Curso de maquinas

Modelacin y Control de Mquinas ElctricasEscuela Superior Politcnica de Chimborazo

(ESPOCH)

Prof. Jos Manuel Aller Castro

Riobamba, Mayo 2015

Resumen

El presente curso es una introduccin a la modelacin y control de mquinas elctricas utili-zando tcnicas vectoriales y matriciales. Se desarrollan los principios bsicos de conversinque permiten determinar las ecuaciones internas de las mquinas elctricas. Utilizando lassimetras de la mquina se obtienen las transformaciones de coordenadas que simplifican elanlisis matemtico del convertidor tanto en vectores espaciales como mediante el uso de ma-trices. Se obtienen los modelos de la mquina de induccin y sincrnica en rgimen dinmicoy esttico utilizando estas transformaciones. Se desarrollan algoritmos en Matlab que permi-ten analizar el comportamiento de estas mquinas en diferentes regmenes de operacin.

ndice general

1. Conversin de energa elctrica 5

1.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Convertidor electromecnico elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Curvas caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Balance energtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Conceptos de Energa y Trabajos Virtuales 24

2.1. Energa y coenerga en el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Ecuaciones internas del convertidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Ecuaciones de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. Generalizacin de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Ecuaciones generales de las mquinas elctricas rotativas 43

3.1. Clculo del par elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Par elctrico y fuerzas magnetomotrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. El campo magntico rotatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. La mquina trifsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5. Transformacin de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6. Transformacin de coordenadas dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.7. Ecuaciones generales en coordenadas dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4. Mquinas de Corriente Continua 68

4.1. Principio de operacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2. Ecuaciones de las mquinas de conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2

NDICE GENERAL 3

4.3. Caractersticas de operacin de las diferentes conexiones . . . . . . . . . . . 83

4.4. Control de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5. Accionamiento de las Mquinas de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . 92

5. La Mquina de Induccin 97

5.1. Transformacin de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.1. Componentes simtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.2. Transformacin a vectores espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2. Modelo de Rgimen Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3. Accionamientos de la Mquina de Induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.1. Control Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3.1.1. Arranca Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3.1.2. Tensin - Frecuencia Constante . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.1.3. Accionamiento a Deslizamiento Constante . . . . . . . . . 128

5.3.2. Control Vectorial por Campo Orientado . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3.3. Control Directo de Par y Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3.3.1. Expresin vectorial de par elctrico y del enlace de flujoen el estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3.3.2. Estrategia de control directo de par . . . . . . . . . . . . . 138

6. Modelo de la Mquina Sincrnica 146

6.1. Descripcin de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2. Ecuaciones en coordenadas primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.3. Transformacin a vectores espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.4. Transformacin a coordenadas rotricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.5. Transformacin de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.6. Rgimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.7. Diagrama fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.8. Potencia y par elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4 NDICE GENERAL

7. Evaluacin Numrica de Modelos 175

7.1. Mquina de induccin - Coordenadas primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.2. Mquina de induccin - Coordenadas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.3. Mquina Sincrnica - Coordenadas d-q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Captulo 1

Conversin de energa elctrica

En la historia del desarrollo de la humanidad se han buscado muchas fuentes de energapara movilizarse, construir viviendas, arar, segar, procesar los alimentos e iluminar. Hom-bres y bestias fueron las primeras fuentes de energa, incluso la esclavitud fue ampliamentejustificada durante milenios con esta finalidad. La lea y el carbn desempearon un papelprotagnico durante la revolucin industrial, con la invencin de la mquina de vapor. Eldesarrollo de la electricidad a finales del siglo XIX permiti el desarrollo de la industria mo-derna y requiri la conversin de diversas fuentes de energa en energa elctrica y viceversa.En la actualidad el desarrollo de la electrnica y en especial de la electrnica de potencia,permite el control efectivo y eficiente de los procesos de conversin de energa elctrica.

En este captulo analizaremos los conceptos fundamentales involucrados en la conversin deenerga, los principios bsicos que permiten la conversin electromecnica de energa y lastcnicas matemticas para analizar el comportamiento de los convertidores electromecnicosde energa.

1.1. Conceptos bsicos

La energa es uno de los conceptos ms importantes en el estudio de las mquinas elctricas.La energa es la capacidad de realizar un trabajo. La energa se presenta en la naturaleza endiferentes formas. El objetivo de las mquinas elctricas consiste en convertir la energa deuna forma en otra.

En la tabla 1.1 se presenta un resumen de las densidades de energa que pueden ser almace-nadas en diversos procesos fsicos.

5

6 CAPTULO 1. CONVERSIN DE ENERGA ELCTRICA

1. Gravitacin (100m) 0,0098 MJ/kg2. Energa Cintica (5.000rpm) 0,053 MJ/kg3. Campo Magntico (2Wb/m) 0,0016 MJ/litro4. Campo Elctrico (6,5MV/m) 0,006 MJ/litro5. Batera de plomo cido Pb+2O PbO2 0,16 MJ/kg6. Calor de reaccin del combustible fsil 44 MJ/kg7. Calor de combinacin H +H H2 216 MJ/kg8. Energa de Ionizacin 990 MJ/kmol9. Fisin U235 83.000 MJ/kg

10. Fusin Deuterio+Tritio He+17,6MeV 340.000 MJ/kg

Tabla 1.1: Densidades de energa que pueden ser almacenadas en diversos procesos fsicos

Se puede observar que los sistemas elctricos y magnticos no son buenos acumuladores deenerga porque las mximas densidades de energa que se pueden obtener con los materialesexistentes en la actualidad, son relativamente pequeas al compararse con la energa porunidad de peso que puede ser almacenada en una batera o en los combustibles fsiles. Poresta razn es necesario realizar la conversin electromecnica de la energa para obtenerenerga elctrica en grandes cantidades. La conversin electromecnica de energa permitetransmitir, consumir, modificar o transformar la energa electromagntica de una forma enotra, pero no es posible almacenarla en grandes cantidades1.

El segundo concepto fsico importante en los fenmenos de conversin de energa es la fuer-za. La fuerza se manifiesta en un sistema fsico mediante la presencia de interacciones entrela materia. Aun cuando parece que las fuerzas pueden ser de muy diferentes formas y tipos,se conocen en la actualidad slo cuatro fuerzas:

1. Interacciones gravitacionales entre masas (gravitones)2. Interacciones elctricas entre las cargas (electrn-protn-fotn)3. Interacciones nucleares dbiles (bosones intermedios)4. Interacciones nucleares fuertes (protn-neutrn-pin)

Si se asocia a las fuerzas nucleares fuertes de cohesin protn-protn por intercambio depiones entre protones y neutrones el valor unitario, las interacciones nucleares dbiles de laspartculas nucleares con rareza se encuentran en el orden de 1014. Las fuerzas gravitacio-nales se encuentran, en la misma base de comparacin, en el orden de 1037. Las fuerzas

1Existen algunas excepciones como pueden ser los voltmetros electrostticos y ciertos sensores de posicinque utilizan el campo elctrico en el proceso de conversin de energa.

1.1. CONCEPTOS BSICOS 7

de atraccin y repulsin de cargas elctricas por intercambio de fotones estn en el rango de102.

El tercer concepto bsico es el de campo. La palabra campo posee la interpretacin geom-trica de extensin, superficie o espacio. Sin embargo, en fsica el concepto de campo consisteen la descripcin del espacio donde se produce algn tipo de fuerza. El campo gravitatorio esla zona del espacio donde una masa ejerce su influencia atrayendo a otras masas. El campoelctrico se define exactamente igual, pero considerando las interacciones entre las cargaselctricas. El campo magntico se define a travs de las fuerzas entre dipolos magnticos. Lamedicin de un campo se realiza colocando en un punto del espacio una partcula de prueba(masa, carga o dipolo magntico) y se mide la fuerza ejercida sobre ella. El cociente entre lafuerza en dicho punto y la magnitud de inters de la partcula es la intensidad del campo enel punto. Por ejemplo, si en un punto en la superficie de la tierra se mide la fuerza de atrac-cin gravitatoria sobre la masa de prueba m, el dinammetro indicar F = mg, donde g es laaceleracin de gravedad en el punto donde se realiza la medida, y su direccin apunta haciael centro de la tierra. El campo gravitatorio es el cociente entre la fuerza y la masa. En otraspalabras la aceleracin de gravedad en cada punto determina el valor de la intensidad delcampo gravitatorio. De igual forma, el campo elctrico es el cociente entre la fuerza elctricasobre una partcula cargada, y el valor de la carga de esa partcula E = Fq .

Para el fenmeno elctrico se plantea una ecuacin de equilibrio de fuerzas en funcin delcampo elctrico E y el campo magntico B de un sistema dado. Esta ecuacin de equilibriose conoce como relacin de Lorenz:

F = q(E+vB) (1.1)

Donde:

F es el vector de la fuerza resultante sobre la partcula cargada

q es la carga elctrica de la partcula

E es el vector intensidad del campo elctrico

v es el vector velocidad

B es el vector densidad de campo magntico

En la ecuacin 1.1 todas las cantidades vectoriales deben estar referidas a un sistema dereferencia nico. Adems, el campo elctrico E y el campo magntico B deben ser producidos


Figura 1.1: Carga elctrica en un campo elctrico

externamente a la carga q. Para que ocurra una interaccin electromagntica sobre la cargaq es necesaria la existencia de otras cargas. La figura 1.1 ilustra esta idea. En el punto queocupa la carga q, el campo elctrico E1 se debe a las otras cargas presentes en el sistema y noa s misma. En estas condiciones existe una interaccin elctrica entre la carga puntual q y elcampo elctrico E1 producido por las cargas distribuidas en las dos placas.

En un convertidor electromagntico de energa es necesario analizar el mecanismo de crea-cin de campo elctrico E y magntico B. Para este fin se recurre a las ecuaciones de Maxwelly a las condiciones de contorno impuestas por el equipo.

Para determinar la solucin del campo electromagntico, se parte de las siguientes premisas:

1. Las partculas elctricas q se desplazan en campos elctricos E y magnticos B.

2. Estos campos son producidos externamente a las cargas, por otras partculas cargadas.

Con las premisas anteriores, las leyes de Maxwell expresadas en su forma diferencial para unpunto cualquiera del espacio son:

E =B t

(1.2)

H = J+ D t

(1.3)

E = (1.4)

B = 0 (1.5)


Y las relaciones constitutivas debidas al medio material:

B = H (1.6)

D = E (1.7)

J = E (1.8)

Donde , y pueden ser tensores que dependen del tipo de material y orientacin, peroque en los casos ms simples son cantidades escalares.

