Contrastes ortogonales:

Un contraste en estadística es una combinación lineal de las medias de los

tratamientos definida por la suma de productos de las medias de tratamiento

por un coeficiente. Estos coeficientes deben cumplir con la característica de

que su suma es igual a cero, de tal manera que para algunas medias sus

coeficientes asociados son positivos y para otras son negativos. Las reglas de

asignación de los coeficientes va a depender de la tendencia que se desee

encontrar o de la comparación de medias que se desee hacer. Cada contraste

tendrá asociado un grado de libertad, debido a que la comparación que se lleva

a cabo es entre dos grupos de tratamientos, lo que llevan el signo positivo

contra los que llevan el signo negativo. De esta manera el numero de posibles

contrastes ortogonales en un conjunto de datos corresponde exactamente a los

grados de libertad para los tratamientos.

Dos contrastes serán ortogonales si la suma de los productos de sus

correspondientes coeficientes es igual a cero. Esto implica que la covarianza

entre los dos contrastes es igual a cero, y por lo tanto los contrastes van a ser

independientes. En este sentido la ortogonalidad implica independencia. Si

todos los contrastes formulados son ortogonales entre si, entonces esto llevara

a que la suma de cuadrados acumulada en todos los contrastes ortogonales

corresponda exactamente a la suma de cuadrados de los tratamientos. La

suma de cuadrados asociada a un contraste se calcula por el cuadrado de la

combinación lineal de las medias multiplicada por el numero de repeticiones y

dividida por la suma de los cuadrados de los coeficientes de la combinación

lineal. Esta suma de cuadraos siempre lleva asociada un solo grado de

libertad.

Si se aplican contrastes no ortogonales, entonces existirá covarianza entre

ellos y esto implica que la información contenida en ellos esta relacionada en

un cierto grado, con lo cual se considera que la información contenida en los

datos esta siendo sobreutilizada. Esto se va a reflejar en el hecho de que el

acumulado de la suma de cuadrados de los contrastes no ortogonales no

cerrara a la suma de cuadrados de los tratamientos.

Contrastes ortogonales para el calculo de tendencias: Los contrastes

ortogonales pueden ser usados para estimar las sumas de cuadrados

asociadas a los diferentes componentes de un modelo polinomial, siempre y

cuando los datos experimentales tengan las siguientes dos características:

1. Experimento balanceado, lo que es un requisito general para aplicar

contrastes.

2. Los niveles del factor deben estar igualmente espaciados

Si alguna de estas características no se da en el conjunto de datos, se

recomienda aplicar la técnica de la regresión para llevar a cabo la separación

de la suma de cuadrados de tratamientos en las diferentes tendencias.

La siguiente tabla muestra los coeficientes de las combinaciones lineales para

cada una de las diferentes tendencias que se pueden ajustar a un conjunto de

datos de acuerdo al número de niveles del factor. Los coeficientes están en

orden creciente del factor.

Numero Trats Tendencia

Primer Nivel

Segndo Nivel

Tercer Nivel

Cuarto Nivel

Quinto Nivel

2 Lineal -1 13 Lineal -1 0 1

Cuadrática 1 -2 14 Lineal -3 -1 1 3

Cuadrática 1 -1 -1 1Cúbica -1 3 -3 1

5 Lineal -2 -1 0 1 2Cuadrática 2 -1 -2 -1 2Cúbica -1 2 0 -2 1Cuarto 1 -4 6 -4 1

Ejemplo numérico 5. Aplicar contrastes ortogonales al ejemplo numérico 1.

Vamos a llevar a cabo los cálculos en Excel y mostrarlos en la siguiente tabla.

Como puede ser observado los niveles se acomodan en orden creciente y así

también las medias por nivel. De la tabla de coeficientes se seleccionan los

correspondientes a 4 tratamientos.

Nivel 150 200 250 300medias 77.4333333 84.1 89.2666667 95.1333333Lineal -3 -1 1 3

Cuadrática 1 -1 -1 1Cúbica -1 3 -3 1Contr Lin -232.3 -84.1 89.2666667 285.4 58.2666667Contr Cuadr 77.4333333 -84.1

-89.2666667 95.1333333 -0.8

Contr Cubico

-77.4333333 252.3 -267.8 95.1333333 2.2

En la tabla están contenidos los cálculos del coeficiente por la media y en la ultima

columna su correspondiente suma. A partir de estos cálculos podemos determinar

la suma de cuadrados correspondientes a cada uno de los contrastes:

Para la tendencia lineal: S.C.Tend. Lineal = 3*(58.2666667)2/20 = 509.250667

Para la tendencia cuadrática: S.C.Tend Cuadr = 3*(-0.8)2/4 = 0.48

Para la tendencia Cúbica: S.C.Tend Cubica = 3*(2.2)2/20 = 0.726

Como puede ser comprobado, las sumas de cuadros para la tendencia lineal

coincide con la suma de cuadrados de la regresión lineal, y el acumulado de la

suma de cuadrados de la regresión cuadrática y cúbica coincide con la suma de

cuadrados de la falta de ajuste.

