CIRCUITOS MAGNÉTICOS ALIMENTADOS CON

VOLTAJE ALTERNO SENOIDAL

Se tiene el siguiente reactor de núcleo ferromagnético:

¿Cuál es la forma de onda de la f.e.m inducida e(t); del flujo Ф(t) confinado en el

núcleo, y de la corriente de excitación io(t)?

Por Faraday: e(t) = N. dΦ/dt …………………. (1)

Si despreciamos las resistencias de las bobinas y el ɸd , entonces del circuito de la

bobina se cumple:

v(t) = e (t)……………………. (2)

Por lo tanto, la f.e.m inducida tiene una forma de onda del tipo alterno senoidal.

Así mismo, de (2) y (1) se concluye que el flujo magnético ɸ(t) confinado en el

núcleo, resulta ser una onda alterna senoidal.

Por lo tanto, si para cualquier instante, este flujo es: ɸ(t) = ɸmax . sen wt

La fuerza electromotriz (f.e.m) que se induce en la bobina es: ɸ(t) = ɸmax . sen wt

e ( t )= N .ddt [φmax .Sen2π ft ]→e ( t )= N .φmax .2πf .Cos2π ft→e ( t )= 2π fN .φmax . Sen(ϖt+ 90)

Por lo tanto, el valor eficaz de la f.e.m. inducida en la bobina es:

Pero: ɸ(t) = B(t).A

Entonces: ɸmax = A . Bmax

Por lo tanto: E = 4,44 f.N.A.Bmax (Expresión de diseño)

Pero: v(t) = e(t) V = E (Valores eficaces)

Luego, en la práctica se considera: V = 4,44 f.N.A.Bmax

Comportamiento gráfico de e(t) y Φ(t) :

Representación fasorial de e(t) y Φ(t) :

E=E

max

√2E= 4.44 f . N .φmax

PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN LOS NÚCLEOS FERROMAGNÉTICOS

Todo flujo alterno contenido o confinado dentro de un material ferromagnético,

ocasiona calentamiento del núcleo, el mismo que se disipa en forma de calor.

Dicho calentamiento se debe a dos fenómenos físicos que produce el flujo alterno

dentro del material:

1. Hace que el material intrínsecamente desarrolle su ciclo de histéresis, el cual se

repite a la frecuencia del flujo o voltaje de alimentación, ocasionando las

denominadas PÉRDIDAS DE HISTÉRESIS (PH).

2. Hace que dentro del material ferromagnético se genere o induzca corriente

eléctrica, las cuales son denominadas corrientes parásitas o de torbellino o

corrientes de Foucault, que por efecto Joule ocasiona las denominadas

PÉRDIDAS POR FOUCAULT (PF).

PÉRDIDAS DE HISTÉRESIS (PH)

Son producidas por el movimiento y fricción molecular intrínseco que se produce

dentro del material ferromagnético, como consecuencia de la repetición del ciclo de

histéresis a la frecuencia del voltaje de alimentación.

Sea el siguiente flujo senoidal dentro del núcleo ferromagnético:

Luego, por cada período “T” del flujo imantador, el material ferromagnético

intrínsecamente desarrolla un ciclo de histéresis; esto hace que el ciclo de histéresis se

repite a la frecuencia del voltaje de alimentación, que finalmente se traduce en

calentamiento.

Expresión Matemática (teórica) de la PH. El físico Steinmetz, empíricamente

determinó que las pérdidas por histéresis son directamente proporcionales al área

encerrada por el ciclo, y encontró la siguiente expresión matemática (teórica) para

determinar dichas pérdidas:

PH = Vol . f . ʃ H dB = Vol . f . ƞ.(Bmax)n

Donde:

ƞ = coeficiente de Steinmetz , que depende del tipo de material.

Vol= volumen neto de fierro.

f=frecuencia del voltaje de alimentación

n = exponente de Steinmetz, que depende del tipo de material (para hierro dulce n=1,6)

Bmax= Valor máximo de la densidad de flujo (depende del voltaje de alimentación)

Para un núcleo construido se puede considerar:

ƞ.Vol = KH = constante de histéresis

Por lo tanto: PH = KH . f .(Bmax)n watts

Nota: En la práctica las perdidas por histéresis solamente podrán ser reducidas

utilizando buenos materiales ferromagnéticos, es decir materiales ferromagnéticos

blandos como el acero silicio que presenta ciclos de histéresis de área reducida.

