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Centro de masas de sistemas continuos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado2 Solucin

2.1 Barra recta

2.2 Barra semicircular

1 Enunciado

Calcula por integracin la posicin del centro de masas de estos dos sistemas

1. Unabarra homognea delgada de longitud hy masa M.

2. Unabarra homognea delgada en forma de semicrculo de radio ay masaM.

2 Solucin

Para un sistema discreto la posicin del centro de masas (CM) viene dada por laexpresin

donde mies la masa de cada partcula y su vector de posicin. Cuando

tratamos con un sistema continua, la expresin se transforma segn el cambio

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As, en un sistema continuo la posicin del centro de masas viene dada por laexpresin

siendo un vector que recorre cada uno de los puntos del sistema y dmla masa

infinitesimal asociada a cada uno de esos puntos.

2.1 Barra recta

Consideramos el caso de una barrahomognea delgada de masa My

longitud h. Lo primero que hay

que hacer es escoger un sistemade ejes para describir la posicinde cada punto de la barra.Elegimos el eje OXde modo que

coincida con la barra y situamos el origen en su extremo izquierdo. Con estaeleccin la posicin de un punto genrico de la barra viene dada por el vector deposicin

La variable xes la etiqueta que identifica a cada punto de la barra.

Ahora consideramos que en cada punto de la barra hay un pequeo trocito debarra de longitud dxy masa dm. La d delante de la xy la mslo significa que lalongitud del elemento y su masa son muy pequeas. Cuanto vale est masa?.

Como la barra es homognea, podemos definir una densidad lineal de masacomo el cociente de su masa por su longitud

Con esto, si el trocito de barra tiene una longitud dx, su masa es

Ahora podemos calcular las integrales en la expresin de . La integral en el

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denominador es la suma de las masas de todos los puntos que podemosconsiderar en la barra, esto es, su masa completa

La integral en el numerador es

El vector y la densidad de masa pueden salir de la integral pues no

dependen de x, es decir, son iguales no importa en que punto de la barraestemos.

Con esto el vector de posicin del CM de la barra respecto de su extremoizquierdo es

Es decir, para encontrar el CM nos situamos en el extremo izquierdo de la barray nos desplazamos hacia la derecha una longitud igual a la mitad de su longitud

El CM se sita en el centro de la barra. Esto es lgico, pues los ejes de simetrade la barra pasan todos por su centro, por lo que el CM debe situarse en l.

2.2 Barra semicircular

Consideramos ahora el caso en quela barra tiene forma de semicrculo.De nuevo, consideramos pequeos

elementos de lnea a lo largo de labarra. Escogemos el origen delsistema de coordenadas en elcentro del semicrculo, de modoque el eje OXpase por los dosextremos de la semicircunferencia.Con estos ejes, la posicin de unpunto de la barra queda definidapor un valor del ngulo

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Cada elemento de lnea tiene una longitud

Como la barra es homognea su densidad de masa es uniforme e igual a su masa

dividida por su longitud

Con esto, la masa de cada elemento de lnea es

Podemos calcular la posicin del centro de masas de la barra usando la

expresin del apartado anterior. El numerador es

Sustituyendo el valor de obtenemos

El vector de posicin del centro de masas es

Debido a la simetra, el CM est en el dimetro vertical de lasemicircunferencia. Como (2 / ) = 0.637, el CM est por debajo de la

semicircunferencia, como se indica en la figura

Obtenido de

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