CURSO 15-16

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS

ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes

Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”

CURSO 15-16

1.-Dada la matriz 𝑨 = (𝒎 + 𝟐 𝟎 𝟎

−𝟑 𝒎 + 𝟏 𝟏𝟐 𝟎 𝒎 − 𝟏

) . 𝑆𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒:

a) (3p) Estudiar el rango de A en función del parámetro m.

b) (3p) Calcular m para que A10 tenga inversa.

c) (4p) Para m=0 calcular A-1.

2.-Dado el sistema de ecuaciones: {

𝒕𝒙 + 𝒚 + 𝒕𝒛 = 𝒕𝒙 + 𝒕𝒚 + 𝒛 = −𝒕

𝒚 + 𝒕𝒛 = 𝟎. Se pide:

a) (7p) Analizar la existencia de soluciones en función del parámetro t. b) (3p) Resolver para t=2.

3.-Dadas las matrices 𝑨 = (𝟎 𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝟎𝟏 𝟎 𝟎

) 𝑦 𝑩 = (𝟑 𝟎 𝟎𝟎 𝟑 𝟎𝟎 𝟎 𝟑

). Se pide:

a) (3p) Calcular A15 y A20.

b) (2p) |A-9·Bt·B4| c) (5p) Resolver la ecuación matricial 6X=B-3AX, donde X es una matriz cuadrada de orden 3.

4.-Sea el sistema de ecuaciones: {

(1−∝)𝑥 + (2 ∝ +1)𝑦 + (2 ∝ +2)𝑧 =∝∝ 𝑥+∝ 𝑦 = 2 ∝ +2

2𝑥 + (∝ +1)𝑦 + (∝ −1)𝑧 =∝2− 2 ∝ +9

. Se pide:

a) (3p) Todas las soluciones cuando =1.

b) (3p) Justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando =2. c) (4p) Los valores del parámetro para los que el sistema es compatible determinado.

5. Se pide:

a) (5p) Dada la matriz 𝐴 = (𝟏 −𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

), encontrar una matriz B tal que se cumpla que: A·B·A=A.

b) (5p) Dadas las matrices: 𝑨 = (−𝟏 𝟐𝟐 𝒎

) y 𝑩 = (𝟏 𝟐 𝟎

−𝟐 𝒎 𝟎𝟑 𝟐 𝒎

). Calcular m para que

Ran(A)=Ran(B).

6. Sea el sistema de ecuaciones {

𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟎

−𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐𝒚 + 𝒂𝒛 = −𝟐𝒂

−𝒂𝒙 + (𝒂𝟐 − 𝟏)𝒚 + (𝒂 + 𝟏)𝒛 = −𝒂 − 𝟐

. Se pide:

a) (6p) Estudiar el sistema anterior en función del parámetro a.

b) (4p) Resolverlo para a=0 y para a=1.

7. Se pide:

a) Sabiendo que |𝟏 𝟏 𝟏𝒙 𝒚 𝒛𝟎 𝟐 𝟒

| = 𝟒. Calcular, indicando las propiedades aplicadas:




𝑎. 1)(𝟐𝐩) |3𝑥 3𝑦 3𝑧1 1 10 1 2

| ; 𝑎. 2)(𝟑𝐩) |

𝑥 𝑦 𝑧3𝑥 3𝑦 + 2 3𝑧 + 4

𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 2|; a.3) (2p) |

5 02 20 −𝑥

0 02 2

−𝑦 −𝑧1 0 10 20

|

b) (3p) Dada la matriz 𝑨 = (𝒂 𝒃 𝒄𝒂 𝒙 𝒄𝒂 𝒃 𝒙

) . Hallar los valores de x para los que el determinante de la

matriz A sea nulo, en función de a, b y c, si es posible.

8.-Sea el sistema de ecuaciones A·X=B, donde 𝑨 = (∝ 𝟐 −𝟏𝟎 𝟏 𝟐𝟑 𝟒 ∝

) , 𝑩 = (𝟏

∝ −𝟐𝟑

) 𝒚 𝑿 = (𝒙𝒚𝒛

). Se pide:

a) (3p) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene solución única.

b) (4p) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene solución.

c) (3p) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones.

Halla todas las soluciones en dichos casos.

9.-Encontrar los valores de t, para los que el determinante |A·B|=0, siendo

𝑨 = (𝟐 −𝟏 𝟑𝟎 𝒕 𝟐𝟎 𝟏 + 𝒕 𝟑

) 𝑦 𝑩 = (𝟐 + 𝒕 −𝟏 𝟎

𝟏 𝒕 𝟎𝟒 𝟕 𝒕

)

10.-Sean las siguientes matrices: 𝐴 = (1 −1 10 1 10 0 1

) , 𝐵 = (−11

−1) , 𝐶 = (−1 1 3).

a) (3p) Obtener A-1

b) (3p) Hallar la matriz X que es solución de la ecuación matricial: A·X=B·C c) (4p) Sea M una matriz de orden 3 cuyo determinante vale ½. Se pide hallar: |2M3| y |(4M2)-1|


−𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎(𝒂 − 𝟐)𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎

−𝒙 − 𝒚 + (−𝒂 − 𝟑)𝒛 = 𝟎. Se pide:

a) (4p) Calcular el valor del parámetro a para que el sistema tenga más de una solución.

b) (2p) Resolver para a=-3.

c) (4p) Dadas las matrices 𝑨 = (𝒙 𝟏𝟏 𝒚

) 𝑦 𝑩 = (𝟏 𝒙𝒚 𝟏

). Determinar la relación entre x e y para que

ambas commuten ( A·B=B·A).

