¿Cómo calcular área y volumen usando la integral definida, con la Class Pad 330

7/28/2019 ¿Cómo calcular área y volumen usando la integral definida, con la Class Pad 330

http://slidepdf.com/reader/full/como-calcular-area-y-volumen-usando-la-integral-definida-con-la-class 1/14

1

¿Cómo calcular área y volumen usando la

integral definida, con la Class Pad 330?

Prof. Yarielda Cruz

NTRODUCCIÓN

La Aplicación Gráficos & Tablas de la calculadora Class Pad 330, permite trazar el gráfico de una función

real de variable real, en el plano cartesiano R2. Al activar el icono , del menú de las aplicacionesincorporadas, aparece una ventana dividida en la pantalla: la ventana del editor de gráficos y la ventana degráficos.

Ventana del editor de gráfico: permite ingresar funciones del tipo y = f(x) y x = f(y).

Ventana de gráficos: muestra el gráfico trazado.

Esta aplicación, cuenta con una función [Resolución G►], que le permite realizar una serie de procesos

analíticos diferentes sobre un gráfico existente.

Para acceder al menú secundario [Resolución G►], toque el menú desplegable [análisis] y luego

[Resolución G►], este menú cuenta con los comandos:

[ ʃ dx]: Permite calcular la integral definida en un determinado intervalo.

[π ʃ (f(x))2dx]: Permite calcular el volumen de un sólido de revolución Cuando el eje revolución es frontera de la región que se rota.

Figura 1

Figura 2

Ventana del editor degráficos

Ventana de Gráficos



2

Aplicar el concepto de integral definida, para calcular el área de regiones en el plano limitada poruna o más curvas, haciendo uso del comando [ ʃ dx], de los submenús Análisis y Resolución G, de lacalculadora Casio Class Pad 330.

Aplicar el concepto de integral definida, para calcular el volumen de un sólidos de revolución,haciendo uso del comando [π ʃ (f(x))2dx], de los submenús Análisis y Resolución G, de la calculadoraCasio Class Pad 330.

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

La Integral definida como área de una región.

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces el área de la región acotada por lagráfica de f , el eje x y las rectas x = a y x = b está dado por:

Esta definición es aplicable para cualquier función. Sin embargo, se debe proceder con sumo cuidado alintentar calcular áreas de funciones, cuando f toma valores negativos:

- Si f(x) es negativa en un intervalo [a,b], entonces el área esta dada por: Área = -b

a

dx x f )( Si en el intervalo [a, b] hay partes en que la función es negativa y partes en que no lo es, se debe calcular laintegral definida en cada una estas secciones, para luego calcular el área total.

Propiedades de la integral definida

La definición de la integral definida de f en el intervalo [a, b] especifica que a < b, sin embargo, es posibleextender esta definición para los casos donde a = b o donde a > b.

i) Si f esta definida en x = a, entonces se define 0)( a

a

dx x f

ii) Si f es integrable en ba, , entonces se define b

a

dx x f )( = a

b

dx x f )(

iii) Si f es integrable en los tres intervalos definidos por a, b y c, entonces: b

a

c

a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()( .

OBJETIVOS:

Área = b

a

dx x f )(



3

1. ¿Cómo calcular el áreas de una región bajo una curva, usando la calculadora Class Pad 330?

Operación con Class Pad 330

Calcular el área de la región limitada por las curva y = 6 – x – x2 y el eje x.

¿Cómo hacerlo con Class Pad?

1) Active la Aplicación Gráficos & Tablas, tocando el icono del menú de las aplicacionesincorporadas.

2) Toque la ventana del editor de gráficos y seguidamente, en la barra de menús, toque [Edit] [Borrartodo] [Acep.]. Esto limpia la ventana del editor de gráficos.

3) Toque la ventana de gráficos y seguidamente, en la barra de menús, toque [Edit] [Borrar todo][Acep.]. Esto limpia la ventana de gráficos.