Las ecuaciones 1.2 a 1.5 se pueden escribir en forma integral:

L

E dl = t

S

B dS (1.9)

L

H dl =

SJ dS+

t

S

D dS (1.10)

S

D dS =

Vv dv (1.11)

S

B dS = 0 (1.12)

En general, cuando se analizan casos prcticos de los convertidores electromecnicos de ener-ga, la variacin de la densidad del campo elctrico B con respecto al tiempo es despreciablecomparada con la densidad de corriente J. Este trmino representa las corrientes capacitivasdebidas a las variaciones del campo elctrico y se conoce como corrientes de desplazamiento.Las corrientes de desplazamiento son importantes cuando el campo elctrico es muy inten-so2 o cuando su variacin es muy rpida3. Ninguna de estas condiciones es frecuente en lasmquinas elctricas convencionales en condiciones normales de operacin.

Para resolver las ecuaciones de Maxwell en un problema concreto, se define a las corrientescomo las variables independientes. A partir de ellas se calcula el campo magntico B con lasecuaciones 1.3 y 1.5, el campo elctrico E de la ecuacin 1.2 y las fuerzas electromotrices

2Alta tensin.3Alta frecuencia.


por integracin lineal del campo elctrico en la trayectoria de inters. Las condiciones decontorno del sistema fsico relacionan las fuerzas electromotrices con las corrientes que hansido previamente consideradas como variables independientes. Este proceso de clculo seutilizar en el prximo captulo para obtener el modelo de un sistema electromecnico simple,pero es totalmente general. La ecuacin 1.4 no se utiliza en este anlisis ya que se suponeque en el medio no se encuentran disponibles cargas libres, es decir la densidad de carga escero.

Figura 1.2: Efecto del cambio del sistema de referencia sobre el campo elctrico

En la figura 1.2 se ilustra un par de conductores idnticos. El primero se desplaza a unavelocidad v diferente de cero, en la presencia de los campos E1 y B1. En el segundo conductorel observador se mueve a la misma velocidad v y considera por esta razn que el conductorest en reposo. En esta condicin el observador detecta el campo E2.

Si se introduce una partcula en cada uno de los conductores anteriores cuya carga es q1, enel primer sistema la fuerza sobre la partcula, de acuerdo con la relacin de Lorenz 1.1, es:

F1 = q1 (E1+vB1) (1.13)

Si la velocidad es constante, las fuerza F1 es nula y de la ecuacin 1.13 se deduce:

E1 =vB1 (1.14)

En el sistema II, como la velocidad relativa es cero, el observador slo puede atribuir la fuerzaactuante sobre la partcula q1 al campo elctrico E2:


Figura 1.3: Conductor en movimiento en presencia de campos elctricos y magnticos

E2 =F2q1

(1.15)

Como los conductores son idnticos en los dos sistemas, a excepcin de su sistema de refe-rencia, se puede establecer la transformacin de Lorenz mediante las expresiones 1.13 y 1.15,debido a que F1 = F2:

E2 = E1+vB1 (1.16)

La ecuacin 1.16 permite calcular el campo elctrico equivalente de un sistema de referenciasolidario a los conductores del convertidor electromecnico de energa, conociendo vectorial-mente el campo elctrico y el campo magntico, del sistema fijo y externo al conductor.

En la figura 1.3 se ha esquematizado un segmento conductor al cual se le aplica entre susextremos el campo elctrico E. El circuito se encuentra inmerso en un campo magnticouniforme B. La densidad de corriente J que circula por el conductor depende de la superposi-cin de los campos elctricos aplicados sobre l y de la conductividad del material, segnla relacin constitutiva 1.8, tambin conocida como ley de Ohm:

J = E = (EaplicadaEinducida

)(1.17)

El campo elctrico producido por el movimiento del conductor a la velocidad v en un campomagntico B se calcula segn la ecuacin 1.14, y por lo tanto la expresin 1.17 queda:

J = E = (EaplicadavB

)(1.18)


Figura 1.4: Convertidor electromagntico elemental

La expresin anterior determina la densidad de corriente J por el conductor. Una vez cono-cida la densidad de corriente se puede evaluar el campo elctrico o magntico en cualquierpunto del espacio utilizando las ecuaciones de Maxwell 1.2 a 1.5. Conocidos los campos sepueden evaluar las fuerzas sobre cualquier partcula elctrica cargada o sobre cualquier dipo-lo magntico. De esta forma queda resuelto el problema de la conversin electromecnica dela energa.

1.2. Convertidor electromecnico elemental

En general las mquinas elctricas tienen por finalidad transformar la energa mecnica enenerga elctrica y viceversa. Cuando la conversin es de energa mecnica en energa elc-trica se dice que la mquina est funcionando como generador y en el caso contrario operacomo motor. Tal vez la mquina elctrica ms simple es la que se representa en la figura 1.4.Este dispositivo es un convertidor electromagntico elemental y est constituido solamentepor un conductor rectilneo, movindose ortogonalmente a un campo magntico uniforme.

En la figura 1.4, el conductor longitudinal se mueve en el interior de un campo magntico B:

E es el vector intensidad de campo elctricoe es la fuerza electromotrizB es el vector densidad de campo magnticov es el vector velocidad del conductor lineal

Las variables anteriores se relacionan a partir de la ecuacin 1.13, considerando que no existecampo elctrico externo:

1.2. CONVERTIDOR ELECTROMECNICO ELEMENTAL 13

Figura 1.5: Corriente circulando por un conductor

E = vB (1.19)

Si en la ecuacin 1.19, se supone que el campo magntico B es uniforme en todos los puntosdel conductor y la velocidad v es constante, la fuerza electromotriz e de todo el conductor es:

e = l

0E dl (1.20)

Si al conductor anterior se le conecta una resistencia entre sus extremos, circularn cargaspor el conductor y se producir una corriente de valor:

i =eR

(1.21)

En el conductor de la figura 1.5 se produce una fuerza Fe, que se opone al movimiento. Estafuerza puede calcularse a partir de la relacin de Lorenz 1.1, expresada como funcin de lacorriente i por el conductor:

Fe = l iB (1.22)

La fuerza calculada en la expresin anterior muestra que el sistema se opone a la extraccinde energa. Para obtener la energa, es necesario forzar el movimiento del conductor. Si noacta ninguna otra fuerza que mantenga el movimiento, y si la velocidad es diferente de cero,el sistema tendr un movimiento retardado de aceleracin negativa. El conductor convertir


la energa que estaba inicialmente almacenada en su masa, en prdidas en la resistencia R delcircuito externo. En estas condiciones, la velocidad decae exponencialmente a cero.

Para mantener una velocidad constante en el conductor de la figura 1.5, es necesario aplicaruna fuerza externa al conductor que se oponga a Fe. Esta fuerza es de origen mecnico y sedenomina Fm. En la figura 1.5 se observa el equilibrio de fuerzas necesario para mantenerconstante la velocidad v del conductor.

El sistema mecnico entrega potencia al sistema elctrico para mantener la velocidad v, la po-tencia mecnica instantnea entregada por el sistema externo se calcula mediante la relacinsiguiente:

Pm = Fm v (1.23)

y la potencia elctrica instantnea en el conductor es:

Pe = e i (1.24)

Si se realiza un balance de potencia, considerando que las cantidades vectoriales son ortogo-nales entre s, se obtiene el siguiente resultado:

Pm = Fm v = Fe v = i B v l = i E l = i e = Pe (1.25)

La ecuacin 1.25 demuestra que la conversin de energa mecnica en energa elctrica ha si-do completa. En el proceso no hay prdidas debido a que la potencia disipada en la resistenciadel circuito es externa a la mquina.

Aadiendo una fuente de tensin al conductor anterior con el conductor inicialmente en re-poso, tal como se ilustra en la figura 1.6, la fuente de tensin V hace circular una corriente ipor el circuito. Esta corriente produce, segn la ecuacin 1.22 una fuerza elctrica Fe. Si noacta ninguna otra fuerza sobre el conductor, este comienza a moverse con aceleracin.

Cuando el conductor se mueve en un campo magntico, se origina a su vez un campo elctricoE. Como se puede apreciar en la figura 1.6, la fuente de tensin produce una corriente quese opone al campo elctrico E inducido por el movimiento. La corriente se puede calcularcomo:

i =V e

R(1.26)

1.2. CONVERTIDOR ELECTROMECNICO ELEMENTAL 15

Figura 1.6: Conductor alimentado por una fuente de tensin V

De esta forma, en la medida que aumenta la fuerza electromotriz e inducida por el movimien-to del conductor, disminuye la corriente en el circuito. Al decrecer la corriente, se reduce lafuerza elctrica sobre el conductor. El proceso contina hasta que la fuerza elctrica Fe sehace cero. En esta condicin la tensin aplicada por la batera V es igual a la fuerza electro-motriz e, inducida por el movimiento del conductor en el campo magntico y la corriente i seanula.

La velocidad del conductor en que la fuerza elctrica es cero, debido al equilibrio entre la ten-sin aplicada y la fuerza electromotriz inducida por el movimiento, se define como velocidadsincrnica del conductor. En esta situacin:

e =V = l vs B (1.27)

Donde vs es la velocidad sincrnica y se calcula de la expresin anterior como:

vs =V

l B (1.28)

Una vez que el conductor alcanza la velocidad sincrnica (V = e ; i = 0), si se aplica unafuerza resistente al conductor, el sistema comienza a retardarse y la fuerza electromotrizinducida e disminuye, aumenta la corriente en el conductor debido a que la tensin V dela batera supera a la fuerza electromotriz e. La aceleracin o retardo del sistema se puedecalcular aplicando convenientemente la segunda ley de Newton:


a =dvdt

=1MF =

Fe+FmM

(1.29)

Donde:

F es la sumatoria de fuerzas aplicadas

Fe es la fuerza elctrica sobre el conductor

Fm es la fuerza mecnica resistente

M es la masa del conductor

Cuando la fuerza mecnica Fm equilibra a la fuerza elctrica Fe, la aceleracin es cero y enese instante se cumple que:

Fm = Fe = l B i = l B (

V B l v0R

)(1.30)

De la ecuacin 1.30 se obtiene la velocidad de operacin v0 en funcin de la fuerza mecnicaresistente:

v0 =V FmRBl

B l (1.31)

La velocidad v0 corresponde a la operacin de la mquina cuando las fuerzas elctricas ymecnicas sobre el conductor estn en equilibrio. Si en este momento se elimina la fuerzaresistente Fm, el conductor se acelera en la direccin de la fuerza elctrica Fe hasta alcanzarnuevamente la velocidad sincrnica.

La exposicin anterior permite resumir en seis ecuaciones los principios que rigen la conver-sin electromecnica de energa:

E = vB (1.32)

f = iB (1.33)

e = l

oE dl = E l = v B l (1.34)

1.3. CURVAS CARACTERSTICAS 17

F = l

of dl = f l = i B l (1.35)

i =V e

R(1.36)

dvdt

=1M

Fa =Fe+Fm

M(1.37)

En el sistema de ecuaciones representado por las expresiones 1.32 a 1.37 se destacan lossiguientes puntos:

1. La ecuacin 1.34 calcula una variable elctrica (e) en funcin de una variable mecnica(v) y el campo (B).

2. La ecuacin 1.35 determina una variable mecnica (F) en funcin de una variableelctrica (i) y el campo (B).

3. Las expresiones 1.34 y 1.35 dependen del conductor y del campo en el cual est inmer-so, por esta razn se denominan las ecuaciones internas del convertidor electromec-nico.

