Casos de Factorización-8o-2011-IIIP-CSB

5/9/2018 Casos de Factorización-8o-2011-IIIP-CSB - slidepdf.com

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INSTITUCION EDUCATIVA COLEGIO SAN BARTOLOMESEDE JESUS OBRERO JORNADA MAÑANA

AREA DE MATEMATICASNombre del alumno: Juicio Valorativo:

PROFESOR: PERIODO: III de 2011Grado: 8º de Secundaria Asignatura: Matemáticas Fecha: Septiembre de 2011

CASOS DE FACTORIZACIÓN ( 9 Nueve)

1. CASO I Factor Común.

Descomponer en factores: )2()2(*22+=+=+ aaaaaa entonces a es el factor común.

Taller de factorización. Objetivo: Factorizar o descomponer en dos factores

1) =+aba2 2) =+

2bb 3) =++ x x x 53 23 4) =−233 aa 5) =−

434 x x

6) =+32 155 mm 7) =−bcab 8) =+ z x y x

22

9) =+22 62 ax xa 10)

mnm 128 2−

2. CASO II Factor común por agrupación.Descomponer en dos factores: )()()()( m xbabamba x +++=+++

Objetivo: descomponer en dos factores ó factorizar en dos factores.1) =+++ )1()1( xb xa 2) =+−+ )1(3)1( aa x 3)

=−+− nbabam )()(

4) =+−+ )1(1 22 aba 5) =−+− mnnm x )(4 6)=−−− )1(3)1(2 n yn x

7) =+++ bxaxaba2 8) =−+−

222222 33 by yabx xa 9) =+−− byaybxax 422

10) =+−− aaa 41423 11) =+−−

443223 mxnxnm 12) =−+− xa xa x 222

3. CASO III Trinomio cuadrado perfecto.Factorizar o descomponer en dos factores:

1) =+−22 2 baba 2) =++

22 2 baba 3) =++42 254016 x x

4) =+−269 x x 5) =++ 8118 48 aa 6) =−+ aa 14491

2

7) =++6321 aa 8) =+−

422 25309 abab 10) =++ y x y x224

14491

4. CASO IV Diferencia de cuadrados perfectos.Factorizar o descomponer en dos factores:

1) =−22 y x 2) =−12

a 3) =−4

3625 x

4) =−282cba 5) =−

1210 49ba 6) =−42 814 y x

7) =−1212542 y x 8) =−144

642 nma 9) =−22491 ba

Caso especial:Factorizar ))(()(*)()( 22 cbacbacbacbacba −+++=−+++=−+

Ejemplo: [ ][ ] ))(3()(2)(2)(422

y x y x y x x y x x y x x −+=+−++=+−

Taller para factorizar en dos factores:

1) =+−2)1(4 a 2) =+−+

22 )()( d cba 3) =−−22 )2(64 nmm



5. CASO V Trinomio cuadrado perfecto por adición ó sustracción.424 984 bbaa ++

224 ba+ 224 ba−

)232)(232()2()32(4912423222222224224

abbaabbaabbababbaa −+++=−+=−++

Caso especial: Facturar una suma de dos cuadrados

Ejercicio: 444ba +

4a 44b+

224 ba+ - 224 ba

4a 22422 444 babba −++ = ( ) )22(*)22()2(222222222

abbaabbaabba −+++=−+

Taller: Factorizar ó descomponer en dos factores.

1) =++ 124aa 2) =++

4224 nnmm 3) =++ 43 48 x x 4) =++ 9224

aa

5) =+−4224 3 bbaa 6) =+− 16 24

x x 7) =++4224 934 bbaa 8) =+− 25294 24

x x

9) =++8448 164 y y x x 10) =+−

4224 92516 nnmm 11) =++ 1281 48 mm 12) =+−84916 cc

6. CASO VI Trinomio de la forma: cbx x ++2

Factorizar: =++ 652 x x Dos números que sumados den 5 = 3+2 = 5

Dos números que multiplicados den 6 = 3*2 = 6

=++ 652 x x (x +2)*(x +3)

Taller para expresar en dos factores de la forma: cbx x ++2

1) =++ 1072 x x 2) =+− 652 x x 3) =−+ 1032 x x 4) =−+ 22 x x

5) =++ 342 aa 6) =−+ 1452

mm 7) =+− 2092 y y 8) =+− 892 x x

CASO ESPECIAL=−− 505

24 X X ( ) ( )10*1022+− X X

7. CASO VII Trinomio de la forma: cbxax ++2

Ejemplo: 67202

−+ x x Siempre debemos identificar el coeficiente de la potenciade mayor exponente ( 20)Igualmente debemos expresar 20 en factores primos segúnla factorización del polinomio original.