12.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 82𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 5

a) (6p) Cuál será el valor de a para que al añadir la ecuación ax+y-7z=1 el sistema de ecuaciones

resultante tenga las mismas soluciones que el original.

b) (4p) Calcula las soluciones tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.

13.-Dado el sistema de ecuaciones lineales {

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 43𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 𝑎 − 1

2𝑥 + 𝑎𝑦 = −2. Se pide:

a) (6p) Discutir las soluciones del sistema según el valor del parámetro a.




b) (4p) Resolver en el caso (los casos) de indeterminación. ¿Existe algún valor de a para que el sistema no tenga solución?

14.-Sean las siguientes matrices: 𝐴 = (1 −1 10 1 10 0 1

) , 𝐵 = (−11

−1) , 𝐶 = (−1 1 3).

a) (3p) Obtener A-1

b) (3p) Hallar la matriz X que es solución de la ecuación matricial: A·X=B·C

c) (4p) Sea M una matriz de orden 3 cuyo determinante vale ½. Se pide hallar: |2M3| y |(4M2)-1|

15. a) (5 p.) Discutir según los valores del parámetro a el siguiente sistema de ecuaciones lineales

{

𝒂𝒙 − 𝒂𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝒂−𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟏

𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝒂

b) (5 p.) Dadas las matrices 𝑨 = (−𝟏 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟎

−𝟐 𝟏 𝟏) y 𝑩 = (

−𝟑 𝟑 𝟐−𝟖 𝟕 𝟒𝟖 −𝟔 −𝟑

) . Hallar la matriz X que verifica

AX+B=2A.




CURSO 14-15

1.-Se pide a) (1p) Enuncia brevemente: qué es el rango de una matriz y cuándo una matriz es regular. b) (5p) Discutir según los valores del parámetro m el rango de la matriz 𝐴 =

(1 3 −1

𝑚 + 1 3 𝑚 − 1𝑚 − 1 𝑚 + 3 −1

)

c) (4p) ¿Para qué valores de m, la matriz A es regular? Para m=1, calcula A-1.

2.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {

(1 − 𝑎)𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −4

𝑥 + 4𝑦 − (1 + 𝑎)𝑧 = −2𝑎. Se pide:

a) (6p)Discutir según los valores del parámetro a. b) (2p)Resolver dicho sistema para a=2. c) (2p)Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.

3.-Se sabe que |𝑎 𝑏 𝑐𝑏 𝑑 𝑒𝑐 𝑒 𝑓

| = 3. Hallar indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) (3p)|2A3|; |(4A2)-1|; |A+At|; b)(3p)|𝑎 𝑏 𝑐𝑐 𝑒 𝑓

2𝑏 2𝑑 2𝑒

|; c)(3p)|𝑎 𝑏 4𝑎 − 𝑐𝑏 𝑑 4𝑏 − 𝑒𝑐 𝑒 4𝑐 − 𝑓

|

d) (1p)¿Cuándo una matriz es simétrica? ¿Y cuándo es una matriz singular?

4.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {

(3𝑎 + 5)𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧 = 0(2𝑎 + 3)𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 0(3𝑎 + 4)𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0

. Se pide:

a) (4p)¿Cuál será el valor de a para que la única solución sea la nula? b) (2p)Resolver para a=-1

c) (4p)Determinar una matriz simétrica X de orden 2 sabiendo que 𝑋 · (11

) = (35

) y que el |3X|=-9.

5.-Sean las matrices: 𝐴 = (1 + 𝑚 1

1 1 − 𝑚) , 𝐵 = (

1 −11 0

). Se pide:

a) (4p)¿Para qué valores de m se verifica la siguiente ecuación matricial: A2=2·A+I? b) (6p)Para m=1, calcula A-1 y la matriz que satisfaga la ecuación matricial: A·X-B=A·B.

6.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = −12𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 𝑘 − 2

𝑥 + 𝑘2𝑦 + 3𝑧 = 2𝑘. Se pide:

a) (6p)Discutir según los valores del parámetro k. b) (4p)Resolver dicho sistema para k=-1 y k=0.

7.-a) (4p) Determinar a y b para que la matriz 𝑨 = (𝒂 + 𝒃 𝟒𝒃

𝒂 𝒂 + 𝒃) tenga inversa. Calcular A-1 para a=3 y

b=1.

b) (6p) Sean las matrices 𝑨 = (𝟏 −𝟒

−𝟐 −𝟏) , 𝑩 = (

𝟏 𝟐−𝟏 𝟎

) 𝒚 𝑫 = (𝟒 𝟐𝟐 −𝟑

) Determinar las matrices

cuadradas de dimensión 2, M y N para que cumplan que {𝑨 · 𝑴 + 𝑩 · 𝑵 = 𝑫

𝑨 · 𝑴 = 𝑵.

8.-a) (7p) Discutir, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:




{

(𝑎 − 1)𝑥 + (𝑎 + 2)𝑦 = 5

(1 − 𝑎)𝑥 + (−1 − 𝑎)𝑦 + 2𝑧 = −4

𝑦 + (𝑎2 + 𝑎)𝑧 = 2 − 𝑎

.

b) (3p) Resolver cuando el sistema sea compatible.

