UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”VICERECTORADO ACADÉMICOVICERECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA

UNIDAD IVUNIDAD IV

Coordenadas polares.Coordenadas polares.

Presentado por:Presentado por:

López Gonzysmar López Gonzysmar 24.165.13724.165.137

Profesor:Profesor:

Méndez DomingoMéndez Domingo

El sistema de coordenadas El sistema de coordenadas polarespolares

Las coordenadas polares son Las coordenadas polares son un sistema que define la posición de un sistema que define la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distanciay una distancia..

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (rayo, o se le llama origen o polo, y una recta dirigida (rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica, todo punto P del plano corresponde a un par ordenado métrica, todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia  r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada horario. La distancia  r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial», mientras que el ángulo es la «coordenada angular».radial», mientras que el ángulo es la «coordenada angular».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).representar el origen por (0,0º).

Consideremos estos 3 casos:Consideremos estos 3 casos:

Si r > 0, P estará en el lado terminal del ángulo θ a la Si r > 0, P estará en el lado terminal del ángulo θ a la distancia r origen.distancia r origen.

Si r < 0, P estará en el rayo opuesto al lado terminal del Si r < 0, P estará en el rayo opuesto al lado terminal del ángulo, a una distancia igual l r l = -r del poloángulo, a una distancia igual l r l = -r del polo

Si r = 0, P es el polo, ósea P = 0Si r = 0, P es el polo, ósea P = 0

Esta correspondencia entre el par ordenado (r, θ) y con el Esta correspondencia entre el par ordenado (r, θ) y con el punto P la denotaremos así P (r, θ), y diremos que r y θ son punto P la denotaremos así P (r, θ), y diremos que r y θ son coordenadas polares de P.coordenadas polares de P.

Eje Polar

r

Polo

O

P (r, θ)(r, θ)

θθ

θθ

(r, θ)(r, θ)

r

O

Θ + πΘ + π

Graficas de ecuaciones en Graficas de ecuaciones en coordenadas polarescoordenadas polares

Cuando se dibujan gráficas en coordenadas Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe identificarse algunos valores polares, debe identificarse algunos valores mostrados de θ correspondientes a r = 0 o donde mostrados de θ correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo. Además, debe r alcanza un máximo o un mínimo. Además, debe identificar el rango de valores de θ que producen identificar el rango de valores de θ que producen una copia de la curva polar, cuando ésta es una copia de la curva polar, cuando ésta es apropiada. Se deduce que muchas curvas apropiada. Se deduce que muchas curvas familiares tienen ecuaciones polares sencillas familiares tienen ecuaciones polares sencillas

La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los cuales x = r cos conjunto de puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ, y = r sen θ, y r= f (θ). En otros términos, la θ, y = r sen θ, y r= f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano x,y de todos los puntos cuyas coordenadas plano x,y de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada. polares satisfacen la ecuación dada.

Intersección Intersección de graficas en de graficas en coordenadas polarescoordenadas polares

El hecho de poder representar un punto en El hecho de poder representar un punto en coordenadas polares de diferentes maneras, exige coordenadas polares de diferentes maneras, exige que tengamos aun mas cuidado al decidir cuando que tengamos aun mas cuidado al decidir cuando un punto se encuentra sobre la gráfica de una un punto se encuentra sobre la gráfica de una ecuación polar, así como al determinar los puntos ecuación polar, así como al determinar los puntos en que se intersecan en las gráficas polares. El en que se intersecan en las gráficas polares. El problema es que un punto de intersección puede problema es que un punto de intersección puede satisfacer la ecuación de una curva con ciertas satisfacer la ecuación de una curva con ciertas coordenadas polares que son a su vez diferentes a coordenadas polares que son a su vez diferentes a las que satisfacen a la ecuación de la otra curva. las que satisfacen a la ecuación de la otra curva. Así, al resolver simultáneamente las ecuaciones Así, al resolver simultáneamente las ecuaciones de dos curvas, es posible que no queden de dos curvas, es posible que no queden identificados todos los puntos de intersección. identificados todos los puntos de intersección. Una manera segura de identificar todos los puntos Una manera segura de identificar todos los puntos de intersección es graficar las ecuaciones.de intersección es graficar las ecuaciones.

Calcular el área de una Calcular el área de una región plana en región plana en

coordenadas polarescoordenadas polaresEl desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va

paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. elementos básicos de dicha área.

            Consideremos la función dada por r= f (θ), donde f es Consideremos la función dada por r= f (θ), donde f es continua y no negativa en el intervalo[ a , b ] . La región limitada continua y no negativa en el intervalo[ a , b ] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el intervalo[ a , b ] en n sub-intervalos iguales a =  intervalo[ a , b ] en n sub-intervalos iguales a =  θ <  θ <  θ  <........<  θ <  θ = bθ <  θ <  θ  <........<  θ <  θ = b

          A continuación aproximamos el área de la región por la suma A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n sectores.de las mismas de los n sectores.

          Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores positivos y no es necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo[ a , b ] .negativos en el intervalo[ a , b ] .

          Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una región polar es determinar los límites de integración. Un buen región polar es determinar los límites de integración. Un buen dibujo de la región puede ayudar mucho en estos casos.dibujo de la región puede ayudar mucho en estos casos.