CQSS.pdf

AADECA 2008 - Semana del Control Automatico - XXIo Congreso Argentino de Control Automatico

1 al 3 de Septiembre de 2008 - Buenos Aires, Argentina.

METODOS DE INTEGRACION POR

CUANTIFICACION EN SISTEMAS

HAMILTONIANOS.

Mario Bortolotto ,1 Ernesto Kofman ,2

Gustavo Migoni ,3

Laboratorio de Sistemas Dinamicos. FCEIA-UNR.CIFASISCONICET. Riobamba 245 bis - (2000) Rosario.

bortolotto,kofman,[email protected]

Resumen: Este artculo estudia algunas propiedades de los metodos de integracion porcuantificacion al ser aplicados a sistemas Hamiltonianos. En base a este estudio, sedesarrolla un nuevo metodo denominado CQSS (Centered Quantized State Systems)que permite integrar sistemas Hamiltonianos conservando las principales propiedadesgeometricas. Ademas de ser el primer metodo de cuantificacion para sistemasHamiltonianos, CQSS tiene la particularidad de ser un metodo explcito. Se presentantambien dos ejemplos practicos que ilustran algunas de las propiedades del nuevometodo.

Palabras claves: Sistemas Hamiltonianos, Integradores Geometricos, Integracionbasada en la Cuantificacion, DEVS.

1. INTRODUCCION

Los sistemas Hamiltonianos constituyen una claseespecial dentro de los sistemas de ecuaciones difer-enciales ordinarias, dentro de la que se puedenencuadrar la mayor parte de los sistemas fsicosque conservan energa.

Desde el punto de vista matematico, son sistemascuya evolucion temporal cumple ciertas carac-tersticas geometricas que a su vez tienen unainterpretacion fsica importante.

Dado que en general estos sistemas no se puedenintegrar de manera analtica, se debe recurrir ala integracion numerica y el problema es quela mayor parte de los metodos de integracionno conservan las caractersticas geometricas antesmencionadas.

1 Becario Doctoral CONICET.2 Docente UNR-FCEIA, Investigador Ajunto CONICET.3 Docente FCEIA-UNR, Becario Doctoral CONICET.

Por ejemplo, si utilizamos el metodo de ForwardEuler (o cualquier metodo explcito de RungeKutta) en un sistema Hamiltoniano lo primeroque observaremos es que la energa aumenta amedida que pasa el tiempo. De manera similar,si utilizamos Backward Euler observaremos quela energa disminuye.

Estas distorsiones en las soluciones numericas mo-tivaron el desarrollo de ciertos metodos de inte-gracion que conservan las distintas propiedadesgeometricas de los sistemas Hamiltonianos, lo quedio lugar a la teora de integradores geometricos(Hairer et al., 2006).

Un enfoque escencialmente distinto al de los meto-dos de integracion clasica (y al de los metodos deintegracion geometricos que tambien se basan enla discretizacion del tiempo) surge al reemplazarla discretizacion del tiempo por la cuantificacionde las variables de estado. Esta idea dio lugar alos metodos de integracion por cuantificacion, queaproximan las ecuaciones diferenciales ordinarias



por sistemas de eventos discretos en terminos delformalismo DEVS (Zeigler et al., 2000).

El primero de estos metodos es el de QSS1 (Quan-tized State Systems) Kofman and Junco (2001),que realiza una aproximacion de primer orden.En base a principios similares, se desarrollarontambien metodos de segundo orden (QSS2) (Kof-man, 2002) y de tercer orden (QSS3) (Kofman,2006), que permiten obtener una mejor precisionsin incrementar mucho el numero de calculos ytambien se desarrollo un metodo de primer ordenpara sistemas stiff denominado BQSS (BackwardQSS) (Migoni et al., 2007).

Los metodos de QSS tienen propiedades teoricasmuy fuertes (estabilidad y existencia de cota deerror global calculable para sistemas lineales) ypresentan grandes ventajas al simular sistemasdiscontinuos Kofman (2004). Sin embargo, comoveremos, no son apropiados para la simulacionde sistemas Hamiltonianos al no conservar lasprincipales propiedades geometricas.