9.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {

𝒙 + (𝒎 + 𝟏)𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟏𝒎𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝒎

(𝟏 − 𝒎)𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = −𝒎 − 𝟏. Se pide:

a) (7p.) Discutir las soluciones del sistema según el parámetro m. b) (3 p.) Resolver para m=2. Para dicho valor, calcular (si es posible) una solución en la que z=2.

10.-Dadas las matrices: 𝐴 = (1 𝑎 𝑎1 𝑎 1

𝑎 − 1 𝑎 2) , 𝑋 = (

𝑥𝑦𝑧

) , 𝐵 = (000

). Se pide:

a) (3p.) Hallar a para que la matriz A tenga inversa. b) (4 p.) Para a=-2, calcular A-1. c) (3p.) Para a=1, calcula las soluciones del sistema de ecuaciones A·X=B.

11.-a) Sean las matrices 𝐴 = (1 0 00 −2 10 −5 3

) 𝑦 𝐵 = (0 0 11 1 11 0 0

). Hallar la matriz X que verifique que A-

1·X·A=B-A.

b) Sabiendo que|𝟏 𝟏 𝟏𝒙 𝒚 𝒛𝟎 𝟐 𝟒

| = 𝟒. Calcula: b.1) |3𝑥 3𝑦 3𝑧1 1 10 1 2

|; b.2) |

𝑥 𝑦 𝑧3𝑥 3𝑦 + 2 3𝑧 + 4

𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 2|

12.-Sea la matriz 𝑨 = (𝝀 + 𝟏 −𝟏 𝝀 + 𝟏

𝟎 𝝀 𝟎𝟏 −𝟐 𝝀

). Se pide:

a) (5 p.) ¿Para qué valores del parámetro 𝜆 existe la matriz inversa de A? b) (5 p.) Hallar A-1 para 𝝀 = −𝟐 .

13.-a) Dado el sistema de ecuaciones lineales {

𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 3𝑧 = 𝑎−2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −1

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 𝑎. Discutir según los

valores del parámetro a. Resolver para a=1.

b) Calcular los valores de a, b y c para que la matriz 𝑨 = (𝒂 𝒃𝟎 𝒄

) verifique que (A-2I)2=0. Donde I es la

matriz unidad de orden 2 y 0 es la matriz nula de orden 2.




CURSO 13-14

1.-Dadas las matrices 𝑨 = (𝟏

−𝟏𝟎

) y 𝑩 = (𝟏𝟏𝟏

), donde Bt es la matriz traspuesta de B e I la matriz unidad de

orden 3.

a) (6p.)Estudiar según el parámetro el rango de A·Bt+I.

b) (4p.) Calcular la matriz X que verifica: A·Bt·X-X=2B.

2.-Dadas las matrices 𝐴 = (−2 0 01 1 04 2 −2

) 𝑦 𝐵 = (2 1 20 −1 50 0 2

), obtener razonadamente el valor de los

determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4p.) |A+B| y |·(A+B)-1|. b) (3p.) |(A+B)-1·A| y |A-1·(A+B)|. c) (3p.) |2·A·B·A-1| y |A3·B-1|.

3.-Dado el sistema de ecuaciones: {𝒂𝒙 + (𝟐𝒂 + 𝟏)𝒚 + (𝟏 − 𝒂)𝒛 = 𝟎

𝟑𝒂𝒙 + 𝒂𝒛 = 𝒂𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + (𝟏 − 𝒂)𝒛 = 𝟎

a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o en los casos) en que sea compatible indeterminado.

4.-Sea la matriz 𝐴 = (5 −𝑚 31 −1 01 1 𝑚

) .

a) (3p.) La matriz A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones homogéneo.

Discutir dicho sistema según los valores del parámetro m.

b) (3p.) Resolver para m=-1 y m=2.

c) (4p.) Determinar A-1 para m=0.

5.- a) (5p.) Calcular la matriz X que cumpla la siguiente ecuación matricial: X·A-B=2X, sabiendo que

𝐴 = (3 0 02 3 01 2 3

) 𝑦 𝐵 = (0 1 02 0 −20 −1 3

).

b) (5p.) Sea el determinante |𝐴| = |1 1 1𝑎 𝑏 𝑐

𝑎2 𝑏2 𝑐2| = 2. Se pide Calcular el valor de los siguientes

determinantes, explicitando las propiedades utilizadas.

𝑏. 1)(𝟐𝐩. ) |𝑎 − 1 𝑏 − 1 𝑐 − 1

𝑎2 − 1 𝑏2 − 1 𝑐2 − 15 5 5

| ; 𝑏. 2) (𝟑𝐩. ) |(𝑎 + 1)2 (𝑏 + 1)2 (𝑐 + 1)2

𝑎 𝑏 𝑐𝑎2 𝑏2 𝑐2

|




6.-Dado el sistema de ecuaciones {(𝒂 + 𝟑)𝒙 + (𝟐𝒂 − 𝟏)𝒚 = 𝟎

(𝒂 + 𝟏)𝒙 − 𝒂𝒛 = 𝒂

𝟐𝒙 + (𝒂 − 𝟐)𝒚 − 𝒂𝒛 = 𝒂

a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.

