Coordenadas polares

Coordenadas polares

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, en este sistema se necesitan un ngulo () y una distancia (r). Para medir , en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

Si queremos localizar un punto (r,) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, despus trazar una lnea con un ngulo de inclinacin y, por ltimo, localizamos el punto de interseccin entre la circunferencia y la recta; este punto ser el que queramos localizar.

A continuacin localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo nico que hace falta es encontrar el ngulo de inclinacin. Para medir el ngulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.

Como ves los ngulos pueden ser negativos dependiendo de cmo se midan a partir del eje polar,

tambin podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ngulo, la recta que parte del polo en esa direccin tendrn un radio positivo y los puntos que estn sobre la prolongacin de esta recta en sentido contrario al polo tendrn un radio negativo. Por ejemplo:

Con estos conceptos bsicos de localizacin de puntos en el sistema de coordendas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos.En este tipo de funciones la variable independiente es y la dependiente es r, as que las funciones son del tipo r = r(). El mtodo para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la funcin r = r() en coordenadas rectangulares y apartir de esa grfica trazamos la correspondiente en polares. Guindonos con la dependencia de r con respecto a .

Recordemos que es la variable independiente y va de 0 a 2 generalmente. Por ejemplo la funcin r = tiene como grfica en rectangulares

A la izquierda vemos que el radio depende linealmente con el ngulo, es decir que el radio crecer y tomar los mismos valores que el ngulo. Y a la derecha tenemos esta grfica en coordenadas polares se ve claro esta dependencia del radio con el ngulo. A esta grfica se le llama Espiral de Arqumedes

Mostraremos a continuacin algunas grficas en coordendas polares.

r = sen(2)

r = sen(3)

r = sen(4)

r = sen(5)

Hasta aqui hemos visto que las funciones del tipo r = sen(a) son rosas o rosetas. El nmero de ptalos depende del valor de a, si a es par, el nmero de ptalos es 2a; y si a es impar el nmero de ptalos es a.

Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrn se puede hacer una tabulacin slo con algunos valores de que casi siempre son: 0, /2, , 3/2, 2. y ver cmo cambia el valor de r.

r = 1- sen()

Aqu observamos que el radio siempre es positivo y va de 1 a 2.

Si quieres ver ms detalle cmo graficar este tipo funciones, mndanos un correo a la direccin tmatep8@www.dynamics.unam.edu y con gusto te mandaremos ms informacin. De todas formas vistanos constantemente ya que estamos en un periodo de actualizaciones.