DÍA A DÍA EN EL AULA Matemáticas 4

Día a día en el aula para 4.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo:

TEXTO Ana María Gaztelu VilloriaAugusto González GarcíaPedro Machín PolainaFrancisco Morillo López

EDICIÓN Ana de la Cruz FayosSilvia Marín GarcíaFederico Rodríguez Merinero

EDICIÓN EJECUTIVA Carlos Pérez Saavedra

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

SERIE RESUELVE

ES

O

4

DÍA A DÍA EN EL AULA Recursos didácticos y atención a la diversidad

MatemáticasEnseñanzas académicas

3DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

El aliado perfecto para facilitar tu tarea educativa

¿Qué es?e-vocación es el programa exclusivo para profesoras y profesores clientes de Santillana que contiene todos los recursos didácticos de cada materia.

Accede a ellos con un solo clic.• Repaso, apoyo y profundización.• Evaluación de contenidos y

evaluación por competencias.• Solucionarios.• Programación didáctica de aula

y Rúbricas de evaluación.

• Competencias para el siglo XXI.• Tutoría.• Libro digital.• Más recursos educativos.• Formación.

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4

Contigo llegamos más lejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Pack para el alumnado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Biblioteca del profesorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Recursos didácticos y Atención a la diversidad

1. Números reales. Porcentajes

• Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

• Curiosidades matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

• Notación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

• Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

• Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

• Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Potencias y radicales. Logaritmos







3. Polinomios y fracciones algebraicas







4. Ecuaciones e inecuaciones







5. Sistema de ecuaciones e inecuaciones







6. Áreas y volúmenes. Semejanza







7. Trigonometría







Índice

5

8. Vectores y rectas







9. Funciones







10. Funciones polinómicas y racionales







11. Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas







12. Estadística







13. Combinatoria







14. Probabilidad







Enseñanza individualizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Recursos para la evaluación de contenidos y por competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Contigollegamos

Contigo formamos un buen tándem

¡Gracias por ayudarnos a crear y mejorar nuestros proyectos!

En Santillana vivimos cada momento como una posibilidad de mejora.

En estos últimos años han pasado muchas cosas. En Santillana tenemos presente que un proyecto educativo dinámico exige prestar atención a los cambios externos e internos, escuchar a los protagonistas de la educación y tomar decisiones.

Eso hemos hecho. Durante estos años hemos estado cerca de vosotros, os hemos escuchado, hemos conversado, nos habéis planteado interrogantes y hemos aprendido mucho con las valiosas soluciones que aportáis cada día en las aulas.

Por todo ello, evolucionamos y presentamos una oferta renovada.

6

más lejosSantillana te aporta:

• Experiencia. Más de 60 años conociendo la escuela española y aportando soluciones educativas.

• Excelencia. Rigor y calidad, fruto del trabajo con profesores y profesoras e investigadores de toda España y, por supuesto, el saber hacer de nuestro equipo de profesionales de la edición, el diseño y la pedagogía.

• Diseño claro, que favorece la comprensión del alumnado, y bello, para hacer del aprendizaje una experiencia motivadora y deseable.

• Innovación, porque estamos alerta a las últimas investigaciones que se han producido en tu área e introducimos las nuevas metodologías en el aula de una forma práctica y realizable.

• Digital. Un complemento indispensable en una práctica docente adecuada al siglo xxi.

• Apoyo continuo. Nuestra relación contigo no termina una vez que has elegido el material. Como cliente de Santillana tendrás acceso a nuestro programa e-vocación y, por supuesto, a la atención de nuestros delegados y delegadas comerciales siempre que la necesites.

El aliado perfecto en tu aula7

SABER HACER CONTIGO mantiene las señas de identidad de los materiales de SANTILLANA de Matemáticas:

• Contenidos relacionados con la vida cotidiana para comprender el mundo en que vivimos y la utilidad de las matemáticas.

• Contenidos y procedimientos claros y explicados paso a paso.

• Multitud de actividades ordenadas por contenidos y clasificadas por orden de dificultad.

Pack para el alumnado

Te encantará SABER HACER CONTIGO porque:

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444

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ESO

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ES0000000121590 132372_Matematicas_4_105277.indd 1 17/11/2020 15:18:26

2 Podrás evaluar tus conocimientos antes de comenzar la unidad para que puedas detectar si necesitas repasar algún contenido que ya has visto.

3 Cada unidad se relaciona con uno de los Objetivos de Desarrollo Sostenible de la ONU (ODS). Así, el conocimiento contribuye a mejorar el mundo en que vivimos.