7.- a) (3p.) Sea M una matriz cuadrada donde |M|=-1 y |-2M|=8. Calcula el orden la matriz

cuadrada M.

b) (4p.) Sea la matriz 𝐴 = (1 −12 1

). Determinar la matriz B para que se cumpla: A+B=A·B.

c) (3p.) Sean las matrices: 𝐴 = (1 0 12 1 00 0 2

) 𝑦 𝐵 = (−1 1 11 −1 10 0 −1

). Se pide: B-1 y |A·B2013·At|

8.- Dado el sistema de ecuaciones: {

2𝑥 + 𝜆𝑦 + 𝜆𝑧 = 1 − 𝜆

𝑥 + 𝑦 + (𝜆 − 1)𝑧 = −2𝜆(𝜆 − 1)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝜆 − 1

. Se pide:

a) (6p.) Discutir la compatibilidad según los valores de 𝜆.

b) (4p.) Resolver para 𝜆 = +1 𝑦 𝜆 = −1

9.-Se sabe que las matrices A y B cumplen las siguientes condiciones: 𝐴 + 𝐵 =

(2 1 02 0 0

−1 0 2) 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − 𝐵2 = (

−2 0 00 2 02 −1 0

). Se pide calcular:

a) A-B b) A c) B.

10.-Sean las matrices 𝐴 = (−1 1 02 0 01 0 1

) , 𝐵 = (0 2 11 2 0

) 𝑦 𝐶 = (1 2

−1 6). Se pide:

a) (3p.) |A-1|; b) (5 p.) la matriz X, sabiendo que A · X = Bt · C; c) (2p.) |A2013 ·Bt B|

11.-Sean las matrices: 𝐴 = (−2 1 −3−1 𝑚 𝑚 − 2𝑚 0 2

) , 𝐵 = (110

) 𝑦 𝑋 = (𝑥𝑦𝑧

). Se pide:

a) (5p.) Rango de la matriz A según los valores de m. b) (3p.) Discutir el sistema formado por A·X=B según los valores de m. c) (2p.) Resolver la ecuación A·X=B para m=1.

12.-Sean las matrices 𝐴 = (1 𝜆 01 1 20 −1 −1

) 𝑦 𝐵 = (0 1 11 0 −12 1 0

) . Se pide:

a) (3p.) Calcular λ para que la ecuación X·A=B tenga solución (única). b) (3p.) Calcular la matriz X para λ=4. c) (4p.) Calcular |A2·B| en función de λ.




CURSO 12-13

1.-a) Sea la matriz 𝐴 = (𝑎 0 𝑎

𝑎 + 1 𝑎 00 𝑎 + 1 𝑎 + 1

), calcular el Rango de A según los valores del parámetro a.

b) Para a=1, calcular |2At·A-1|.

c) Sean A y B matrices cuadradas de orden n2, tales que B=A-1. Se sabe que |A|=3, razona cuánto vale |B|. ¿Cuál es el rango de B?

2.- a) Calcula todas las matrices cuadradas de orden 2 de la forma 𝐴 = (𝑎 1𝑐 −2 − 𝑎

) que satisfagan la

ecuación matricial A2+2A+3I=0, expresando c en función de a. b) Demostrar que las matrices del apartado anterior (a) son invertibles y calcular su inversa. 3.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 2 y columnas C1 y C2 y determinante 5, y la matriz B cuadrada de orden 2 y determinante 2. Si D es la matriz cuadrada de orden 2 y columnas 4C2 y C1-C2. Calcular el determinante de la matriz B·D-1.

b) Sea la matriz 𝐵 = (−1/2 𝑥 0

𝑦 1/2 00 0 1

). Calcular x e y para que se cumpla B-1=Bt.

4.-Sean las matrices 𝐴 = (𝑥 𝑦𝑦 𝑧) ; 𝐵 = (

2 6−1 −3

) 𝑦 𝐶 = (−4 −121 3

). Se pide:

a) Determinar la matriz, sabiendo que se cumple: |A|=7 y A·B=C. b) Sean las matrices anteriores y que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuál de

las igualdades siguientes se cumple. Justifica la respuesta. b.1) A=C·B-1; b.2) B=A-1·C; b.3) A-1=B·C-1

5.-Dadas las matrices: A= (𝑘 𝑘 𝑘2

1 −1 𝑘2𝑘 −2 2

) ; 𝐵 = (1268

) ; 𝐶 = (433

) ; 𝑋 = (𝑥𝑦𝑧

). Se pide:

a) (5p) Hallar el rango de A en función del parámetro k. b) (2,5p) Para k=2, hallar si existe solución en el sistema A·X=B. c) (2,5p) Para k=1, hallar si existe la solución del sistema A·X=C.

6.-Dadas las matrices 𝐴 = (1 −11 1

) y B una matriz de orden 2 no nula y que verifica que B2=-7B+. Se pide:

a) (4p) Calcular los parámetros a y b para que se cumpla que A2=a·A+b·.

b) (3p) Calcular los parámetros p y q para que se cumpla que B-1=p·B+q·. Justificar que existe B-1.

c) (3p) Calcular los parámetros x e y que verifique que B3=x·B+y·.

7.-Sean las matrices: 𝐴 = (1 𝑎 00 𝑎 00 0 𝑏

) ; 𝐵 = (0 4 −14 −2 00 2 0

) ; 𝐶 = (𝑥𝑦𝑧

) . Se pide:

a) (2p) Determinar para qué valores de a y b, la matriz A es regular. b) (3p) Determinar para qué valores de a y b se cumple que A=A-1. c) (5p) Para a=2 y b=2, determinar las matrices C que verifican A·C=C·A.