4. Las ecuaciones 1.36 y 1.37 representan las relaciones entre el conductor mquinaelctrica y el resto del universo. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de liga-zn, ecuaciones de borde, ecuaciones de contorno o ecuaciones de frontera.

1.3. Curvas caractersticas

Para representar la curva caracterstica de la fuerza elctrica sobre el conductor en funcinde la velocidad, se puede utilizar la ecuacin 1.30:

Fe = i B l =(

V eR

)B l = V B l

R (B l)

2

Rv (1.38)

La ecuacin 1.38 representa la fuerza elctrica Fe como una recta en funcin de la velocidad vdel conductor. Cuando el conductor se encuentra en reposo (v= 0), la fuerza elctrica es igualal trmino independiente en velocidad. Si la fuerza elctrica es cero, la velocidad corresponde


Figura 1.7: Curva caracterstica de la mquina

a la velocidad sincrnica de la mquina. Si se opone una fuerza constante de valor conocido,como se observa en la figura 1.7, se determina un punto de equilibrio v0 en la interseccin delas caractersticas elctrica y mecnica. En este caso v0 corresponde a la velocidad en la cualla fuerza elctrica Fe equilibra a la fuerza mecnica Fm, y constituye un punto de operacinestable debido a que cualquier perturbacin en la velocidad mecnica del sistema tendera ser restituida a las condiciones previas por las fuerzas actuantes sobre el conductor. Estainterseccin es un punto de operacin de rgimen permanente para la mquina.

En la figura 1.7 se han marcado dos zonas (1) y (2). En la zona (1), si la mquina arrancaen contra de una fuerza mecnica resistente constante, se acelera hasta alcanzar el puntode operacin permanente o punto de equilibrio v0 interseccin de las caractersticas. Estoocurre debido a que esta zona de operacin, la fuerza elctrica Fe, siempre es superior a lafuerza mecnica Fm.

Si el sistema se encuentra originalmente en vaco, es decir, operando a velocidad sincrnica,sin carga mecnica y repentinamente se aade una fuerza mecnica resistente, la fuerza elc-trica es inferior a la mecnica y ocurre un proceso de retardo en la zona (2) de la figura 1.7.La velocidad disminuye desde la sincrnica hasta la velocidad de operacin v0 en el puntode equilibrio.

La fuerza mecnica Fm depende en general, para un accionamiento fsico, de la velocidad delconductor. En la figura 1.8 se muestra la curva caracterstica de la mquina elctrica anterior,pero sometida a una fuerza mecnica dependiente de la velocidad.

1.3. CURVAS CARACTERSTICAS 19

Figura 1.8: Fuerza mecnica variable con la velocidad

En este caso, al igual que en el anterior, v0 es un punto de equilibrio estable ya que si seaumenta un diferencial la velocidad del conductor por encima de v0, se origina una fuer-za retardadora que hace regresar el conductor a la anterior condicin de operacin. Por elcontrario, si la velocidad del conductor disminuye en un diferencial, se produce una fuerzaacelerante que incrementa la velocidad del conductor hasta alcanzar el punto de equilibrio env0.

Al producirse un cambio en la tensin de la batera que alimenta al convertidor, la velocidadsincrnica de la mquina tambin vara, debido a que esta velocidad se determina cuandoexiste equilibrio entre la tensin de la batera y la fuerza electromotriz inducida en el con-ductor. En la figura 1.8 es posible definir una familia de curvas de acuerdo a como se varela tensin de la fuente. Mediante la variacin de la tensin de la batera se puede controlar lavelocidad de operacin de la mquina.

Tambin se puede controlar la mquina elemental variando la densidad de flujo magntico B.La variacin del campo produce un cambio en la pendiente de la curva caracterstica de lamquina, ya que como se observa en la ecuacin 1.38, esta variacin altera la pendiente dela caracterstica de forma cuadrtica y el punto de corte en el eje de la fuerza (v = 0), deforma lineal. En la figura 1.10 se ilustra esta situacin y como es posible cambiar el punto deoperacin de la mquina mediante variaciones del campo magntico B.

De los dos mtodos analizados para controlar el punto de operacin de la mquina, la varia-cin del campo magntico tiene un inconveniente. Cuando el campo se reduce demasiado,


Figura 1.9: Efecto de la variacin de la tensin de alimentacin

Figura 1.10: Efecto de la variacin del campo B del convertidor

1.4. BALANCE ENERGTICO 21

la velocidad sincrnica aumenta considerablemente y se puede producir un fenmeno deno-minado embalamiento. El embalamiento es una aceleracin sbita debida a la prdida delcampo en una mquina elctrica sin carga. Si la velocidad sube a niveles peligrosos, puedeocurrir deterioro de la mquina por fallas elctricas y mecnicas. En las mquinas elctricasrotativas este problema es muy grave como se observa del siguiente ejemplo:

Una mquina de 3.600 rpm con un radio de 50 cm gira a una velocidad angular

de:

= 2pinf= 377

rads

La aceleracin centrpeta que aparece sobre los conductores de la periferia del

rotor de la mquina se calcula como:

ac = 2r = 71.061ms2

Esta aceleracin es aproximadamente 7.252default veces superior a la de gra-vedad, por lo tanto sobre cada gramo de material en la periferia aparece una

fuerza de 7kg tratando de mover el material conductor de sus ranuras. Como

la aceleracin vara con el cuadrado de la velocidad angular, si se duplica la

velocidad angular, la aceleracin aumenta 4 veces.

1.4. Balance energtico

En el balance de potencias desarrollado en la ecuacin 1.25 se lleg a la conclusin de quetodo el proceso es conservativo sobre la base de que la potencia elctrica desarrollada por lamquina es igual a la potencia mecnica entregada por el sistema externo.

En general, todas las mquinas elctricas son reversibles y su funcionamiento depende delsentido en que se transmite la potencia. Si la energa fluye del sistema elctrico al mecnico,la mquina funciona como motor. Si el flujo de energa es del sistema mecnico al elctrico,el convertidor es un generador. Cuando el sistema elctrico y mecnico inyectan energa ala mquina, y esta energa se consume totalmente como prdidas internas, esta condicin


Figura 1.11: Modos de operacin del convertidor

se denomina freno. La mquina se puede alimentar indistintamente con energa elctrica ocon energa mecnica. En la figura 1.11 se presenta un grfico de la caracterstica fuerza-velocidad de la mquina analizada anteriormente, con los diferentes modos de operacinfactibles para este convertidor. En la figura 1.12 se muestra un esquema donde se realizael balance energtico de la mquina en las tres condiciones de operacin posibles: motor,generador y freno.

En la zona (1), la velocidad del conductor es menor que la velocidad sincrnica, la fuerzaelectromotriz inducida es menor que la tensin aplicada externamente y la corriente tienesigno contrario a la fuerza electromotriz. En estas condiciones el conductor se desplaza enel mismo sentido de la fuerza elctrica, es decir, esta fuerza realiza trabajo positivo y por lotanto se est transformando energa elctrica en mecnica. La mquina est actuando comoun motor. En esta zona se satisfacen las siguientes condiciones:

e > 0

e < V

i > 0

En la zona (2), la velocidad del conductor es mayor que la velocidad sincrnica y la fuerzaelectromotriz es mayor que la tensin aplicada, por esta razn la corriente y la fuerza elctricainvierten su sentido. Para encontrar un punto de equilibrio la fuerza mecnica tambin debe

1.4. BALANCE ENERGTICO 23

Motor

Pm

Pe

Pm

Pe

Generador

Pm

Pe

Freno prdidas

prdidas prdidas(1) (2) (3)

Figura 1.12: Balance de potencia en los diversos modos de operacin

invertir su sentido original. La fuerza mecnica ahora est entregando energa y el sistema secomporta como un generador. Las condiciones que imperan en esta zona de trabajo son:

e > 0

e > V

i < 0

En la zona (3), tanto la velocidad, como la fuerza electromotriz son negativas. La fuerzamecnica est aplicada en el mismo sentido de la velocidad negativa en este caso, porlo tanto el sistema mecnico entrega energa a la mquina. Simultneamente, la fuente detensin entrega potencia elctrica a la carga. En esta condicin toda la potencia entregadapor el sistema mecnico y por el sistema elctrico se consume en la resistencia interna delconductor y se produce un gran calentamiento de la mquina. Este estado se conoce con elnombre de frenado elctrico y se caracteriza por las siguientes condiciones de operacin:

e < 0

e < V

i > 0

Captulo 2

Conceptos de Energa y TrabajosVirtuales

2.1. Energa y coenerga en el campo

Un convertidor electromecnico de energa es una mquina elctrica. En general una mquinaelctrica posee varios ejes o puertos por los cuales fluye la energa. Estos ejes pueden ser dedos tipos: elctricos o mecnicos. Esquemticamente se representan en la figura 2.1.

En los ejes elctricos de la mquina, las interacciones se analizan conociendo las corrientesy tensiones. En los ejes mecnicos las variables que determinan la condicin de operacin dela mquina son las velocidades y fuerzas, si el movimiento es lineal, o el par1 y la velocidadangular, si el movimiento es rotativo.

La mquina elctrica ms simple requerira al menos un eje elctrico y un eje mecnico. Elesquema bsico de esta mquina se ilustra en la figura 2.2: dWe es el diferencial de energaelctrica que entra en el convertidor por el eje elctrico, dWm es el diferencial de energamecnica que sale por el eje mecnico y dWc es el diferencial de energa que se almacena enlos campos elctrico y magntico de la mquina.

En las mquinas elctricas, no toda la energa introducida en los ejes elctricos se entregaen los ejes mecnicos o viceversa. Es necesario que parte de la energa elctrica se almaceneen los campos electromagnticos del convertidor. En un balance de la energa en la mquinaelctrica es necesario tener en cuenta la parte de la energa que fluye hacia y desde los camposelctricos y magnticos. En la figura 2.2 esta energa se representa por dWc.

1En algunos textos se utiliza la palabra torque, pero este vocablo no se ha incorporado an al idioma espaol.

