Clase 03 - Inecuaciones y Desigualdades PDF

OBJETIVO:! El objetivo principal de esta clase es afianzar conceptos de inecuaciones y conseguir las soluciones para los mismos. De igual forma conocer a profundidad las propiedades de las desigualdades.

Clase 03 - Desigualdades e Inecuaciones (27/10/2012)

1

Recursos*) Propiedades bsicas de las inecuaciones:

Si y entonces (transitividad):

! Esto dice, de manera prctica: si Mara es mayor que Juan, y Juan a su vez es mayor que Ana, entonces Mara es mayor que Ana.

Si y entonces

! Esto es: dada una desigualdad, no altera nada sumarle cualquier nmero real c.

Si y entonces

! Si tenemos una desigualdad, y la multiplicamos por un nmero positivo, la desigualdad se conserva.

Si y entonces

! Si tenemos una desigualdad, y la multiplicamos por un nmero negativo, la desigualdad cambiar de sentido.

Si entonces

! Esto significa que elevar cualquier nmero (positivo o negativo) al cuadrado, resultar ser un nmero positivo.

(Cierto desde que tenemos uso de razn xD)

*) Definicin y propiedades de la funcin absoluto:

! El valor absoluto de cualquier nmero, da como resultado un nmero positivo.


2

Propiedades:

! El valor absoluto de un producto, es el producto de los valores absolutos.

! El valor absoluto de un cociente, es el cociente de valores absolutos.

(Interseccin)

(Unin)

(Desigualdad triangular)

Si


3

Problema 01) Para cualquier valor real de , y , cul de las siguientes desigualdades es cierta si y ?

a)

b) c) d) e) Ninguna de las anteriores.

Solucin:

! Propongo que la opcin c) es la cierta. De modo que demostraremos que las dems son falsas.

OPCIN A ES FALSA:

! Si suponemos que , y multiplicamos por que es un nmero positivo, no se altera el sentido de la desigualdad:

! Luego, multipliquemos por , y tenemos de nuevo la seguridad de que no cambia el sentido de la inecuacin:

! Mientras que la opcin a) propona todo lo contrario: . Por lo tanto la opcin a) es falsa.


4

Problema 01) Continuacin

OPCIN B ES FALSA:

! Si , entonces tambin . Por otra parte, como , y si la

multiplicamos por , se cambia el sentido de la desigualdad porque es negativo:

! As la opcin b) es falsa porque propone lo contrario a lo que demostramos.

OPCIN D ES FALSA:

! Es muy parecida a la parte anterior. Si , entonces multiplicando la desigualdad , vemos que cambia de sentido, y obtenemos:

OPCIN E ES FALSA:

! Porque la opcin c) es la correcta. La demostracin es la misma que se dio para demostrar que d) es falsa.

! As, por descartes, la opcin correcta es la opcin c).

! Resumen: lo importante de este problema era ejercitar la nocin de que si tienes ! ! una desigualdad, y la multiplicas por un nmero positivo se mantiene el sentido, pero si la multiplicamos por un nmero negativo, la direccin de la desigualdad cambia.

! El ejercicio se poda resolver de manera directa. Pero lo importante es ver por qu cada una de las opciones a), b) y d) eran falsas.


5

Problema 02) Si se puede afirmar que :

a) Puede tomar cualquier valor real.b) Es siempre mayor que cero.c) Es menor que y mayor que .d) es mayor que cero.e) Ninguna de las anteriores.

Solucin:

! En este caso debemos usar las propiedades que involucren al valor absoluto:

*

! Aqu nos conviene usar la segunda propiedad (*). ! Entonces, si nos dicen que , inmediatamente debemos pensar que se cumple alguna de las desigualdades:

I) II)

! La primera desigualdad dice que ser cuando mucho muy cercano a , y la segunda dice que ser por lo menos . Es decir, nunca estar entre y . Grficamente vemos que:

!! Por lo que la opcin a) es falsa.


6

Problema 02) Continuacin!

! La opcin b) es falsa porque la desigualdad I) permite que x sea un nmero negativo.

! La opcin c) dice todo lo contrario a las desigualdades I) y II).

! Veamos la factibilidad de la opcin d): Si partimos de la desigualdad II) , restando a ambos lados , vemos que:

! Cosa que es cierta. Entonces la opcin e) es falsa por ser d) la correcta.

! Resumen: este problema, al igual que el anterior, busca reforzar las propiedades ! ! bsicas de las desigualdades, y ahora con valor absoluto.