(𝑎 − 1)𝑥 + 2𝑦 + (𝑎 − 1)𝑧 = 𝑎 + 1

(𝑎 + 1)𝑦 − (𝑎 + 1)𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎

}. Se pide:

a) (7p) Estudiar la compatibilidad del sistema en función del parámetro a. b) (3p) Resolver para a=0





𝑥 + 𝑘𝑦 + 2𝑧 = 𝑘 + 1𝑥 + 2𝑦 + 𝑘𝑧 = 3

(𝑘 + 1)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑘 + 2}. Se pide:

a) (5p) Calcular el valor de k para que tenga más de una solución. b) (2p) Calcular el valor de k para no tenga solución. c) (3p) Resolver para k=0.

10.-Sean las matrices 𝐴 = (0 0 10 1 01 0 0

) y B=3·3 (donde 3 es la matriz identidad o unidad de orden 3).

Calcular:

a) (3p) An, cuando n es par. b) (7p) Resolver la ecuación matricial: 6·A20·X=B-3·A·X. (tener en cuenta A20 en función de lo calculado

anteriormente)

11.-Sabiendo que |

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

| = 5. Calcular, indicando las propiedades utilizadas, el valor de:

a) (5p) |

𝑏 𝑏 + 𝑎 2𝑐𝑒 𝑒 + 𝑑 2𝑓ℎ ℎ + 𝑔 2𝑖

|; b) (5p) |

𝑎 + 𝑑 + 𝑔 𝑏 + 𝑒 + ℎ 𝑐 + 𝑓 + 𝑖𝑑 + 𝑔 𝑒 + ℎ 𝑓 + 𝑖

𝑔 ℎ 𝑖|

12.-Dado el sistema de ecuaciones: {𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 5

𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −4} . Se pide:

a) (4p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que al añadirle la ecuación ax+y+z=9 sea un sistema de ecuaciones compatible y determinado? b) (3p) Resolver para a=0. c) (3p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que el sistema de 3 ecuaciones anterior no tenga solución?

13.-Dada la matriz 𝐴 = (3 −25 1

) y sea B la matriz que verifica que 𝐴 · 𝐵 = (−2 17 3

).

a) (4p) Demostrar que A y B tiene inversas. b) (6p) Resolver la ecuación matricial A-1·X-B=B·A.

14.-Sean las matrices: 𝐴 = (𝟏 𝟏𝟎 𝟏

) 𝒚 𝑩 = (𝟕 −𝟑𝟖 −𝟑

).

a) Hallar una matriz X tal que A·X·A-1=B. b) Calcular A10. c) Hallar todas las matrices M que satisfacen (A+M)·(A-M)=A2-M2.


𝟐𝒌𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒌𝒛 = 𝟏𝒙 + 𝒌𝒚 − 𝒛 = 𝟏

𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝒌.

a) (7 p.) Discutirlo según los valores de k. b) (3 p.) Resolverlo cuando el sistema sea compatible.

16.-Dada la matriz 𝑴 = (𝟐 −𝟏 𝝀𝟐 −𝝀 𝟏

𝟐𝝀 −𝟏 𝟏).

a) (5 p.) Determinar el rango de M según valores del parámetro .

b) (5 p.) Determinar para qué valores de , existe la matriz inversa de M. Calcular dicha inversa para

=0.




CURSO 11-12

1.-a) (5p.) Sean A y B matrices cuadradas de orden 3, cuyos determinantes son |A|=½ y |B|=-2. Hallar: a.1) |A3|; a.2) |A-1|; a.3) |-2A|; a.4) |A·Bt|; a.5) Rango de B b) Utilizar las propiedades los determinantes para calcular el valor de:

b.1)(2p. ) |A|=|𝑎 𝑎

𝑎2 𝑏𝑎2|; b.2) (3p.)|B|= |𝑎 + 𝑏 1 2𝑎 − 𝑏 0 1

𝑎 + 2𝑏 3 2|

2.-Dada la matriz A=(2𝑎 −2 𝑎2

−1 𝑎 −12 1 𝑎

). Se pide:

a) (5p.) Rango de A según los valores del parámetro a.

b) (5p.) Para a=2, discutir el sistema A·(𝑥𝑦𝑧

) = (21𝑏

) en función de los valores del parámetro b y

resolverlo cuando sea posible.

3.-Dado el sistema de ecuaciones {

𝜆𝑥 + 𝜆𝑧 = 2𝑥 + 𝜆𝑦 − 𝑧 = 1

𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2𝜆. Se pide:

a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro 𝝀. b) (4p.)Resolver el sistema de ecuaciones para 𝝀 = 𝟏.

4.-a) Dada la matriz A=(𝜆 + 1 0

1 −1). Se pide:

a.1) (2,5p.)Determina los valores de 𝝀 para los que A2+3A no tiene inversa. a.2) (2,5p.)Para 𝝀 = 𝟎, hallar la matriz X que verifique que A·X+A=2I.

b) (5p.)Dada la matriz A=(𝑎 0 0𝑏 1 00 0 1

). Calcular a y b para que A-1=At.

5. Sean las matrices 𝐀 = (𝟏 𝟐 𝟑𝐦 𝟏 𝟑𝟎 𝟐 𝐦

) 𝐲 𝐁 = (−𝟐𝟎𝟏

). Se pide:

a) (4p.) ¿Para qué valores de m la matriz A no tiene inversa?

b) (4p.) Para m=1, calcular la inversa de A.

c) (2p.) Resolver la ecuación matricial A·X=B para m=1.

