TERRAPROYECTOS PRESENTA

FractalGEO PRESENTA CURSO (5to DIA)

GEOESTADISTICA TEORICA - PRACTICA

Quinto da[8 horas]

Mtodo Geoestadistico: KrigingFormulacin Matemtica bsica del Kriging. Varianza del Kriging Determinacin de un Modelo segn el Yacimiento. Dos formalismos Configuracin simplificado de Kriging en Vetas.Distribucin Log_Normal (en Minas de oro). Experiencias. Kriging Puntal (OK)Kriging de bloquesEjercicio en Minesight (o algn programa de la Empresa), (*) ENTREGABLES EN UN CALCULO DE RECURSOS MINERALES Estimaciones y Resultados de trabajo escalonadoCurvas de Cut off vs-Tonelaje Ley MediaMatriz geolgica Minera

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

METODO KRIGING

El Kriging siempre ser un tema de bastante discusin y que por lo general rebasa los alcance de un Curso Corto. La bibliografa mencionada tiene mas ampliado el tema del Kriging que sugiero sea consultado.

Las experiencias adquiridas me permite mostrar dos modelos de Clculo de Recursos minerales usando la interpolacin Geoestadistica del Kriging, A) la Configuracin simplificada para Vetas de Rumbo y buzamiento casi constante y B) El Kriging Ordinario (O.K). Antes nos ocuparemos de la presentacin general de este tema.

ECUACION GENERAL DE KRIGING:

Consideremos a V como el volumen de un Block, cuya variable va a ser estimada por Z*. La tcnica del Krigeage har esta estimacin considerando los siguientes puntos:1- Que Z* sea insesgada o sea que en promedio este estimador sea igual al valor verdadero Zv esto es quem = E{Z*} = E{Zv}2 - Que Z* sea ptimo; esto es que si: Z* = li*Zi

los ponderadores li sean tales que la varianza de estimacin dada por: E=E{Zv - liZi}2

sea mnima.La expresin anterior se puede minimizar empleando el formalismo de Lagrange para lo cual se define primero una funcin F tal como sigue:

EF = 2

- 2 {li-1}

En este caso se utiliza como ecuacin de enlace la condicin insesgada li = 1, para minimizar la varianza E de estimacin, hallndose los ponderadores li ptimos al igualar cada derivada parcial, aplicada a F respecto de li, a cero. La constante es la constante deLagrange.

El resultado de este proceso es el sistema lineal de Matheron que se mostrar a continuacin:ljGij = Giv - , con i = 1, 2....n .. (V)y lj =1

La deduccin matemtica de este grupo de ecuaciones no se incluye en este trabajo

pudi_ndose consultar los libros que sobre el particular se mencionan en la Bibliografa.

As mismo la varianza mnima de estimacin, llamada varianza de Krigeage 2

, tiene la

k

expresin siguiente:

2k =li*Giv - Gvv+ ..(VI)

Donde:

Gij es el variograma medio G(h)=G (M,M'), siendo M y M' los extremos del vector h;

cuando M recorre el soporte i y M' recorre independientemente el soporte j.

Giv es el valor medio del variograma G(h)=G(M,M') cuando M se mueve en todo el

Block v y M' se desplazan independientemente en el soporte i.

Gvves el valor medio del variograma G(h) = G (M,M') cuando tanto M y M' se desplazan independientemente el Block v.Se presenta anotaciones sobre Clculo de los variogramas medio", "funciones Auxiliares" y el uso de sus bacos. Estas notas ya tuvimos la oportunidad de verlas antes, gracias a vuestra paciencia, sentimos que vali la pena estudiarlos, haciendo comprensivo esta parte del curso.A) .-CONFIGURACIONES EN VETAS DE RUMBO Y BUZAMIENTO CASI CONSTANTE. Configuracin Simplificada

Este algoritmo presentado por el Ing. Oscar Bernuy y aplicado a vetas del Batolito de Pataz. Se presentan dos configuraciones de blocks localizados dentro de un mbito mapeado como homogeneo con promedio de variable en estudio Su.

1 CONFIGURACION I - Los block de la configuracin I se presentan cuando tienen informacin solo de una labor adyacente. El tamao del block depende del alcance del variograma (2a en la labor) sea galeria o chimenea y a en la perpendicular.