El tractor

El tractor es un tipo de vehículo que ayuda en el trabajo agrario, reduciendo considerablemente el esfuerzo físico y aumentando la productividad.

• Si un terreno tiene forma cuadrada y un área de 125 m2, ¿qué medidas tiene?

VIDA COTIDIANA

Ecuaciones e inecuaciones 4SABER

• Ecuaciones de primer y segundo grado

• Ecuaciones bicuadradas, con radicales y fracciones algebraicas

• Inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita

SABER HACER

• Resolver ecuaciones bicuadradas, racionales, con radicales y mediante factorización

• Resolver inecuaciones de segundo grado

1912

Nacen los primeros tractores con motor de gasolina, mucho más fuertes y baratos.

1863

Se crean las primeras máquinas remolcadoras, propulsadas con vapor.

2000

Aparecen tractores con motor eléctrico.

1940

Se emplean por primera vez los neumáticos de goma. a.

EVALUACIÓN INICIAL

Identidades y ecuaciones

1 Averigua cuáles de estas igualdades son identidades y cuáles son ecuaciones.

a) 4x - 6x2 = 2(-3x2 + 2 x)

b) 2y 3 + 8y 2 = y 3 + 4y 2

c) x + 6 - 3x = -7x + 10 + 5x - 4

d) 3x(-2 x2 + x) = -5x3 + 3x2

2 Escribe dos identidades y dos ecuaciones, cada una de ellas con una variable diferente.

Intervalos de números reales

3 Representa cada intervalo en la recta numérica e indica dos números que pertenezcan a él.

a) (3, 5] b) [-1, 2] c) [-3, -1] d) (6, 7)

4 Expresa cada conjunto de números usando intervalos.

a) Números mayores que -4 y menores o iguales que 5.

b) Números menores o iguales que -6 y mayores que -7.

c) Números mayores o iguales que -3 y menores que -1.

d) Números menores que 9 y mayores que 4.

Problemas

5 En un campamento conviven 60 jóvenes europeos y asiáticos. Halla cuántos asiáticos hay sabiendo que, si se marchasen 3 europeos y viniesen en su lugar 3 asiáticos, el número de estos sería un tercio del número de europeos.

6 Un elefante macho y un elefante hembra pesan en total 15 500 kg. La hembra y una cría, a su vez, pesan 9 500 kg, mientras que el macho y la cría pesan juntos 10 000 kg. ¿Cuánto pesan los tres juntos? ¿Cuánto pesa cada uno?

7 En una tienda se venden dos tipos de mesas: las de un tipo tienen 3 patas, y las del otro tipo tienen 4 patas. En la tienda hay 50 mesas con 180 patas en total. ¿Cuántas mesas hay de cada clase?

73

ES0000000121590 132372_U04_072_091_105031.indd 72-73 16/2/21 15:23

El siglo pasado el artista Andy Warhol convirtió una simple lata de sopa en una obra de arte, dio el paso de lo cotidiano al arte.

Arte y diseño en elementos cotidianos

Hoy en día existen empresas y departamentos creativos que se dedican a recorrer el camino contrario, trasladar el diseño y el arte a los objetos cotidianos. Una empresa de productos lácteos ha contactado con una diseñadora para encontrar la forma y el tamaño de un envase que atraiga al público más joven, que es al que van orientados los nuevos batidos multivitamínicos.

La empresa duda entre dos modelos.

Según las previsiones de la marca de batidos, el precio a la venta de un litro del nuevo producto será de 87 céntimos, a lo que habrá que añadir el coste del envase.

a) ¿Qué precio de venta tendrá una unidad del nuevo producto con cada uno de los envases?

Un estudio asegura que la botella de plástico es más aceptada. Según el estudio, el nuevo producto, en tetrabrik, aumentaría las ventas actuales en un 14 %. Y con la botella de plástico se podrían obtener un 3 % más de ventas que con el tetrabrik.

b) Si el año pasado la empresa vendió 3 millones de litros de este tipo de batido, ¿con cuál de los dos envases se obtendría mayor beneficio?

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

OBJETIVOS DE DESARROLLO SOSTENIBLE

La OMS recomienda la ingesta de entre 2 y 4 raciones de lácteos al día, con especial importancia en la infancia y la adolescencia, ya que aportan proteínas, vitaminas y grasas, esenciales para el desarrollo en esas edades.

¿Sabes qué? Cerca de 151 millones de niñas y niños menores de cinco años, el 22 %, todavía estaban mal desarrollados en 2017.