7

Problema 03) Cul de las siguientes desigualdades podemos afirmar si es un nmero entero tal que ?

a) b) c) d) e)

! Solucin:

! Si es un nmero entero, que satisface , podemos ver cul o cules valores puede tomar :

! En este caso el nico valor entero que satisface es . Por lo tanto, debemos sustituir en todas las opciones y ver si son ciertas o falsas.

! Sustituyendo en la opcin a) nos conduce a:

! Lo cual es falso. Porque ningn nmero es mayor o menor que s mismo. Por lo que desechamos la opcin a).


8


! Sustituyendo en b) vemos que:

! Lo cual es falso, porque 1 es positivo.

! Sustituyendo en c)

! Sucede lo mismo que con la opcin a)

! Probando con d)

! Igual que en a) y en c).

! Finalmente, esperamos que esta la opcin e) sea la correcta:

! Y es cierto, porque significa: mayor o igual. En este caso ocurre la igualdad. Por lo tanto, la opcin e) es la correcta.

! Resumen: Lo que se hizo fue resolver la desigualdad , cuya UNICA

! ! solucin es el nmero entero . Lo restante es sustituir en cada opcin para ir descartando. Pero el mayor truco de aqu es darse cuenta de que un nmero nunca es mayor o menor que l mismo, sino igual.


9

Problema 04) Si sabemos que , y , cul de las siguientes opciones podemos

asegurar?

a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores.

Solucin:

! Este problema se resuelve por construccin: a la desigualdad le vamos sumando, restando, multiplicando o dividiendo cosas para que se parezca cada vez ms a M y a N. Cuando tengamos a M y N acotados, podremos compararlos entre s.

ACOTANDO A M

! Sabemos que . All vemos que a debemos sumarle 2 y luego invertirlo:

! Partimos de la hiptesis: . Sumemos 2 a todos los miembros de la desigualdad:

! Luego invirtiendo la triple desigualdad quedamos:

! As M est entre los valores un tercio y un medio.

ACOTANDO A N

! Haciendo el mismo proceso, vemos que:


10


! Juntando las desigualdades que acotan a M y a N vemos que:

! As , y por lo tanto la respuesta correcta es la opcin a).

! Otra forma de ver la relacin entre M y N es viendo los intervalos:

! Recuento: Como tenamos una forma para M y N y sabamos entre qu valores esta x, podemos sumar, restar, multiplicar o dividir por cosas que nos permiten acotar los valores de M y N. Cuando sabemos entre qu par de valores estn cada uno, podemos comparar por transitividad una relacin entre M y N.


11

Problema 05) Cul es el conjunto solucin de

?

Solucin:

! Este es un problema propio de desigualdades, porque involucra operaciones algebraicas para acotar el valor de la variable . Primero restamos 1 a ambos lados de la desigualdad:

! Luego, para eliminar el 5 que aparece en el denominador izquierdo, multiplicamos la desigualdad por 5 teniendo en cuenta de que el sentido de la inecuacin no cambia:

! Luego, agrupamos la variable del lado derecho (restando x en ambos miembros de la desigualdad) obteniendo:

! Para quitar el 4 que multiplica del lado derecho, basta con multiplicar por 1/4 y no cambia el sentido de la desigualdad:

! Grficamente la solucin viene dada por todos los nmeros reales que estn a la derecha de 1/2 y el 1/2 mismo, gracias al signo de menor o igual:


12

Problema 05) Continuacin! Para escribir la solucin en forma de intervalo, nos podemos ayudar del grfico:

[1/2, + )! Usamos un corchete del lado izquierdo para indicar que 1/2 es parte de la solucin.

! Resumen: Para resolver este problema acudimos a las propiedades bsicas de las

desigualdades. Esto nos gener una solucin del tipo: . Grficamente son o la parte izquierda o derecha de la recta real.

! Otro dato importante, es que si en la desigualdad aparece , la solucin final debe llevar algunos corchetes para indicar que los conjuntos solucin contienen los

elementos extremos. Por otra parte si aparece la solucin solo lleva parntesis.


13

Problema 06) Si y , con y , entonces:

a) b) c) d) e)

! Solucin:

! Por una parte, como y , entonces .