En este trabajo entonces estudiaremos el proble-ma de la aplicacion de los metodos de integracionpor cuantificacion en sistemas Hamiltonianos, de-sarrollando un nuevo metodo (denominado CQSS)que conserva las principales caractersticas ge-ometricas de dichos sistemas.

El artculo esta organizado como sigue: tras lapresentacion de los conceptos y principios de lossistemas Hamiltonianos y de la integracion ge-ometrica, la seccion 2 repasa los metodos de in-tegracion por cuantificacion y muestra los prob-lemas que tienen para simular sistemas Hamil-tonianos. Luego, la seccion 3 presenta el resul-tado principal: un estudio de las caractersti-cas que deben tener los MIC para conservarpropiedades geometricas en sistemas Hamiltoni-anos y la definicion de un metodo que cumple conestas propiedades (CQSS). Por ultimo, la seccion 4muestra algunos resultados de simulacion con estenuevo metodo que corroboran sus propiedadesgeometricas.

1.1 Sistemas Hamiltonianos e IntegradoresGeometricos

Integracion geometrica es el termino que sesuele usar para describir los metodos numeri-cos utilizados para resolver ecuaciones diferen-ciales que preservan una o mas propiedadesfsicas/matematicas del sistema original.

Dentro de los sistemas con propiedades geometric-as especiales, encontramos a los sistemas Hamilto-nianos. Estos pueden ser descritos por ecuacionesdiferenciales de la forma:

x1 = H

x2(x1,x2),

x2 =H

x1(x1,x2)

(1)

donde x1,x2 d constituyen el estado, H :

d d es el llamado Hamiltoniano delsistema y d es el numero de grados de libertad(dimension del problema). Es comun encontrar elHamiltoniano dado de la siguiente forma:

H(x1,x2) =1

2xT1 M(x2)

1x1 + U(x2) (2)

siendo M(x2) una matriz simetrica de masa ydefinida positiva, y la matriz de potencial U(x2).En este caso la funcion H(x1,x2) representa laenerga total del sistema.

Los sistemas Hamiltonianos cumplen con variaspropiedades geometricas debido a su estructura(Hairer, 2005).

Denominando flujo, t(y), a la solucion analticadel sistema partiendo de un conjunto de condi-ciones iniciales y = (x1,x2) a lo largo del tiempot, se cumplen las siguiente propiedades.

1. La propiedad de grupo, t s = t+s, essatisfecha por toda ecuacion diferencial. Uncaso particular de esta propiedad es la desimetra:

t t = 0 = identidad (3)

2. El Hamiltoniano H(x1,x2) es constante atraves de las soluciones de (1) lo cual significaque la energa se conserva.

3. El flujo, o solucion analtica, de (1) es unatransformacion simplectica, es decir,

t(y)T Jt(y) = J, t 0, J =

(0 II 0

)

(4)donde la prima en t(y) denota la derivacioncon respecto a y. Debido a que dett(y) = 1,esto implica que el flujo es conservatorio delvolumen

(t(A)) = (A)t 0 (5)

Para sistemas de un solo grado de libertadsimplecticidad es equivalente a preservaciondel area del flujo.

4. Si H(x1,x2) = H(x1,x2) , el flujo tes -reversible con respecto a la reflexion(x1,x2) = (x1,x2), o sea satisface:

( t)(y) = (1t )(y) t,y (6)

La idea de los integradores geometricos es quepreserven algunas de las propiedades antes enu-meradas.

Asumiendo que un metodo numerico para resolverecuaciones diferenciales ordinarias es un mapeo



h definido sobre el espacio de estados que aprox-ima en tiempo h el flujo t, la aproximacionnumerica en el tiempo t = nh es obtenida pormedio de yn = h(yn1).

En funcion de las propiedades geometricas que elmetodo preserva, decimos lo siguiente:

1. El metodo es simetrico, o reversible en eltiempo, si satisface

h h = I o h = 1h, (7)

2. es conservatorio de la energa a traves de lassoluciones numericas de (1) si

H(x1n,x2n) = constante, (8)

3. es llamado simplectico si h satisface

h(y)TJh(y) = J, (9)

4. es -reversible si, cuando H(x1,x2) =H(x1,x2), resulta que

( h)(y) = (1h )(y) h,y. (10)

Un ejemplo de metodo simetrico es la regla im-plcita del punto medio:

yn+1 = yn + h f(yn + yn+1

2) (11)

(puede verse facilmente la simetra ya que laformula queda inalterada despues de intercambiaryn yn+1 y h h.

