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CURSO BSICO DE MATEMTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONMICAS Y EMPRESARIALES

Unidad didctica 4. Nmeros reales y nmeros complejos

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal

Proyecto de innovacin ARAGN TRES 1

EJERCICIOS RESUELTOS DE NMEROS COMPLEJOS

1. Dadosz1= -3+4i,z2= 5-2i,z3=32yz4=7i, calcular:

a) (z1-z2)z3 b)z1z4+z3z4 c) z1+z4-5z2 d)z1+z3-1 e)z2

-1

f) z1z2 g) ( )1 21

+z z h)z12

z3 i)z2z1 j)z1

2z3+z4

Solucin

a) Para calcular (z1-z2)z3, en primer lugar se calcula la operacin del parntesis y a continuacin se

multiplica el resultado porz3:

(z1-z2)z3 = (-3+4i (5-2i))32= (-3-5+(4+2)i)

32= (-8+6i)

32= -12+9i

b) En primer lugar se calculanz1z4yz3z4para despus sumar los resultados:

z1z4= (-3+4i) 7i = -21i+28i2= -28-21i

z3z4=327i=

212

i

z1z4+z3z4 = -28-21i+212 i

= -28-212 i

Notar que otra forma de obtener este resultado es sacar factor comnz4quedando:

z1z4+z3z4 = (z1+z3)z4 =23 3 21 21

3 4 7 4 7 28 282 2 2 2

+ + = + = + =

i i i i i i i

c) En primer lugar se calcula la operacinz1+z4-5z2= -3+4i + 7i 5(5-2i) = -28+21i y despus

se calcula su conjugado, z1+z4-5z2 = -28-21i

d) El inverso dez3esz3-1=

1

32

=23 y, por tanto,z1+z3

-1= -3+4i+23=

-73 +4i

e) Para calcular el inverso dez2= 5-2ise puede proceder de dos formas:

mediante la definicin:z2-1= 552+(-2)2- -252+(-2)2i = 529+ 229i escribindolo como un cociente y efectuando la divisin multiplicando el numerador y el

denominador por el conjugado del denominador:

z2-1=

1z2

=1

5-2i=

1(5+2i)(5-2i)(5+2i)

=5+2i25-4i2

=5+2i29

=529

+229i

f) Teniendo en cuenta que el conjugado del conjugado de un nmero es el propio nmero, es decir,

z1z2 =z1z2, se tiene z1z2 =z1z2= (-3+4i)(5-2i) = -15+6i+20i-8i2= -7+26i

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g) En primer lugar, se realiza la suma dez1yz2, despus se calcula el conjugado de este resultado

y finalmente el inverso de ste ltimo:

z1+z2 = -3+4i+ 5-2i= -3+5+(4-2)i= 2+2i

z1+z2 = 2-2i

( )1 21

+z z

=1

2-2i=

1(2+2i)(2-2i)( 2+2i)

=2+2i4-4i2

=2+2i

8=

14

+14i

Observar que se podra haber invertido el orden de realizacin de las dos ltimas operaciones ya

que se verifica ( )1

a bi

+ = (a+bi)-1

h)z12

z3= (-3+4i)2 3

2= (9-24i+16i2

)3

2= (9-24i-16)

3

2= (-7-24i)

3

2=

-21

2 -36i

i) Se efecta el cociente multiplicando numerador y denominador por el conjugado del

denominador:

z2

z1=

5-2i-3+4i

=(5-2i)(-3-4i)

(-3+4i)(-3-4i)=

-15-20i+6i+8i2

9-16i2=

-15-14i-89+16 =

-23-14i25 =

-2325 -

1425i

j) En primer lugar se calcula el denominador

2z3+z4 = 232+ 7i= 3+7i

y, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, el cociente queda:z1

2z3+z4=

-3+4i3+7i

=(-3+4i)(3-7i)(3+7i)(3-7i)

=-9+21i+12i-28i2

9-49i2=

-9+33i+289+49

=19+33i

58=

1958

+3358i

2. Dados los nmeros complejosz1= 2-iyz2= 3+6i, determinar el nmeroxque verifica cada una

de las siguientes igualdades:

a)z1+x =z2 b)z12x = 1 c)z1+z2+x = 1 d)z22+x =-z12 e)z2x =z1

Solucin

a) Despejandoxse tienex =z2-z1= 3+6i (2-i) = 3-2+(6+1)i= 1+7i

b)Despejandoxse tienex =1

z12que existe al serz1

2no nulo.

