LICENCIATURA EN MATEMATICAS

CUARTO CUATRIMESTRE

MATERIA: CALCULO DE VARIAS VARIABLES

FACILITADORA: YOLANDA PEREZ ZUÑIGA

MT-MCVV1-1303.B1-003

ALUMNO: AURELIO RUIZ SALAZAR

UNIDAD II

ACTIVIDAD 3.- INTEGRALES MULTIPLES

México, D.F., a 17 de noviembre de 2013.

Resuelve los ejercicios que a continuación se mencionan.

1. Calcula el volumen del sólido que tiene como base el plano acotado por la

parábola y=4-x2y la línea recta descrita por la ecuación y=2-x2. En la parte

superior del sólido está acotado por el plano z=x+4.

Para la solución del presente problema, se coloca la información en el siguiente cuadro:

X Parábolay=4-x2

Linera Rectay=2-x

Planoz=x+4

-2 0 4 2-1 3 3 30 4 2 41 3 1 52 0 0 6

Posteriormente con los datos encontrados, se puede generar la siguiente figura:

Par llevar a cabo el cálculo del volumen buscado se procede de la siguiente manera:

V=∫−1

2

∫2−x

4−x2

( x+4 )dydx=∫−1

2

|xy+4 y|2− x4−x2dx=∫

−1

2

¿¿dx=∫−1

2

(4 x−x3+16−4 x2−(2x−x2+8−4 x ))

dx=∫−1

2

(4 x−x3+16−4 x2−2 x+x2−8+4 x )dx=∫−1

2

(−x3−3 x2+6 x+8 )dx=

|−x44 −x3+3 x2+8 x|−1

2

=−(2 )4

4−(2 )3+3 (2 )2+8 (2 )−(

−(−1 )4

4− (−1 )3+3 (−1 )2+8 (−1 ))=-4-

8+12+16-(-14

+1 + 3 - 8)=16+14

+4=64+1+16

4=814

unidades cubicas.

2. Encuentra el volumen del sólido que está acotado en la parte de arriba por el

paraboloide z=x2+ y2y en la base por el área acotada por las curvas en plano

xy: y=x, x=0 y y=2.

Para la solución del presente problema, se coloca la información en el siguiente cuadro:

X y Paraboloide

z=x2+y2Planoy=x

PlanoX=0

Planoy=2

-2 -2 8 -2-1 -1 2 -10 0 0 01 1 2 12 2 8 2

Posteriormente con los datos encontrados, se puede generar la siguiente figura:

Par llevar a cabo el cálculo del volumen buscado se procede de la siguiente manera:

V=∫0

2

∫x

2

(x2+ y2 )dydx=∫0

2 [|x2 y+ y33 |x

2 ]=∫0

2 [2x2+ 83−(x3+ x3

3)]dx=∫

0

2 [2x2+ 83−x3− x3

3¿]dx=

∫0

2

[−43 x+2 x2+ 83 ]dx=|−x43 + 23x3+ 8

3x|0

2

=- 163

+ 163

+163

= 163

unidades cubicas.

3. Calcula el volumen del sólido formado por las paredes del primer octante

(sistema cartesiano xyz) con el cilindro x2+ y2=4 y el plano y+z=3.

Para la solución del presente problema, se coloca la información en el siguiente cuadro:

X Cilindro y=√4−x2 y Plano z=3-y

-2 0 -2 5-1 √3 -1 40 2 0 31 √3 1 2

2 0 2 1Posteriormente con los datos encontrados, se puede generar la siguiente figura:

Cilindro

Z

Par llevar a cabo el cálculo del volumen buscado se procede de la siguiente manera:

V=∫0

2

∫0

√4−x2

(3− y )dydx=∫0

2 |3 y− y2

2 |0

√4−x2

dx=∫0

2

(3√4−x2−4−x22 )dx, por lo que para resolver

esta integral se puede realizarse como integrales por separado como se indica a

continuación ∫0

2

3√4−x2dx-∫0

24−x2

2dx=∫

0

2

3√4−x2dx- ∫0

242

dx + ∫0

212x2dx

I II III

Por lo que se resolverá como parte I, II y III, como se indica a continuación:

Parte I: ∫0

2

3√4−x2dx para resolver esta integral se puede utilizar la fórmula establecida

como ∫√a2−u2dx=u2√a2−u2+a

2

2arcsen

ua

+c, por tanto para la integral ∫0

2

3√4−x2dx=3

∫0

2

√4−x2dx=3⌈ x2√4−x2+2arcsen x

2⌉0

2

Parte II.- ∫0

242

dx=|2 x|02

Parte III.- ∫0

212x2dx=|x36 |

0

2

, por lo que la integral buscada es:

∫0

2

3√4−x2dx-∫0

24−x2

2dx=∫

0

2

3√4−x2dx- ∫0

242

dx + ∫0

212x2dx=

|3( x2 √4−x2+2arcsen x2 )−2x+ x

3

6 |0

2

=|3 x2 √4−x2+6 arcsen x2−2 x+ x

3

6 |0

2

=6arcsen1-4+86

=6(1)-4+86

=2+86

=24+86

=326

unidades cubicas

4. Dibuja la región acotada por la curvas representadas por la parábola y2+x=0y la línea recta y+x=0. Exprese el área de esta región por medio de una integral doble y evalúe la integral para encontrar el área.

Para la solución del presente problema, se coloca la información en el siguiente cuadro:

y Parábolax=-y2

Linera Rectax=-y

-2 -4 2-1 -1 10 0 01 -1 -12 -4 -2

Posteriormente con los datos encontrados, se puede generar la siguiente figura:

Par llevar a cabo el cálculo del volumen buscado se procede de la siguiente manera:

V=∫0

1

∫− y

− y2

dydx=∫0

1

[|x|− y− y2 ]dy=∫0

1

[− y2− y ]dy=|− y33 + y2

2 |0

1

=| y22 − y3

3 |0

1

=12

- 13

=3−26

=16

unidades

cubicas.

5. Dibuja la región acotada por las parábolas y2=xy 2y- y2=x Exprese el área

de esta región por medio de una integral doble y evalúe la integral para encontrar el área.

Para la solución del presente problema, se coloca la información en el siguiente cuadro:

Y Parábola x=y2 Parábola x=2y-y2

-2 4 -8-1 1 -30 0 01 1 12 4 0

Posteriormente con los datos encontrados, se puede generar la siguiente figura:

Par llevar a cabo el cálculo del volumen buscado se procede de la siguiente manera:

V=∫0

1

∫y2

2 y− y2

dxdy=∫0

1

[|x|y22 y− y2 ]dy=∫

0

1

[2 y− y2− y2 ]dy=∫0

1

[2 y−2 y2 ]dy=∫0

1

2 ydy-∫0

1

2 y2dy=

|22 y2−23 y3|01

=1- 23

=3−23

=13

unidades cubicas.