PÉRDIDAS POR CORRIENTES PARÁSITAS O PÉRDIDAS POR FOUCAULT

(PF)

Experimentalmente se demuestra que todo material conductor que es atravesado por

un flujo magnético alterno, se calienta, disipando energía en forma de calor. Esto

demuestra que el flujo alterno dentro del material genera o induce corrientes

eléctricas, a las cuales se le denominan corrientes parásitas o corrientes de Foucault,

las cuales por efecto joule calentarán al material.

Las corrientes parásitas cumplen con la ley de Lenz-Faraday.

Las corrientes parásitas o de Foucault producen en los núcleos ferromagnéticos

las denominadas pérdidas por FOUCAULT (PF).

Las corrientes parásitas y las pérdidas que produce dependen de la frecuencia del

flujo imantador que es la misma que del voltaje de alimentación.

Las corrientes parásitas producen dentro del material el fenómeno de apantallamiento

que hacen que el flujo y campo magnético se aleje del centro del área del núcleo para

concentrarse en el área lateral de la sección transversal.

Para reducir las corrientes parásitas y por ende las pérdidas por Foucault en los

núcleos ferromagnéticos de las máquinas eléctricas, lo que se hace en la práctica es

aumentar la resistencia eléctrica del núcleo, mediante 2 procedimientos:

1. Construyendo núcleos con láminas debidamente aisladas con espesores

específicos de 0.35 mm. ; 0.5mm. etc.

2. Aleándolo al material ferromagnético con silicio en hasta 4% o 5%, con lo

cual se logra no solo aumentar la resistividad del material ferromagnético

sino también se logra mejorar la permeabilidad magnética.

* A frecuencias considerables las corrientes tienden a formarse en los extremos del

conductor ( efecto Skin)

* La expresión teórica que permite evaluar las pérdidas por Foucault considera una

distribución de un campo magnético uniforme dentro de las láminas del núcleo , lo que

no es cierto.

* La fem e = - dΦ/dt hace que por el núcleo circule una corriente i generando una fmm

en un sentido tal que se oponga a la variación del flujo. El efecto de estas corrientes es

apantallar o blindar el material del flujo , dando como resultado una inducción

magnética menor en la región central , que en la superficie. El flujo total tiende a

concentrarse en la superficie . Este fenómeno se llama efecto cortical o efecto pelicular .

EXPRESIÓN MATEMÁTICA (TEÓRICA) DE LAS PÉRDIDAS POR

FOUCAULT (PF)

Despreciando el efecto de apantallamiento ( efecto cortical ) , la expresión matemática

(teórica) que se deduce para determinar las pérdidas por Foucault es:

Donde:

Vol = volumen neto del núcleo

t = espesor de la lámina ferromagnética

f = frecuencia del voltaje de alimentación

Bmax = valor pico de la senoide B(t)

PF=

Vol .π2.t

2. f

2. B

max2

6ρ

ρ = resistividad del material ferromagnético

Para un núcleo construido: KF = Constante de Foucault =

Luego, reemplazando la constante de Foucault se tiene: PF = KF . f2 . (Bmax)

2 watts

PÉRDIDAS TOTALES O PÉRDIDAS EN EL FIERRO (Pfe)

Watts o: Watts

DETERMINACIÓN PRÁCTICA DE LAS Pfe

En la práctica industrial las PFe se determinan utilizando curvas de pérdidas del material

ferromagnético , proporcionadas por el fabricante:

Por lo tanto, las pérdidas totales en el fierro en watts serán: Pfe = pfe . Gfe

Donde: Gfe = peso neto de fierro, que se determina teniendo en cuenta la densidad δ

del material (dato).

Gfe ( Kg ) = δ.Vol(m3)

Vol = volumen neto de fierro

En el diseño: Ir = Pfe / V =( pesp.Gfe) / V

En la curva B vs s ; donde “s” está dado en va / Kg: Im = S/V = (s. Gfe) / V

K F=Vol .π

2. t

2

6ρ

P fe= PH + PF P fe= K H . f . Bmaxn

+ K F . f2. Bmax

2

MEDIDA DE LAS PÉRDIDAS EN EL FIERRO

Se implemente el siguiente circuito de medición:

El vatímetro lee toda la potencia activa que absorbe el reactor; es decir:

W = (Io)2

R + PFe ; despreciando (Io)2

R → W = PFe

NOTA. Si no se tuviese vatímetro, entonces se puede determinar las pérdidas en el

fierro utilizando un voltímetro, un amperímetro y un cosfímetro: PFe = V. I0. cosƟ

