!!!!!!!!! Locualesidnticoalcampoelctricoenelmismopuntodebidoaunacarga puntual Q ubicada en el origen o en el centro de la distribucin esfrica de carga.Ejemplo: La lamina finita ! ! ! ! !! ! ! ! ! !en el plano !=0 tiene una densidad de carga !! ! !"!!!! !!! !"!!!!"!!!. Halle: -la carga total de la lamina. -el campo elctrico en (0,0,5). -la fuerza experimentada por una carga de -1 mC localizada en (0,0,5). Solucin: 1. ! !!!!" ! !" !!!! !!! !"!!!!" !" !"!!!! Puesto que ! !! ! ! ! !!!!!, ahora integramos con respecto de !! (o cambiamos variables: !!=u de manera que ! !" ! !"!!. ! !!!!!!!! !!! !"!!! ! !! !" !"!!!! L1 !!!! !!!!!!!! !!! !"!!! !!!" !!!!!!! !" ! !! !!! !" ! !!!!!!!! ! !!" ! !!!!! !" ! !! !!! !" ! !!!!" ! !!" !!"!! !! !!"!! !! !!!"!! ! ! ! !!!!" !" 2. ! !!!!"!!!!!!!! !!!!" !! ! !!!!!! ! ! ! donde r-r= (0,0,5)-(x,y,0)=(-x,-y,5). As, ! !!"!!!" !!!! !!! !"!!! !!!!! !!!! !!! !"!#!! ! !"!!!"! !!!! !!! !"!!!!!!! ! !! !! !"! !" !!! ! !"!! !" !!! !! !"! !" !! !!!! !!!!!!!! ! ! !!! !!!! !!! ! !!!!! !!!!! !!!!" !!! 3. ! ! !" ! !!!!!!!! !!!!" !" LO LEYES ELECTROMAGNETICAS DE SIMETRIA oLEY DE GAUSS-ECUACION DE MAXWELL La ley de Gauss es una de las leyes fundamentales del electromagnetismo. LaleydeGaussestablecequeelflujoelctricototal"atravsdecualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie. Por tanto, ! ! !!"#, esto es! ! !" ! ! ! !" ! !"#$" !"!#$ !"#!$$%&% ! !!! !" o! ! ! ! !" ! !! !"! si se aplica el teorema de la divergencia al termino intermedio de la ecuacin, ! ! !" ! ! ! ! !"! la comparacin de las dos integrales de volumen de las ecuaciones anteriores resulta en: .(/S4 '()*+%,*4 F' /H$ *$%&$ 3/H+/$( 'H /H$ J/3'%K,*,' *'%%$F$T L5 !! ! ! ! ! la cual es la primera de las cuatro ecuaciones de Maxwell por deducir. La ecuacin anteriorestablecequeladensidaddecargavolumtricaesigualaladivergencia deladensidaddeflujoelctrico.Estonoesdesorprendersiseconsiderala definicindedivergenciadeunvectoryelhechodeque!! enunpuntoes simplemente la carga por unidad de volumen en ese punto. Cabe sealar que la ley de gauss es una formulacin alterna de la ley de Coulomb; la adecuada aplicacin del teorema de la divergencia a la ley de Coulomb da como resultado la ley de Gauss. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS ElprocedimientoparaaplicarlaleydeGaussalcalculodelcampoelctrico suponesaberantessiexistesimetra.Unavezdetectadaunadistribucin simtricadecarga,seelaboraunasuperficiecerradamatemtica(llamada superficiegaussiana).Ddebesernormalotangencialalasuperficiegaussiana. En el primer caso, ! ! !" ! ! !", puesto que D es constante sobre la superficie; en el segundo, ! ! !" ! !. As, debe elegirse una superficie que reproduzca en cierto grado la simetra exhibida por la distribucin de carga.SUPERFICIE GAUSSIANA ALREDEDOR DE UNA CARGA PUNTUAL. Puesto que D es normal en todas partes a la superficie Gaussiana, esto es, D=Dr ar la aplicacin de la ley de Gauss ($=Qencerrada) da como resultado: ! ! ! ! !" ! !!!" ! !!!!!! LQ donde!" ! !!!!!!!"# !"!"# ! !!!!!!!!! es el rea de la superficie gaussiana. ! !!!!!!!! CARGA DE LINEA INFINITA Supongamos que la lnea infinita de carga uniforme !! C/m se ubica a lo largo de !.ParadeterminarDenunpuntoP,elegimosunasuperficiecilndricaque contengaaPparasatisfacerlacondicindesimetra,comosemuestraenla siguientefigura,Desconstanteen!normalalasuperficiegaussianacilndrica. Donde! ! !"evaluadaenlassuperficiessuperioreinferiordelcilindroescero, puesto que D carece de componente z; esto significa que D es tangencial a esas superficies. As; ! ! !!!!"!! LMINA INFINITA DE CARGAConsidreselalaminainfinitadecargauniforme!! C/!!situadasobreelplano z=0.ParadeterminarDenunpuntoP,elegimosunacajarectangular simtricamente cortada por la lamina de carga y con dos de sus caras paralelas a lalamina,comosemuestraenlafigura,puestoqueDesnormalalalamina, D=!!!!, y la aplicacin de la ley de Gauss da como resultado: A/3'%K,*,' &$/JJ,$H$ $(%'F'F4% F' /H$ *$%&$ F'(,H'$ ,HK,H,+$T LE !!!" ! ! ! ! ! !" ! !!!" ! !"