El valor Z* del bloque se estima con:

Z* = 1 S1 + 2 Su

El sistema de Krigeage para esta configuracin se presenta :

1 11 + 2 12 + = 1p 1 21 + 2 22 + = 2p 1 + 2 = 1

De la solucin del sistema anterior se calcula los ponderadores i

El error de estimacin se calcula por la siguiente relacin:

2k = 1 1p + 2 2p + -pp

2 CONFIGURACION II - Los block de la configuracin II se presentan cuando tienen informacin de dos labores adyacentes (Galera y Chimenea). El tamao del block depende de los alcances del variograma respectivo sea galera o chimenea. Los soportes que intervienen para el clculo estimado son 3: S2, S3 y Su. El valor Z* del block en este caso se estima con:

Z* = 1 S2 + 2 S3 + 3 Su

Las ecuaciones de Krigeage que se usa para calcular los ponderadores i se ve en el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

1 11 + 2 12 + 3 13 + = 1p 1 21 + 2 22 + 3 23 + = 2p 1 31 + 2 32 + 3 33 + = 3p 1 + 2 + 3 = 1

De la solucin del sistema anterior se calcula los ponderadores i

El error de estimacin se calcula por la siguiente relacin:

2k = 1 1p + 2 2p + 3 3p + - pp

Por las discusiones ya establecidas queda claro que las expresiones ij y ip son variogramas medios de un soporte en otro o en si mismos segn se tengan que calcular.

B).-ORDINARY KRIGING (O.K.) Todos los software que encontramos en el Mercado dedicado a calcular Recursos Geolgicos presentan la opcin de hacerlo con el mtodo O.K. Este mtodo que es asociado a la sigla B.L.U.E. por best linear unbiased estimator. El mejor estimador lineal sin sesgo, debido a que su estimacin es una combinacin lineal de sus ponderadores, tratando de obtener una media residual del error con tendencia a cero, minimizando la varianza de error.

Todo este resultado es el tratamiento matemtico de la varianza de estimacin (VAR, que depende de ponderadores i relacionados a los datos que intervienen), expresado por:

VAR = E { ZV(x) ZV(x)* }2

Luego de algunos pasos entretenidos del formalismo de Lagrange, mtodo que sirve para minimizar funciones matemticas que cumplen una cierta restriccin. Para el caso de esta aplicacin la restriccin viene dada por la expresin: i = 1 , tambin conocida como condicin de universalidad.

Ya habiamos visto el caso de ponderadores que sumados todos deban dar como resultado la unidad en el mtodo de Inverso a la Distancia. La otra fuerza del mtodo de kriging es que los ponderadores i ponderadores que pertenecen a los Nros Reales, esto significa que pueden ser negativos.

Gracias a ello, al margen de lo que la intuicin del Gelogo residente podra opinar elMtodo de Kriging puede focalizar mineralizacin en los mrgenes donde no se esperara

como en el caso siguiente donde configuran blocks econmicos en zona que por la observacin de mapeo no pareca (Fig3, lado izquierdo debajo de Gal.2520) y se comprob casi 2 aos mas tarde, con la chimenea del lado izquierdo (ver Fig 4.):

Fig 3

Fig 4.

Por ello se dice que el kriging es un mtodo que estima puntos donde no se ha tenido an informacin con muestreo, dentro de una determinada influencia que entrega el variograma.

Criterios del uso de la Varianza de KrigeageLos reportes de Recursos Geolgicos que generan un programa son listas de blocks con sus caractersticas geolgicas (modelo de blocks) y su estimacin promedio de Inverso a la

kdistancia, O.K. y el error de estimacin Krigeage 2

para cada caso de O.K. que se pueda

realizar. Esto nos brinda la oportunidad de cuantificar y graficar en el yacimiento los paneles o blocks con sus respectivos errores de estimacin.En el siguiente grafico se muestra una seccin donde aparece en rojo y magenta las zonas

que necesitan mejorar informacin porque sus errores de estimacion son mayores de 90 %:

La misma seccin ilustra zonas de buena ley en lugares donde se debera mejorar la data con algn taladro adicional.

La informacin de errores de estimacin junto con el Nro de compsitos que intervinieron en cada block ayuda a clasificar el Recurso Geolgico por tipos conocidos como Probado, Probable y Posible.

Presentacin de un trabajo escalonado como ejemplo de aplicacin.

En el Curso anterior presentamos una matriz de informacin de plata (Ver hoja plata1) con la cual ya se trabaj estadsticas y la variografia. Se observa Anisotropa en los variogramas del plano cuyos alcances respectivos se observan en el siguiente Cuadro:

RESUMENNorte-SurOeste-estediagonal 135

C=1.041.791.09

Co=0.300.010.38

a=8.107.707.90

En Metros81.0077.00111.39

En diagonal el paso 1.41 o sea la raiz cuadrada de 2.