24

2.1. ENERGA Y COENERGA EN EL CAMPO 25

Figura 2.1: Mquina elctrica y algunos de sus posibles ejes

Figura 2.2: Mquina elctrica con un eje elctrico y un eje mecnico

26 CAPTULO 2. CONCEPTOS DE ENERGA Y TRABAJOS VIRTUALES

Del principio de conservacin de la energa se determina:

dWe = dWc+dWm (2.1)

La energa acumulada en el campo no puede ser medida, pero es posible calcularla por ladiferencia entre la energa elctrica y la mecnica:

dWc = dWedWm (2.2)

La energa elctrica se determina a partir de la integral de la potencia elctrica en el tiempo.Esta energa puede ser calculada directamente en el eje elctrico de la mquina a partir de lasmedidas de tensin y corriente instantnea:

We = t

0Pe()d =

t0

v() i()d = t

0v() i()d (2.3)

Transformando las variables de la expresin anterior se puede reescribir esta ecuacin en unaforma ms conveniente. Considerando que el sistema es conservativo, es decir, no existen pr-didas en elementos resistivos, la tensin v(t) aplicada a la mquina y la fuerza electromotrizinducida son iguales, y por lo tanto:

v(t) = e(t) =ddt

(2.4)

En este caso, a partir de 2.3 y 2.4 se determina que:

We = t

0v() i()d =

t0

ddt i()d =

(t) (0)

i(x, )d = (t) (0)

dWe (2.5)

De la expresin 2.5 se determina que el diferencial de energa elctrica es dWe = id .

La ecuacin 2.5 indica que para obtener la energa elctrica que fluye por la mquina esnecesario conocer solamente la dependencia de la corriente i(x, ) con respecto al flujo ya la posicin x del convertidor.

Para determinar la variacin de la energa mecnica es necesario conocer la velocidad y lafuerza en funcin del tiempo:

Wm = t

0Pm()d =

t0

F() x()d (2.6)


Figura 2.3: Diagrama i de un electro-imn elemental

Realizando cambio de variables sobre la ecuacin 2.6, se obtiene:

Wm = t

0F() dx

dd =

x(t)x(0)

F(x, )dx = x(t)

x(0)dWm (2.7)

Para analizar las relaciones anteriores se puede utilizar como ejemplo el electro-imn que seilustra en la figura 2.3. All se ha representado un grfico de la relacin existente entre losenlaces de flujo y la corriente i, para dos condiciones extremas de la posicin relativa delyugo del electro-imn. Para la misma corriente i, al disminuir la distancia x, disminuye lareluctancia y se incrementan los enlaces de flujo .

En el grfico i, la regin sombreada representa la integral de la corriente i( ) con respectoa para una posicin x fija. Como se ha determinado en la ecuacin 2.5, esta regin represen-ta la variacin de la energa elctrica en un circuito magntico que se energiza manteniendoconstante la posicin del yugo (x).

En un sistema conservativo, la energa es una funcin de estado. Esto quiere decir que enestos sistemas el incremento de energa acumulada no depende de la trayectoria utilizadapara alcanzar un determinado estado, sino del valor de las variables en los estados iniciales yfinales del proceso.

Para determinar la energa acumulada en el campo, es necesario calcular la diferencia entrelas energas elctrica y mecnica del sistema despus del proceso. Si el sistema mecnicoest detenido, no existe variacin en la energa mecnica del convertidor y por lo tanto todala energa elctrica que entra en la mquina se convierte en energa acumulada en el campo,


Figura 2.4: Energa y coenerga en el campo

entonces:

We = (t) (0)

i(x, )d = Wc, si x = cte (2.8)

La ecuacin 2.8 se puede integrar por partes y se obtiene:

Wc = i(x, ) | (t) (0) i(t)

i(0) (x, i)di (2.9)

En la ecuacin 2.9, el trmino integral de define como coenerga en el campo y se expresacomo W c . En la figura 2.4 se observa que la coenerga es el rea bajo la caracterstica i.En la figura 2.4 se observa que un sistema electromecnico donde la posicin x es constantecumple la siguiente relacin:

i = Wc+W c (2.10)

De las definiciones anteriores de energa y coenerga en el campo magntico se destacan lassiguientes observaciones:

1. Para la energa, el enlace de flujo es la variable independiente, y la corriente i es lavariable dependiente.

2. Para la coenerga, la corriente i es la variable independiente y el enlace de flujo es lavariable dependiente.

Para calcular la fuerza Fe, se reducen los incrementos de energa mecnica y de energa enel campo a valores diferenciales. Recordando que la energa acumulada en el campo de la


mquina depende de los enlaces de flujo y de la posicin de la pieza mvil:

Wc =Wc(x, ) (2.11)

El trabajo mecnico se define en su forma diferencial como:

dWm = Fe dx (2.12)

A partir de las ecuaciones 3.27 y 3.29 se obtiene:

dWm = Fe dx =dWc(x, ) , si = cte. (2.13)

El diferencial total de la energa en el campo es:

dWc(x, ) =Wcx

dx+Wc

d (2.14)

Como el enlace se considera constante, el segundo trmino de la sumatoria de la ecuacin2.14 es nulo y por lo tanto se deduce de 2.13 y de 2.14 que:

Fe dx = Wc(x, )x dx , si = cte. (2.15)

Por identificacin de trminos en la ecuacin 2.15 se puede calcular la fuerza sobre la piezamvil en un proceso a enlace de flujo constante como:

Fe =Wc(x, )x , si = cte. (2.16)

La ecuacin anterior, tambin denominada principio de los trabajos virtuales, indica que paracalcular la fuerza Fe sobre la pieza mvil, es necesario conocer la variacin de la energa delcampo en funcin del desplazamiento, cuando se mantiene constante el enlace de flujo .Cuando en el convertidor, la energa acumulada en el campo es independiente de la posicin,la fuerza elctrica es cero.

Si el convertidor electromecnico analizado anteriormente, mantiene una caracterstica linealentre el enlace de flujo y la corriente, la energa en el campo se puede evaluar mediante lasiguiente expresin:

Wc =12 i = 1

2L(x) i2 = 1

2 2

L(x)(2.17)


En la ecuacin anterior, L(x) representa la inductancia en funcin de la posicin de la piezamvil. La inductancia de una bobina se determina a partir del nmero de vueltas N y de lapermeanza del circuito magntico como:

L(x) = N2 (x) (2.18)

Para el electro-imn en anlisis, la permeanza del circuito magntico es:

(x) =o A

2(x+d)(2.19)

Donde:

0 es la permeabilidad del vaco 4pi107 HmA es el rea efectiva del magneto

x es la separacin del yugo

d es la distancia entre el yugo y el circuito electro-imn

Sustituyendo la expresin 2.19 en 2.18 y este resultado en 2.17 se obtiene:

Wc(x) =12

2(x+d)0A N2

2 (2.20)

y aplicando 2.16 a 2.20:

Fe =Wc(x, )x = 2

0A N2 (2.21)

El mismo electro-imn permite analizar lo que sucede si el movimiento se realiza muy len-tamente. Si el yugo se desplaza a una velocidad prcticamente cero, la corriente se mantieneconstante porque no se induce fuerza electromotriz debido a que los enlaces de flujo cambianmuy lentamente y su derivada con respecto al tiempo es prcticamente nula. En la figura 2.5se muestra la situacin anterior. En este caso, la energa mecnica se puede evaluar mediantelas diferencias de la coenerga en el campo entre la posicin x1 y la posicin x2. En la figura2.5 se observa que para la condicin descrita:

Wm = Wc , si i = cte. (2.22)


Figura 2.5: Clculo de la energa con desplazamientos muy lentos del yugo

La coenerga en el campo se calcula de la siguiente forma:

Wc =

i(t)i(0)

(x, i)di (2.23)

La coenerga en el campo depende de la posicin de la pieza mvil y de la corriente, por lotanto:

dWm = Fe dx = dW c =W c(x, i)

xdx+

W c(x, i) i

di (2.24)

Durante el proceso, la corriente i no vara y por esta razn se puede determinar a partir de2.24 que:

Fe =W c(x, i)

xsi i = cte. (2.25)

La fuerza elctrica originada en el convertidor electromagntico depende de la variacin de laenerga en el campo en funcin del desplazamiento cuando el movimiento se realiza mante-niendo constantes los enlaces de flujo. Si el movimiento se realiza manteniendo constante lacorriente, la fuerza elctrica depende de la variacin de la coenerga en funcin de la posicin.

Para calcular o medir una fuerza se utiliza el principio de los trabajos virtuales. Este mtodoconsiste en evaluar las variaciones de la energa o coenerga en el campo ante un desplaza-miento diferencial. Cualquiera de los dos mtodos analizados anteriormente, permite calcularlas fuerzas que aparecen sobre el sistema. Sin embargo, dependiendo de la forma como sepresenten los datos del convertidor, es ms fcil para determinar la fuerza utilizar los con-ceptos de energa o de coenerga. En los sistemas lineales el clculo puede ser realizado conigual facilidad por ambos mtodos. Cuando el sistema no es lineal, la facilidad o dificultad


Figura 2.6: Electro-imn sometido a fuerzas internas y externas

del clculo de fuerzas por uno u otro mtodo depende de cules sean las variables indepen-dientes y cules las dependientes. Si se conoce el enlace de flujo en funcin de las corrientes,el clculo por medio de la coenerga simplifica el problema. Si la corriente se expresa comofuncin de los enlaces, la energa es el mejor mtodo para determinar la fuerza que apareceen la mquina.

2.2. Ecuaciones internas del convertidor

En la figura 2.6 se representa una mquina elctrica constituida por un electro-imn alimen-tado por una bobina y una pieza mvil sobre la que actan dos fuerzas, la fuerza elctricaFe producida por la interaccin electromagntica del dispositivo y una fuerza externa Fm denaturaleza mecnica.

En general la fuerza elctrica no tiene por qu ser igual a la fuerza mecnica. En el sistemamecnico ilustrado en la figura 2.7, las tensiones de las cuerdas no estn necesariamenteequilibradas.

En el ejemplo de la figura 2.7, la fuerza F1 es diferente a la fuerza F2, ya que:

F1 = (m+M) a (2.26)

2.2. ECUACIONES INTERNAS DEL CONVERTIDOR 33

Figura 2.7: Sistema mecnico elemental sin equilibrio de fuerzas

F2 = m a (2.27)

El razonamiento anterior es vlido tambin para el electro-imn de la figura 2.6. La fuerzamecnica en el extremo del yugo se determina mediante la segunda ley de Newton:

Fm =Fe+M x+ x (2.28)

Donde:

Fe es la fuerza elctrica

M x es la fuerza producida por la aceleracin de la pieza mvil x es la fuerza producida por el rozamiento de la pieza es el coeficiente de roce

La ecuacin 2.28 se puede escribir mediante la expresin 2.25 como:

Fm =Wc(x, i)x

+M x+ x (2.29)

La ecuacin del equilibrio elctrico en la mquina es:

v = R i+ e = R i+ d (x, i)dt

(2.30)

Si se conoce la relacin entre los enlaces de flujo (x, i) o la corriente i( ,x), el sistemaqueda completamente definido ya que se puede evaluar la energa o la coenerga en el campo:

Wc =

0i( ,x)d (2.31)

Wc =

i0 (i,x)di (2.32)


La expresin 2.29 determina el comportamiento dinmico del sistema ilustrado en la figura2.6 si se conoce la fuerza mecnica Fm.

