GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

Lección 3. Curvas.

1

3. Área en coordenadas polares. En la lección anterior vimos cómo se calculaban áreas en coordenadas cartesianas mediante una integral. Ahora estableceremos una fórmula similar en coordenadas polares.

Consideremos la curva en coordenadas polares dada por la función r :θ ∈ α ,β[ ]→ r (θ )∈ , donde

( )r r θ= es una función continua. La región ( ){ }: , : , 0 ( )A r r rθ α θ β θ= ≤ ≤ ≤ ≤ cuya área quere-mos calcular es la que se muestra sombreada en la siguiente figura, está limitada por la curva y las semirrectas de ecuaciones θ α= y .θ β=

Para obtener una expresión de esta área tomemos una partición 0 1 2 nθ α θ θ θ β= < < < < = del intervalo [ ],α β y en cada subintervalo genérico 1[ , ]k kθ θ− elegimos un punto arbitrario .kt Entonces el área encerrada por la curva y los rayos θ α= y θ β= se puede aproximar por la suma

área(S1)+ área(S2 )+ + área(Sn),

donde kS es el sector circular de radio ( )kr t y ángulo 1.k kθ θ −− Observa la siguiente figura

donde hemos dibujado la curva y uno de estos sectores circulares. De forma que al aumentar el número de puntos de la partición, esta suma tiende al área de la región limitada por la curva

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

Lección 3. Curvas.

2

( )r r θ= y los rayos θ α= y .θ β= Cada subintervalo genérico 1[ , ]k kθ θ− determina un sector cir-cular .kS El área de este sector circular1 está dada por

21 1

1 1 1área( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ).2 2 2k k k k k k k k k kS s r t r t r t r tθ θ θ θ− −= = − = −

Entonces

área(Sk )k=1

n

∑ =12

r (tk )2(θk −θk−1)k=1

n

∑ =12

r (tk )2(θk −θk−1)k=1

n

∑Suma de Riemann de la función r (θ )2

21 ( ) .2

r dβ

αθ θ→ ∫

DEFINICIÓN. Sea ( )r r θ= la ecuación en coordenadas polares de una curva y supongamos que ( )r θ es continua en el intervalo cerrado [ ], .α β Se define el área de la región limitada por la curva y las

semirrectas de ecuaciones θ α= y θ β= como la integral 21 ( ) .2

r dβ

αθ θ∫

EJEMPLO. Calculemos ahora el área que encierra la cardioide de ecuación 1 cos .r θ= − Sabemos que la fórmula para el cálculo del área es

( ) ( ) ( )

( )

2 222 2 2

0 0

22

0 0

1 1 1 1( ) 1 cos 1 2cos cos cos 1 cos(2 )2 2 2 2

1 1 1 1 11 2cos 1 cos(2 ) 2 sen(2 )2 2 2 2 2

1 1 32 2 .2 2 2

r d d d

d

β π π

α

ππ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ π θ θ

ππ π

⎡ ⎤= − = − + = = +⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎤= − + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

Para calcular el área de una región como la de la siguiente figura,

1 NOTA. Como en el caso de un triángulo, el área de una sector circular de longitud de arco s y radio r es 1 ,

2sr o equi-

valentemente, si θ es el ángulo del sector circular, con lo que ,s rθ= entonces el área del sector circular es 21 .2

r θ

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

Lección 3. Curvas.

3

comprendida entre dos curvas de ecuaciones polares 1( )r r θ= y 2 ( )r r θ= entre los rayos de ecua-ciones θ α= y ,θ β= simplemente restamos las áreas que encierran cada una de ellas en este sec-tor. Entonces obtenemos la siguiente definición.

DEFINICIÓN. El área de la región limitada por la curvas de ecuaciones polares 1( )r r θ= y 2 ( )r r θ=

y los rayos de ecuaciones θ α= y θ β= se define como la integral ( )2 22 1

1 ( ) ( ) .2

r r dβ

αθ θ θ−∫

EJEMPLO. Vamos a calcular el área encerrada por la circunferencia de ecuación polar 1r = que se encuentra fuera de la cardioide de ecuación polar 1 cos .r θ= − En primer lugar dibujamos la región para determinar los límites de integración.

Observa que la curva exterior es 1r = mientras que la curva interior es 1 cos .r θ= − La variable θ

recorre el intervalo , .2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

Entonces el área es

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

22 22 2 21 2

2 2

22

0

2

0

1 1 1( ) ( ) 1 1 cos 2cos cos2 2 2

1 1cos 1 cos(2 ) 2cos 1 cos(2 )2 2

sen(2 )2sen 2 .2 4 4

r r d d d

d

π πβ

π πα

π

π

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ πθ

− −− = − − = −

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = + = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎛ ⎤= − − = −⎜ ⎥⎝ ⎦

∫ ∫ ∫

∫

EJERCICIO 1. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar 1 sen .r θ= + EJERCICIO 2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar 4 cos(2 ) .r θ=

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

Lección 3. Curvas.

4

EJERCICIO 3. Calcula el área de la región limitada por la cardioide 2 2cosr θ= − y la circunferen-cia 6cos .r θ= − EJERCICIO 4. Calcula el área de la región comprendida entre las circunferencias

a) 2cosr θ= y 2sen ,r θ= b) 1r = y 2sen .r θ= EJERCICIO 5. Calcula el área de la región comprendida entre las curvas

a) 2r = y 2(1 cos ),r θ= − b) ( )2 1 cosr θ= + y ( )2 1 cos .r θ= − EJERCICIO 6. Calcula el área de la región que es interior a la lemniscata 2 6cos(2 )r θ= y exterior a la circunferencia 3.r = EJERCICIO 7. Calcula el área de la región que es interior a la circunferencia 3 cosr a θ= y exterior a la cardioide ( )1 cos ,r a θ= + siendo 0.a >