Presenta Anisotropia representada en el siguiente elipsoide:

Se tiene 50 filas y 10 columnas de datos de Plata con promedio = 4.76 Onzas Ag, Var =

1.201 y Desv. Est = 1.096, extremos Min y Max 1.08 a 8.16. Tiene CV = 23.023 %

ESTIMACION POLIGONAL DE PLATA1

Esta estimacin est representada por los valores del Laboratorio de la matriz Plata1. Con estos valores se trabajar las otras estimaciones del Recurso de plata.

ESTIMACION CON INVERSO A LA DISTANCIA 2 DE PLATA1

Para realizar esta estimacin nos apoyaremos en los ponderadores calculados para tipo de configuracin en que un block (como el Nro. 5) se deba estimar por este Mtodo con los valores de los 8 que los rodea, haciendo el artificio de poner el valor Nro 5 a de la diagonal para que este valor tambin intervenga en el clculo.Entonces para este caso los ponderadores que intervienen son: 1 = 0.843, 2 = 0.105 y

3 = 0.053 en la figura del Inverso al cuadrado de las distancias (ID2). Se tiene que

pasearse con esa configuracin por toda la matriz de valores de plata. Siempre intervendrn los mismos ponderadores en cada 9 blocks.

ESTIMACION CON KRIGING DE PLATA1

Para el ejemplo haremos una configuracin simple de 9 blocks con los cuales se estima el que queda en el centro. Similar a la configuracin del ID2 se trabaja los ponderadores i que servirn para estimar cada block central de cada 9 Blocks.Una matriz semejante de valores de plata de explotacin se viene a adicionar para hacer comparaciones de 3 estimaciones comparados a los datos de explotacin.

La configuracin que se va a usar es la de 9 blocks de 10 m. de lado y la variografa lo asumimos isotrpica de a= 77.0 m, Co=0.01 y C = 1.79. Con estos datos la funcin variograma con modelo esfrico que se usar es:

Esfrico(h) = 0.01+1.79[ (3/2)(h/77) (1/2)(h/77)3 ], h a (h) = 0.01+1.79 ,h>a

2La varianza de estimacin E

= 2(v,V) (v,v) (V,V) + Co/v

Donde V es el volumen a estimar (block ABCD) y v soporte de 9 taladros.

Adems 2(v,V) es el variograma medio del vector h con origen en v (c/u de los taladros) y el otro extremo del vector recorriendo el volumen V (ABCD). Se tiene quecalcular los Variogramas medio: (v,V), (v,v) y (V,V)A) Punto 5 en el centro de ABC (5,ABCD) = H(5/77,5/77) =

B) Caso de (1,ABCD) se usa funcin H tambien combinando Areas desde 1 al block ABCD. Tener en cuenta que(1,ABCD) =(3,ABCD) = (7,ABCD) = (9,ABCD)C) Configuracin de puntos 2, 4, 6 y8, tambien con el uso de funcinauxiliar H, teniendo en cuenta que (2,ABCD) = (4,ABCD) =(6,ABCD) = (8,ABCD)

Por otro lado el variograma medio (V,V) = (ABCD,ABCD) = F(10/77,10/77)El variograma medio (v,v) es el vector relacionado a los taladros entre si,

esto quedar:(v,v) = ((5,v) + 4(1,v) + 4 (2,v))/9

Finalmente queda calculada la Varianza de estimacin para nuestro problema: E2CALCULO DE LOS PONDERADORES i

Nuestro caso es sencillo y slo debemos encontrar 3 ponderadores por que la configuracin favorece por simetra llegaremos a agrupar los vi de la siguiente manera: v1 = { 5 }, v2 = {2,4,6,8} y v3 = { 1,3,7, 9 } Luego el sistema de Kriging queda as:

1 (v1,v1) + 2 (v1,v2) + 3 (v1,v3) + = (v1,V) 1 (v2,v1) + 2 (v2,v2) + 3 (v2,v3) + = (v2,V) 1 (v3,v1) + 2 (v3,v2) + 3 (v3,v3) + = (v3,V) 1 + 2 + 3 = 1

Los clculos de los variogramas medio son facilitados con el abaco de la funcin H. Luego se tiene los valores de 1 = 0.332, 2 = -0.415, 3 = 1.084 y = -0.272

MINIMO ERROR DE ESTIMACIONUsando la relacin (VI) se tiene el calculo del error para un block con la configuracin que hemos visto:

2k =li*Giv - Gvv+

2k = 1 (v1,V) + 2 (v2,V) + 3 (v3,V) + - (V,V)

A continuacin se expone resumen de la tarea de calcular los ponderadores del trabajo escalonado que luego se usan en programa clase1.exe. En las ltimas paginas se entrega el ejercicio de calculo de los ponderadores para estimar el punto Xo.