Si el sistema es lineal, la relacin entre los enlaces de flujo y la corriente viene expresada me-diante la ecuacin (i,x) = L(x) i. En esa ecuacin, la inductancia L depende de la posicindel yugo, es decir L = L(x). Por esta razn:

i = i( ,x) =1

L(x) (i,x) = (x) (i,x) (2.33)

Donde:

(x) es la inductancia inversa L1.

Mediante la ecuacin 2.33, la dinmica del electro-imn queda completamente determinada.Como el sistema es lineal:

Wc =

i0 (i,x)di =

i0

L(x) i di = 12

L(x) i2 (2.34)

Sustituyendo la ecuacin 2.34 en la ecuacin 2.29 se obtiene:

Fm =Wc

x+Mx+ x =1

2dL(x)

dx i2+Mx+ x (2.35)

La ecuacin 2.35 representa el equilibrio de fuerzas sobre la pieza mvil. La ecuacin querepresenta el circuito elctrico del sistema es:

v = R i+ ddt(L(x) i) = R i+ dL(x)

dt dx

dt i+L(x) di

dt(2.36)

Definiendo (x) como:

(x) dL(x)dt

(2.37)

la ecuacin elctrica de la mquina, a partir de 2.36 y 2.37, es:

v = R i+ (x) x i+L(x) didt

(2.38)

En la expresin anterior, el primer sumando representa la cada de tensin en la resistenciade la bobina, el segundo representa la fuerza electromotriz inducida en la bobina por el movi-miento del yugo y el tercer sumando representa la fuerza electromotriz inducida por variacin

2.2. ECUACIONES INTERNAS DEL CONVERTIDOR 35

de la corriente en la bobina. De forma compacta, la ecuacin 2.38 se puede escribir como:

v = R i+ eG+ eT (2.39)

Donde:

e es la fuerza electromotriz total compuesta por eG y eT

eG es el trmino que depende de la velocidad de la pieza mvil de lamquina, denominado trmino de generacin

eT es el trmino que depende de la variacin de la corriente en la m-quina, denominado trmino de transformacin

Cuando la corriente es cero, puede existir fuerza electromotriz de transformacin, pero no degeneracin como se observa en la ecuacin 2.38.

En conclusin, las ecuaciones internas de la mquina se pueden escribir, en funcin de lacoenerga:

Fm =12(x) i2+M x+ x (2.40)

o, en funcin de la energa:

Fm =12

d(x)dx 2+M x+ x (2.41)

y la ecuacin elctrica 2.38.

Las variables que definen el estado del sistema en las ecuaciones 2.40, 2.41 y 2.38 son lacorriente i, la posicin x y la velocidad x. Realizando el cambio de variables x = u, las ecua-ciones anteriores se pueden expresar de la siguiente forma:

Fm =12(x) i2+M u+ uv = R i+ (x) u i+L(x) didt

x = u

(2.42)

Representando el sistema de ecuaciones diferenciales 2.42 en la forma cannica x=A(x)x+Bu,se obtiene:

didt = 1L(x) [R i+ (x) i u]+ 1L(x)v(t)

u = 1M[1

2(x) i2 u]+ 1M Fm(t)

x = u

(2.43)


Para determinar la solucin de este sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, es nece-sario conocer:

1. Las condiciones iniciales de las variables de estado i(0), u(0) y x(0).

2. Las condiciones de borde o ligazones externas. En el presente caso definidas por lasexcitaciones en el tiempo de la fuerza mecnica Fm(t) aplicada al yugo y la tensin v(t)aplicada a la bobina del electro-imn.

2.3. Ecuaciones de potencia

La potencia utilizada por el convertidor electromecnico en el eje mecnico de la mquina dela figura 2.6 se puede calcular a partir de la fuerza mecnica y de la velocidad del yugo:

Pm = Fm x =12(x) i2 x+M x x+ x2 (2.44)

La potencia absorbida por el eje elctrico es:

Pe = v i = R i2+ (x) x i+L(x) didt i = R i2+ eG i+ eT i (2.45)

Para que la mquina anterior pueda trabajar en un rgimen continuo, con corriente y velocidadconstante, despreciando las prdidas de friccin ( = 0), y las prdidas por efecto Joule enlos conductores (R = 0), mediante las ecuaciones 2.44 y 2.45 se observa que:

Pm =12

eG i (2.46)

Pe = eG i (2.47)

Las expresiones 2.44 y 2.45 indican que en las condiciones anteriores, la mquina absorbepermanentemente por el eje elctrico el doble de la potencia mecnica que est utilizando. Ladiferencia entre estas dos potencias slo puede ser almacenada en el campo. En la figura 2.8se representa esta situacin. De toda la potencia que es inyectada en el eje elctrico, el 50%se convierte en energa mecnica y el otro 50% se almacena en el campo. Como la corrientees constante, el trmino de transformacin (eT i) es cero y el campo no puede devolver alsistema la energa que le ha sido entregada en el proceso de conversin.

2.3. ECUACIONES DE POTENCIA 37

Figura 2.8: Balance energtico de una mquina elctrica en rgimen continuo

Si una mquina elctrica se mantiene todo el tiempo operando en esta situacin, acumula deforma indefinida energa en el campo. Esto no es factible para un sistema fsico real. La solu-cin del problema planteado consiste en permitir la variacin de la corriente. Con la variacinde la corriente aparece el trmino de transformacin (eT i) que compensa el trmino de ge-neracin (12eG i). Por esta razn no es posible construir un mquina que funcione slo concorriente continua. En todas las mquinas elctricas es necesaria la variacin de las corrientespara permitir una operacin en rgimen permanente.

La argumentacin anterior se puede cuestionar debido a que son muy frecuentes en la in-dustria las Mquinas de corriente continua. Sin embargo en este caso el trmino corrientecontinua se aplica a la fuente utilizada para alimentar el convertidor. Las mquinas de corrien-te continua requieren de un dispositivo inversor electromecnico las escobillas y el colectorque permite la variacin de las corrientes en los devanados de la mquina.

Tambin parecen contradecir esta argumentacin los principios de funcionamiento de lasmquinas homopolares y los convertidores magneto-hidrodinmicos2. En ambos casos, estasmquinas funcionan con corriente continua, pero la corriente no siempre circula por el mis-mo material. Si un observador se mueve solidario con el medio conductor, el disco en el casohomopolar y el fluido en la mquina magnetohidrodinmica, puede medir la variacin de lascorrientes al aproximarse y alejarse del punto de inyeccin. En otras palabras, estas mquinasson equivalentes a las de corriente continua, pero si en ellas el proceso de variacin de lascorrientes se realiza de forma discreta mediante el colector y las escobillas, en las homopo-lares y magnetohidrodinmicas el proceso de variacin de las corrientes se lleva a cabo deforma continua mediante un proceso de acercamiento y alejamiento del punto de inyeccinde la corriente.

Por lo tanto en ningn caso conocido, la experiencia contradice la necesidad terica de va-

2Ver figura 2.9.


(a) Convertidor homopolar (b) Bomba magnetohidrodinmica

Figura 2.9: Mquinas de corriente continua

riacin de la corriente para el funcionamiento en rgimen permanente de los convertidoreselectromecnicos de energa.

2.4. Generalizacin de las ecuaciones

En una mquina con dos ejes elctricos y un eje mecnico, como la ilustrada en la figura2.10, se satisface la siguiente relacin para la evaluacin de la fuerza elctrica sobre la piezamvil:

Fe =Wc(x,1,2)x (2.48)

Para demostrar la validez de la ecuacin 2.48 se debe recordar que en un sistema mecnico deeste tipo, si se vara la posicin x, el intercambio energtico se produce entre los ejes elctricosy el eje mecnico. Si la posicin permanece fija, el intercambio energtico se realiza entre losejes elctricos nicamente. La ecuacin 2.48 mantiene la validez en el clculo de la fuerza enun sistema con dos ejes elctricos, ya que la ecuacin 2.17 se demostr para el caso en el quelos enlaces de flujo se mantienen constantes. Si el enlace de flujo es constante, las fuerzaselectromotrices son cero y no puede entrar energa hacia el campo desde ninguno de los ejeselctricos. Por esta razn se cumplen las mismas condiciones en la expresin 2.48 que en la2.17. De todo esto se concluye que es completamente general su aplicacin.

Cualquiera que sea el nmero de ejes elctricos o mecnicos de un convertidor electrome-cnico, para calcular la fuerza elctrica se puede utilizar una expresin similar a la ecuacin2.48, siempre y cuando el movimiento se realice slo en uno de los ejes mecnicos y se man-tengan constantes todos los enlaces de flujo en los ejes elctricos. La expresin generalizada

2.4. GENERALIZACIN DE LAS ECUACIONES 39

Figura 2.10: Mquina con dos ejes elctricos y un eje mecnico

para el clculo de la fuerza elctrica es:

Fer =Wc(x1,x2, ...,xr, ...,xn,1,2, ...,m)

xr(2.49)

La ecuacin 2.49 determina la fuerza elctrica que aparece sobre el eje mecnico r. Para estefin, se calcula la derivada parcial de la energa en el campo con respecto a la posicin del ejer, manteniendo constantes las posiciones de los otros ejes mecnicos y los enlaces de flujo detodos los ejes elctricos.

En el sistema de la figura 2.10, si la posicin x se mantiene constante, la energa acumuladaen el campo es igual a la energa elctrica:

dWc = dWe , si x = cte. (2.50)

La energa elctrica se puede calcular como:

dWc = dWe = i1d1+ i2d2 , si x = cte. (2.51)

Si se conoce cmo varan las corrientes con los enlaces de flujo y con la posicin, el problemaqueda resuelto, es decir: {

i1 = f1(x,1,2)i2 = f2(x,1,2)

(2.52)

En los casos lineales se puede establecer:{1 = L11i1+L12i22 = L21i1+L22i2

(2.53)


Matricialmente la expresin 2.51 se puede escribir como:

[ ] = [L] [i] (2.54)

Donde:

[ ] =

[12

]; [i] =

[i1i2

]; [L] =

[L11 L12L21 L22

]

Empleando lgebra matricial, se puede determinar la corriente [i] en funcin de los enlaces[ ]:

[i] = [L]1 [ ] = [] [ ] (2.55)

La expresin 2.55 en forma explcita es:[i1i2

]=

[11(x) 12(x)21(x) 22(x)

][12

](2.56)

Para calcular la energa en el campo, es necesario variar cada uno de los parmetros en formasucesiva, desde su valor inicial a su valor final, mientras todas las otras variables de estado semantienen constantes. Para evaluar la energa acumulada en el campo, se realiza el siguienteprocedimiento:

Wc = (x,1,2)(0,0,0)

dWc = (x,0,0)(0,0,0)

dWc+ (x,1,0)(x,0,0)

dWc+ (x,1,2)(x,1,0)

dWc (2.57)

La primera integral de la sumatoria de la ecuacin 2.57 es cero, debido a que los enlaces deflujo son cero mientras se mueve el yugo de la mquina. Como no existe variacin de los en-laces, no existen fuerzas electromotrices y por lo tanto no se inyecta potencia elctrica desdelos ejes elctricos hacia el campo. Al no existir enlaces de flujo, para realizar el desplaza-miento mecnico x no es necesario consumir ni suministrar energa. Para la evaluacin de losdos trminos restantes de la ecuacin 2.57, se sustituyen las ecuaciones 2.51 y 2.56:

Wc = (x,1,0)(x,0,0)

(111+122)d1+(211+222)d2+

+

(x,1,2)(x,1,0)

(111+122)d1+(211+222)d2 =

=1211 21 +2112+

1222 22 (2.58)

2.4. GENERALIZACIN DE LAS ECUACIONES 41

En el clculo de las integrales de la ecuacin 2.58 se asume que 12 es igual a 21, condicinde simetra siempre vlida para los sistemas fsicos.

