TALLER DE ALGEBRA

CLASE Nº4

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS ESPECIALES

Grado de expresiones algebraicasCaracterísticas de toda expresión algebraica de acuerdo al valor que tendrán los exponentes que afectan a las variables o parte lietral de la expresión algebraica.Los grados se clasifican en:

a) Grado relativo de una variable: es el exponente de la variable que se desea de una expresión algebraica.

b) Grado absoluto de una expresión: cuando interesan los exponentes de todas las variables de la expresión algebraica.

Regla para hallar grados1. Para monomios: Su grado relativo es el exponente de dicha variable y su grado absoluto es la

suma de los exponentes de las variables del monomio.Ejemplo: Dado el monomio M = -64 x3 y2, hallar el G.R.(x), G,R.(y) y G.A.(M) G.R.(x) = 3 G.R.(y) = 2 G.A.(M) = 5

2. Para polinomios: ES el mayor exponente de la variable pedida si se trata de un grado relativo y es el término de mayor grado si es grado absoluto.Ejemplo: Dado el polinomio M = 7x5 y2−2x8 y6+8 x3 y9, hallar G.R.(x), G.R.(y) e G. A.(M).

G.R.(x) = 8 G.R.(y) = 9 G.A.(M) = 14 3. Para productos: El grado absoluto o relativo, según sea el caso de cada factor se suman.

Ejemplo: Dado el producto de polinomios: M(x,y) = (3 x7−2 y2+8x2 y ¿(x y7+8x2), hallar G.R.(x), G.R.(y) e G. A.(M). G.R.(x) = 7+2 = 9 G.R.(y) = 2+7 = 9 G.A.(M) = 7+8 = 15

4. Para una fracción: Tanto para el grado relativo como absoluto al grado respectivo del numerador se le resta el grado respectivo del denominador.

Ejemplo: Dado la fracción de polinomios M(x,y) = 3x7 y4−5x8 y2+6 x5 y3

xy (x2+ y3).

Hallar G.R.(x), G.R.(y) e G. A.(M).

G.R.(x) = 8-(1+2) = 5 G.R.(y) = 4-(1+3) = 0 G.A.(M) = 11- (3+2) = 65. Para una potencia: Al grado respectivo de la base se le multiplica por el exponente. Ejemplo: M = [ x2 y3+x3 y4 ]6, hallar G.R.(x), G.R.(y) e G. A.(M).

G.R.(x) = 3.6 = 18 G.R.(y) = 4.6=24 G.A.(M) = 7.6 = 42

Polinomios Especiales: Son algunos polinomios de uso frecuente en la resolución de

problemas.

1) Polinomios Homogéneos: Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.

Ejemplo: P(x,y,z) = x3 y2−x5+x2 y z2 Vemos que todos los términos tienen: G.A = 5

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2) Polinomios Ordenados: Un polinomio será ordenado con respectoa una de sus variables, si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo según sea el orden ascendente o descendente a partir del primer término.

Ascendente: 3x4 y4 - x8 y10+ x5 y24 Esta ordenado ascendentemente con respecto a “y”.

Descendente: 5x2 y5 + 3 x4 y3+ 3 x7 y2 Esta ordenado ascendentemente con respecto a “x” y

y descendentemente con respecto a la variable “y”.

3) Polinomio idénticamente Nulo: Se da cuando todos los coeficientes del polinomio son iguales a 0.

Sea: Ax5 + Bx4 + Cx3 + D x2 + Ex + F Entonces: A= B = C= D = E = F = 0

4) Polinomios Completos: Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos los exponentes (potencias sucesivas) de dicha variable desde el el mayor hasta el cero inclusive.