! Por otra parte sabemos que . Dividiendo esta desigualdad por obtenemos que no cambia la desigualdad:

! Luego, para despejar la p, debemos multiplicar por , que cambia la desigualdad de sentido:

! De modo que la opcin correcta es la opcin a)

! Resumen: Para este problema utilizamos la propiedad transitiva de las inecuaciones, usamos tambin que cualquier nmero al cuadrado siempre es positivo. El multiplicar una desigualdad por un nmero negativo invierte el sentido de la inecuacin.


14

Problema 07) Si un nmero real cumple la propiedad entonces, Entre qu valores debe estar el

nmero ?

Solucin:

! Este es un problema parecido a lo que debimos hacer en el Problema 04 (pgina

10). Debemos acotar la cantidad partiendo de .

! Debemos sumar 3 en todos los miembros de la inecuacin, quedndonos:

! Luego debemos invertir las tres cantidades:

! Lo que nos falta es multiplicar todo por 2, no afectando el sentido de la desigualdad:

! De modo que est acotado por los nmeros 2/3 y 1.


15

Problema 08) Encuentre el conjunto solucin de la

inecuacin .

Solucin:

! Para resolver este tipo de desigualdades racionales, debemos hallar las races del numerador, y las del denominador. (Ver ejercicio resuelto 6 del Tomo II - Matemticas, pgina 52)

HALLANDO LAS RAICES DEL NUMERADOR

! Recordando de la clases de polinomios, vemos que hallar las races es equivalente a factorizar el polinomio. Como tiene slo dos trminos, y un signo menos de por medio, sospechamos que se trata de la suma por la diferencia, as:

! As, las races son {-1, +1}

HALLANDO LAS RAICES DEL DENOMINADOR

! Este polinomio proviene tambin de la suma por la diferencia:

! Por lo tanto las races del denominador son {-2, 2}

! Pues bien, la siguiente idea importante es que: las races del numerador y del denominador dividen la recta real en intervalos. Estos intervalos sern los candidatos para la solucin general. Para ello, dibujemos las races obtenidas antes en la recta real:


16


! Nuestro siguiente paso es tomar un nmero de cada intervalo, sustituirlo en

y ver que en efecto sea positivo, pues queremos resolver .

!

! Sustituimos en la expresin . Si al final resulta un nmero positivo se dice que todo el intervalo es parte de la solucin.

!! As es parte de la solucin. Podemos ir guardando esta informacin en el grfico:


17


! Haciendo la sustitucin vemos que:

! Colocando signo negativo en el intervalo , vemos que la situacin es:

! Sustituyendo nos queda:


18


! Volviendo al grfico resumen se actualiza como:

!! Haciendo la sustitucin, y dndonos cuenta de que la funcin da el mismo resultado para un valor de x positivo que para el negativo:

! Volviendo al grfico resumen tenemos:


19


! Nos queda probar con el ltimo intervalo:

!! Sustituyendo x = 3 en la funcin racional vemos que:

!! Y por fin, el grfico resumen ser:

!! Con este grfico decidiremos la solucin a la inecuacin. Queramos saber cundo

. Tomemos todos los intervalos donde la funcin result ser positiva:


20


! Pero esta solucin est incompleta. Los intervalos abiertos slo consideraron

dnde . Slo resta ver dnde . Pero eso no es problema, porque las races del numerador hacen que la expresin completa sea cero. Por lo tanto, a la solucin anterior basta agregarle las races del numerador, resultando finalmente en:

! Resumen: En vez de agarrar todos los nmeros reales para probar dnde era positivo, teniendo que evaluar muchas veces la funcin consideramos las races del numerador y del denominador. Estas races puestas en la recta real nos crean conjuntos candidatos. Entonces, slo basta tomar un nmero dentro de cada intervalo, sustituirlo en la funcin y ver qu signo tiene.


21

P r o b l e m a 0 9 ) Q u v a l o r e s d e s a t i s f a c e n simultneamente ambas desigualdades?

I)II)

! Solucin:

! Como dicen qu valores de x satisfacen simultneamente las desigualdades? debemos resolverlas por separado, y luego interceptar las dos soluciones.

! Debemos usar la propiedad del valor absoluto que dice:

! En s los problemas con valor absoluto, crean a su vez dos sub problemas:

! Restando 2 a ambos lados de la desigualdad vemos que:


22

I II


! Restando 2 a ambos lados de la desigualdad vemos que:

! Luego de resolver los dos sub problemas, debemos unir las soluciones:

! Entendemos como unin de dos conjuntos, todos los elementos que estn coloreados en la recta real. En este caso es toda la recta.