Busca más información y comenta con el resto de la clase.

Envase 2

Tipo: Botella

Material: Plástico

Coste: 7 céntimos por unidad

Envase 1

Tipo: Tetrabrik

Material: Cartón

Coste: 3 céntimos por unidad

Área de figuras planas

1 Calcula el área de estas figuras.

a) b)

Área de cuerpos geométricos y de revolución

2 Obtén el área de un cilindro de radio 7 km y altura 4 km.

3 Halla el área de estas figuras.

a) Prisma de altura 6 m y base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 m.

b) Pirámide de base un hexágono regular de lado 3 cm y de altura 8 cm.

Volúmenes

4 Calcula el volumen de esta figura.

1,38 cm F 2 cm

5 cm

12 cm

9 cm

F

F

5 Halla el volumen de las siguientes figuras.

a) b)

Semejanza

6 Indica si son semejantes estos triángulos.

15 cm

27 cm

40°

48 cm

86,4 cm

105°

35°

RESUMEN DE UNIDAD

AUTOEVALUACIÓN

Semejanza de áreas y volúmenes

Razón de semejanza:

Lado: r

Área: r 2

Volumen: r 3

Prismas

h h

PBA = PBase ? h + 2 ABase

V = ABase ? h

Cilindros

h

r2rr h

r

A = 2rr(h + r) V = rr2h

Esferas

A = 4rr2

V r34 3r=

r

Conos

A = rr(g + r)

V r h31 2r=

h

r

g2rr

g

r

Pirámides

a a

a’?

?

AP a

A

V A h

2

31

BaseBase

Base

= +

=

3 cm

2 cm

2 cm

2,24 cm

3 cm

12 cm

9 cm

3 cm

5 cm

7 cm

4 cm

G

ue van orientados los n

E

T

M

C

G FG F

G

F10

cm

8 cm 5 cmG F

G

F13

cm

3 cm

4 cm

6 cm

1 cm

F

F

132 133

Áreas y volúmenes. Semejanza 6

ES0000000121590 132372_U06_112_133_105044.indd 132-133 16/2/21 15:11

4 Al finalizar la unidad, encontrarás una Autoevaluación que te permitirá comprobar si has alcanzado los objetivos de la unidad.

1 Vas a descubrir cómo se aplican los contenidos que estudias a la vida cotidiana.

8

ES

O

4MatemáticasEnseñanzas académicas

Cuaderno de acompañamiento

Matemáticas Enseñanzas académicasCuaderno de acompañamiento

16/2/21 15:38

El Cuaderno de acompañamiento está diseñado para que esté contigo siempre que estudies Matemáticas. En él podrás encontrar los contenidos que necesitas recordar antes de comenzar la unidad y los signos y el vocabulario que se utilizan junto con su significado.

7 Dispones de multitud de Actividades secuenciadas por contenidos y en las que se informa del orden de dificultad.

ACTIVIDADES FINALES

Calcular el área de un trapecio circular

60 Halla el área del trapecio circular.

3 cm

2 cm

60°

PRIMERO. Se halla el área del sector circular de radio mayor y ángulo dado.

? ?,A

R360 360

3 604 71

2 2r a r= = = cm2

SEGUNDO. Se halla el área del sector circular de radio menor y ángulo dado.

? ?,A

r360 360

2 602 09

2 2r a r= = = cm2

TERCERO. El área del trapecio circular es la diferencia entre el área del sector circular mayor y la del menor.

, , ,A 4 71 2 2 609 2= - = cm2

SABER HACER

61 Determina el área de estos trapecios circulares.

a)

7 cm

4 cm

42°

c)

68°

8 cm

5 cm

b)

2 cm

1 cm

33°

d)

7 cm

5 cm

22°

62 Calcula el área de esta figura.

2 cm

2 cm1 cm

Área de cuerpos geométricos

63 Dados los siguientes desarrollos planos, halla su área y el tipo de cuerpo geométrico que representan.

a)

8 cm

4 cm

2,75 cmF

b) 7 cm

1 cm

1,04 cm

F

64 Calcula el área de los siguientes prismas.

a)

7 cm

4 cm

b) 6 cm

2 cm

65 Halla el área de estos prismas.

a) Prisma de altura 2 cm y base cuadrada de lado 3 cm.

b) Prisma cuya base es un hexágono regular de lado 4 cm y altura 8 cm.

c) Prisma con una altura de 1 cm, de base pentagonal regular de lado 1 cm y apotema 0,69 cm.

d) Prisma de 3 cm de altura y base hexagonal regular de lado 2 cm.