Un ejemplo de metodo simplectico en tantoesta dado por el metodo de Euler simplectico:

x1n+1 = x1n h H

x2(x1n+1 ,x2n)

x2n+1 = x2n + h H

x1(x1n+1 ,x2n)

(12)

Como podemos ver, ambos metodos son im-plcitos, y esto es una caracterstica general de losintegradores geometricos. Hay casos particulares(cuando el Hamiltoniano es separable) en el quealgunos de estos metodos se vuelven explcitos(Hairer et al., 2006).

2. METODOS DE INTEGRACION PORCUANTIFICACION

Esta seccion presenta los principios de los meto-dos de integracion por cuantificacion y muestralos problemas que tienen para simular sistemasHamiltonianos.

2.1 Ejemplo introductorio

Consideremos el siguiente sistema (correspondi-ente a un oscilador armonico):

x1 = x2

x2 = x1(13)

y la siguiente aproximacion:

x1 = int(x2) , q2

x2 = int(x1) , q1(14)

Aqu, las variables qi (en este caso la parte enterade xi) se denominan variables cuantificadas. Estenuevo sistema modificado (que denominaremossistema cuantificado) puede resolverse de muyfacilmente de manera analtica.

Por ejemplo, considerando condiciones inicialesx1(0) = 4,5 y x2(0) = 0,5 ocurre lo siguiente: ent = 0 tenemos q1 = 4 y q2 = 0. Por lo tanto x1 = 0y x2 = 4. Esta situacion se mantiene hasta quexi = qi o hasta que xi = qi + Qi para i = 1 oi = 2.

El proximo cambio en q2 es entonces agendadopara t = 0,5/4 = 0,125 mientras que en el casode q1 quedara agendado para t = ya que lapendiente de x1 es nula.

Por lo tanto en t = 0,125 hay un nuevo pasotras el cual , q1(0,125) = 4, q2(0,125) = 1,x1(0,125) = 4, 5 y x2(0,125) = 0. Las derivadasquedan x1 = 1 y x2 = 4. El proximo cambioen q1 se reagenda para t = 0,125 + 0,5/1 = 0, 625mientras el siguiente cambio en q2 se agenda ent = 0,125+1/4 = 0,375. Por lo tanto , el siguientepaso es en t = 0,375.

En t = 0,375 tenemos q1(0,375) = 4, q2(0,375) =2, x1(0,375) = 4,25 y x2(0,375) = 2 y lasderivadas son x1 = 2 y x2 = 4. Luego elproximo paso de q2 esta agendado en el tiempot = 0,375+1/4 = 0,625 y en q1 sera en t = 0,375+0,25/2 = 0,5.

Por lo tanto el proximo paso es en t = 0,5 dondesera q1(0,5) = 3, q2(0,5) = 2, x1(0,625) = 4 yx2(0,5) = 2,5 y las derivadas son x1 = 2 yx2 = 3.

Ahora tenemos que el proximo paso para q1esta agendado para t = 0,5 + 1/2 = 1 y paraq2 en t = 0,5 + 0,5/3 0,667.

Por lo tanto en t 0,667 se produce laconmutacion de , q2(0,667) = 3, quedandoq1(0,667) = 3,x1(0,667) = 3,667 y x2(0,667) = 2y las derivadas son x1 = 3 y x2 = 3.

Si continuamos los calculos de este modo, en-contramos que cuando t = 6,22222... se repitenuevamente la condicion inicial. La simulacionresultante se muestra en la Figura 1.

En este caso, el metodo utilizado parece funcionarmuy bien, ya que conserva incluso la caractersticaperiodica de la solucion original (lo cual es unhecho muy interesante pensando en integraciongeometrica).