Aplicando la frmula del cuadrado de una diferencia, se tiene:

z12= (2-i)2= 4 - 4i + i2 = 4 - 4i-1 = 3-4i

y calculando el inverso del resultado anterior queda

x =1

z12=

13-4i

=1(3+4i)

(3-4i)(3+4i)=

3+4i9-16i2

=3+4i9+16=

3+4i25 =

325+

425i

c)Despejandoxse tienex = 1 -z1-z2= 1 - (2-i) (3+6i) = 1 - 2 - 3 + (1-6)i= -4-5i

d) Despejandoxse tienex =-z12-z22. Calculando el cuadrado dez1yz2se tiene:

z12= (2-i)2= 4 - 4i + i2= 4 - 4i - 1 = 3-4i

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z22= (3+6i)2= 9 + 36i+ 36i2= 9 + 36i 36 = -27+36i

As,x =-z12

-z22

= -(3-4i) - (-27+36i) = -3 + 4i+ 27 - 36i= 24-32i

e) Al ser z2 no nulo, se puede despejar x obtenindose x =z1

z2. Para calcular este cociente se

multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

x =z1

z2=

2-i3+6i

=(2-i)(3-6i)

(3+6i)(3-6i)=

6-12i-3i+6i2

9-36i2=

6-15i-69+36 =

-15i45 =

-13 i

3. Determinar una ecuacin de coeficientes reales cuyas soluciones en Csean -3, 2+iy 2-i.

Solucin

Si -3, 2+iy 2-ison las soluciones de una ecuacin, esta ha de ser proporcional a

(x-(-3)) (x-(2+i)) (x-(2-i)) = 0

realizando el producto del primer miembro de la ecuacin se tiene

(x-(-3)) (x-(2+i)) (x-(2-i)) = (x+3) (x-2-i) (x-2+i) = (x+3) ((x-2)2-i2) = (x+3) (x2-4x+4+1) =

= (x+3) (x2-4x+5) =x3 -x2 - 7x + 15

Por tanto, una de las ecuaciones que cumplen la condicin indicada esx3 -x2 - 7x + 15 = 0

4. Determinar un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga por races los nmeros

complejos -4iy -5+2i.

Solucin

Teniendo en cuenta que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raz imaginaria tiene

tambin su conjugada, las cuatro races del polinomio buscado son -4i, 4i, -5+2i y -5-2i.

Por tanto, el polinomio es cualquiera proporcional a:

(x-(-4i)) (x-4i) (x-(-5+2i)) (x-(-5-2i)) = (x+4i) (x-4i) (x+5-2i) (x+5+2i) =

= (x2-16i2) ((x+5)2-4i2) = (x2+16) (x2+10x+25+4) = (x2+16) (x2+10x+29) =

=x4 + 10x3 + 45x2 + 160x + 464

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5. Dada una ecuacin polinmica de grado 4 de coeficientes reales, responder a las siguientes

cuestiones.

a) Cuntas soluciones imaginarias puede tener si una de sus races es real?

b) Si 8iy 5-3i, son dos soluciones, cules son las otras soluciones?

Solucin

a) Como el polinomio es de grado 4, tiene 4 races reales o imaginarias. Teniendo en cuenta que si

tiene una raz imaginaria tiene tambin su conjugada y que una de sus races es real, se deduce que

este polinomio de grado 4 o no tiene races imaginarias o tiene 2.

b)Teniendo en cuenta que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raz imaginaria tiene

tambin a su conjugada, las otras dos soluciones sern las conjugadas de las dadas, es decir, -8iy

5+3i.

6. Resolver en Ry en Clas siguientes ecuaciones:

a)x4+ 3x2- 10 = 0 b)x3+ 5x2+ 6x= 0 c)x4+2x2+ 1 = 0

Solucin

a)x4+ 3x2- 10 = 0 es una ecuacin bicuadrada, por lo que haciendo t =x2se obtiene la ecuacin

polinmica de segundo grado, t2+ 3t-10 = 0, cuyas soluciones son:

t=-3 32- 4.1.(-10)

2=

-3 492

=-3 7

2=

-5

2

Considerando la solucin t = -5, se obtienex2= -5, de dondex= -5 = 5 -1 = 5i Considerando la solucin t = 2, se obtienex2= 2, de dondex= 2