! As la solucin para I) es:

! Lo siguiente es resolver la inecuacin II)


23


! Como antes, las desigualdades con valor absoluto crean dos sub-problemas, por la propiedad: .

! Con restar 1 en toda la desigualdad vemos que la solucin es:

! Nuevamente sumando -1 vemos que:


24

I II


! En este caso, como la propiedad del valor absoluto tena un Y de por medio: debemos hacer la interseccin de estos dos

conjuntos:

! La interseccin es la zona donde estn los dos colores simultneamente. As la solucin de II) es:

! Y as

!

! El problema inicialmente peda los nmeros x tales que satisficieran las desigualdades I) y II). Por lo tanto debemos interceptar las soluciones de I) y II):

! As la solucin general es:


25


! En resumen: (por fin! xD)

! Las desigualdades I) y II) son del tipo:

! Vimos que el valor absoluto en una desigualdad genera dos subproblemas.

! En el caso de se resuelven los

subroblemas: y , y luego las soluciones las UNIMOS (por que que est entre los subproblemas).

! En el caso de resolvemos los dos subproblemas y debemos INTERCEPTAR, porque aparece un y en la propiedad.


26

Problema 10) Cul es el conjunto solucin de la

desigualdad ?

! Solucin:! Como vimos en el ejercicio anterior, los problemas con valor absoluto generan dos subproblemas a su vez. As, los subproblemas asociados a este son:

! Para resolver este tipo de desigualdades (con una funcin racional) debemos llevarlo a alguna de estas dos formas: (funcin positiva o negativa)

! En este caso llegaremos a la primera. Empecemos por restar 2 a ambos lados:

! Luego que hemos llegado a la forma , debemos considerar las races del numerador y del denominador:


27


! Luego debemos graficar en la recta real las races obtenidas:

! Las races generan en la recta real varios conjuntos. Estos conjuntos son candidatos para la solucin general. Debemos tomar un nmero en cada intervalo, evaluar la funcin y determinar qu signo tiene. Los intervalos son: (-inf, 2), (2,7) y (7,+inf).

! Para evaluar simplemente sustituimos 0 en las x de la funcin :

! Como el resultado dio negativo, anotamos un signo menos en el grfico resumen como sigue:


28


! Luego debemos tomar un nmero del siguiente intervalo: (2,7) evaluar en la funcin y ver nuevamente qu signo tiene la funcin:

!! Anotamos que la funcin ser positiva en el intervalo (2,7):


29


! Luego debemos tomar otro nmero en el siguiente intervalo, evaluar la funcin y tomar nota del signo:

!

! Tomando nota en nuestro grfico resumen vemos que:


30


! Finalmente, (lleg la hora del veredicto), debemos escoger los conjuntos solucin a la inecuacin original. Esto lo hacemos teniendo en cuenta la inecuacin:

! Y esta desigualdad nos est preguntando: En qu conjunto de nmeros reales la

funcin es positiva?

! Nosotros diramos que solamente en el intervalo:

(2, 7)

! Pero tambin debemos decir dnde ocurre la igualdad (por el signo de mayor o igual). En este caso debemos aadir slo las races del numerador: el nmero 7. Por lo tanto cerramos el intervalo en el lado derecho:

(2, 7]

! Ahora debemos resolver el segundo subproblema.


31


! Siguiendo e l conjunto de pasos: l levar la expres in a la forma , luego considerando las races del numerador y denominador en

la recta real se generan intervalos candidatos. En seguida tomamos un nmero dentro de

cada intervalo candidato y evaluamos la funcin , tomamos nota del signo de la funcin y al final decidimos cul es la solucin al subproblema, obtendremos que:

[1/3 , 2 )! (Sugerencia: hagan la cuenta y verifiquen que este es el resultado).

! Recapitulando: Tenamos un problema con valor absoluto, lo cual generaba dos subproblemas (que ya resolvimos):

! Lo que nos resta es unir las soluciones, porque la propiedad del valor absoluto dice . Grficamente tendemos que:

Y en notacin intervalo sera:

[1/3 , 2) U (2 , 7]


32

Problema 11) Cul es el conjunto solucin de la desigualdad ?