Sin embargo, en casos generales, este metodo nofuncionara debido a que pueden aparecer oscila-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4

3

2

1

0

1

2

3

4

Curva de las variables de estado y las variables cuantificadas

Time[seg]

q1,x

1,q2

,x2

q1x1q2x2

Figura 1. Solucion analtica del sistema cuantifi-cado de la Ec.(14)

ciones infinitamente rapidas (Cellier and Kofman,2006). Este problema se soluciona con el agregadode histeresis, lo que nos lleva a la definicion delmetodo de QSS.

2.2 Metodos de QSS

Dado el sistema 4 :

x(t) = f(x(t)) (15)

el metodo de QSS1 lo aproxima por

x(t) = f(q(t)) (16)

En este ultimo sistema, q es el vector de variablescuantificadas, cuyas componentes se relacionancon las del vector de estado x mediante la sigu-iente funcion de cuantificacion con histeresis:

qj(t) =

qj(t

) + Qj si xj(t) qj(t) Qj

qj(t)Qj si qj(t

) xj(t) jqj(t

) en otro caso

donde Qj se denomina quantum y j se denom-ina ancho de histeresis.

El ancho de histeresis en general se toma igual alquantum (para reducir oscilaciones sin aumentarel error). En tal caso, puede verse facilmenteque qj(t) sigue una trayectoria seccionalmenteconstante, que solo cambia cuando la diferenciacon xj(t) se hace igual al quantum, y tras cadacambio queda qj(t) = xj(t).

El sistema definido por el metodo de QSS1 (16)es equivalente a un modelo DEVS (Zeigler et al.,2000), por lo que la forma habitual de implemen-tar este metodo es a traves de simuladores desistemas DEVS.

4 Aqu definimos los metodos de QSS solo para sistemasinvariantes en el tiempo, ya que trataremos con sistemasHamiltonianos. La definicion general, sin embargo, incluyetambien los casos forzados (Cellier and Kofman, 2006).

Ademas del metodo de QSS1, existen metodossimilares de orden superior: QSS2 (Kofman, 2002)y QSS3 (Kofman, 2006); y un metodo para sis-temas stiff denominado BQSS (Migoni et al.,2007).

Un resumen de las propiedades teoricas y de lametodologa de implementacion de dichos meto-dos puede encontrarse en los Captulos 11 y 12 de(Cellier and Kofman, 2006).

2.3 Metodos de QSS en sistemas Hamiltonianos

Utilizando los metodos de integracion por cuan-tificacion de QSS1 (metodo explcito de 1er orden)y BQSS (metodo Backward de 1er orden) simu-lamos el sistema de la Ecuacion (13), en amboscasos utilizando el quantum igual a 1.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10080

60

40

20

0

20

40

60

80Resultado Metodo QSS

Time[seg]

x1,x

2

x1x2

Figura 2. Simulacion del oscilador armonico conQSS1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5Resultado Metodo BQSS

Time[seg]

x1,x

2

x1x2

Figura 3. Simulacion del oscilador armonico conBQSS

Como se ve en los resultados, mostrados en lasFiguras 2 y 3, en ninguno de los dos casos sepreserva la respuesta cualitativa del sistema.



La unica diferencia entre el metodo de QSS1 y elmetodo usado en el ejemplo introductorio (consis-tente en tomar qi como la parte entera de xi) es lapresencia de histeresis. Aparentemente, la histere-sis es lo que arruino la propiedad geometrica quese observaba en la Fig.1.

En la siguiente seccion utilizaremos esta obser-vacion como base para desarrollar una pequenateora sobre integracion geometrica por cuantifi-cacion.

3. METODOS GEOMETRICOS DE QSS

Aqu estudiaremos en primer lugar las principalespropiedades geometricas de los metodos de QSSsin histeresis, y desarrollaremos un nuevo meto-do que satisface propiedades de simetra y reversibilidad.

3.1 Resultado Principal

Los siguientes resultados muestran que los meto-dos de QSS sin histeresis son siempre simetri-cos, que bajo cierta condicion en la cuantificacionpreservan la reversibilidad respecto de la re-flexion y que, bajo ciertas restricciones adicionalesen el sistema Hamiltoniano original, son tambiensimplecticos y conservan la energa.

