ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS NO HOMOGENEAS

(COEFICIENTES (COEFICIENTES INDETERMINADOS)INDETERMINADOS)

• Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea:

se deben hacer dos cosas:• Resolver la ecuación diferencial lineal homogénea

asociada (función complementaria) con lo cual se obtiene yh.

• Obtener alguna solución particular yp de la ecuación no homogénea.

A partir de ellas: y = yh + yp.

)()(´)()()( )()( xgyxayxayxayxa nn

nn =++++ −

− 011

1

Coeficientes indeterminadosCuando en la EDL no homogénea:

la función g(x) contiene sólo tres tipos de funciones: polinomios, exponenciales y trigonométricas (senos o cosenos), o combinaciones de ellas tres, el método de solución de la ED se denomina de “coeficientes indeterminados”.•El método consiste en proponer la forma de la solución particular yp (con coeficientes indeterminados) a partir de la forma del término g(x).

)()(´)()()( )()( xgyxayxayxayxa nn

nn =++++ −

− 011

1

Soluciones particulares

g(x) Forma de yp

1. 8 (Cualquier constante) A

2. 3x-1 Ax+B

3. 5x2+1 Ax2+Bx+C

4. x3+x Ax3+Bx2+Cx+D

5. e6x Ae6x

6. Sen(3x) ASen(3x)+BCos(3x)

7. Cos(2x) ASen(2x)+BCos(2x)

8. (9x2-x)e4x (Ax2+Bx+C)e4x

9. e5xSen(2x) Ae5xSen(2x)+Be5xCos(2x)

10. 3x2Sen(5x) (Ax2+Bx+C)Sen(5x)+ (Dx2+Ex+F)Cos(5x)

11. xe5xSen(2x) (Ax+B)e5xSen(2x)+ (Cx+D)e5xCos(2x)

Modificación a la solución particular propuesta• Cuando se propone una solución particular para

la ED no homogénea puede ocurrir que una función de la solución particular propuesta es también solución de la ED homogénea relacionada.

• En este caso se debe modificar la yp propuesta comparándola con yh y multiplicando por x los términos de yp que estén incluidos en yh. Después se vuelven a comparar yp y yh y se vuelven a multiplicar por x los términos que sigan incluidos. Este proceso continúa hasta que ninguno de los términos de yh esté repetido en yp.

Solución de la ED no homogénea• Para obtener la solución de la ED se deben realizar

los siguientes pasos:• Sustituyendo la solución particular propuesta

“modificada” en la EDL no homogénea original se determinan los coeficientes de los términos en el lado izquierdo de la ecuación con los términos semejantes del lado derecho de la ecuación.

• Con los coeficientes obtenidos se determina yp y

• Finalmente se suman yp y yh para obtener la solución general de la EDL no homogénea y = yp + yh.

Ejemplo

Al derivar yp= (Ax2+Bx+C) + Dx2e3x tenemos:

yp´ = 2Ax+B+3Dx2e3x+2Dxe3x

yp´´ = 2A+9Dx2e3x+12Dxe3x+2De3x

Al remplazar estos términos en la ED

y´´-6y´+9y=6x2+2-12e3x

2A+9Dx2e3x+12Dxe3x+2De3x - 6(2Ax+B+3Dx2e3x+2Dxe3x) + 9(Ax2+Bx+C+Dx2e3x) = 6x2+2-12e3x

9Ax2 +(-12A+9B)x + (2A-6B+9C) + 2De3x =6x2+2-12e3x

Ejemplo

De esta última ecuación

9Ax2 +(-12A+9B)x+(2A-6B+9C)+2De3x = 6x2+2-12e3x

tenemos:

9A = 6-12A + 9B = 0

2A-6B+9C = 22D = -12 De donde: A=2/3, B=8/9, C=2/3, D=-6

Por consiguiente, la solución general de la EDL es finalmente: y = yh+yp = c1e3x+c2xe3x + 2/3x2+8/9x+2/3-6x2e3x