! Solucin:! El 2 del denominador pasar multiplicando al lado derecho sin afectar el sentido de la desigualdad:

! Luego, multiplicando para extraer las x de los parntesis conseguimos:

! Colocando todos los trminos que tienen x del lado derecho, y agrupando trminos semejantes:

! Luego, el 8 que multiplica a la x pasar dividiendo al otro miembro de la desigualdad SIN alterar el sentido, pues es positivo:

! Grficamente la solucin sera todos los nmeros reales menores que nueve octavos:

! Y por ende, la solucin en notacin intervalo viene dada por


33

Problema 12) Cul es el conjunto solucin de la desigualdad ?Solucin:

! En vista de que tenemos fracciones, veamos, si es posible, simplificarlas para trabajar con polinomios ms sencillos:

! Esto gracias al producto notable la suma por la diferencia. En el siguiente caso, debemos hallar dos nmeros que multiplicados den -6 y que sumados den +1:

! As, que la expresin original cambia a:

! Siendo una desigualdad mucho ms sencilla de abordar. Eliminando los signos de agrupacin, y colocando las de un solo lado de la desigualdad vemos que:

! Esto es cualquier nmero real menor (estrictamente) que -4. De modo que la solucin, en la notacin intervalo viene dada por:


34

Problema 13) En la fraccin con se necesita determinar los valores que puede tomar para los cuales el numerador es mayor que el denominador.Solucin:

! Con slo proponer la desigualdad numerador > denominador obtendremos un conjunto solucin. Y este conjunto solucin debe ser intersectado con el conjunto resultando los valores de esperado.

! Resolvamos la desigualdad numerador > denominador:

! Dejemos todos los trminos que contienen del lado derecho, quedando:

! Grficamente sera:

! Ahora debemos intersectar esta solucin (numerador mayor que denominador) con el intervalo . Debemos tener en cuenta que 4 / 5 = 0,80:

! As, los que satisfacen todas las condiciones del problema estn en el intervalo:


35

Problema 14) Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones:

Solucin:

! Como es un sistema de inecuaciones, debemos resolver cada inecuacin por separado y al final intersectar ambas soluciones.

! Aqu debemos aplicar la propiedad

!! Con nuestra desigualdad (recuadro verde), obtendramos que:

! Sumando 2 a ambas desigualdades para despejar la x vemos que:

! Esto es entonces el intervalo abierto:

!! Veamos la segunda desigualdad del sistema:

! Para resolver esta inecuacin haremos como en el Problema 10: estudiaremos los intervalos formados por los puntos de separacin x = -3 y x = 0.


36


! Grficamente los intervalos a estudiar son:

! Los valores que se tomarn de cada intervalo son:

! Y evaluando cada uno de estos valores dentro de la desigualdad, veremos el signo que tiene la funcin :

! Recordando que , y tomando en cuenta los resultados anteriores podemos ver que la solucin es:


37


! Como al principio se nos plantea un sistema de desigualdades, debemos intersectar las soluciones de cada una, para poder decir en qu zonas de la recta real se cumplen las dos simultneamente.

! Grficamente las soluciones son:

! Y finalmente concluimos que la solucin al sistema de inecuaciones

es el intervalo abierto:

! Las propiedades que se utilizaron para resolver el problema fueron:

*) Propiedad del valor absoluto y las desigualdades:

*) Identificar cundo un intervalo es abierto y cundo es cerrado.

*) Entender qu es unin e interseccin de intervalos.


38

Problema 15) Calcular los valores de para los cuales la siguiente desigualdad es positiva:

Solucin:

! La desigualdad la encontraremos agregndole al lado derecho de la expresin >0. Lo interesante aqu es ampliar el producto notable y sumar los trminos semejantes para ver si se simplifica un poco la expresin:

! Sustituyendo este resultado en la desigualdad y eliminando los signos de agrupacin vemos que:

! Agrupando los trminos semejantes que contienen la variable del lado derecho, y dejando del izquierdo los nmeros vemos que:

! Y dividiendo entre 20 a ambos lados no se altera el sentido de la desigualdad y as la solucin de la inecuacin es:

! En resumen, los recursos utilizados para resolver este problema fueron:

*) Producto notable: Diferencia al cuadrado:(Clase 02 - Polinomios II)

*) Propiedades bsicas de las inecuaciones:

Si y entonces

! Esto es: dada una desigualdad, no altera nada sumarle cualquier nmero real c.


39

Si y entonces

! Si tenemos una desigualdad, y la multiplicamos por un nmero positivo, la desigualdad se conserva.


40

Clase 03 - Inecuaciones y Desigualdades PDF

Documents

Transcript of Clase 03 - Inecuaciones y Desigualdades PDF