!"#$%!&% !"#$%&'% Si las superficies superior e inferior de la caja poseen cada cual un rea A, la ecuacin anterior se convierte en: ! ! !!! ! !!!!!!! oLEY DE AMPERE LaleydeBiotySavartexpresalarelacinexistenteentrelaintensidadI,deuna corrienteelctricarectilneayestacionaria(devalorconstante)yelcampo magntico, B, que dicha corriente crea a una cierta distancia, r, de la misma: ! !! ! !! ! ! ! ! Ampere,inspirndoseenestaexpresin,estableciunarelacingeneralentre estasdosmagnitudes,seacualsealaformadelconductorporelquecirculala corriente de intensidad constante, I: ! ! !" ! ! ! !!! indicaquelacirculacindelvectorcampomagntico,B,alolargodeunalnea cerradaesigualalproductodelapermeabilidadmagntica,,porlaintensidad elctrica resultante creadora de dicho campo (suma algebraica de las intensidades de corriente que atraviesan la superficie limitada por esa lnea cerrada). Cabe sealar que James Clerk Maxwell la corrigi posteriormente y ahora es una delasecuacionesdeMaxwell,formandopartedelelectromagnetismodelafsica clsica. Una corriente elctrica produce un campo magntico, siguiendo la ley de Ampere. LI CORRIENTE RECTILINEA INDEFINIDA. Enlasiguientefiguraserepresentaunacorrienterectilneadeintensidad constante, I. Alrededor de ella se ha dibujado una circunferencia de radio, R, que es el camino cerrado elegido para hacer circular el vector B.

Circulacindelvectorcampomagntico:B,esconstantealolargodetodoel camino elegido: la circunferencia de longitud, ! ! ! ! ! ! !. ! ! !" ! ! ! !" ! ! ! ! ! ! ! ! yporlasumadeintensidades:lacorrienterectilneadeintensidad,I,atraviesala superficie circular delimitada por la circunferencia de radio, r. ! ! !!! ! ! ! ! por tanto, igualando las ecuaciones anteriores se obtiene: ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! !! ! !! ! ! ! ! SOLENOIDE Sisuponemosqueelsolenoideesmuylargocomparadoconelradiodesus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide. "R Enlafiguraanteriorserepresentauncortedeunpedazodelsolenoide.Los puntosrepresentanlascorrientesquesedirigenhacianosotrosylasaspaslas que se dirigen hacia el interior de la hoja, de modo que cada espira, recorrida por la corriente de intensidad, I, da una media vuelta saliendo por un punto y volviendo a entrar por el aspa correspondiente. ParaaplicarlaleydeAmperetomamosuncaminocerradoABCDquees atravesadoporvariasespiras.Comoelcampomagntico,B,esconstanteenel segmento BC y nulo en los otros cuatro segmentos, se obtiene: ! ! !" ! ! ! !!! ! ! ! !!" ! ! ! !!" ! !!! !! ! !!" ! ! !!" !!"!!!" es el numero de espiras por unidad de longitud considerada y, por tanto, coincideconN/L(siendoNelnumerodeespirasdetodoelsolenoideyLsu longitudtotal).Portanto,bajolascondicionesestablecidas,elcampo,B,en cualquier punto interior del solenoide es: ! !! ! ! ! !! TOROIDE Si curvamos un solenoide y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide. Laslneasdecampomagntico,queenelsolenoidesonsegmentosrectos,se transforman en circunferencias concntricas en el toroide. El campo magntico es tangente en cada punto a dichas circunferencias. "L Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, cuyo centro esta en elejedeltoroide,ysituadaensuplanomeridiano.Enestecaso,elcampo magntico B esta completamente confinado en el interior del toroide, es tangente a la circunferencia de radio, r, y tiene el mismo modulo en todos los puntos de dicha circunferencia. Por tanto, aplicando la ley de Ampere se obtiene: ! ! !" ! ! ! !!! ! ! ! !" ! !"# !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !" !! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! Ejemplo: Por un conductor cilndrico largo de radio R como el de la figura 9.14 a) circula una corrienteI. Lacorrienteestuniformementedistribuidasobreelreatransversal del conductor.Hallar el campo magntico en funcin de la distancia r desde el eje del conductor para puntosrR.

b)muestraunalneaamperianaparar