6.1-(6p.)Sea la matriz 𝑀 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) cuyo determinante vale 4. Se pide, indicando las propiedades que

utilizas:

a) |-3At|; b) |2𝑏 2𝑎

−3𝑑 −3𝑐| ; c) |A-1At| ; d) Si B es una matriz cuadrada y B3=I, calcula |B-1|

6.2.-Dadas la matriz 𝐌 = (𝟐 𝟎𝟏 𝟐

)e I la matriz unidad de orden 2. Resolver el sistema de ecuaciones

matricial: {𝟐𝐀 + 𝐁 = 𝐌𝐀 − 𝟑𝐁 = 𝐈




7.-Sea el sistema de ecuaciones {

𝑎𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 02𝑥 + 𝑎𝑦 + 4𝑧 = 2

2𝑥 + 𝑎𝑦 + 6𝑧 = 𝑎 − 2. Se pide:

a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro a.

b) (3p.)Resolver para a=2.

c) (1p.) Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.

8.- a) (5p.)Dadas las matrices 𝐴 = (1 1 02 𝑡 + 1 𝑡 − 1

−2𝑡 − 1 0 𝑡 + 3) 𝑦 𝑋 = (

𝑥𝑦𝑧

) , razonar para qué valores de t el

sistema homogéneo A·X=0, tiene más de una solución.

b) (4p.)Dadas las matrices 𝑀 = (1 1 𝑎1 0 𝑏1 1 𝑐

) y 𝑁 = (2 0 𝑎0 −1 𝑏3 1 𝑐

), calcular a, b y c, sabiendo que no

pueden valer 0 a la vez, para que las matrices M y N tengan, simultáneamente, rango 2.

c) (1p.)Enuncia brevemente qué es el rango de una matriz.

9.- a) (5p.)Dadas las matrices 𝐀 = (−𝟏 𝟏 𝟐𝐤 𝟎 𝟏

) y 𝐁 = (𝟎 𝟏

−𝟏 𝟎𝐤 𝟐

), se pide:

a.1) Determinar para qué valores de k la matriz Bt·At tiene inversa.

a.2) Resolver la ecuación matricial (A·B)t·X=I para k=0.

b) (5p.)Dadas la matrices𝐌 = (𝟐 𝟎𝟏 𝟐

) y 𝐍 = (𝟎 −𝟏𝟑 𝟏

). Resolver el sistema de ecuaciones matricial:

{𝟐𝐀 + 𝐁 = 𝐌𝐀 − 𝟑𝐁 = 𝐍

10.- a) (5p.) Sea la matriz 𝐀 = (𝐦 𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝐦 𝟎 𝐦

), se pide:

a.1) Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro m.

a.2) Para m=-1, calcular A-1.

b) (5p.) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los valores a y resolver cuando el sistema

sea compatible indeterminado: {

𝑎𝑥 + 2𝑧 = 0𝑎𝑦 − 𝑧 = 𝑎

𝑧 + 3𝑦 + 𝑧 = 5

11.-Indicando las propiedades de los determinantes utilizadas en cada caso, se pide:

a) (6p.)Si |𝐴| = |

𝑎 𝑏 𝑐𝑒 𝑓 𝑔ℎ 𝑖 𝑗

| = −3, calcular

a.1) |

3𝑎 3𝑏 15𝑐𝑒 𝑓 5𝑔ℎ 𝑖 5𝑗

|=; a.2) |−1

3𝐴|; a.3) |

𝑎 𝑏 𝑐𝑒 − ℎ 𝑓 − 𝑖 𝑔 − 𝑗

ℎ 𝑖 𝑗|




b) (2p.)Si 𝐵 = |𝑎 𝑏 𝑐5 0 101 1 1

| = 1, calcular|5𝑎 −𝑏 5𝑐1 0 21 −1 1

|

c) (2p.) Sabiendo que x, y, z y u son valores no nulos, justificar sin efectuar su desarrollo que

|

𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦𝑢 𝑢 𝑢1

𝑥

1

𝑦

1

𝑧

| = 0

12.-Dadas las matrices 𝐴 = (𝛼 1 −11 𝛼 −1

−1 −1 𝛼) ; 𝐵 = (

011

).

a) Discutir el rango de A según los valores de .

b) Para =2, resuelve el sistema de ecuaciones (o la ecuación matricial) A·X=B.

13.- Sean las matrices 𝐴 = (𝛼 1

−𝛼 3) 𝑦 𝐵 = (

1 3 1−1 4 2

)

a) Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es 𝟏

𝟏𝟐·A.

b) Para =-3, determina la matriz X que verifica la ecuación At·X=B, siendo At la matriz traspuesta de A.

14.- a) Discutir, según los valores de m, el sistema: {

𝑦 + (𝑚 − 1)𝑧 = 𝑚(𝑚 − 1)𝑦 + 𝑧 = 𝑚

(𝑚 − 2)𝑥 = 𝑚 + 2

b) Resolver para m=0 y m=1.




CURSO 10-11

1.-Sean las matrices: 𝐵 = (1 𝑚 00 1 𝑚1 1 −2

) ; 𝐶 = (1 −3 5

−2 4 −6) ; 𝐷 = (

1 2 30 1 0

).

a) Matriz inversa de otra. ¿Por qué no tiene inversa la matriz C? b) Matriz inversible o regular. ¿Es invertible la matriz D? c) Hallar los valores de m para que exista B-1. d) Hallar B-1 para m=0. e) Calcular la matriz X para que cumpla que X·B+C=D para m=0.