Ejemplo: 6x5 + 9x4 +2x3 + 4 x2 + 7x +6 Ejemplo: 5x6 y3+ x7 – xy + x2 y2- 8

Completo respecto a “x” Completo respecto a “y”

Observación: Un polinomio completo no tiene por que ser ordenado y viceversa. Nota: En todo Polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado del polinomio aumentado en uno. Nº términos = Grado + 1

5) Polinomios Identicos: Dos polinomios son idénticos si dados:

Ax3 + Bx2 + Cx = Dx3 + Ex2 + Fx Entonces: A = D ; B = E y C = F

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE1. Hallar el valor de “n” para que el grado de: [2xn+2 y ]3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 82. Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10.

A = (4 xa+2 y)2

3. Sea el monomio: M(x,y,z) = 5 x2n−4 y3n+1 z5n−8. Hallar su grado absoluto sabiendo que G.R.(z)= 12A) 28 B) 29 C) 30 D) 27 E) 26

4. Calcular el coeficiente de:

M(x,y) = (a2+b2¿ x5a−3b y3+2b. Sabiendo que: G.A(M)=16 y G.R.(y) =7A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 4

5. Dado el monomio: M(x,y) =(a+b)x2a−2 y3b. Hallar “a.b”, si se sabe que: el coeficiente de (M) = G.R(x) y G.A.(M) = 27A) 38 B) 39 C) 31 D) 35 E) 32

6. Determinar el valor de “m” de modo que el monomio:

E = √ xm−2 .3√x2m

3√xm ; sea de tercer grado

A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) N.A7. Si la expresión: M = 3√ x2m 4√ xm ; es de grado 12. Hallar “m”.

A) 1 B) 3 C) 4 D) 12 E) 16

8. Calcular “a” y “b” para que el polinomio sea completo.

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P(x) = (2+a)xa+b-3 x2 + 5 +2 xa

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9. Se sabe que el grado absoluto del polinomio “F” es 11. Hallar el valor de ”n”. Si F(x,y) = x3n−1 yn−x2n−2 y2n+xn−3 y3n

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 910. En el siguiente polinomio: P(x,y) =7 xa+3 yb−2+5 xa+2 yb−3. Hallar “a+b” sabiendo que G.A.(P)

=12A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

11. Hallar “ m” si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10.

P(x) = 7 +5xm+6 - 3xm+7

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 512. El monomio: 3xa+b−5 yb−3 ;es deG .R . ( x )=5 yG . R . ( y )=2 ;entonces a vale:

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13. Al efectuar: (x3 y 4 ¿(x2 ya), resulta un monomio de grado absoluto igual a 13. Calcular el

valor de “a”. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. Calcular el valor de “n” del monomio: M(x,y) = x2+m y3−n

xm, sabiendo que su grado absoluto

es 3.A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6

15. Si los términos 6xyb−3 y2 xy10 son semejantes, calcular el valor de “b”.A) 12 B) 11 C) 13 D) 14 E) 10

16. Al reducir la expresión: [(x¿¿2)¿¿3x2]3

[(x¿¿3)¿¿2x3]2 ¿¿¿¿; resulta un monomio de grado………..

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 817. Hallar el valor de “n” para que el grado absoluto del monomio: (2 xn+2 y)3 sea 18.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 518. Calcular (a-b), si el monomio: M(x,y) = 5x2a+b ya+2b;tiene: G.A.(M)=15 y G.R.(x)=8

A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 3 19. Si el grado de M = a−1√x2a y5 es 3, calcular el grado absoluto de: R = 2x2a y a−7

A) 13 B) 14 C) 15 D) 17 E) 18 20. Hallar el valor de “m” para que la expresión P(x); sea de sexto grado P(x) = 3√ x2m 4√ xm

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1021. Si el polinomio: P(x) = (a - 4)x5 + 3 x4 +ax5 - bx4; es idénticamente nulo. Hallar “a+b”.