Generalizando el clculo anterior mediante el lgebra de matrices, se tiene:

dWc = dWe = [i]t [d ] , si x = cte. (2.59)

De la ecuacin 2.56 y recordando la propiedad sobre la traspuesta de un producto de matrices:

[i]t = [ ]t []t (2.60)

Se obtiene la energa acumulada en el campo como:

Wc = (x,1,2)(0,0,0)

[ ]t [(x)]t [d ] =12[ ]t [(x)]t [ ] (2.61)

Si se deriva parcialmente la ecuacin 2.61 con respecto a la posicin x, se encuentra la fuerzaelctrica Fe que acta sobre la pieza mvil:

Fe =Wc(x, [ ])x =12[ ]t

ddx

([(x)]t

)[ ] (2.62)

Por un razonamiento semejante, pero aplicado a la coenerga, se puede deducir que:

Wc =

12[i]t [L(x)]t [i] (2.63)

La fuerza elctrica sobre la pieza se puede calcular como:

Fe =W c(x, [i])

x=

12[i]t

ddx

([L(x)]t

)[i] =

12[i]t [(x)]t [i] (2.64)

Las ecuaciones 2.62 y 2.64 son vlidas para un nmero cualquiera de ejes elctricos, peropara un eje mecnico solamente. La mayora de las mquinas elctricas poseen un solo ejemecnico, pero si existen ms, es necesario calcular las derivadas parciales de la energa ode la coenerga, segn sea el caso, con respecto a cada una de las variables que definen laposicin de cada eje mecnico (x1,x2,x3, ...,xn).

Si el eje mecnico es rotativo o giratorio, como se representa en la figura 2.11, la matriz deinductancia se define en funcin del ngulo y no se calculan fuerzas sino pares elctricos ymecnicos.


Figura 2.11: Electro-imn con yugo rotativo

Las ecuaciones del convertidor en este caso son:

Te =12[i]t [()]t [i] (2.65)

Donde:[()] =

dd

[L()]

Las ecuaciones de equilibrio elctrico y mecnico de un convertidor electromecnico linealcon mltiples ejes elctricos y un eje mecnico son:

[i] = [R] [i]+ [e] =

= [R] [i]+ddt[ ] =

= [R] [i]+ddx

[L(x)] x [i]+ [L(x)]d [i]dt

=

= [R] [i]+ [(x)] x [i]+ [L(x)]d [i]dt

(2.66)

Fm =12 [i]t [(x)]t [i]+Mx+ x (2.67)

En las ecuaciones 2.66 y 2.67 se observa que la informacin que determina la dinmica yel comportamiento de la mquina elctrica est contenida en la matriz [L(x)]. A partir deesta matriz, se obtiene la matriz [(x)], y con estas dos matrices y los elementos de ligazncon los sistemas elctricos y mecnicos externos, se formulan las ecuaciones completas delconvertidor.

Captulo 3

Ecuaciones generales de las mquinaselctricas rotativas

Las mquinas elctricas rotativas poseen caractersticas comunes entre s y en general seasemejan al modelo representado en la figura 3.1. En algunas ocasiones el elemento interiorde la mquina es fijo y el exterior, mvil. Incluso pueden ser mviles los dos elementos; perolo ms caracterstico de las mquinas elctricas rotativas es la existencia de dos superficiescilndricas con movimiento relativo entre una y otra.

El flujo puede ser descompuesto en dos componentes ortogonales y . Para representar elflujo producido en el rotor se inyectan corrientes en las bobinas r y r, fijas en el rotor. Elflujo del estator se obtiene inyectando corrientes en las bobinas e y e fijas en el estator. Es-tos devanados no tienen necesariamente existencia fsica, pero pueden reproducir los camposen el interior de la mquina. La posicin relativa entre el rotor y el estator queda determinada

Figura 3.1: Partes de una mquina elctrica rotativa

43

44CAPTULO 3. ECUACIONESGENERALESDE LASMQUINAS ELCTRICASROTATIVAS

Figura 3.2: Esquema de la mquina generalizada

mediante el ngulo , medido entre los ejes magnticos e y r respectivamente.

La mquina elctrica generalizada posee cuatro ejes elctricos e, r, e y r por los cualesse inyectan las corrientes y un eje mecnico o eje de giro. El flujo en el entrehierro de lamquina cambia su distribucin cuando varan las corrientes ir, i r, ie e ie. En la figura3.2 se representa el esquema de las bobinas ortogonales de la mquina generalizada.

Definiendo a Tm como el par mecnico en el eje de la mquina, las ecuaciones de la mquinaen forma matricial compacta son:

[v] = [R] [i]+ [()] [i]+ [L()]ddt[i]

Tm = 12 [i]t [()] [i]+ J + (3.1)

En el sistema de ecuaciones 3.1, es el coeficiente de friccin y J es la inercia del eje derotacin. Las variables de estado de este sistema de ecuaciones diferenciales son las corrientes[i], el ngulo y la velocidad angular ddt , denominada tambin m.

Para poder plantear el sistema 3.1, es necesario determinar las matrices de resistencias [R],inductancias en funcin del ngulo [L()], as como la derivada con respecto al ngulo dela matriz de inductancias, tambin denominada matriz de par [()].

45

La matriz de resistencias

La matriz de resistencias de la mquina elctrica generalizada es diagonal porque todas lasresistencias son propias de cada bobina y no existen resistencias mutuas debido a que losdevanados estn aislados galvnicamente:

[R] =

Re 0 0 0

0 Re 0 00 0 Rr 00 0 0 Rr

(3.2)

La matriz de inductancias

Si la mquina posee un rotor cilndrico y homogneo, al girar no se modifica la permeanza delcamino magntico, por esta razn la inductancia propia del estator no depende de la posicindel rotor. La inductancia propia del estator es constante e independiente del ngulo . Estainductancia se puede calcular como:

Le = N2e Pe (3.3)

Si el estator es cilndrico, la inductancia propia del rotor es constante por el mismo razona-miento anterior. Si todos los devanados del estator poseen el mismo nmero de vueltas y lomismo ocurre con las bobinas del rotor, los trminos de la diagonal de la matriz de inductan-cia son:

[L] =

Le ? ? ?? Le ? ?? ? Lr ?? ? ? Lr

(3.4)

Las inductancias mutuas entre los devanados y del estator son cero porque estas bobinasson ortogonales y el flujo que se produce en una de ellas no puede enlazar a la otra. La mismasituacin sucede con los devanados del rotor:


[L] =

Le 0 ? ?0 Le ? ?? ? Lr 0? ? 0 Lr

(3.5)

La inductancia mutua entre la bobina del estator y del rotor es mxima cuando ambosdevanados se encuentran alineados, es decir con = 0. Para representar este valor de lainductancia mutua se debe utilizar un trmino en cos .

Una situacin semejante se presenta entre el eje del estator y el eje del rotor. La induc-tancia mutua entre las bobinas del rotor y del estator es mxima cuando = pi2 ; estose representa mediante un trmino en sen . La inductancia mutua entre el devanado delrotor y del estator es mxima cuando = pi2 ; por esta razn esta inductancia se puederepresentar mediante un trmino sen .De esta forma y recordando que la matriz de inductancias es simtrica, se obtiene:

[L] =

Le 0 Lercos Lersen0 Le Lersen Lercos

Lercos Lersen Lr 0Lersen Lercos 0 Lr

(3.6)

Matriz de par

La matriz de par [()] se calcula derivando la matriz de inductancias de la mquina conrespecto al ngulo :

[()] =d

d[L] (3.7)

De esta forma se obtiene:

[()] =

0 0 Lersen Lercos0 0 Lercos Lersen

Lersen Lercos 0 0Lercos Lersen 0 0r

(3.8)

3.1. CLCULO DEL PAR ELCTRICO 47

3.1. Clculo del par elctrico

A partir de las matrices 3.6 y 3.8 se puede calcular el par elctrico de la mquina:

Te =12

ieieirir

t

Le 0 Lercos Lersen0 Le Lersen Lercos

Lercos Lersen Lr 0Lersen Lercos 0 Lr

ieieirir

(3.9)Efectuando los productos matriciales en la ecuacin 3.9 se obtiene:

Te = Ler{

sen(ie ir ie ir)+ cos (ie ir + ie ir)} (3.10)

Si las corrientes del estator o del rotor son cero, todos los trminos del par elctrico en laecuacin 3.10 se anulan y no se produce par. Si se inyectan corrientes constantes en todas lasbobinas del rotor y del estator, el par elctrico que se obtiene es de la forma:

Te = Ler {A sen +B cos} (3.11)

En la ecuacin 3.11 se observa que para cada valor de la posicin del rotor existe un parelctrico, pero el promedio de ese par en un giro completo de la mquina es cero. sta esuna razn que refuerza el concepto de la imposibilidad de que una mquina elctrica puedafuncionar en rgimen permanente con corriente continua en todos sus devanados.

Calculando el par elctrico promedio de la mquina bifsica en un perodo se obtiene:

Te= LerT T

0

{sen

(ie ir ie ir)+ cos (ie ir + ie ir)}d (3.12)El ngulo en la expresin 3.12, considerando que el rotor gira a velocidad angular constantem, se puede expresar como:

= mt+0 (3.13)

Sustituyendo la expresin 3.13 en 3.12 se obtiene:


Te = LerT T

0

{sen(mt+0)

(ie ir ie ir)++cos(mt+0)

(ie ir + ie ir)}dmt (3.14)Si se expresan las corrientes en forma de cosenos:

ie =

2Iecos(et+e)

ie =

2Ie cos(e t+e

)ir =

2Ircos(rt+r)

ir =

2Ir cos(r t+r

)(3.15)

Recordando que:1T

T0

sen cosd = 0 (3.16)

Los nicos trminos que pueden producir par promedio diferente de cero son los productosde cosenos, por lo tanto:

Te= LerT T

0

{cos(mt+0)

(ie ir + ie ir)}d (3.17)Si las corrientes estatricas y rotricas son peridicas, es posible expresarlas mediante seriesde Fourier. Utilizando expansin de las funciones en series de cosenos:

ie =

k=1

Ikecos(ket e) (3.18)

ir =

j=1

I jrcos( jrt r) (3.19)

Los trminos del par son de la forma:

cos(mt+0)

k=1

Ikecos(ket e)

j=1

I jrcos( jrt r) (3.20)


Recordando la propiedad trigonomtrica:

cos cos cos 14[cos(+ + )+ cos(+ )+ + cos( + )+ cos(+ + )] (3.21)

Se puede aplicar esta propiedad al trmino genrico del par elctrico 3.20. El trmino gen-rico queda entonces as:

cos(mt+0 ket jrt e r) (3.22)

Para que un trmino igual al 3.22 tenga un promedio diferente de cero en un perodo, esnecesario que se anule la dependencia del tiempo en el argumento de la funcin coseno:

m ke jr = 0 (3.23)

La ecuacin 3.33 es fundamental en el anlisis de las mquinas elctricas rotativas y se co-noce como condicin necesaria para par promedio. En la ecuacin 3.33, m es la velocidadmecnica del sistema, e representa la frecuencia angular de las corrientes inyectadas en lasbobinas del estator y r es la frecuencia angular de las corrientes inyectadas en el rotor.