Teorema 3.1. Supongamos que un metodo de in-tegracion aplicado al sistema de la Ec.(15) re-suelve analticamente el sistema de la Ec.(16),donde qi = qi(xi) es una funcion sin memoria (porlo tanto sin histeresis).

Entonces, dicho metodo resulta ser simetrico.

Demostracion. Definiendo:

fQ(x) , f(q(x)) (17)

el sistema (16) puede reescribirse como

x(t) = fQ(q(t)) (18)

que es una ecuacion diferencial normal, por lotanto su solucion es simetrica. 2

Teorema 3.2. Supongamos que un metodo de in-tegracion aplicado al sistema de la Ec.(15) re-suelve analticamente el sistema de la Ec.(16),donde qi = qi(xi) es una funcion sin memoria (porlo tanto sin histeresis) que ademas es impar, esdecir, qi(xi) = qi(xi) .

Entonces, dicho metodo preserva la reversibilidad respecto a la reflexion.

Demostracion. De la definicion de reversibilidad (Hairer et al., 2006), resulta que una

ecuacion diferencial de la forma (15) es reversiblerespecto a una transformacion lineal invertible del espacio de estados si se cumple que

(f(x)) = f((x)) (19)

Notar que debido a la propiedad qi(xi) =qi(xi) (q es impar), resulta que cuando es unareflexion, (q(x)) = q((x)).

Entonces, definiendo fQ como en la Ec.(17), vemosque

(fQ(x)) = (f(q(x))) por definicion de fQ

= f((q(x))) porque f es reversible

= f(q((x))) porque q es impar

= fQ((x))

lo que demuestra que fQ es reversible respectode la reflexion. Es decir, la solucion numericapreserva la reversibilidad. 2

Teorema 3.3. Supongamos que un metodo deintegracion aplicado al sistema (15) resuelveanalticamente el sistema (16), donde qi = qi(xi)es una funcion sin memoria.

Entonces, dicho metodo aplicado a un sistema

Hamiltoniano donde 2H

xixj= 0 si i 6= j, resuelve

de manera analtica un sistema Hamiltoniano sim-ilar al original.

Demostracion. Dado el HamiltonianoH(x1,x2), el sistema tiene la forma:

x1 = H

x2(x1,x2)

x2 =H

x1(x1,x2)

(20)

El sistema cuantificado, en tanto, se puede escribircomo:

x1 = H

x2(q1(x1),q2(x2)),

x2 = H

x1(q1(x1),q2(x2))

(21)

Definimos una funcion HQ(x1,x2) de la siguientemanera:

HQ(x) ,

ni=1

HQi(x) (22)

donde las HQi(x) estan definidas como:

HQi(x) ,

xi0

H

xi(q(z(i)))dzi (23)

Aqu, z(i) es tal que:

z(i)j =

{zi, i=j;xj , i6= j.

(24)

Teniendo en cuenta que

2H

xixj= 0, i 6= j (25)



resulta que

HQi(x)

xj=

H

xi(q(x)), si i=j;

0, si i6=j.(26)

Entonces, considerando la Ec.(22), resulta que

HQ(x)

xi=

H

xi(q(x)) (27)

de donde,

HQ(x)

x1=

H

x1(q(x)) (28)

yHQ(x)

x2=

H

x2(q(x)) (29)

Reemplazando en la Ec.(21) resulta:

x1 = HQx2

(x1,x2)

x2 =HQx1

(x1,x2)

(30)

que define un sistema Hamiltoniano normal conHamiltoniano HQ. 2

Corolario 3.1. Un metodo que cumple con lashipotesis del teorema 3.3, aplicado a un sistemaHamiltoniano que cumple las hipotesis adicionalesde dicho teorema, es simetrico, simplectico y con-serva la energa.

Demostracion. Todas estas propiedades secumplen ya que la solucion numerica del metodoes la solucion analtica de un sistema Hamiltoni-ano, con H = HQ. 2

3.2 Metodo de CQSS (Centered Quantized StateSystem)

Como se pudo ver en la seccion 2.1, el metodo deintegracion aplicado en el ejemplo introductorio(consistente en cambiar xi por int(xi)) verificalas hipotesis del Teorema 3.1. Ademas, como elsistema Hamiltoniano de dicho ejemplo verificalas hipotesis del Teorema 3.3, obtuvimos unasolucion que cumple con todas las propiedades delos sistemas Hamiltonianos.