2.-Sabiendo que 𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) y que |A|=4. Indicando en cada caso las propiedades utilizadas, se pide:

a) |−3𝐴𝑡|; |𝐴−1 · 𝐴𝑡|; |2𝑏 2𝑎

−3𝑑 −3𝑐|.

b) Calcular A, si A·(𝟏 −𝟏𝟎 𝟏

)=I.

c) Si 𝑩 = (𝟐 𝒃𝒄 𝒅

), ¿qué relación existe entre b, c y d para que se verifique B-1=2I-B.

d) Menor complementario de un elemento de un determinante 3.-El sistema A·X=B tiene diferentes soluciones según sea la matriz B, sabiendo que:

A= (1 0 10 2 0𝑎 5 𝑎

) 𝑦 X = (𝑥𝑦𝑧

)

a) Rango de matriz b) Determinar si existen valor/es de a para los que el sistema sea compatible.

c) Si a=4 y B= (𝟎

−𝟏𝒃

), determinar, si existen, el valor/es de b para los que el sistema es

incompatible.

d) Si a=4 y B= (𝟎𝐜

𝟏𝟎), determinar, si existen, el valor/es de c para los que el sistema es compatible

indeterminado. Resolver el sistema.

4.-a) Discutir según los valores del parámetro a y resolver cuando sea posible: {

𝑥 + 𝑧 = 1𝑦 + (𝑎 − 1)𝑧 = 0

𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎

b) Sean 𝐴 = (1 −12 00 3

) ; 𝐵 = (1 2 −10 3 −1

) . Calcular: |(B.A)t|-1 y B2.

c) ¿Qué es un adjunto en un determinante?

5.-Sea la matriz 𝐀 = (−𝒂 𝟎 𝒂𝒂 𝒂 − 𝟏 𝟎𝟎 𝒂 𝒂 + 𝟐

). Se pide:

a) Estudiar el rango de A según los valores de a. b) Hallar el valor de a para que A sea una matriz regular. c) Hallar A-1 para a=1. d) Enunciar brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius

6.-a) Sea 𝑩 = (𝟏 𝟐𝟎 𝟏

), encontrar todas las matrices 𝑷 = (𝒙 𝒚𝒛 𝒕

) tal que se verifique B·P=P·B.

b) Sea |𝐂| = |𝐚 𝐛 𝐜𝐱 𝐲 𝐳𝐩 𝐪 𝐫

| = 𝟑. Se pide el valor de: |C4·C-1|, |𝐚 𝟐𝐱 𝟑𝐩𝐛 𝟐𝐲 𝟑𝐪𝐜 𝟐𝐳 𝟑𝐫

| y |𝐚 𝐛 𝐜

𝐱 + 𝐩 𝐲 + 𝐪 𝐳 + 𝐫𝐱 𝐲 𝐳

|.





𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 + 22𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎

a) Discutir según los valores de a. ¿Tiene siempre solución? b) Resolver para a=-1. c) ¿Qué es un sistema homogéneo? ¿Cuándo será incompatible?

8.-a) Dadas las matrices P= (𝟏 𝟏 𝟎

−𝟏 𝟎 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏

) y A= (−𝟏 𝟎 𝟎𝟎 −𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟐

), hállese razonadamente la matriz B,

sabiendo que B·P=A.

b) Sea el sistema de ecuaciones {𝒚 + (𝒂 − 𝟏)𝒛 = 𝟎

𝒙 + 𝒛 = 𝟏𝒙 + (𝒂 − 𝟏)𝒚 + 𝒂𝒛 = 𝒂

. Discutir y resolver según a.

9.-Dadas las matrices 𝐵 = (1 0 00 1 00 −1 𝑚

) ; 𝐶 = (1 −3 5

−2 4 −6) ; 𝐷 = (

1 2 30 1 1

).

c) ¿Para qué valores de m existe B-1? d) Para m=1, calcular B-1. e) Para m=1, hallar la matriz X tal que X·B+C=D.

10.-Determina, según los valores de m, el rango de la matriz 𝐴 = (𝑚 − 1 1 −1

0 𝑚 − 2 1𝑚 0 2

). ¿Cuándo tiene

inversa A? Para m=1, soluciona el sistema 𝐴 · (𝑥𝑦𝑧

) = (000

).

11.- a) Discutir, según los valores de a, el sistema: {

𝑎𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 𝑎

b) Resolver para a=0.

12.-Sea la matriz 𝑨 = (−𝟏 𝟏𝟎 𝝀 − 𝟏

). Se pide:

a) Determinar los valores de λ para que la matriz A2+3A no tenga inversa. b) Para λ=0 hallar una matriz X que verifique que A·X+A=2I.

13.- Discutir según los valores de a el siguiente sistema: {

𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 13𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 − 2−𝑦 + 𝑧 = 𝑎 − 3




CURSO 09-10

1.-Dada la matriz 𝐴 = (𝑚 0 00 0 𝑚0 −1 𝑚 + 1

)

a) Estudia, según los valores de m, el rango de A.

b) Para m=-1, calcula la matriz X que verifica XA+A=2I3.

2.-Sea el sistema {

2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 25𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −1

3𝑥 + 𝑦 + 𝑎2𝑧 = 3𝑎

a) Discutir las soluciones del sistema anterior en función de a.

b) Resolver para el valor de a que hace al anterior sistema compatible indeterminado.