A) 1 B) 5 C) 8 D) 7 E) 922. Si el polinomio: M(x) = xm−10+ xm−n+5+2 xp−n+6 ; es completo y ordenado en forma

descendente. Hallar el valor de: “m + n + p”.A) 28 B) 30 C) 35 D) 38 E) 40

23. Si los polinomios P(x) = (a - 2)x3 + (2a – b – 3) x + (2c – 3b) y Q(x) = -4x3- 5x + 6Son idénticos, hallar “a + b + c”.A) 1 B) 2 C) -1 D) -4 E) 3

24. Si E = (5 x2– 3x+2 x4+6)(3 x2−4 x+2) e indicar el mayor grado de E. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

25. Si el polinomio cuadrático:

P(x) = n4xm3

−5 + (p – 13)x + 2p -5

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Tiene como coeficiente principal a 17, mientras que el término independiente es el triple del coeficiente del término lineal. Hallar “m + n + p”.A) 81 B) 12 C) 201 D) 123 E) 80

26. Al efectuar el producto: G = (x2−3 x+5 )5(4 x5−x+3¿¿2(x +2)El grado de su respuesta es:A) 22 B) 21 C) 15 D) 100 E) 101

27. El grado el polinomio homogéneo P(x, y, z) = ax3 ya z2 + bxb yb z 4 - cxyzc

Es de grado 10. Entonces la suma de “a+b+c” será: A) 0 B) -1 C) -3 D) 5 E) -4

28. Si el grado de del polinomio homogéneo P(x,y,z)= ax3 y a z2+b xb y6 z−cxy zc es 10. Hallar la suma de sus coeficientes.A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

29. Hallar “m.n”, si el polinomio es idénticamente nulo: (m+n-18)x y2+2x2 y + (n-m)x2 y ≡ 0 A) 17 B) 21 C) 13 D) 15 E) 80

30. Hallar “m2−n2 en la siguiente identidad de polinomios: m(x-2005)+ n(x-2003)≡ x-2007A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 7

31. Si los polinomios P(x) = (a - 2)x3+(2a−b−3 ) x+(2c−3b ) y Q(x) = -4 x3-5x+6 son idénticos, hallar: a+ b + cA) 1 B) 2 C) -1 D) -4 E) 3

32. Calcular “m+n” si el siguiente polinomio es homogéneo: P(x,y) = 3x2n yn+3−4 xn y11+5 ym+2

A)15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 33. Si el polinomio: P(x) = xn−2+ xn−3+xn−4+xn−1 es completo. Calcular “n”:

A) 0 B) 2 C) 1 D) 4 E) 334. Si P(x) = xa+2+2 xb+1−5xc+6+7 esta completo y ordenado, calcular: a+2b+3c

A) 12 B) -12 C) -8 D) 8 E) -10

35. Sabiendo que polinomio P(x)= 5xa−2+2x−xa+b+5+7xa+c es completo y ordenado ascendentemente. Calcule el valor: a.b.cA) 12 B) -11 C) -8 D) -10 E) 10

36. Si el polinomio P(x) = 2 xa−2−5 xb−3+7 xc−5. Es completo y ordenado en forma creciente. Calcule a+b+c.A) 13 B) 12 C) 8 D) 11 E) N.A.

37. Calcule la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado: P(x) = (n+3)x4+5 xn−7+2x2−x+5A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) N.A

38. El siguiente polinomio es homogéneo P(x,y) = xn+1 y−2 x3m yn−7+5 x6 y10−n. Hallar “m.n”A) 21 B) 22 C) 7 D) 14 E) N.A

39. Si los polinomios P(x) = 3x3+(a+b ) x+3 y Q(x) = (a+b )❑❑+3 x−a, son idénticos. Calcule “b2

A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) –N.A40. Si se cumple que: a(x+3) + b(x-4) = 7(2x-3). Hallar 3√a+√b

A) 2 B) 3 C) 8 D) 6 E) 1041. Calcular “p+q” si se cumple que: 27+8x ≡ p(x+4) + q(2x+3)

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 1142. Hallar “m+n+p” si se sabe que el polinomio:

P(x) = 2 xn−2+3 xm−3-5x p−1, es completo y ordenado descendentemente.A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) N.A

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“La matemática no se interpreta se siente” Anónimo

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