Los tipos ms comunes de mquinas elctricas convencionales se diferencian por el meca-nismo que utilizan para dar cumplimiento a la ecuacin 3.33. Las mquinas sincrnicas,de induccin y de corriente continua utilizan diferentes mecanismos de excitacin de susbobinas rotricas y estatricas, pero siempre deben satisfacer la condicin necesaria de parpromedio para permitir la conversin de energa.

La mquina sincrnica

A las mquinas sincrnicas se les inyecta corriente continua en las bobinas rotricas, por estarazn:

r = 0 (3.24)

Aplicando la condicin necesaria de par promedio 3.33 con la restriccin 3.34 para las m-quinas sincrnicas se obtiene:

m ke = 0 (3.25)


La ecuacin 3.35 justifica el nombre de estas mquinas, ya que las mquinas sincrnicas slopueden producir par promedio diferente de cero cuando la velocidad mecnica coincide conla velocidad angular de las corrientes inyectadas en el estator. En otras palabras, la mquinadebe girar en sincronismo con las corrientes estatricas.

Las mquinas de corriente continua son un caso particular de mquina sincrnica, donde laigualdad de frecuencias entre las corrientes rotricas en este caso y la velocidad mecnicase obtiene mediante un inversor mecnico constituido por un colector y un juego de carbonesque conmuta las corrientes en las bobinas del rotor, con una frecuencia igual a la velocidadmecnica de giro.

La mquina de induccin

En la mquina de induccin se permite un grado de libertad adicional. En esta mquina sepuede obtener par promedio diferente de cero en un amplio rango de velocidades mecnicas.Las corrientes que circulan por el rotor se ajustan por el fenmeno de induccin electro-magntica y cumplen la condicin 3.33. En la mquina de induccin se fija la frecuenciade las corrientes en el estator e, se produce un campo electromagntico en el entrehierro dela mquina que gira mecnicamente con la frecuencia angular de estas corrientes. Como elrotor gira a la velocidad mecnica m, los conductores del rotor cortan el campo magnticoproducido en el estator con una velocidad que es la diferencia entre e y m. La diferenciaporcentual entre estas dos velocidades se conoce como deslizamiento de la mquina:

s =eme

100 (3.26)

La velocidad angular e se conoce como velocidad sincrnica de la mquina de induccin.

La mquina de corriente continua

En la figura 3.3 se muestra una mquina de corriente continua simplificada. Esta mquinaposee un devanado estatrico por el cual se inyecta corriente continua y una armadura enel rotor alimentada mediante una fuente de corriente continua y un colector que permite lainversin de las corrientes en la armadura. Para calcular el par elctrico que produce estamquina se utiliza la expresin deducida en el captulo 2 para los sistemas lineales:

Te =12[i]t [()] [i] (3.27)


Figura 3.3: Diagrama esquemtico de una mquina elemental de corriente continua

Desarrollando explcitamente la ecuacin 3.37 se obtiene:

Te =12

[ie ir

][ 0 MsenMsen 0

][ieir

](3.28)

En la expresin anterior, M es la inductancia mutua entre el estator y el rotor. Realizando lasoperaciones matriciales en la ecuacin 3.38:

Te =M ie ir sen (3.29)

El colector o conmutador mecnico de la mquina de corriente continua permite alternar lapolaridad de la tensin de alimentacin de la bobina del rotor Vr al mismo tiempo que gira elrotor. En la figura 3.3 se observa tambin la corriente que circula por la armadura (rotor) dela mquina.

El par promedio en el eje de la mquina se calcula como:

Te= 12pi{ pi

0MIeIrsend +

2pipi

MIeIrsend}

(3.30)


Figura 3.4: Par elctrico a partir de las fuerzas magnetomotrices

Resolviendo las integrales de la ecuacin 3.40 se obtiene:

Te=2Mpi IeIr = k IeIr (3.31)

La expresin anterior determina el par elctrico promedio en la mquina de corriente con-tinua. El coeficiente k depende de la construccin fsica de los devanados del rotor y delestator.

3.2. Par elctrico y fuerzas magnetomotrices

En la figura 3.4 se representa el diagrama de una mquina elctrica cilndrica con un estatory un rotor. En el estator y rotor se producen las fuerzas magnetomotrices Fe y Fr respecti-vamente, cuya amplitud y direccin se representa vectorialmente en la figura. Estas fuerzasmagnetomotrices se encuentran separadas en un ngulo una de la otra. La suma de las fuer-zas magnetomotrices del rotor y del estator produce la fuerza magnetomotriz resultante en elentrehierro de la mquina Ft . Para calcular el par elctrico de una mquina en funcin de lasfuerzas electromotrices, se determina la coenerga en el campo y luego se deriva con respectoa la posicin angular :

Te =W c(F,)

(3.32)

De la figura 3.4 se deduce:F2t = F

2r +F

2e +2FrFecos (3.33)

3.2. PAR ELCTRICO Y FUERZAS MAGNETOMOTRICES 53

Si la permeabilidad del material magntico es muy grande, es decir r tiende a infinito, todala energa est concentrada en el entrehierro y la coenerga se puede calcular de la siguienteforma:

Wc =Wc = volumenwc (3.34)

En la ecuacin 3.34, wc representa la energa promedio en el campo por unidad de volumen.De esta forma:

Wc = 2pir l

12

H B

(3.35)

Donde:

r es el radio medio del entrehierro [m].

es el espesor del entrehierro [m].

l es la longitud activa de la mquina [m].

Como la densidad de campo magntico B en el entrehierro es igual a 0H:

Wc = 2pir l

120H2

(3.36)

La primera armnica de la intensidad de campo magntico H es sinusoidal y su valor prome-dio es:

H2=

12pi

2pi0

(Hmaxsen)2 d =12

H2max (3.37)

Sustituyendo 3.37 en 3.36:

Wc = 2pir l

12

H2max (3.38)

En la ecuacin 3.38 es necesario expresar la amplitud de la intensidad de campo magntico deprimera armnica en funcin de las fuerzas magnetomotrices. En la figura 3.5 se representauna mquina con un devanado en el estator. Como la permeabilidad del hierro es infinita, todala fuerza magnetomotriz se utiliza para que el flujo cruce el entrehierro. Aplicando la ley deAmpre a esta mquina, se tiene:

F = NI =

H dl =

Haire dlaire+

Hhierro dlhierro (3.39)


Figura 3.5: Fuerzas magnetomotrices e intensidades de campo magntico

El segundo trmino integral es cero, ya que:

Hhierro =B

0hierro= 0 (3.40)

Sustituyendo 3.40 en 3.39:

F = NI =

H dl =

Haire dlaire (3.41)

En la figura 3.5 tambin se representa la distribucin de la intensidad del campo magnticoen funcin de la posicin de la trayectoria de Ampre. De esta forma se obtiene:

F = NI =

H dl =

Haire dlaire = 2 Haire (3.42)

Despejando de la ecuacin 3.42 la intensidad de campo magntico en funcin de la fuerzaelectromotriz:

H =F

2(3.43)

Sustituyendo la ecuacin 3.43 en la ecuacin 3.38 se obtiene:

Wc =

pirl08

F2 (3.44)

3.3. EL CAMPO MAGNTICO ROTATORIO 55

Reemplazando la ecuacin 3.33 en la ecuacin 3.44:

Wc =

pirl08

(F2r +F

2e +2FrFecos

)(3.45)

Para calcular el par elctrico se utiliza la ecuacin 3.22:

Te =W c(F,)

=pirl0

4FrFesen (3.46)

Mediante la ecuacin 3.46 se puede calcular el par elctrico en funcin de las fuerzas magne-tomotrices de la mquina. La fuerza magnetomotriz depende de las corrientes y del nmerode vueltas de las bobinas. Si se conocen las dimensiones de la mquina, las corrientes y elnmero de conductores de cada bobina, es posible utilizar la ecuacin 3.46 para determinarel par.

Si la distribucin de las corrientes en la mquina no es puntual, se puede utilizar la mismatcnica para calcular la intensidad de campo magntico H pero se tiene en cuenta que:

H dl =

J ds (3.47)

En la figura 3.6 se muestran dos distribuciones diferentes de los conductores en la superficiede una mquina, as como su respectiva distribucin de intensidades de campo magnticoH. Cuando el entrehierro es constante, la densidad de campo magntico B posee la mismadistribucin que la intensidad de campo magntico H.

3.3. El campo magntico rotatorio

Cuando se analizaron las bases de la mquina elctrica generalizada, se utilizaron dos gradosde libertad para la representacin del campo magntico, uno dado por la bobina y el otropor la bobina . Mediante este esquema se puede determinar el campo en cualquier punto delplano.

En la figura 3.7 se muestran dos corrientes i e i que pueden ser inyectadas en las bobinas y de la mquina.

En el instante inicial t = 0 la corriente ivale cero e i es I, por lo tanto el camporesultante apunta en la direccin negativa del eje . Cuando el tiempo se incrementa y llegaal instante pi2 , la corriente i se anula, mientras que la corriente i es +I, el campo en estas


(a) Distribuci\on trapezoidal

(b) Diferentes distribuciones de conductores y campos en las mqui-nas

Figura 3.6: Diferentes distribuciones de conductores y campos en las mquinas

3.4. LA MQUINA TRIFSICA 57

Figura 3.7: Corrientes inyectadas en la mquina generalizada

condiciones apunta en la direccin positiva del eje . En el instante pi el flujo se orientarsegn la direccin positiva del eje , ya que la corriente i tiene como valor +I y la corrientei es cero. Para el instante de tiempo 2pi , la corriente i es cero, la corriente i vale I y elvector del campo apunta nuevamente en la direccin negativa del eje , repitindose de estaforma las condiciones iniciales. En la figura 3.8 se representa la situacin anterior.

