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8/11/2019 clase TRINGULOS RECTNGULOS.pdf

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TRINGULOS RECTNGULOS

Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo recto.

En el tringulo ABCel ngulo C es recto, mientras que Ay Bson agudos.

El lado mayor (opuesto al ngulo recto) se llama hipotenusay los otros dos lados catetos.

Entre los lados de un tringulo rectngulo se pueden establecer diferentes relaciones. Una de las ms

importantes es el teorema de Pitgoras.

TEOREMA DE PITGORAS:

La suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un tringulo rectngulo es

igual al rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Si a y b son las longitudes de los catetos y h la hipotenusa, esta relacin se establece as:
http://co.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Suma+de+%E1reas+de+cuadrados&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_134.Ges.LCO.pnghttp://co.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=1+++1+=+2&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_132.Ges.LCO.png


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Ejemplo:

Utilizando el teorema de Pitgoras, hallemos el valor de x en los siguientes tringulos.

X= 1

La proposicin recproca tambin es verdadera.

Es decir el hecho de que sea rectngulo es equivalente a que sus lados cumplan la relacin

Si , entonces es rectngulo


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Ejemplo:

Cul de los tringulos de la figura es rectngulo?

Si es rectngulo ya que: No es rectngulo ya que: No es rectngulo ya que:

TRINGULOS RECTNGULOS ESPECIALES

TRINGULOS RECTNGULOS CON NGULOS 30, 60 y 90

Podemos construir un tringulo con ngulos de 30, 60 y 90 a partir de un tringulo equiltero de

lado a.

Trazando la altura correspondiente a la base, obtenemos dos

tringulos rectngulos congruentes con ngulos 30, 60 y 90.

En un tringulo rectngulo con ngulos 30, 60 y 90, la relacin

en la que estn sus lados es:

, donde aes la mitad de uno de sus lados.


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TRINGULOS RECTNGULOS CON NGULOS 45, 45 y 90

En un tringulo con ngulos 45, 45 y 90 las relaciones en la que estn sus lados es:

, donde a es la medida de uno de sus lados.

Podemos construir un cuadrado de lado atrazando una de las diagonales, obtenemos dostringulos congruentes.

Ejemplo:

Cul es la medida de los lados desconocidos en cada tringulo rectngulo de la figura?

a) Como la hipotenusa es

veces la longitud de cada lado, entonces x =2 y y =2.

b) Siendo la hipotenusa dos veces ms larga que el cateto y, entonces y = 2; y como la

relacin de los dos lados es 2, , 1 el otro lado debe medir 2.

c) Segn la relacin 1, 1, para el tringulo 454590, los lados x, y deben medir: 5 y 5

d) Los lados y, deben estar en relacin 2, Por tanto x = 5 y y = 10


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RAZONES TRIGNOMTRICAS

Algunas aplicaciones importantes de la trigonometra requieren el uso de los tringulos rectngulos.

Un tringulo rectngulo tiene seis elementos: tres lados y tres ngulos, y en sus aplicaciones se

debe calcular algn elemento del tringulo conociendo otros.

Para hacerlo se emplean las razones trigonomtricas.

Una razn trigonomtrica es el cociente entre las

longitudes de los lados de un tringulo rectngulo.

Ejemplo:

1) Encontremos los valores de las seis razones trigonomtricas para los ngulos agudos de un

tringulo rectngulo ABC con ngulo recto en c, cuando a=1 y c=.

Solucin:

Por Pitgoras:

b = 2

2) Hallemos el valor de

.

Como

, entonces

es decir que b y c estn en una razn de 1:2.


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Valindonos del teorema de Pitgoras:

Luego

3) Un auto que viaja a 50 Km/h toma un desvo por un camino recto que forma un ngulo de 37

con la avenida principal como se muestra en la figura. cul es la distancia que lo separa de la

avenida despus de 30 minutos de viaje?.

La distancia que separa al auto de laavenida despus de 30 min de viaje es 15

km aproximadamente.

APLICACIONES:

Las aplicaciones de las razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo incluyen entre otras

cosas ngulos de elevacin y ngulos de depresin.

Supongamos que un observador ve un objeto que se encuentra por encima de la lnea imaginaria

horizontal que se forma a la altura de sus ojos.

El ngulo que forma la visual con la horizontal se llama ngulo de elevacin.

ngulo de elevacin
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Si por el contrario el objeto se encuentra por debajo de la horizontal, el ngulo se llama ngulo de

depresin.

ngulo de depresin

Ejemplo:Desde un faro de 3.5m de altura se observa un barco con un ngulo de depresin de 30, A qu

distancia del faro se encuentra el barco?

Solucin:

Los datos del problema corresponden a los catetos del tringulo.

Las relaciones que involucran a los catetos son .

El barco se encuentra a 6.05m del faro.
http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.elle.es/var/ellees/storage/images/belleza/tendencias/ojos-ahumados__1/14112-1-esl-ES/ojos_ahumados_mode_une_article.jpg&imgrefurl=http://sombraaqui.blogspot.com/2008/09/ojos-metalizados-by-lewis.html&usg=__2GpM-Qb508pb32U7dntCvJLZLAI=&h=346&w=261&sz=50&hl=es&start=77&um=1&tbnid=X7IsBXxAqXWngM:&tbnh=120&tbnw=91&prev=/images?q=ojos&ndsp=20&hl=es&sa=N&start=60&um=1


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SOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

Resolver un tringulo rectngulo significa calcular las medidas de sus ngulos y de sus lados.

Para lograrlo es necesario conocer por lo menos dos elementos del tringulo, donde alguno de ellos

debe ser un lado.

Como resolver tringulos rectngulo

a) Conociendo dos lados:

Mediante el teorema de Pitgoras se puede encontrar el tercer lado. Luego mediante

cualquier razn trigonomtrica se encuentran las medidas de los ngulos.

b) Conociendo un ngulo y un lado.

Si conocemos la medida de un ngulo podemos encontrar la medida del otro, pues los

ngulos son complementarios. Luego utilizando una razn trigonomtrica que involucre

el lado conocido, hallamos un segundo lado. El tercer lado se puede calcular por

Pitgoras o por otra razn trigonomtrica.

Ejemplo:

Resuelve el siguiente tringulo rectngulo.

RESOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUNGULOS:

Un tringulo oblicungulo es aquel que no tiene ningn ngulo recto. A fin de resolver estos

tringulos, necesitamos conocer tres elementos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado. Haycuatro casos distintos.

Caso 1:Se conoce un lado y dos ngulos (LAA o ALA)

Caso 2:Se conocen dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos (LLA)

Caso 3:Se conocen dos lados y el ngulo entre ellos (LAL)

Caso 4:Se conocen tres lados (LLL).

Las figuras ilustran los cuatro casos.


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Caso 1. LAA o ALA Caso 2. LLA Caso 3. LAL Caso 4. LLL

Por geometra sabemos que LAA, LAL y LLL, determinan tringulos nicos. En trigonometra, la ley

de los senos, la ley de los cosenos y la propiedad de la suma de los ngulos interiores de cualquier

tringulo.

Nos permiten determinar los lados o ngulos faltantes.

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