ESTIMACION DE LOS BLOCKS id2 y Kriging (trabajo escalonado)Se entiende que este caso es un caso simplificado y en la realidad con soportes en malla irregular es bastante labor de PC cuando se elige trabajar con un mximo de 16 datos. La experiencia aconseja usar 12 como mximo buscando simetra de eleccin por cuadrante.

Para nuestro ejemplo se ha elaborado un programa en Fortran a donde se ingresa las distancias de la configuracin para el ID2 y los ponderadores del Kriging. El programa trabaja blocks que tengan la configuracin de 8 que lo rodeen en la forma ya expuesta y se pasea por la data estimando cada caso con la vecindad que respectiva que encuentre. RESULTADOS Y ANALISIS DE LA INFORMACIONEl programa entrega los listados de A)Data leida, B) lista de blocks con las estimaciones y sus errores respectivos comparado a los Explotado (Real). C) Tabla de Ley de Corte, Ley Media vs- TM.A)Comprobando Lectura

EsteNorteAgIni

10104.47

20105.13

30104.58

40105.11

50103.39

60102.91

70103.07

80102.94

90103.46

100102.82

10204.7

20205.45

30205.56

40204.78

50203.51

60203.29

70203.24

80202.57

90203.39

100203.09

B)

REPORTE DE ESTIMACIN Y ERROR RESPECTO A LO REAL EXPLOTADO

PoligonalRealerrorPID2error ID2KrigingerrorK

14.625.45-0.835.414-0.7945.168-0.548

24.805.56-0.765.509-0.7095.190-0.390

34.784.780.004.7790.0014.7780.003

45.163.511.653.6051.5554.1531.007

55.573.292.283.3162.2543.6851.885

65.693.242.453.2132.4773.0582.632

75.772.573.202.6603.1103.2952.475

85.383.391.993.3332.0472.8902.490

94.625.62-1.005.608-0.9885.337-0.717

104.806.22-1.426.054-1.2545.227-0.427

114.784.90-0.124.924-0.1444.5970.183

125.164.920.244.8220.3384.4230.737

135.573.691.883.7181.8523.6001.970

C)145.693.362.333.3262.3643.2272.463

Kriging6.952.46LClmTM1.004.825749121.504.825749122.004.825749122.504.825741493.004.885656123.504.905606614.005.005255854.505.323906375.005.692538095.506.041534706.006.27914036.506.3231339Hay varias formas de representar Grficos que relacionen Ley de Corte (Cut-off), Tonelaje para esa Ley de corte y su respectiva Ley media. Se muestra a continuacin un grfico relacionado a la Estimacin geoestadstica de Kriging. Este baco sirve para que elegido una ley de corte como 5.00 Onzas_Ag por ejemplo, nos indica que tenemos250,000 TM con Ley media (Linea en magenta) de 5.69 Onzas_Ag

TM - LM -vs- CutOff

700,000

600,000

500,000

TM400,000

300,000

TM XLeyM

200,000

100,000

6.326.276.045.695.325.004.904.884.824.824.824.826.506.005.505.004.504.003.503.002.502.001.501.000

Leyes Ag

COMPARACION DE METODOS DE ESTIMACION

El siguiente grfico ilustra los tres Mtodos usados con la informacin de Plata que se ha trabajado. Los blocks que han intervenido con los interiores dejando las filas inicial y final as como las columnas 1 y 10. Se ha trabajado 8x 48 = 384 blocks .

Ag Comparacin deM todos de e stimacin

700,000

600,000

500,000

TM400,000

300,000

TMR TMP TMID2TMK

200,000

100,000

6.506.005.505.004.504.003.503.002.502.001.501.000

Le y de corte

-El promedio del Poligonal da 5.22, mas que el real y otros mtodos (4.84).

-La poblacin trabajada tiene una distribucin bastante suave pero sus datos de muestreo originales no reporta valores bajos como los que se encontr.-Veamos cuadro siguiente para sacar otras conclusiones que el alumno se dar

cuenta de inmediato:RealPoligonalID2Kriging

Minimo1.084.621.2932.460

Maximo8.165.777.8996.950

Prom4.845.224.8404.830

DesvEst1.100.4191.0420.870

CV%22.67%8.03%21.53%18.01%

-El mtodo poligonal a pesar de presentar menor CV de la poblacin ha sobreestimado en el promedio global

-Del grfico comparativo se observa que mientras el Cut-off no supere la Ley media del yacimiento puede usarse cualquier mtodo de estimacin llegando a sobreestimar el mtodo poligonal.-La curva de lo Real y el estimado por Kriging estn ms cercanos en general. Trabajo realizado en Mathcad del ejercicio para calcular kriging a un punto con 4 puntos vecinos.