CLCULO II

Captulo IIICOORDENADAS CURVILINEASIntroduccin: En matemticas existen distintos tipos de coordenadas, todos estos sistemas de coordenadas son utilizados para determinar un punto en el plano o en el espacio. En la mayora de los problemas se usan coordenadas cartesianas rectangulares pero ciertos ejercicios se complica de sobre manera la construccin de la grfica especialmente por la dificultad de despejar la variable dependiente, es por esto la necesidad de usar otro tipo de coordenadas estas son denominadas coordenadas curvilneas y existen tanto para el plano como para el espacio. Entre las ms utilizadas tenemos para el plano: polares y para el espacio: cilndricas y esfricas as como sus generalizadas.En el Plano: Como ya se mencion lneas arriba en el plano tenemos entre las ms importantes a las coordenadas polares y su generalizada.Coordenadas Polares: En el sistema de coordenadas polares, un punto en el plano se describe por . Donde r es la distancia del punto P hacia un punto fijo llamado polo u origen, es el ngulo de esa distancia respecto de una recta fija, que se inicia en el polo (Eje polar).Cuando se trabaja con coordenadas polares se emplean los llamados mapas polares, donde mediante circunferencias concntricas se tienen las referencias sobre la distancia r a partir del polo u origen y algunos ngulos notables a partir del eje polar.Relaciones entre Coordenadas Polares y Cartesianas: Para referir las coordenadas polares a coordenadas rectangulares, se debe hacer coincidir el polo con el origen y el eje polar con el semieje positivo de las abscisas. Relaciones de Coordenadas Polares a Cartesianas:

Relaciones de Coordenadas Cartesianas a Polares:

Ejem. 1 Dadas las siguientes ecuaciones en rectangulares, llevar a coordenadas polares y graficar las mismasEjem. 2 Dadas las siguientes ecuaciones en polares, graficar las mismas y luego llevar a coordenadas rectangulares.Coordenadas Polares Generalizadas: Las coordenadas curvilneas generalizadas, son coordenadas que a partir de las curvilneas se desarrollan de manera tal que la curva o superficie pueda expresarse de una manera simple, para as simplificar el anlisis respectivo. Las coordenadas curvilneas generalizadas presentan constantes que deben ser pre-determinadas de manera tal que simplifiquen la ecuacin (En particular se busca las coordenadas polares normales). Relaciones de Coordenadas Polares Generalizadas a Cartesianas:

Relaciones de Coordenadas Cartesianas a Polares Generalizadas:

Ejem. 3 Dadas las siguientes ecuaciones en rectangulares llevar a coordenadas polares generalizadasEn el Espacio: Tenemos entre las ms importantes las coordenadas cilndricas, esfricas y sus generalizadas.Coordenadas Cilndricas: Las coordenadas cilndricas no son ms que una ampliacin de las polares pero para el espacio, es decir que un punto en el espacio puede describirse como:, donde son las coordenadas polares y z es la distancia P al plano polar. Relaciones de Coordenadas Cilndricas a Cartesianas:

Relaciones de Coordenadas Cartesianas a Cilndricas:

Coordenadas Cilndricas Generalizadas: Se aumentan constantes predeterminadas a las coordenadas cilndricas normales para efectos de simplificacin. Relaciones de Coordenadas cilndricas Generalizadas a Cartesianas:

Relaciones de Coordenadas Cartesianas a Cilndricas Generalizadas:

Coordenadas Esfricas: Un punto en el espacio en coordenadas esfricas est dado por: , donde r es la distancia del punto P hacia el polo u origen, es el ngulo con respecto al eje polar de la proyeccin de la distancia sobre el plano polar, posee el mismo significado que en cilndricas o polares; es el ngulo entre el eje z y la distancia. Relaciones de Coordenadas Esfricas a Cartesianas:

Relaciones de Coordenadas Cartesianas a esfricas:

Coordenadas Esfricas Generalizadas: Son las siguientes: Relaciones de Coordenadas Esfricas Generalizadas a Cartesianas:

Relaciones de Coordenadas Cartesianas a Esfricas Generalizadas:

,

Ejem. 4Ejercicios:Ing. DAEN. Rosio Carrasco MendozaPgina 4