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CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.Tema 8.- Las ondas periódicas. Generación de la corriente alterna.

DESARROLLO DEL TAMA:

1. Las funciones periódicas. Ondas sinusoidales.

2. Características de una onda.

3. La representación vectorial de una onda.

4. Ondas sinusoidales simultáneas con la misma frecuencia: su suma y producto.

5. Generación de una corriente alterna.

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1. Las funciones periódicas. Ondas sinusoidales.

Las funciones algebraicas relacionan una serie de variables, mediante una expresiónmatemática y = f(x) . Desde el punto de vista físico, una ecuación cinemática relaciona una funciónlineal con otra temporal y = f(t) . Esta relación también es matemática, como por ejemplo y = 2 . t

Una función es periódica, cuando el valor de la misma es idéntica siempre que el tiempotranscurrido sea de una misma cantidad que recibe el nombre de periodo. Se representa por T, y semide en segundos (s). La inversa del periodo es la frecuencia f , y se mide en Hertzios (Hz)

Y = f (t) = f ( t + T) = f (t + 2T) ....= f (t + k T) , siendo k∈ℕ Si Y , es una función periódica temporal, el movimiento es de tipo vibratorio. Si Y es una funciónperiódica en el espacio y en el tiempo, el movimiento es ondulatorio.

Cuando la magnitud Y posee siempre un valor positivo o negativo (tiene siempre el mismosentido) diremos que las ondas son pulsantes. Si por el contrario, la magnitud Y toma sentidosalternativos, diremos que la onda es alterna. Cuando el valor máximo de la magnitud es siempre elmismo en los dos sentidos, diremos que la onda alterna es pura.

Cuando la función periódica es de tipo seno o coseno, se dirá que las ondas alternas purasson sinusoidales.

La función periódica será :

a = am sen k t ;;; k = ω = 2

T = 2 π f , siendo f la frecuencia y T

el periodo; ω, es la pulsación.

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Ondas pulsantes

Ondas periódicasalternasNo puras


2. Características de una onda.

Una onda se caracteriza por:

a. El periodo , T . Es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa la onda. Se mide ensegundos(s).

b. La frecuencia, f . Representa el número de oscilaciones que describe una onda en unsegundo; se mide en hertzios (Hz) o en s-1. La frecuencia, f = 1/T .

c. La fase , φ . Se define como la parte del periodo que describe la onda desde la referencia.Hay puntos que se encuentran en fase o en oposición.

d. Valores de cresta, AC, son los valores máximos, en valor absoluto, que puede adquirir lamagnitud periódica a.

e. Valor medio Am representa el valor medio de la función en un periodo o semiperiodo.

Am = 1T

.∫0

T

f (t).dt

f. Valor eficaz de la magnitud. Se representa como Ae y es igual a :

Ae = √(1T

)∫0

T

f (t)2 dt

g. El factor de forma de la curva que será igual :

FF = AeAm

En el caso de que la onda sea senoidal :

AC = Amplitud, A y la función será y = A sen ω tEl valor medio, AM será :

El valor eficaz para una función senoidal será :Para resolver laintegral serecurre a lassiguientes

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Am=(1

T /2)∫

0

T /2

f (t)dt=(1

T /2)∫

0

T /2

A sin (ω . t)dt=(2. AT

)∫0

T /2

sin(ω . t)dt=(2 Aω . t

)[−cosω t ]0(T /2)=

2 AT ω

[(−cos2 .πT

.T2

)−(−cos 2 . πT

.0)]=2AT ω

.[−cosπ+cos 0 ]=2 AT ω

. 2=2Aπ =0,6366 A

Ac=√ 1T∫0

T

f (t )2dt→Ac2=

1T

.∫0

T

f (t )2dt=1T∫0

T

A2 . sin2ω t dt


expresiones :Operando convenientementese obtiene:

sin2ω t=1−cos 2ω t

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Por lo tanto :

AC2 =

A2

2∫0

T

1−cos 2ω t dt=A2

T.(

T2

+sin ω t

ω −sin 0ω )=

A2

2

AC=A

√ 2=0,7871 A

El factor de forma FF será igual :

FF = AeAm

= 0,70710,6366

= 1,11

Problema 1.- Una función sinusoidal es de la siguiente forma : y = 30 sen 200 t . Con estos datos, determinar las características de la onda.