Ѳ = ángulo de desfasaje entre I0 y V

POTENCIAS EN EL REACTOR

S = V. I0

PFe = V. I0. cosƟ

Q= V.I0.senθ

S = Pfe + jQ

Q >>Pfe

CORRIENTE DE EXCITACIÓN QUE ABSORBE UN REACTOR (io(t) )

ALIMENTADO CON VOLTAJE ALTERNO SENOIDAL

Φ(t) = Φmáx senwt

Forma de la onda de la io(t):

Despreciando la resistencia de la bobina y el flujo de dispersión Φd « Φ( t ) ; por la

ley de Ampere, se tiene:

N. i0(t) = H(t). lm = Φ( t ) . Rm = Φ( t ) . lm / (μ.Am)

i0(t) = Φ( t ) . lm / (μ.Am.N)

Como la µ del material no permanece constante debido al ciclo de histéresis, entonces la

forma de onda de i0(t) deja de ser senoidal , y presenta el siguiente comportamiento

gráfico:

La no linealidad del material ferromagnético hace que la onda io no sea senoidal.

La io(t) resulta ser una onda periódica “ simétrica rotacional” , por lo que su

expresión matemática queda definida por la serie de Fourier con armónicos de orden

impar:

io(t) = Imax1 sen wt + Imax3 sen 3wt + Imax5 sen 5wt + ………………+ Imaxk sen kwt +…

… + I’max1 cos wt + I’max3 cos 3wt + I’max5 cos 5wt + ………………+ I’maxk cos kwt +…

io(t) = √2 [Iefi1. sen wt + Iefi3. sen 3wt + Iefi5. sen 5wt + ………………+ Iefik. sen kwt +…

… + I’efi1.cos wt + I’efi3.cos 3wt + I’efi5.cos 5wt + ………………+ I’efik .cos kwt +…]

Se tiene que : V(t) = √2.Veficaz.coswt

Pfe = (1/T) ∫ v(t). io(t) dt = (1/T ) ∫√2.Veficaz.coswt. io(t) dt

Pfe = ( 2.Veficaz/ T) [ Iefi1 ∫ sen wt.cos wt dwt + Iefi3 ∫ sen 3wt.cos wt dwt +….

………..+ I’efi1∫cos2 wtdwt + I’efi3∫ cos 3wt.coswtdwt + ……

Pfe = ( 2.Veficaz/T) I’efi1∫cos2 wtdwt

∫cos2 wtdwt integrado de 0 al T nos dá T/2

Luego: Pfe = ( 2.Veficaz/T) I’efi1.(T/2) → Pfe = Veficaz . I’efi1

Esta última expresión nos dice que sólo la componente de i0(t) que tiene la misma

frecuencia y fase que V(t) = √2.Veficaz.coswt está relacionada con la potencia activa

que consume el reactor .

De la expresión de i0(t) desarrollada en serie de Fourier se deduce que :

ir(t) = √2 . I’efi1.coswt = corriente de pérdidas en el fierro

im(t) = corriente de magnetización

im(t) = √2[Iefi1. sen wt + Iefi3. sen 3wt + Iefi5. sen 5wt + ………………+ Iefik. sen kwt

+ I’efi3. cos 3wt + I’efi5. cos 5wt + ………………+ I’efik .cos kwt +…]

Se cumple: i0(t) = ir(t) + im(t)

INTERPRETACIÓN PRÁCTICA DE I0

Si por fines prácticos se desprecian las armónicas de orden superior de im(t) :

Fasorialmente: I0 = [(Ir)2 + (Im)2 ]1/2

Ir es mucho menor que Im

En la práctica se ha encontrado que : Ir = 15% I0 , por lo que en algunos diseños se

considera que I0 = Im

Si no se desprecian las armónicas de orden superior de im(t): Im = [1/T∫ (im(t))2dt ]1/2

:

Im = [(Iefi1)2 + (Iefi3)

2 + (Iefi5)2+…..+ (I’efi3)2 + (I’efi5)

2]1/2

MODELO CIRCUITAL DEL REACTOR DE NÚCLEO FERROMAGNÉTICO

Y = g-jb mhos g = conductancia de pérdidas = 1 / R b= susceptancia de magnetización = 1 / Xm = 1 / 2πfL

DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DELMODELO CIRCUITAL DEL REACTOR

Amperímetro mide I0 Voltímetro mide el voltaje nominal de alimentación El vatímetro mide las pérdidas en el fierro

g = Pfe / V2 Y = I0 / V bm = ( Y2- g2 )1/2 = 1 / Xm = 1 / 2πfL