4) Toque para activar el teclado virtual y toque la lengüeta

para acceder al teclado de plantillas 2D.

5) En la ventana del editor, en la línea de entrada y1: digite la siguiente

secuencia y toque . Observe quese selecciona la función.

6) Toque , en la barra de herramientas y en la ventana de gráficos aparecerá el gráfico.

7) Toque , para ampliar la ventana de gráfico.8) Seleccione [análisis] y luego [Resolución G►], [ ʃ dx]. Aparecerá la

palabra inferior.

9) Toque , para moverse en la dirección del límite inferior (-3).(Figura 3)

10) Una vez en este límite toque y observara que aparece lapalabra superior.

11) Toque , para moverse en la dirección del límite superior (2), una vez en este límite toque de inmediato se sombre el área y

en el cuadro de mensaje aparecerá ʃ dx = 20.83, que corresponde alárea. (Figura 4)

Figura 4

Figura 3



4

Cuando f toma valores tanto positivos como negativos, el área total puede interpretarse como:

21 A A At ,donde 1 A es el área arriba del eje x y debajo de la gráfica de f y 2 A corresponde a la región

debajo del eje x y arriba de la gráfica de f .

Operación con Class Pad330.

Calcular el área de la región limitada por las curva y = x3- 6x2 + 8x y el eje x.


1) Toque , para acceder a la ventana del editor de gráficos.

2) Toque la ventana del editor de gráficos y seguidamente, en la barrade menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. Esto limpia la ventanadel editor de gráficos.

3) Toque la ventana de gráficos y seguidamente, en la barra de menús,toque [Edit][Borrar todo] [Acep.]. Esto limpia la ventana de gráficos.

4) Toque la tecla para activar el teclado virtual.5) En la ventana del editor, en la línea de entrada y1: digite la

secuencia: y toque

. Observe que se selecciona la función.

6) Toque y en la ventana de gráficos aparecerá el gráfico.

7) Toque , para ampliar la ventana de gráfico. (Figura 5).

Al trazar el gráfico, observe que en el intervalo de [0, 2], f toma valores

positivos, por tanto 1 A = dx x x x )86( 2

2

0

3

8) Seleccione [análisis] y luego [Resolución G►], [ ʃ dx]. Aparecerá lapalabra inferior.

9) Como el inferior es (0), toque y observara que aparece lapalabra superior.

10) Toque , para moverse en la dirección del límite superior (2),

una vez en este límite toque , de inmediato se sombre el áreay en el cuadro de mensaje aparecerá el valor de la integral definida:

ʃ dx = 4 = 1 A (Figura 6)

2. ¿Cómo calcular el áreas de una región cuando f toma valores positivos y negativos, usando lacalculadora Class Pad 330?

Figura 6

Figura 5



5

Observe que en el intervalo de [2,4], f toma valores negativos, por tanto 2 A = dx x x x )86( 2

4

2

3

11) Toque nuevamente [análisis] y luego [Resolución G►], [ ʃ dx].Aparecerá la palabra inferior.

12) Como en el intervalo [2,4], el límite inferior es (2), toque para moverse en la dirección del límite inferior (2).

13) Toque y observara que aparece la palabra superior.

14) Toque , para moverse en la dirección del límite superior (4) ,

una vez en este límite toque , de inmediato se sombre laregión y en el cuadro de mensaje aparecerá el valor de la integral

definida ʃ dx = -4 por tanto 2 A = -(-4)=4 (Figura 7)

Luego 2

21 844 u A ATotal Área

¿Cómo calcular el áreas de una región entere dos curvas, usando la calculadora Class Pad 330?

Es posible extender la aplicación de la integral definida para el área de una región bajo una curva, al área

de la región entre dos curvas.

Consideremos el área de la región que esta limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a y x = b.

