LICENCIATURA EN MATEMATICAS

CUARTO CUATRIMESTRE

MATERIA: CALCULO DE VARIAS VARIABLES

FACILITADORA: YOLANDA PEREZ ZUÑIGA

MT-MCVV1-1303.B1-003

ALUMNO: AURELIO RUIZ SALAZAR

UNIDAD I

ACTIVIDAD 2. REPRESENTACION DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL MEDIANTE EL USO DE SERIES

México, D.F., a 02 de noviembre de 2013.

1. Resuelve el ejercicio que a continuación se te presenta.

2. Expresa como una serie cada una de las funciones de los incisos del ejercicio

a) f(x)=sen(x)

Primero se expresa como una serie de la siguiente manera:

S=senx1+senx2+senx3+…+senxn

Segundo se complementa la serie con la sumatoria de la misma serie como se expresa de la manera siguiente:

S=senx0+¿senx1+senx2+senx3+…+senxn=∑n=0

n=∞

sen xn

b) f(n)=2n

Primero expresamos como una serie de la siguiente forma:

S= 2(1)+2(2)+2(3)+….+2(n)=2+4+6+…+2n

Segundo complementamos la serie con la sumatoria de la misma serie como indica a continuación:

S= 2(1)+2(2)+2(3)+….+2(n)=2+4+6+…+2n=∑n=1

n=∞

2n

c) f(n)=1n+1

Primero se expresa como una serie de la siguiente manera:

S=11+1

+ 12+1

+ 13+1

+…+ 1n+1

Segundo se complementa la serie con la sumatoria de la misma serie como se indica a continuación:

S=1+11+1

+ 12+1

+ 13+1

+…+ 1n+1 =1+

12+ 13+ 14+…+ 1

n+1=∑n=0

n=∞1n+1

3.- Indica y fundamenta si las series son convergentes o divergentes.

Para el caso particular del inciso a) del punto 2, tenemos que la serie Sen(x)=x- x3

3!

+ x5

5!-…+(−1)n x2n+1

(2n+1 ) !=∑n=0

n=∞

(−1)n x2n+1

(2n+1 )!, en este caso es convergente para todo x

real, aplicando la serie de Maclaurin, algunas series pueden acercarse a un valor finito al ir aumentando la cantidad de términos de la suma. A esto se le llama convergencia de la serie o que la serie converge; asimismo, cuando el número de términos de la serie aumenta pero no se llega a ningún valor definido o la sumatoria se va haciendo más y más grande, entonces decimos que la serie no converge o es divergente.

Usando el método de la razón resulta:

limn∞

|un ( x−a )n+1||un ( x−a )n|

= limn∞

|(−1)n+1 ( x )2n+3

(2n+3 ) ! ||(−1 )n ( x )2n+1

(2n+1 ) ! |=limn∞ |(−1 )2n+3 ( x )2n+3 (2n+1 ) !

(−1 )n ( x )2n+1 (2n+3 )! |= limn∞ | (−1) x2

(2n+2 ) (2n+3 )|=|x2|lim

n∞ | −1(2n+2 ) (2n+3 )|=|x2|(0 )<1, es decir que 0<1, por lo que se concluye que la

serie converge para todo número de x.

Para el inciso b), del punto 2, se tiene que S= 2(1)+2(2)+2(3)+….+2(n)=2+4+6+…

+2n=∑n=1

n=∞

2n, por lo que aplicando el límite a la serie resulta:

limn∞2n=∞, por lo que es diferente de 0, por lo que la serie dela funcio f(n)=2n es

divergente.

Con relacion al inciso c) del punto 2), se tiene que S=1+11+1

+ 12+1

+ 13+1

+…+ 1n+1

=∑n=1

n=∞1n+1

, aplicando el límite a la serie resulta que:

limn∞

1n+1

=0, por lo que la serie de la funcion f(n)=1n+1

es convergente.

1.- London, Nelson, Matemática Progresiva. La Matemática Moderna, Rápida y Clara, Editorial SEPROCUM, Impreso en Colombia, 1984 y 1988, tomo I y II.

2.- Montes de Oca Puzio, Francisco, Métodos Matemáticos, Editorial UPIICSA-IPN, México Primera Edición 1985, Volumen II.

3.- Aires Jr, Frank, Fundamentos de Matemáticas Superiores, Editorial McGRAW-HILL, México 1976.