66 Determina el lado de un cubo sabiendo que el área total de este cuerpo geométrico vale 150 m2.

67 Obtén el área de estas pirámides.

a) 4 cm

6 cm

F

b) 5 cm

3 cm3,11 cm

F

128

ES0000000121590 132372_U06_112_133_105044.indd 128 16/2/21 15:13

BLOQUE I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1 Números reales. Porcentajes

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

P Indica un punto de la recta real.

AB Indica un segmento de la recta real cuyos extremos son los puntos A y B.

P A B

Los puntos se expresan con letras mayúsculas, y los segmentos, con las letras que denotan sus extremos.


3,21 Indica un número decimal exacto.

1,58$

Indica un número decimal periódico puro.

,2 34! Indica un número decimal

periódico mixto.

3,14159… Indica un número decimal no exacto ni periódico.

Para escribir un número decimal separamos las cifras enteras de las decimales con una coma.

El símbolo ! sobre una cifra o grupo de cifras indica que estas se repiten indefinidamente. A ese grupo se le llama periodo.

Los puntos suspensivos detrás de una cifra indican que tras ella hay infinitas cifras decimales.


N Indica el conjunto de los números naturales.

Z Indica el conjunto de los números enteros.

Q Indica el conjunto de los números racionales.

I Indica el conjunto de los números irracionales.

R Indica el conjunto de los números reales.

Los conjuntos de números los denotamos con letras mayúsculas, generalmente huecas.

N, Z y Q representan los conjuntos de los números naturales, enteros y racionales, respectivamente.

El conjunto de los números reales se denota con la letra R y se compone de los números racionales (conjunto Q) y los irracionales (conjunto I).


[a, b]

[a, b)

(a, b]

(a, b)

Indica un intervalo cerrado.

Indican un intervalo semiabierto por la derecha y otro por la izquierda.

Indica un intervalo abierto.

Un intervalo es el conjunto de todos los puntos de un segmento de la recta real. Si aparece el símbolo [ o ], el extremo pertenece al intervalo, y si aparece el símbolo ( o ), el extremo no pertenece al intervalo.

CONVIENE QUE...

Sepas llevar a cabo el redondeo y truncamiento de números decimales.

PORQUE...

El redondeo y el truncamiento de números reales siguen las mismas reglas.

CONVIENE QUE...

Recuerdes cómo se representa una fracción en la recta numérica.

PORQUE...

Lo necesitarás para establecer relaciones de orden entre los números racionales.

• Si la fracción es propia, se divide el segmento de extremos 0 y 1 en tantas partes como indique el denominador y se toman las que indica el numerador.

• Si la fracción es impropia, se expresa la fracción como un número entero más una fracción propia y se aplica el mismo proceso del caso anterior al segmento de extremos dicho número entero y su consecutivo.

314

" 14 3 2 4

" 3

14 = 4

32

+

3 4 5 63

14

Para redondear o truncar un número decimal a un cierto orden, eliminamos las cifras de órdenes inferiores a este. En el caso del redondeo, si la cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad esta última, y si es menor, la dejamos igual.

Redondeo a las milésimas

Truncamiento a las milésimas

7,6476 7,648 7,647

0,9274 0,927 0,927

1,7!

= 1,7777… 1,778 1,777

Antes de empezar, repasa Para que comprendas, ten en cuenta

NATURALES " 1, 2, 3, …

ENTEROS " …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Exactos: -0,2; 1,34; 6,243

Periódicos: -1,3!; 0,62

!; 56,345%

; 5,3287#

No exactos y no periódicos: 3,14159...; 0,101001...; 2,71828...

FRACCIONES " 21

- , 54

, 4

12

CONVIENE QUE...

Repases los tipos de números que ya conoces.

PORQUE...

Te ayudará a comprender lo que es el conjunto de los números reales.

DECIMALES"

""

8 9

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44

ES

O



Matemáticas Enseñanzas académicas


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Aproximación de números reales4

Aproximar un número decimal consiste en sustituirlo por otro número con menos cifras decimales. El valor de la aproximación puede ser tan cercano al número como queramos.

Decimos que una aproximación se realiza por exceso si la aproxima-ción es mayor que el número original, y decimos que se realiza por de-fecto si la aproximación es menor que él.

El truncamiento es una aproximación que consiste en eliminar todas las cifras a partir de un orden establecido.