3.-Se consideran las matrices 𝐴 = (

𝑥 𝑦 𝑥𝑦 0 𝑦1 𝑧 𝑧

) ; 𝐵 = (𝑎 2 3) ; 𝑦 𝐶 = (4 0 2).

a) Halla los valores de x, y, z para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Determina los valores de a para los que el sistema que se forma de B·A=C tiene solución.

c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.

4.-Realiza las cuestiones siguientes:

a) Sea 𝐴 = (1 𝑎0 1

). Halla An, siendo ∀𝑛 ∈ 𝑁.

b) Busca una matriz B tal que B·A=(0 0), siendo 𝐴 = (1 10 10 0

).

c) Sean las matrices 𝐴 = (1 02 𝑘0 0

) 𝑦 𝐵 = (𝑘 0 −11 1 2

). Estudia en función de los valores de k, si la

matriz B·A tiene inversa.

5.-Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A·X·B=C.

a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que |A|=3, |B|=-1 y |C|=6, calcula |X| y

|2X|.

b) Si 𝐀 = (𝟏 𝟏𝟎 −𝟐

), 𝐁 = (𝟏 −𝟐𝟐 −𝟑

) y C= (𝟎 𝟑𝟒 𝟐

), calcula la matriz X.

6.-Sea el sistema de ecuaciones {

𝐱 + 𝐲 = 𝐦 + 𝟏𝐱 + 𝐦𝐲 + 𝐳 = 𝟏𝐦𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝐦

a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible.

b) Resuelve el sistema para m=-1.

7.-Se consideras las matrices 𝐀 = (−𝟑 𝟏𝟐 −𝟏

) y B=A-kI2, donde k es una constante.

a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.

b) Calcula B-1 para k=-1.

c) Determina las constantes y para las que se cumple A2+A=I2.




8.-Sean las matrices 𝐀 = (−𝟐 −𝟐 𝟏−𝟐 𝟏 −𝟐𝟏 −𝟐 −𝟐

) y 𝐗 = (𝐱𝐲𝐳

).

a) Calcula, si existe, la inversa de la matriz A.

b) Resuelve ¡el sistema A·X=3X.

9. Dadas las matrices: 𝐴 = (5 2 02 5 00 0 1

) , 𝐵 = (𝑎 𝑏 0𝑐 𝑐 00 0 1

)

a) Encontrar las condiciones que debe cumplir a, b, c para que se verifique A·B=B·A.

b) Para a=b=c=1, calcular B10.

c) Calcular A-1.

10. Dado el sistema {

𝑥 + 𝑘𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 0

𝑥 + 5𝑦 − 𝑘𝑧 = 𝑘 + 1

a) Clasificarlo según los valores de k.

b) Resolverlo para k=-1

11. Se considera el sistema {

𝟐𝒙 + 𝒎𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎

𝟓𝒙 + (𝒎 + 𝟏)𝒚 + 𝒛 = 𝟗}

a) Discutir según los valores de m.

b) Resolver para m=0.

12. Dada la matriz 𝐴 = (−𝟏 𝟏 𝟏𝟏 −𝟏 𝟏𝟏 𝟏 −𝟏

). Obtener A-1.

13. Dadas las matrices 𝑨 = (𝟒 −𝟐𝟏 𝟏

) , 𝑩 = (𝟒 −𝟐

−𝟑 𝟏). Obtener una matriz cuadrada X2 que verifique

A·X·B=A+B.




CURSO 08-09

1.- a) Calcular razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

mzzyx

myzyx

mxzyx

42

2

2

b) Resuelve el sistema anterior para el caso m=0 y para el caso m=1.

2.-Dadas las matrices

111

402

201

111

121

211

ByA

a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuación matricial: A·X+B=A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.

3.-Sabemos que el sistema de ecuaciones:

22

132

zyx

zyx. Tiene las mismas soluciones que el que

resulta al añadir la ecuación ax+y+7z=7.

a) Determina el valor de a. b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de las incógnitas sea igual a la unidad.

4.-Considera la matriz

2

22

111

mmm

mmmA

a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

b) Estudia si el sistema

1

1

1

·

z

y

x

A tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en

el apartado anterior. Si tienen solución hállalas.

5.-Dada la matriz

k

k

k

A

71

31

31

a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para k=0, halla la matriz inversa de A.

6.-Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

1)1(

0

1

kkzykx

zky

yx

a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z=2

7.-Dadas las matrices:

1

1

11

02

1

1

0

2

0

1

;

221

010

111

CyBA




Calcula la matriz P que verifica AP-B=Ct.

8.-Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

1

2

1

zayx

aazyx

axyx

a) Discútelo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en el caso a=2.

9.-Considérese el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial A·X=B, donde

z

y

x

XyB

a

aaA ,

3

2

1

,

11

12

211

Siendo a un parámetro real. Se pide:

a) Clasifica el sistema en función del parámetro a . b) Para a=0, obtén las soluciones mediante el cálculo X=A-1·B.

10.-Calcula una matriz cuadrada X, sabiendo que verifica: X·A2+BA=A2 siendo:

002

020

200

001

010

100

ByA

11.-Estudiar el rango de la matriz:

11

1

)1(1

mm

mm

mmmm

A según los valores del parámetro m.

12.-Sean las matrices:

76

98

10

02ByA Hallar una matriz X, tal que X·A·X-1=B.

CURSO 15-16

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