Por tanto, las soluciones en Rsonx= 2 yx= - 2 y las soluciones en Cson, adems de las dosanteriores,x= 5 iyx= - 5 i.

b)Factorizando el polinomio, la ecuacinx3+ 5x2+ 6x= 0 quedax(x2+5x+6) = 0, y teniendo en

cuenta que para que el producto de dos factores sea 0 basta que lo sea uno de ellos, se obtiene que

o bienx= 0 o bienx2+ 5x + 6 = 0, de donde,x=-5 52- 4.1.6

2 =-5 1

2 =-5 1

2 = -3

-2

Por tanto, las soluciones tanto enRcomo enCsonx= 0,x= -2 yx= -3.

c)x4+2x2+ 1 = 0 es una ecuacin bicuadrada, por lo que haciendo t =x2se obtiene la ecuacin

polinmica de segundo grado, t2+ 2t+ 1 = 0, que se puede escribir de la forma, (t+1)2= 0, cuya

solucin es t= -1, doble.

Considerando la solucin t = -1, se obtienex2= -1, de dondex= -1 = i

Por tanto, la ecuacin no tiene soluciones en Ry las soluciones en Csonx= i yx= - i, dobles.

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7. Determinar el mdulo, el argumento, la forma polar y la forma trigonomtrica de los siguientes

nmeros complejos:

a)2+2i b) -2+2i c) 2-2i d) -2-2i e) - 5 f)53i

g) 3+i

Solucin

En todos los apartados se representa el nmero complejo para ayudar a determinar su argumento.

a)El mdulo y el argumento de 2+2ison:

l2+2il = 22+22= 8 = 2 2

arg(2+2i) = arctg2

2= arctg1 =

4

Por tanto, la forma polar de 2+2ies (2 2)/4

y la forma trigonomtrica 2 2

cos4+ i sen

4

b)El mdulo y el argumento de -2+2ison:

l-2+2il = (-2)2+22= 8 = 2 2

arg(-2+2i) = arctg2

-2

= arctg(-1) =3

4

Por tanto, la forma polar y trigonomtrica de -2+2ison, respectivamente:

l-2+2il = (2 2)3/4

l-2+2il = 2 2

cos34

+ i sen34

c)El mdulo y el argumento de 2-2ison:

l2-2il = 22+(-2)2= 8 = 2 2

arg(2-2i) = arctg-22 = arctg-1 =

74

Por tanto, la forma polar de 2-2ies (2 2)7/4


cos74

+ i sen74

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d)El mdulo y el argumento de -2-2ison:

l-2-2il = (-2)2+(-2)2= 8 = 2 2

arg(-2-2i) = arctg-2-2

= arctg1 =54

Por tanto, la forma polar de -2-2ies (2 2)5/4


cos54 + i sen

54 .

e)De la figura se concluye de forma inmediata que el mdulo y el argumento de - 5 son:

l- 5l = 5

arg(- 5) =

Por tanto, la forma polar de - 5 es 5y la forma trigonomtrica 5 (cos+ i sen)

f)De la figura se concluye de forma inmediata que el mdulo y el argumento de53

ison:

5

3i =

5

3

arg

5

3i=

2

Por tanto, la forma polar de53ies

5

3 /2y la forma trigonomtrica

53

cos2+ i sen

2

g)El mdulo y el argumento de 3+ison:

l 3+il = ( 3)

2

+1

2

= 4 = 2arg( 3+i) = arctg

1

3=

6

Por tanto, la forma polar y trigonomtrica de 3+ison, respectivamente:

3+i= 2/6

3+i= 2

cos6+ i sen

6

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8. Determinar la forma binmica de los siguientes nmeros complejos:

a) 3 cos6+isen6 b) 3 cos2+isen2 c) 13/4 d) 2/3

Solucin

a) El nmero complejo 3

cos6+isen

6

est dado en forma trigonomtrica y para obtener su

forma binmica basta hacer operaciones, as:

3

cos6+isen

6

= 3

3

2+i

12

=32+i

32

b) El nmero complejo 3

cos

2+isen

2 est dado en forma trigonomtrica y para obtener suforma binmica basta hacer operaciones, as:

3

cos2+isen

2 = 3 (0+i1) = 3i

c) El nmero complejo 13/4

est dado en forma polar, para obtener su forma binmica basta

escribir su forma trigonomtrica y hacer operaciones, as:

13/4

= 1

cos34 +isen

34 =

- 22 +

22 i

d) El nmero complejo 2/3 est dado en forma polar, para obtener su forma binmica bastaescribir su forma trigonomtrica y hacer operaciones, as:

2/3

= 2

cos3+isen

3 = 2

1

2+3

2 i=2

2 +6

2 i

9. Dados los nmeros complejosz1= 2-i,z2= 4,z3= 3

cos4+isen

4

yz4= 1 - 3 i, realizar las

operaciones que se indican a continuacin expresando los resultados en forma binmica:

a)z1z2 b)z1+z3 c)z43 d)z1z3

e)z2

z3 f) z2 g)z2

4 h)3z3Solucin

En este ejercicio hay que tener en cuenta que para realizar una operacin entre dos nmeros

complejos, ambos deben estar escritos de la misma forma: binmica, polar o trigonomtrica.

a) Expresando z2 en forma binmica se tiene z2 = 4 = 4(cos+isen) = 4(-1+i0) = -4, y

multiplicando este resultado porz1se obtienez1z2= (2-i)(-4) = -8+4i.

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b) Expresando z3en forma binmica queda z3= 3

cos4+isen

4 = 3

2

2 +i2

2 =3 22 +

3 22 i, y

sumando este resultado conz1se obtienez1+z3= 2 - i+3 22

+3 22

i=4+3 2

2-

3 2-22

i.

c) El clculo de potencias de un nmero complejo se simplifica si ste se expresa en forma polar o

trigonomtrica.

Para calcular la expresin polar dez4= 1- 3 ies necesario calcular su mdulo y su argumento:

l1- 3 il = 12+(- 3)2= 4 = 2

arg(1- 3 i) = arctg- 31

=53

y as la forma polar de 1- 3 ies 25/3

Por tanto,z43= ( )25/3

3= 2

3

3.5/3= 8

5= 8

Y la expresin binmica del resultado esz43= 8

= 8(cos+isen) = 8(-1+0i) = -8

d) La forma binmica de z3, obtenida en el apartado b), es z3=3 22 +

3 22 i, y multiplicando este

resultado porz1se obtiene:

z1z3= (2-i)

3 2

2+

3 22

i= 3 2+3 2i-3 22

i-3 22

i2=

9 22

+3 22

i

e) En este caso resulta ms sencillo calcular el cociente en forma polar, para lo que se deben

expresar numerador y denominador en dicha forma:

z2= 4

z3= 3

cos4+isen

4

= 3/4

y realizando la divisin quedaz2z3

=4

3/4

= 43 -/4 = 43 3/4

Expresando el resultado en forma binmica queda:

z2

z3=

4

3 3/4=

43

cos34

+isen34

=43

- 2

2 +i

22

=-2 2

3 +

2 23 i

f) Al estarz2expresado en forma polar, sus races cuadradas se pueden calcular de forma sencilla.

Las races cuadradas dez2= 4son:

4(+2k)/2 para k= 0, 1 es decir, 2/2y 23/2

La forma binmica de cada una de las dos races es:

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2/2

= 2

cos2+isen

2 = 2(0+i1) = 2i

23/2= 2

cos32

+isen32

= 2(0+i(-1)) = -2i

Notar que en este caso al ser z2= 4= -4, un nmero real, su raz cuadrada se puede calcular

como sigue:

z2= -4 = 4 -1 = 2i.

g) Al estarz2expresado en forma polar, el clculo de su cuarta potencia es inmediato,

z24= (4

)4= 44

4= 256

0

que expresado en forma binmica esz24= 256

0

= 256(cos0+isen0) = 256(1+i0) = 256

Como en el apartado anterior, notar que al ser z2= 4= -4, un nmero real, su potencia cuarta se

puede calcular como sigue:

z24= (-4)4= 256

h) Comoz3= 3

cos4+isen

4 tiene por expresin polarz3= 3/4, sus races cbicas son:

33

(/4+2k)/3para k= 0, 1, 2 es decir,

33

/12,

33

9/12y

33

17/12

La forma binmica de cada una de las tres races es:

3 3/8 =3 3 cos 12+isen 12 =

3 3cos 12+i3 3sen 12

33

9/8=

33

cos912

+isen912

=3

3cos912

+i3

3sen912

33

17/8=

33

cos1712

+isen1712

=3

3cos1712

+i3

3sen1712

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