El anlisis anterior seala que las corrientes que varan en el tiempo, producen un campomagntico que gira en el espacio. Aun cuando los campos de cada eje tienen igual amplitud, eldesfasaje en el tiempo y en el espacio origina un campo magntico rotatorio. La frecuencia degiro del campo magntico en el espacio es igual a la frecuencia de variacin de las corrientesen el tiempo.

Si la bobina no es idntica a la bobina , o las corrientes inyectadas a la mquina en cadaeje difieren en amplitud, el campo no es circular sino elptico. Los campos elpticos tambinson considerados campos magnticos rotatorios o rotantes. Las mquinas trifsicas tambinfuncionan mediante el principio del campo magntico rotatorio.

3.4. La mquina trifsica

La mquina trifsica dispone de tres devanados repartidos simtricamente en la periferia delcilindro. En la figura 3.9 se representa la configuracin esquemtica de este tipo de mquinasas como las tres corrientes que se han inyectado en las bobinas a, b, y c. En la figura se


Figura 3.8: Campo magntico rotatorio

representan las corrientes a, b, c y las fuerzas magnetomotrices que estas corrientes producenen el tiempo inicial (t = 0) como fasores. En el instante inicial las corrientes que circulan porlas tres bobinas son:

ia(0) = Imax

ib(0) = 12 Imax

ic(0) = 12 Imax (3.48)

Para demostrar que el campo magntico originado por las corrientes de la figura 3.9 es rota-torio, se expresan estas corrientes como:

ia(t) = I cos(t)ib(t) = I cos(t 2pi3 ) (3.49)

ic(t) = I cos(t 4pi3 )

Si es la direccin de un punto cualquiera en el entrehierro medido a partir del eje magntico

3.4. LA MQUINA TRIFSICA 59

Figura 3.9: Corrientes y fuerzas magnetomotrices de la mquina trifsica

de la bobina a, se obtiene:

F( , t) = N iacos +N ibcos( +4pi3)+N iccos( +

2pi3) (3.50)

Sustituyendo las expresiones 3.49 en la ecuacin 3.50 se obtiene:

F( , t) = N I {cos(t) cos + + cos(t 2pi

3) cos( + 4pi

3)+

+ cos(t 4pi3) cos( + 2pi

3)} (3.51)

Aplicando las propiedades trigonomtricas para el producto de cosenos se obtiene:

F( , t) =N I2{cos(t+)+ cos(t)+

+ cos(t+ + 2pi3)+ cos(t)+

+ cos(t+ 2pi3)+ cos(t } (3.52)

En la ecuacin anterior los trminos primero, tercero y quinto de la sumatoria de cosenossuman cero porque el desfasaje entre ellos es de 2pi3 . Con esta consideracin se obtiene:

F( , t) =32

N Icos(t) (3.53)


Esta expresin permite obtener la fuerza magnetomotriz en el espacio y en el tiempo. Si sefija la posicin, es decir, el ngulo es constante, la ecuacin 3.53 indica que en esa posicinla fuerza magnetomotriz vara sinusoidalmente en el tiempo. Si se congela el tiempo en uninstante especfico, la expresin 3.53 determina una distribucin sinusoidal de la fuerza mag-netomotriz en el espacio. La ecuacin 3.53 demuestra que en una mquina elctrica trifsica,alimentada por tres corrientes balanceadas y desfasadas 2pi3 en el tiempo, produce un campomagntico rotatorio similar al producido por dos devanados ortogonales a los cuales se lesinyecten corrientes sinusoidales desfasadas pi2 .

3.5. Transformacin de coordenadas

El sistema de ecuaciones diferenciales 3.1, que modela el comportamiento de la mquinaelctrica, no es lineal. La dependencia en de este modelo dificulta notablemente la solucinde cualquier problema. La transformacin de las ecuaciones diferenciales a nuevos sistemasde coordenadas simplifica en muchos casos este modelo.

Un nuevo sistema de coordenadas se puede definir mediante una matriz de transformacinaplicada a las variables en coordenadas primitivas y . Las tensiones y corrientes en elnuevo sistema transformado son:

[vee,r r

]= [Awxyz] [vwxyz] (3.54)

[iee,r r

]= [Awxyz] [iwxyz] (3.55)

Donde:

Awxyz es la matriz de transformacin

vee,r r son las tensiones en coordenadas primitivas

vwxyz son las tensiones en las nuevas coordenadas

iee,r r son las corrientes en coordenadas primitivas

iwxyz son las corrientes en las nuevas coordenadas

La potencia en coordenadas primitivas se puede calcular mediante la expresin:

p =[iee,r r

]t [vee,r r] (3.56)

3.5. TRANSFORMACIN DE COORDENADAS 61

En la expresin 3.56, el asterisco () indica que el vector de corrientes se debe conjugar encaso de ser complejo y el superndice t representa una trasposicin del vector de corrientespara que el producto matricial con el vector de tensiones sea conformable. Sustituyendo enla ecuacin 3.56 las definiciones 3.54 y 3.55, se obtiene:

p = [iwxyz]t [Awxyz]t [Awxyz] [vwxyz] (3.57)

Para que la transformacin utilizada [Awxyz] sea invariante en potencia es necesario que:

[Awxyz]t [Awxyz] = [I] (3.58)

En la ecuacin 3.58, [I] es la matriz identidad. De esta expresin se obtiene:

[Awxyz]t = [Awxyz]1 (3.59)

Una matriz que satisface la condicin 3.59 se denomina hermitiana o hermtica. La ecuacin3.59 indica que si en la matriz de transformacin de coordenadas, su conjugada traspuestaes idntica a la matriz inversa, dicha transformacin es conservativa en potencia. En otraspalabras, una transformacin hermitiana permite calcular las potencias en las variables trans-formadas sin necesidad de regresar a las coordenadas primitivas.

Las ecuaciones de los ejes elctricos de la mquina se pueden escribir como:

[v ,

]=[[

R ,]+[L ,

]p+

[ ,

]][i ,

](3.60)

Transformando las coordenadas en la ecuacin 3.60 se obtiene:

[Awxyz] [vwxyz] =[[

R ,]+[L ,

]p+

[ ,

]][Awxyz] [iwxyz] (3.61)

Despejando de 3.61 el vector de tensiones se obtiene:

[vwxyz] ={[Awxyz]

1 [R , ] [Awxyz]+ +[Awxyz]1

[L ,

][Awxyz] p+

+[Awxyz]1[L ,

] ddt[Awxyz]+

+ [Awxyz]1[ ,

][Awxyz]

}[iwxyz] (3.62)


La ecuacin 3.62 se puede escribir utilizando las siguientes definiciones:

[Rwxyz] [Awxyz]1[R ,

][Awxyz] (3.63)

[Lwxyz] [Awxyz]1[L ,

][Awxyz] (3.64)

[wxyz] [Awxyz]1[ ,

][Awxyz] (3.65)

Como la matriz de transformacin puede depender en general de la posicin angular , seobtiene:

ddt[Awxyz] =

dd

[Awxyz] ddt (3.66)

y definiendo:

[Hwxyz] [Awxyz]1[L ,

] dd

[Awxyz] (3.67)

Se puede escribir la ecuacin 3.62 como:

[vwxyz] =[[Rwxyz]+ [Lwxyz] p+ [[wxyz]+ [Hwxyz]]

][iwxyz] (3.68)

En la ecuacin 3.68, el segundo trmino de la sumatoria, corresponde a las fuerzas electro-motrices de transformacin y el trmino tercero a las fuerzas electromotrices de generacin.Este ltimo trmino se descompone en dos partes, por un lado la matriz de par [wxyz] y porotro la matriz [Hwxyz] que reproduce los trminos de generacin originados por el movimientorelativo de los ejes transformados con respecto a los ejes reales. La matriz [Hwxyz] determinalos trminos no-holonmicos debidos a la transformacin de coordenadas.

La ecuacin dinmica de la mquina se expresa como:

Tm =12[i ,

]t [ , ][i , ]+ J + (3.69)Transformando la ecuacin 3.69 a las nuevas coordenadas:

Tm =12 [iwxyz]t [Awxyz]t

[ ,

][Awxyz] [iwxyz]+ J + (3.70)

3.6. TRANSFORMACIN DE COORDENADAS DQ 63

Figura 3.10: Transformacin de coordenadas de del rotor a dq del rotor

y sustituyendo la ecuacin 3.65 en 3.70:

Tm =12 [iwxyz]t [wxyz] [iwxyz]+ J + (3.71)

Las ecuaciones 3.68 y 3.71 representan a la mquina elctrica en un nuevo sistema de coor-denadas. Mediante una seleccin apropiada de la matriz de transformacin [Awxyz], es posibleencontrar una solucin ms simple al sistema de ecuaciones diferenciales que definen el com-portamiento de la mquina.

3.6. Transformacin de coordenadas dqUna transformacin til en el anlisis de las mquinas elctricas rotativas consiste en pro-yectar las coordenadas del rotor en ejes colineales con los ejes del estator. Estos nuevos ejesse denominan directo dr y cuadratura qr; esta transformacin permite anular el movimien-to de las bobinas del rotor y las inductancias entre el estator y el rotor son constantes en elsistema de coordenadas transformadas. En la figura 3.10 se ha representado un diagrama conla transformacin propuesta. En esta transformacin, las tensiones y corrientes correspon-dientes a las coordenadas primitivas del rotor son referidas a nuevas tensiones y corrientesinyectadas en bobinas fijas en el espacio. Los ejes del estator permanecen inalterados en lasnuevas coordenadas. La matriz de transformacin de coordenadas se puede particionar de la


siguiente forma: [Adq

]=

[[Aee] [0][0] [Arr]

](3.72)

Las coordenadas del estator no cambian en la transformacin, por esta razn la submatriz[Aee] debe ser unitaria:

[Aee] =

[1 00 1

](3.73)

Para determinar [Arr] se debe recordar que:

[irr

]= [Arr]

[idrqr

](3.74)

La matriz [Arr] corresponde a la proyeccin de los ejes r y r sobre los ejes dr y qr solidarioscon el estator. Esta transformacin es una rotacin inversa que anula la rotacin del rotor dela mquina. De la figura 3.10 se deduce que la transformacin de coordenadas es:

[Arr] =

[cos sensen cos

](3.75)

La matriz obtenida en la ecuacin 3.75 es hermitiana y su traspuesta conjugada es igual a suinversa:

[Arr]1 =

[cos sensen cos

]1=

1cos2 + sen2

[cos sensen cos

]= [Arr]

t (3.76)

Definida la transformacin de coordenadas[Arr], es posible determinar las matrices transfor-madas

[Rdq

],[Ldq

],[dq

]y[Hdq

].

Matriz de resistencias en coordenadas dqLa matriz de resistencia

[Rdq

]en las nuevas coordenadas es:

[Rdq

]=

[Adq

]1 [R , ][Adq]==

[[I] [0][0] [Arr]

t

]1[Re [I] [0][0] Rr [I]

][[I] [0][0] [Arr]

](3.77)

3.6. TRANSFORMACIN DE COORDENADAS DQ 65

Efectuando

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