Entonces: 20 ( ) ( ) ( ) ( )20620720672022

−+=−+ x x x x = ( ) ( )820*1520 −+ x x

20 se debe expresar como: 5x4 articulado con 5 y 8

Ahora debemos dividir por los factores 5 x 4

( ) ( ) ( ) ( )20620720672022

−+=−+ x x x x =( ) ( )

( ) ( )25*34

45

820*1520−+=

−+ x x

x

x x

Taller para expresar polinomios de la forma : cbxax ++2 en dos factores.

1) =−+ 232 2 x x 2) =−− 253 2 x x 3) =++ 276 2 x x 4) =−+ 6135 2 x x

5) =−− x x 566 2 6) =−− 612 2 x x 7) =++ 9154 2aa 8) =++

210113 aa



8. CASO VIII Cubo perfecto de binomios.

Factorar una expresión que es el cubo de un BINOMIOEn los productos Notables se vio que:

a) ( ) 3223333 babbaaba +++=+

b) ( ) 3223333 babbaaba −+−=−

Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea

el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:

1) Tener cuatro términos.2) Que el primero y último términos sean cubos perfectos.3) Que el 2do término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer termino

multiplicado por la raíz cúbica del último término.4) Que el tercer término sea el triple de la raíz cúbica del primer término por el

cuadrado de la raíz cúbica del último.

HALLAR SI UNA EXPRESION DADA ES EL CUBO DE UN BINOMIO

Ejemplo 1:Hallar si 16128

23+++ x x x es el cubo de un binomio

Veamos si cumple las condiciones antes expuestas.

1) la expresión tiene cuatro términos (cumple la primera condición).2) La raíz cúbica de x x 28

3=

La raíz cúbica de 1 = 1 (cumple con la segunda condición)3) ( ) ( ) 22

121*23 x x = (cumple con la tercera condición)

4) ( ) ( ) x x 61*232= (cumple con la cuarta condición).

Cumple las condiciones y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es:

Respuesta: ( )323 1216128 +=+++ x x x x

Ejemplo 2:Hallar si 349626 3627548 y x y y x x −−+ es el cubo de un binomio.

Veamos si cumple las condiciones antes expuestas.1) La expresión tiene cuatro términos. (cumple con la primera condición)

2) La raíz cúbica de26

28 x x = 39 327 y y = (cumple con la segunda condición)

3) ( ) ( ) 34322363*2*3 y x y x = (cumple con la tercera condición).

4) ( ) ( ) 62232543*2*3 y x y x = (cumple con la cuarta condición)

Respuesta: ( )332349626 323627548 y x y x y y x x −=−−+

TALLER PARA FACTORAR UNA EXPRESIÓN QUE ES EL CUBO DE UN BINOMIO

1) 133 23 +++ aaa 2) 3292727 x x x −+− 3) 32 331 aaa −−+

4) 322333 nmnnmm +++ 5) 642

6128 aaa +++ 6) x x x 15751125 23+++

7) 32232754368 babbaa −+− 8) 3223 6414410827 nmnnmm +++ 9) 133 23

++− x x x

9. CASO IX Suma ó diferencia de cubos perfectos.



Sabemos que: (1) 2233

bababa

ba+−=

+

+y (2) 22

33

bababa

ba++=

−

−

Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del dividendo por el cociente,

tendremos:

REGLA (1) para: 2233

baba

ba

ba+−=

+

+

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La suma de sus raíces cúbicas: ( )ba +

2. El cuadrado de la primer raíz menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda

raíz ( )22baba +−

( ) 2233* babababa +−+=+ (1)

Ejemplo 1: Factorar 13+ x

La raíz cúbica de 3 x es x ; La raíz cúbica de 1 = 1

Según la Regla (1) ( ) ( ) ( )( 111*11

2223+−=+−+=+ x x x x x x

Ejemplo 2: Factorar 33 y x −

La raíz cúbica de x es x; La raíz cúbica de3

y es y

Según la Regla (1)

( ) ( )( ) 222233** y xy x y y x x y x y x +−=+−+=+

REGLA (2) para: 2233

bababa

ba++=

−

−

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:1. La diferencia de sus dos raíces.

2. El cuadrado de la primer raíz, mas el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segundaraíz.

( ) 2233* babababa ++−=− (2)

Ejemplo 1: Factorar 83−a

La raíz cúbica de 3a es a; La raíz cúbica de 8 es 2

Según la Regla (2)

( ) ( ) ( )( ) 4222*28 22

23 ++=++−=− aaaaaa

Ejemplo 2: Factorar 3327 ba −

La raíz cúbica de 327 a es a3 ; La raíz cúbica de 3b es b

Según la Regla (2)

( ) ( )( ) ( ) 222233393327 bababbaaba ++=++=−

TALLER PARA FACTORAR SUMA Ó DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS.

1) =−18 3 x 2) =−273

x 3) =−1253

a 4) =−33 278 y x 5) =+

33431 n

6) =+

338 y x 7) =−96 y x 8) =−

633 xba 9) =−32161 m 10) =−

927512 a

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