Para calcular el área de esta región, dibujaremos un rectángulo representativo, cuyo ancho es x y su

altura esta dada por el valor de y de la curva superior menos el valor de y de la curva inferior. El área delrectángulo representativo es, entonces x x g x f )()( .

Al sumar, las áreas de todos los rectángulos representativos entre x = a y x = b, por medio de la integral,

obtendremos: dx x g x f Ab

a )()( . Así si dx x f Ab

a )(1 y dx x g A

b

a )(2 , entonces:

21)()( A Adx x g x f Ab

a


Calcular el área de la región limitada por las curvas:y = 4x - x2 + 8 y y = x2- 2x

Figura 7



6


1) Toque , para acceder a la ventana del editor de gráficos.2) Toque la ventana del editor de gráficos y seguidamente, en la barra

de menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. Esto limpia la ventanadel editor de gráficos.

3) Toque la ventana de gráficos y seguidamente, en la barra de menús,

toque [Edit][Borrar todo] [Acep.]. Esto limpia la ventana de gráficos.

4) Toque , para activar el teclado virtual.

5) En la ventana del editor, en la línea de entrada y1: digite la secuencia:

y toque . Observe que seselecciona la función.


y toque . Observe que se seleccionala segunda función.

7) Toque y en la ventana de gráficos aparecerá el gráfico de las dosfunciones seleccionadas.

8) Toca , para ampliar la ventana de gráfico.

9) Toque [análisis] y luego [Resolución G►], [Intersección]. Aparecerála

palabra intersección, indicándose uno de los puntos (-1,3). (Figura 8)

10) Toque , en la dirección del otro punto de intersección y ésteaparecerá de inmediato (4,8).

Nota: Hay que tener cuidado y pensar que con, Class Pad 330, estamoscalculando integrales definidas.

11) Seleccione [Análisis] y luego [Resolución G►], [ ʃ dx]. Aparecerá ʃ dx.

12) Seleccione la curva y = 4x - x2 + 8, para ello toque hacia arribao abajo y en el cuadro de mensaje se indicará la función.

13) Toque , aparecerá la palabra inferior.

14) Toque , para moverse en la dirección del límite inferior

Figura 8

Figura 9



7

(-1,3), una vez en este límite toque y observara que aparecela palabra superior.

15) Toque , para moverse en la dirección del límite superior (4,8)

una vez en este límite toque , se sombre el área. (Figura 9).

En el cuadro de mensaje se indica ʃ dx = 48.33

Nota: Observe que no es el área buscada.

16) Seleccione [análisis] y luego [Resolución G►], [ ʃ dx]. Aparecerá ʃ dx

17) Seleccione la curva y = x2- 2x, para ello toque hacia arriba oabajo y en el cuadro de mensaje se indicará la función.





una vez en este límite toque de inmediato se sombre el área.(Figura 10).


El área es 48.33 – 6.67 = 41.66 u2


Calcular el área de la región limitada por las curvas: 2

22

14 x y y

x y

.

1) Toque , para acceder a la ventana del editor de gráficos.2) Toque la ventana del editor de gráficos y seguidamente, en la barra

de menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. Esto limpia la ventanadel editor de gráficos.

Figura 10



8

3) Toque la ventana de gráficos y seguidamente, en la barra de menús,toque [Edit][Borrar todo] [Acep.]. Esto limpia la ventana de gráficos.

1) Toque , para activar el teclado virtual y la lengüetapara acceder al teclado virtual 2D.

4) En la ventana del editor, en la línea de entrada y1: toque y

edite

5) Coloque el cursor en cuadro inferior digite la secuencia:

y toque . Observe que se selecciona lafunción.


y toque . Observe que se selecciona lasegunda función.

7) Toque y en la ventana de gráficos aparecerá el gráfico de las dosfunciones seleccionadas.

8) Toca , para ampliar la ventana de gráfico.9) Toque [Zoom] [Aumentar]

10) Toque [Análisis] y luego [Resolución G►], [Intersección]. Aparecerála palabra intersección, indicándose uno de los puntos (-1,2).