Sin embargo, en casos mas generales, la fun-cion de cuantificacion utilizada no cumple con lashipotesis del Teorema 3.2 ya que int(xi)) no esuna funcion impar.

Por otro lado, el error en los metodos de QSSsiempre depende de la maxima diferencia entreqi y xi (Cellier and Kofman, 2006).

Entonces, si queremos llevar al mnimo la difer-encia entre las variables cuantificadas qi y lasvariables de estado xi, y ademas conservar la

propiedad de reversibilidad, no debemos utilizarla parte entera sino el promedio entre el piso yel techo de cada intervalo de cuantificacion. Estodefine el metodo de QSS Centrado (CQSS).

Definicion 3.1. Dado el sistema:

x(t) = f(x, t) (31)

el metodo CQSS lo aproxima por:

x(t) = f(q, t) (32)

donde las componentes qi de q verifican:

qi(t) = int

(xi(t)

Qi

)Qi +

Qi2

(33)

En virtud de los Teoremas 3.1 y 3.2, el meto-do de CQSS resulta simetrico y preserva la reversibilidad respecto de la reflexion. Estas dospropiedades son suficientes para garantizar que elmetodo tendra un muy buen comportamiento alargo plazo con respecto a la conservacion de laenerga (Hairer et al., 2006).

Cabe destacar que el metodo de CQSS cumple conestas propiedades siendo totalmente explcito.

4. EJEMPLOS

Presentamos a continuacion tres ejemplos de sim-ulacion de sistemas Hamiltonianos.

Todas las simulaciones presentadas en estas sec-cion se realizaron en un computador con proce-sador Intel Celeron M, de 1,46GHz con 512 Mbde RAM y fueron realizadas en el simulador Pow-erDEVS.

4.1 Oscilador Armonico

Retomamos aqu el sistema de la Ec.(13). La simu-lacion con CQSS utilizando un quantum Qi = 1para ambas variables arroja el resultado de laFig.4. Puede verse que la solucion numerica esperiodica y conserva energa (tal como lo garantizael Teorema 3.3).

Ademas, comparando con lo obtenido en el ejemp-lo introductorio cuantificando con la parte entera(Figura 1), podemos ver que CQSS recupera unapropiedad geometrica que se haba perdido: lastrayectorias son simetricas respecto a los ejes (estose debe a la reversibilidad).

4.2 Pendulo

Uno de los ejemplos mas simples de sistemasHamiltonianos es la ecuacion del pendulo. Usando



0 1 2 3 4 5 6 7 8

4

3

2

1

0

1

2

3

4

Resultado Metodo CQSS

Time[seg]

q1,x

1,q2

,x2

q1cqss

x1cqss

q2cqss

x2cqss

Figura 4. Simulacion del oscilador armonico conCQSS

la segunda ley de Newton se puede escribir:ml =mgsen kl, donde m es la masa de la bola,l es la longitud del brazo, es el angulo entrela vertical y el brazo, g es la aceleracion de lagravedad, y k es el coeficiente de friccion. Ennuestro caso simularemos el sistema sin perdidade energa, por tanto sin friccion; k = 0.

Tomando como variables de estado x1 = yx2 = podemos escribir las ecuaciones de estado.

x1 = x2,

x2 = g

lsen(x1).

(34)

Este sistema se puede reescribir en la formacanonica de un sistema Hamiltoniano:

x1 = Hx2(x1, x2), x2 = Hx1(xq, x2), (35)

Siendo el Hamiltoniano: H(x1, x2) =12x

22

cos(x1) (con masam = 1, longitud del brazo l = 1y aceleracion gravitacional g = 1.)

Partiendo con condiciones iniciales x1(0) = 1 yx2(0) = 0. El resultado de la simulacion, utilizan-do el metodo de CQSS con un el mismo quantumen cada uno de los integradores(q = 0,01), luegode 200seg es el mostrado en la figura 5.