Resolución.- y = A sen ω ta. Pulsación, ω = 200 (rad/s)

b Periodo , T ;; ω = 2

T ;; T = 0,031 s

c, Frecuencia, f = 1 / T = 31,83 Hz.

d. AC = A = 30 unidades

e. A M = 2 A

= 19,09

f Ae = A

2= 21,21

g. FF = AeAm

= 21,2119,09

= 1,111

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sin2ω t+cos2

ω t=1 ; ;cos2ω t−sin 2

ω t=cos 2 ω t


3. La representación vectorial de una onda.

Una onda se puede considerar como una función periódica en el espacio y en el tiemposimultáneamente. Para representarla desde el punto de vista vectorial, se puede considerar que laonda es un vector con el origen constante y que va girando con una velocidad angular ω; estamagnitud recibe el nombre de pulsación de la onda y la traza es en sentido contrario a las agujas delreloj . La trayectoria que describe el extremo del vector es una circunferencia, cuyo radio será laamplitud de la onda. Los espacios recorridos por la onda se representan ,mediante las proyeccionesdel vector giratorio sobre el eje de ordenadas Y.

ω

φ x Y = A sen ω t

y

Existen tres aspectos que hay que tener en cuenta a la hora de representar una onda sinusoidal :

1, Caso . La onda a t = 0 , el vector se encuentra en el eje de abscisas y en sentido positivo. No hay desfase:

2, Caso . La onda a tiempo t = 0 , ha descrito un cierto ángulo, desfase, φ, positivo.

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φY

Y = am sen ω t


3º Caso La onda a tiempo t = 0 ha descrito una desfase negativa

Según estas características, se puede generalizar la ecuación de la onda como :

y = am sen ( ω t - φ )

Teniendo en cuenta que si elsentido para llevar al vector sobre elsentido positivo del eje abscisas es el mismoque las agujas del reloj, entonces el desfase φ< 0 ; si al llevar el vector sobre el sentidopositivo del eje de abscisas es contrario a lasagujas del reloj, el desfase φ > 0

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Y = am sen (ω t + φ)

Y = am sen (ω t - φ)


Problema 2.- El valor eficaz de una onda senoidal es Ae = 250 y su frecuencia es de 100Hz. Si la onda comienza 1 ms. después de comenzar el tiempo, hallar su fase inicial.

Datos .- Ae = 250 ;; A = Ae / 0,7071 = 353,55 ;; f = 100 Hz ;; ω = 2 . π f = 628,31 rad/s

Resolución .- y = A sen ( ω t - φ ) 0 = 353,55 sen (628,31 . 10-3 - φ )

0,6283 - φ = 0 ;; φ = 0,6283 = 36º

Estará retrasada 36º

4. Ondas sinusoidales simultáneas con la misma frecuencia: susuma y producto.

Dos ondas sinusoidales, de la misma frecuencia y diferente amplitud, se pueden asociarentre si, de tal forma que pueden ocurrir dos situaciones:

a . Que las dos ondas estén en fase, por lo tanto :

y1 = A1 sen ω t

y2 = A2 sen ω t

b Que las dos ondas se encuentrendesfasadas:

y1 = A1 sen ω t

En el caso a y2 = A2 sen (ω t + φ )

En el caso b y2 = A2 sen (ω t -φ )

Al sumar dos ondas sinusoidales sin desfase se

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obtendrá : y1 = A1 sen ω t

y2 = A2 sen ω t y = y1 + y2 = ( A1 + A2 ) . sen ω t

En este caso se observa que la onda resultante es también senoidal, está en fase con las otrasdos su amplitud es la suma de las amplitudes.

Cuando se suman dos ondas con diferentes amplitudes y desfasadas, con la misma pulsaciónse obtiene :

y1 = A1 sen ω t

y2 = A2 sen( ω t – φ )

y = y1 + y2 = A1 sen ω t + A2 sen( ω t – φ )

La onda resultante es también senoidal y el desfase resultante es menor que el primitivo

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como se aprecia en la siguiente representación :

Según esta representación fasorial , el valor de la amplitud resultante y del desfase φS será :

am2=A1

2+A2

2∗2 A1 A2 cosϕ ; ; tan ϕs=

ABOB

=AB

OC+CB=

A2 sin ϕ

A1+A2cosϕProblema 3.- Los valores eficaces de dos ondas senoidales son respectivamente A1 = 100 y

A2 = 200 . Si la segunda onda está retrasada respecto la primera 60º, determinar el valor eficazde la resultante y su desfase.