11) Toque , en la dirección del otro punto de intersección y éste

aparecerá de inmediato (1,2). (Figura 11)


13) Seleccione la curva 1

42

x

y , para ello toque hacia arriba o

abajo y en el cuadro de mensaje se indicará la función.





Figura 11

Figura 12



9



17) Toque , para eliminar el área sombreada.


19) Seleccione la curva 22 x y , para ello toque hacia arriba o

abajo y en el cuadro de mensaje se indicará la función.



(-1,2), una vez en este límite toque y observara que aparece

la palabra superior.



En el cuadro de mensaje se indica ʃ dx = 1.33Por tanto el área entre las dos curvas es 6.28- 1.33 = 4.95 u2

Una de las aplicaciones de la integral definida, es su uso para encontrar el volumen de un sólido

tridimensional.

Un sólido de revolución, es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de

rotación de una superficie plana, alrededor de una recta que se halla en el mismo plano, llamada eje de

revolución.

Para calcular el volumen de sólidos de revolución hay varios métodos. Class Pad 330 permite calcular el

volumen de un sólido de revolución cuando la región comprendida entre f(x), el eje x y las rectas x = a y x=b

se hace girar alrededor del eje x. Es decir, cuando el eje de revolución es un límite de la región que se rota.

Así, el volumen se define como:

1. ¿Cómo calcular el volumen de sólido de revolución con Class Pad 330?

Figura 13

b

a

dx x f V 2)(



10

Operación con Class Pad.

Encuentre el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por las curvas y = x 2, eleje x y las rectas x = 1 y x = 2 se hace girar alrededor del eje x?


1) Toque ,para activar la ventana del editor.

2) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].

3) En la ventana del editor, en la línea de entrada y1: digite la secuencia

4) Toque

5) En la línea de entrada x2: digite

6) Toque

7) En la línea de entrada x3: digite

8) Toque 9) Observe que deben estar seleccionadas todas las funciones.


11) Toca , para ampliar la ventana de gráfico.12) Seleccione [Análisis] [Resolución G►] [π ʃ (f(x))2dx].

13) Aparecerá la palabra inferior, toque , para moverse en la

dirección del límite inferior (1), una vez en este límite toque yobservará que aparece la palabra superior.

14) Toque , para moverse en la dirección del límite superior (2),

una vez en este límite toque de inmediato se sombre elsólido de revolución y en el cuadro de mensaje aparecerá elvolumen = 19.48 u3 (Figura 10)

Figura 10



11

Cuando el eje de revolución no es frontera de la región que se hace girar, sucede que al girar dicha regiónalrededor del eje x, se produce una concavidad en medio del sólido.La estrategia para calcular el volumen de un solido que posee esta forma, consiste en calcular el volumen

del solido exterior y luego restar el volumen de la concavidad. Así si f(x) define el exterior y g(x) es lafrontera de la concavidad, entonces el volumen esta dado por:

b

a

b

a

dx x g dx x f V )()(2

Operación con Class Pad.

Encuentre el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la curva y = x 2 + 1 yla recta y = x + 3 se hace girar alrededor del eje x?


1) Toque , para activar la ventana del editor.2) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].

3) Toque , para activar el teclado virtual

4) En la ventana del editor, en la línea de entrada y1: digite

5) Toque

En la línea de entrada y2: digite

6) Toque 7) Observe que se seleccionan cada una de las funciones.


9) Toca , para ampliar la ventana de gráfico.10) Seleccione [análisis] [Resolución G►] [π ʃ (f(x))2dx]11) Aparecerá [π ʃ (f(x))2dx]

12) Seleccione la recta y = x + 3, para ello toque hacia arribao abajo y en el cuadro de mensaje se indicará la función.



2. ¿Cómo calcular volúmenes con Class Pad 330, cuando el eje de revolución no es frontera de laregión que se rota?