Como se puede observar el resultado respeta elcomportamiento oscilatorio del sistema. La sim-ulacion da cuentas de la propiedad conservatoriade energa intrnseca al sistema Hamiltoniano.

En este caso, el sistema cumple con las hipotesisdel Teorema 3.3, por lo que se cumplen todas laspropiedades geometricas. Particularmente, siendoun sistema de orden 2, resultan trayectorias cer-radas, es decir, la solucion numerica es periodica(al igual que la solucion original).

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PenduloCQSS

Time[seg]

x1,x

2

x1x2

Figura 5. Simulacion del Pendulo utilizando CQSS

4.3 Linea de transmision sin perdidas

Los modelos de lneas de transmision se describenmediante sistemas de ecuaciones diferenciales par-ciales. Sin embargo, estos pueden ser aproxima-dos por modelos concentrados donde los efectosdistribuidos de capacidad, inductancia y se repre-sentan por una cascada (Figura 6) de capacitores einductores con valores proporcionales a unidadesmetricas. Otra manera de obtener modelos con-centrados aproximados es mediante la utilizacionde tecnicas de discretizacion espacial tales comoel metodo de lneas (Cellier and Kofman, 2006).

L L L

C C CVin

Figura 6. Lnea de transmision LC

En consecuencia, el esquema resulta en unaecuacion diferencial ordinaria de orden grande. Enla ecuacion (36) se presenta un ejemplo compuestopor ocho secciones de circuito LC resultando unsistema lineal de orden 16.

di1dt

=1

Lvin

1

Lu1

du1dt

=1

Ci1

1

Ci2

di2dt

=1

Lu1

1

Lu2

du2dt

=1

Ci2

1

Ci3

...

di8dt

=1

Lu7

1

Lu8

du8dt

=1

Ci8

(36)

Este sistema puede tambien expresarse en la for-ma de sistema hamiltoniano.



En la Figura 7 y 8 se muestra el resultado desimular utilizando el metodo CQSS aplicado a lalnea de Transmision sin perdidas cuyos paramet-ros son: L = 1, 25mHy/milla y C = 2mF/milla.De esta manera simulamos una lnea de trans-mision de 8 millas de longitud. Como alimentacionse utiliza un pulso de amplitud, que representauna tension de alimentacion, igual a 10.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1015

10

5

0

5

10

15

20

25

30

35

Time[seg]

Uout

Figura 7. Simulacion de la Lnea LC con CQSS

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 115

10

5

0

5

10

15

20

25

30

Time[seg]

Uout

Figura 8. Simulacion de la Lnea LC con CQSS(Detalle)

5. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO

Presentamos una primera aproximacion a la in-tegracion numerica de sistemas Hamiltonianoscon metodos de integracion por cuantificacion.Ademas de analizar las carcatersticas geometricasgenerales de estos metodos, propusimos un meto-do denominado CQSS que preserva las principalespropiedades de los sistemas Hamiltonianos. Unanovedad de este metodo es que es completamenteexplcito (lo cual constituye una ventaja con re-specto a los metodos de integracion geometricade tiempo discreto).

El metodo desarrollado es de primer orden por loque, mas alla de las fuertes propiedades teoricasque satisface, no es eficiente cuando se requiereuna gran precision. Otra de las falencias es quecarece de histeresis, por lo que no se puede garan-tizar que funcione en todos los casos (en muchossistemas puede producir oscilaciones infinitamenterapidas que traban la simulacion).

El trabajo futuro estara orientado a resolver lasdificultades senaladas en el parrafo anterior, de-sarrollando metodos de orden superior y buscandosolucion al problema de las oscilaciones infinita-mente rapidas. Tambien nos proponemos comoobjetivo extender y generalizar las propiedadesteoricas estudiadas.

Por otro lado, se estudiara en que clases de apli-caciones estos nuevos metodos presentan ventajassobre lo metodos geometricos convencionales. Te-niendo en cuenta las ventajas de los metodos deQSS para el tratamiento de discontinuidades, esde esperar que esta eficiencia se mantenga en lossistemas Hamiltonianos discontinuos.

REFERENCIAS

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