Se pudiera hacer el cuestionamiento acerca de la importancia de tener diferentes

métodos para realizar un mismo calculo. Aparte de la simplicidad de los

contrastes, otra gran ventaja es que puede ser utilizado para analizar los arreglos

factoriales de tratamientos que se verán posteriormente. Mediante la técnica de

contrastes ortogonales van a poder ser separadas las sumas de cuadrados en

componentes con un solo grado de libertad, sin importar la naturaleza de los

factores que se están investigando.

Contrastes ortogonales para comparación de medias: Para factores cualitativos, la

aplicación de los contrastes ortogonales es mas especifica para cada problema.

Se requiere de un conocimiento mas o menos profundo de lo que son los

tratamientos para poderlos agrupar. La idea de los contrastes para factores

cualitativos es ir formando dos grupos de comparación, cada uno de los cuales va

estar formado por uno o más tratamientos con alguna característica común. Cada

uno de los grupos se irán separando en otros dos grupos de comparación, en

base a otra característica de los tratamientos, y este proceso continuara hasta que

al final los contrastes comparen un tratamiento contra otro.

Ejemplo de aplicación conceptual 1: Suponga que se esta llevando a cabo una

investigación para seleccionar un ingrediente proteico en la elaboración de un

alimento para mascotas. Se prueban tres fuentes de proteína: Carne de res, carne

de cerdo y soya. Lleve a cabo la comparación de los tratamientos por contrastes

ortogonales:

Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estas tres fuentes son:

1. Proteína de origen animal (cerdo y res) contra proteína de origen vegetal

(soya).

2. Proteína de origen animal (res) contra proteína de origen animal (cerdo).

Ejemplo de aplicación conceptual 2: Supóngase que se esta llevando a cabo una

investigación en la que se desea evaluar diferentes fuentes de carnes no

convencionales en la elaboración de un producto carnico de bajo costo. El

producto tradicional se elabora con carne de cerdo, y se desea investigar fuentes

no convencionales que incluyen: Caballo, burro, gallina y pavo. Planear las

comparaciones demedias por contrastes ortogonales.

Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estos tratamientos son:

1. Testigo (cerdo) contra el promedio de los tratamientos (caballo, burro,

gallina y pavo).

2. Carnes de mamíferos (caballo y burro) contra carnes de aves (gallina y

pavo).

3. Caballo contra burro.

4. Gallina contra pavo.

Una vez que los contrastes ortogonales han sido planeados, debemos checar el

requisito de que el experimento este balanceado, y si es así debemos obtener los

coeficientes para cada uno de los contrastes. La mecánica para el calculo de los

coeficientes es la siguiente:

1. Los coeficientes de un grupo llevaran signo positivo y los del grupo

contrastante llevaran signo negativo. Esta es una selección

completamente arbitraria.

2. El valor del coeficiente de un grupo será igual al numero de tratamientos

que tiene el grupo contrastante.

Ejemplo numérico 6. Analice el ejemplo numérico 2 usando contrastes

ortogonales.

El ejemplo de los lubricantes y desgaste de las piezas consiste de tres

tratamientos, cada uno con 8 repeticiones. El A y B son lubricantes nuevos y

disponibles que se pueden usar en el proceso, y el lubricante C que es el que

convencionalmente se utiliza en el proceso. Entonces podemos generar los

siguientes contrastes con sus coeficientes y cálculos requeridos para

determinar las pruebas de significancia:

Lubricante A B CMedia 9.35 11.425 16.7125 SumaC vs (A B) 1 1 -2 -12.65A vs. B 1 -1 0 -2.075

C vs (A B) 9.35 11.425 -33.425A vs. B 9.35 -11.425 0

A partir de las cantidades en la tabla podemos calcular las sumas de

cuadrados correspondientes a cada contraste:

Contraste convencional vs. Nuevas alternativas:

S.C. = 8*(-12.65)2/6 = 213.3633

Contraste alternativa A vs. Alternativa B:

S.C. = 8*(-2.075)2/2 = 17.2225

Estas sumas de cuadrados pueden ser agregadas a la tabla de análisis de

varianza para completar las pruebas de significancia:

ANÁLISIS DE VARIANZAOrigen de las variaciones

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los cuadrados F

Entre grupos 230.585833 2 115.292917 8.74681521C vs. A B 213.363333 1 213.363333 16.1872773A vs. B 17.222500 1 17.222500 1.3066026Dentro de los grupos 276.80375 21 13.181131

Total 507.389583 23

El valor de P para el contraste C vs. A B resulto en 0.00061447 que es menor del

0.05, por lo que se concluye que este contraste es significativo, es decir, existe

diferencia entre el lubricante convencional y las nuevas alternativas.

El valor de P para el contraste C vs. A B resulto en 0.26587522 que es mayor del

0.05, por lo que se concluye que este contraste no es significativo, es decir, no

existe diferencia entre el lubricante las nuevas alternativas. Para la selección del

aceite entre las nuevas alternativas, se requiere de un criterio adicional, pues en

cuanto a la variable medida, el desgaste de las piezas, no existe una diferencia. El

criterio adicional puede ser el económico, ecológico, o algún otro en el que uno de

ellos tuviera ventaja.