Figura 11



12

(-1,2), una vez en este límite toque y observara queaparecela palabra superior.

15) Toque , para moverse en la dirección del límite superior(2,5)

una vez en este límite toque de inmediato se sombre elsólido. (Figura 11).

16) En el cuadro de mensaje se indica [π ʃ (f(x))2dx] = 122.52 u2

Nota:Observe que el eje x (eje de revolución), no es frontera de la región.Hay que tener cuidado y pensar que con Class Pad 330, calculamos el volumen cuando el eje x (eje derevolución), es frontera de la región que se hace girar.

Procedemos de la siguiente forma: Paso n°1: Calculamos el volumen del solido que se genera al hacer

girar alrededor del eje x la recta y = x + 3 entre -1 y 2. Paso n°2: Calculamos el volumen del sólido que se genera al hacer

girar alrededor del eje x la curva y = x2 + 1 entre -1 y 2. Paso n°3: Restamos estos volúmenes.

Como ya calculamos Paso n°1 y se obtuvo volumen = 122.52 u3

Continuamos con: Paso n°2

17) Toque , para borrar la región sombreada.18) Seleccione [análisis] [Resolución G►] [π ʃ (f(x))2dx].19) Aparecerá [π ʃ (f(x))2dx]

20) Seleccione la curva y = x2 + 1, para ello toque hacia arribao abajo y en el cuadro de mensaje se indicará la función.




23) Toque , para moverse en la dirección del límite superior

Figura 12



13

(2,5) una vez en este límite toque de inmediato se sombre elsólido. (Figura 12).

24) En el cuadro de mensaje se indica [π ʃ (f(x))2dx] = 49.00 u2

Paso n°3: 122.52 - 49.01 = 73.51 u3, que es el volumen buscado.

Ejercicios

Use Class Pad 330, para calcular lo pedido.

1. Calcule el área de la región limitada por el eje y, la curva x y , y la recta tangente a ésta en x = 1.

a) Cuál es la pendiente de la recta tangente: ____________________________b) Cuál es la pendiente de la recta tangente en 1: ________________________c) Cuál es la ecuación de la recta tangente: ______________________

d) Cuáles son los límites de integración: ______________________e) Escriba una integral definida, que permita obtener el área: ____________________f) Cuál es el área buscada: ______________________________

2. Calcule el área de la región comprendida entre las curvas y = 3x – x2 y y = 3x2 – x3 y las rectas x = 0, x= 3.a) Trazada la región, escriba la curva que está por arriba en esta región: ________________b) Escriba la curva que esta por abajo en esta región: _______________________c) Escriba una integral definida, que me permita obtener el área: ____________________d) Cuál es el área buscada: _____________________

3. Halle el área de la región R, en el primer cuadrante, que se encuentra bajo la curva

x

y1

, y está

limitada por esta curva y las rectas y = x, y = 0 y x = 2.a) Escriba dos integrales definidas, mediante las cuales se puede obtener el área total:

_______________________ y _______________________.b) Calcule es el valor de estas integrales: ___________________ y ______________________.c) Cual es el área buscada: ________________________.

4. Calcule el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráficas x

y1

, y = 0, x = 1, x = 4.

a) Escriba una integral definida, que permita obtener el volumen: ____________________b) Cuál es el volumen buscado: ______________________________

5. Calcule el volumen del sólido formado al girar la región acotada por x y y 2 x y ; alrededor del eje

x.a) Escriba dos integrales definidas, mediante las cuales se puede obtener el volumen del sólido de

revolución: _______________________ y _______________________.b) Calcule es el valor de estas integrales: ___________________ y ______________________.c) Cual es el volumen buscado: ________________________.

¿Cómo calcular área y volumen usando la integral definida, con la Class Pad 330

Documents

Transcript of ¿Cómo calcular área y volumen usando la integral definida, con la Class Pad 330