Resolución.- Aplicando la fórmula anterior:

A1 = Ae1 / 0,7071 = 141,42 ;; A2 = Ae2 / 0,7071 = 282,84

AS = √A12+A2

2+2 A1 A2 cosφ = 383,43

tg φ =A2 sen60

A1+A2cos60=

228,62307,66

= 0,853 ; φ = 44,96 º

Cuando se multiplican dos ondas con diferente amplitud, igual pulsación y desfase, seobtiene lo siguiente :

y1 = A1 sen ω t

y2 = A2 sen ω t y = y1 . y2 = A1 sen ω t . A2 sen ω t =

= A1 . A2 sen2 ω t = A1 A2 1−cos 2 . t

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La onda se convierte en una pulsación de amplitud el producto de las amplitudessiendo su frecuencia el doble de las dos ondas

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Si las dos ondas se encuentran desfasadas:y1 = A1 sen ω t

y2 = A2 sen( ω t – φ ) y = y1 . y2 = A1 sen ω t . A2 sen( ω t – φ )

Fórmulas trigonométricas:

sin 2ω t=2sin ω t cosω t ; ;sin2ω t=1−cos 2ω t

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Problema 4.- Dos ondas de 50 Hz y con amplitudes de 40 y 60 unidades, actúansimultáneamente y en la misma dirección y sentido. Calcular el valor de la onda resultante alcabo de 12 ms, si :

a. Están en fase.b. Se encuentran desfasadas 30º.

Resolución.- Se aplica las ecuaciones respectivas:

a. En fase y = A1 A2 1−cos 2 . t

2= 40 . 60 .

1−cos 2.2 . f .t2

= 829,17 unidades

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y= y1 . y 2=A1 . A2 sinω t (sinω t cosϕ−cosω t sin ϕ)=A1 A2(sin 2ω t cosϕ−sin ω t cosω t sin ϕ)

y=A1 A2

cosϕ−cos 2ω t cosϕ−sin ϕ sin2ω t2

=A1 A 2

cosϕ−cos(2ω t−ϕ)

2=

A1 A2

2(cosϕ−cos (2ω t−ϕ))


b con desfase y = A1 A2.cos−cos 2 . t−

2

= 40 . 60 cos0,52−cos 22500,012−0,52

2= 152,50 unidades

5. Generación de una corriente alterna.

El giro de una espira, a velocidad angular constante, en el seno de una campo magnético, detal forma que el eje de giro sea axial a la dirección del campo, induce una corriente eléctrica. Estacorriente eléctrica será alterna si los terminales de la espira se conectan cada uno a un colector conuna única delga:

Se originará corriente alterna (AC) entendiendo por ésta, aquella que cambia de sentidoperiódicamente. Va a transmitir por los conductores una onda de energía cuya frecuencia, en el usodoméstico, es de f = 50 Hz.

Para determinar el valor de la fuerza electromotriz inducida, se recurre a la ley de Faredayde inducción electromagnética :

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Colector y delga


ξ = - d

d t = -

d B .S . cosd t

= - d B .S . cos . t

d t = B . S ω sen ω t

La fuerza electromotriz máxima se conseguirá cuando φ = 90 ;;

ξM = B . S . ω ξ = ξM . sen ω t

Es una señal sinusoidal, de función seno. Por lo tanto, en AC, la fuerza electromotriz nopermanece constante en el tiempo y las otras magnitudes relacionadas, como son la tensión o laintensidad, siguen también funciones sinusoidales.

Cuando el inducido de la espira, está formado por una bobina con N espiras , la fórmula será

ξ = ξM . N . sen ω t

El generador de corriente alterna posee el siguiente símbolo:

Problema 5.- Una tensión alterna cuyo valor eficaz es de 220 V , posee una frecuencia de50 Hz . Determinar los valores máximo y medio de dicha tensión así como su valor a los 4 ms dehaber comenzado a propagarse la onda.

Resolución.- Ve = Vmax

2 ;; VM = 311.12 V

Vm = 2Vmax

= 198,06 V

V = Vmax sen ω t = v M . sen 2 . π . f . t = 295,89 V

Problema 6.- Dos ondas sinusoidales simultáneas se intensidad, poseen la mismafrecuencia de 50 Hz y el mismo valor eficaz de 8 A . Si una de ellas está adelantada respecto a laotra 2 ms. de ciclo , calcular las expresiones de las ondas de ambas:

Resolución.- φ = 2 . π . ( 0,002 . 50 ) = 0,628 radianes.

I1 = 11,31 sen 100 π t ;;; I2 = 11,31 . sen (100 π . t + 0,618 )

Problema 7 .- Dos ondas sinusoidales instantáneas , una de 220 V de tensión y la otra de

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8 A de intensidad ( en valores eficaces) tienen una frecuencia de 50 Hz y están en fase. Hallarel valor de la onda producto cuando ha transcurrido 8 ms del comienzo del ciclo.

Resolución .-

Aplicamos la fórmula : P=V . I=220.80 . 2.1−cos2ω . t

2=220 . 8 .(1−(−0,81))=3185W

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