LICENCIATURA EN MATEMATICAS

CUARTO CUATRIMESTRE

MATERIA: CALCULO DE VARIAS VARIABLES

FACILITADORA: YOLANDA PEREZ ZUÑIGA

MT-MCVV1-1303.B1-003

ALUMNO: AURELIO RUIZ SALAZAR

UNIDAD I

ACTIVIDAD 3.-DERIVADAS DE UNA FUNCION Y SU REPRFESENTACION POR MEDIO DE UNA SERIE DE TAYLOR.

México, D.F., a 02 de noviembre de 2013

1. Resuelve los dos problemas que a continuación se plantean

a. Considera la función cos(x) y desarrolla su representación en Series y Polinomio de Taylor alrededor del punto x=0.

Procedemos a resolver la serie de Taylor de la siguiente manera:

Derivadas Sustitución en la derivada con x=0

f(x)=cosx f(0)=1f’(x)=- senx f’(0)=0f’’(x)=-cosx f’’(0)=-1f’’’(x)=senx f’’’(0)=0f iv(x)=cosx f iv(0)=1

Las derivadas de orden mayor toman los mismos valores, de esta manera tenemos la sucesión 1,0,-1,0,1,0,-1,0,…………, en consecuencia

Cosx=1- x2

2!+ x

4

4 !- x

6

6 !+….+(−1 )n x

2n

(2n ) !+……, que es la serie de Taylor deseada.

b. Obtén la representación en términos de los Polinomios de Taylor, para la función log(x) alrededor del punto x=1 usando la metodología vista en esta lección.

Procedemos a resolver la serie de Taylor de la función f(x)= lnx como se indica a continuación:

Derivadas Sustitución en la derivada con x=a

Sustitución en la derivada con a=1

f(x)=lnx f(a)=lnx f(a)=lnx

f’(x)=1x f’(a)=

1 ( x−a )a1

f’(a)=1 ( x−1 )1+1

f’’(x)=- 1

x2f’’(a)=

−1 ( x−a )2

a22f’’(a)=

−1 ( x−1 )2

12+2

f’’’(x)=1.2

x3f’’’(a)=

1 ( x−a )3

a33f’’’(a)=

1 ( x−1 )3

13+3

f iv(x)=−2.3x4 f iv(a)=

−1 ( x−a )4

a44f iv(a)=

−1 ( x−1 )4

14+4...

.

.

.

.

.

.

f n(x)=(−1 )n+1 (n−1 )!

xnf n(a)=

(−1 )n+1 ( x−a )n

annf n(1)=

(−1 )n+1 ( x−1 )n

1n+n

Resulta evidente que “a” no puede ser 0 y que no es derivable ni continua en ese punto, por lo que por comodidad se toma a=1.

Como se puede observar en la tabla anterior, se toma lnx=∑n=0

n=∞ (−1 )n+1 x−1n

(n+1 )

1.- London, Nelson, Matemática Progresiva. La Matemática Moderna, Rápida y Clara, Editorial SEPROCUM, Impreso en Colombia, 1984 y 1988, tomo I y II.

2.- Montes de Oca Puzio, Francisco, Métodos Matemáticos, Editorial UPIICSA-IPN, México Primera Edición 1985, Volumen II.

3.- Aires Jr, Frank, Fundamentos de Matemáticas Superiores, Editorial McGRAW-HILL, México 1976.