EJEMPLO

4. Aproxima a las centésimas por el método de truncamiento y determina si la aproximación que has hecho es por exceso o por defecto.

a) 13,2754 " Truncamiento: 13,27 " Aproximación por defecto

b) -21,4785 " Truncamiento: -21,47 " Aproximación por exceso

c) 2 = 1,414213… " Truncamiento: 1,41 " Aproximación por defecto

El redondeo es una aproximación que consiste en eliminar las cifras a partir de un cierto orden, aumentando una unidad a la última cifra si la primera eliminada es mayor o igual que 5.

EJEMPLO

5. Aproxima estos números a las décimas mediante truncamiento y redondeo. ¿En qué casos coinciden los resultados?

a) 57,423 " Truncamiento: 57,4 Redondeo: 57,4

b) 3,578 " Truncamiento: 3,5 Redondeo: 3,6

c) -2,357 " Truncamiento: -2,3 Redondeo: -2,4

d) 9,971 " Truncamiento: 9,9 Redondeo: 10,0

e) 3 = 1,7320508… " Truncamiento: 1,7 Redondeo: 1,7

El truncamiento y el redondeo coinciden cuando la primera cifra eliminada es menor que 5.

ACTIVIDADES

12 PRACTICA. Con ayuda de la calculadora, escribe 8 en forma decimal y sus aproximaciones, por redondeo y por truncamiento, a las milésimas. ¿Son aproximaciones por exceso o por defecto?

13 APLICA. Aproxima 0,121212…; 5,23888… y 911

por

exceso y por defecto con dos cifras decimales.

14 REFLEXIONA. Redondea ,1 9! a las centésimas.

Aproximar números decimales resulta útil a la hora de

realizar algunos cálculos.

¿Es el truncamiento siempre una aproximación por defecto? ¿Y el redondeo?

RETOR

12

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Calcular el volumen de un cuerpo geométrico

Halla el volumen del cofre.

Pasos a seguir

1. Descomponemos la figura en otras más sencillas cuyos volúmenes sabemos calcular.

La figura está formada por un ortoedro y medio cilindro.

Ortoedro Medio cilindro

2. Hallamos el volumen de cada una de las figuras.

VOrtoedro = ABase ? h = (10 ? 5) ? 4 = 200 dm3

VCilindro = r h2r

Como hay que calcular la mitad:

VMedio cilindro = r h2

2r=

? ?,,

22 5 10

98 132r

= dm3

3. El volumen total de la figura compuesta es la suma de los volúmenes de las figuras que la componen.

V = 200 + 98,13 = 298,13 dm3 = 0,29813 m3

SABER HACERUnidad principal de:

• Superficie " m2

• Volumen " m3

Para transformar unidades de:

• Superficie " Potencias de 100

• Volumen " Potencias de 1 000

ACTIVIDADES

25 Halla el volumen del cuerpo geométrico.

26 Determina el volumen del siguiente cuerpo.

27 Calcula el volumen de este cuerpo.

28 Halla el volumen del cuerpo geométrico.

4 dm

5 dm

10 dm

2,5 dm

10 dm

4 dm

10 dm 5 dm

3,91 cm

5 cm

5 cm

4 cm

4 cm

5 cm

2,5 cm

6 cm

F

5 cm

9 cm

4 cm 2 cm

2 cm

123

Áreas y volúmenes. Semejanza 6

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5 Podrás estudiar en casa por tu cuenta. Nuestra propuesta para Saber son unos textos claros y estructurados. Los Ejemplos te ayudarán a afianzar esos saberes.

6 Podrás repasar los contenidos y procedimientos que has trabajado en clase. En la parte Saber hacer aprenderás, paso a paso, los procedimientos necesarios para tu desarrollo matemático.

Biblioteca del profesorado

1 DÍA A DÍA EN EL AULA

– RECURSOS DIDÁCTICOS

• Esquema de la unidad

• Curiosidades matemáticas

• Notación matemática

• Estrategias de resolución de problemas

• Proyecto matemático

• Matemáticas con ordenador

– ENSEÑANZA INDIVIDUALIZADA

• Fichas de repaso y apoyo

• Fichas de profundización

– EVALUACIÓN

• Pruebas de evaluación de contenidos

• Pruebas de evaluación por competencias

2 SOLUCIONARIOS

• De todas las actividades del libro del alumnado

En PDF

3 COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI

• Literatura y Matemáticas

• Desarrollo de la competencia matemática

4 TUTORÍAS

• 22 sesiones de trabajo por curso

En Word modificable

5 DOCUMENTOS CURRICULARES

• Programación Didáctica de Aula

• Rúbricas de evaluación

ESO

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COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI


COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI


4

ESO

• Literatura y Matemáticas

• Desarrollo de la competencia matemática

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ES0000000121592 132387_Comp_Matematicas_4_105281.indd 1 17/11/2020 15:22:25

En tu biblioteca de recursos

www.e-vocacion.es

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44

ESO

DÍA A DÍA EN EL AULARecursos didácticos y atención a la diversidad


DÍA A DÍA EN EL AULA


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icas • Guiones didácticos y bancos de recursos

• Enseñanza individualizada (repaso, apoyo y profundización)

• Evaluación de contenidos

• Evaluación por competencias

17/11/2020 15:21:25

10

Apoyo digital

Libro Media es el libro digital de Santillana, que reproduce el libro de papel de manera interactiva.

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11

Recursos didácticos

NÚMEROS REALES. PORCENTAJES1

RECURSOS DIDÁCTICOS

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Números reales

Números racionales

Porcentajes

Números irracionales

Aproximación

Representación Intervalos

Error absoluto Error relativo

Interés simple Interés compuesto

14 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

Pitagóricos e irracionales

Los números irracionales aparecen en la historia de las Matemáti-cas vinculados a la Geometría. Se supone que fueron descubiertos por la Escuela Pitagórica en el siglo VI a.C., al tratar de resolver problemas tales como la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado o un pentágono regular.

La Matemática pitagórica estaba basada en los números naturales y en sus operaciones. Se cree que el hecho de encontrar núme-ros irracionales se mantuvo como un secreto por los pitagóricos, pues afectaba a las bases mismas de su filosofía de vida.

A estos números, que no eran enteros ni fracciones, los llamaron alogos o irracionales. Observa, a continuación, una demostración de la irracionalidad de 2 , que ya conocían los griegos.

Supongamos que esta raíz es racional, es decir, ba

2 = , siendo

a y b números naturales y dicha fracción irreducible. En esa frac-ción, a o b son impares, ya que, si ambos no lo fueran, la fracción no sería irreducible.

Así, se cumple que:

ba

ba

22

2

2

2

= =` fj p " a 2 = 2 b 2

Como a 2 es un número par y, por tanto, a es también par, a = 2 al (siendo al un número natural).

Y como 4al2 = 2 b 2, tenemos que b 2 = 2al 2, siendo b un número par, lo que contradice la suposición inicial. Por tanto, 2 es irra-cional.

El símbolo de los pitagóricos era la estrella pentagonal o estrella de Italia, la cual utilizaban para reconocerse entre sí. La estrella pentagonal resulta al trazar las diagonales de un pentágono re-gular.

Invierte y resta, invierte y suma: el resultado es 1 089

Sergio y Ana están jugando con números. Ana hace lo que dice Sergio y Sergio adivina el resultado sin mirar lo que escribe Ana. Fíjate en las órdenes de Sergio:

– Escribe un número de 3 cifras diferentes.

– Cambia el orden de las cifras y resta los números.

– Suma el resultado con el mismo número, cambiando de orden las cifras.

Realiza el juego con un compañero, haciendo los pape-les de Sergio y Ana alternativamente. Comprueba que siempre se obtiene el mismo resultado.


NOTACIÓN MATEMÁTICA

1NÚMEROS REALES. PORCENTAJES

¿Qué significa? ¿Cómo lo escribimos?

3,21 Indica un número decimal exacto.Para escribir un número decimal separamos las cifras enteras de las decimales con una coma.

El símbolo ! sobre una cifra o grupo de cifras indica que estas se repiten indefinidamente. A ese grupo se le llama periodo.

1,58# Indica un número decimal periódico

puro.

2,34! Indica un número decimal periódico

mixto.

3,14159… Indica un número decimal no exacto.Los puntos suspensivos detrás de una cifra significan que detrás de ella hay más cifras decimales.


P Indica un punto de la recta real. P A B

Los puntos se expresan con letras mayúsculas, y los segmentos, con las letras que denotan sus extremos.

AB Indica un segmento de la recta real cuyos extremos son los puntos A y B.


NIndica el conjunto de los números naturales.

Los conjuntos de números los denotamos con letras mayúsculas, generalmente huecas.

N, Z y Q representan los conjuntos de números naturales, enteros y racionales, respectivamente.

El conjunto de los números reales se denota con la letra R y se compone de los números racionales (conjunto Q) y los números irracionales (conjunto I).

ZIndica el conjunto de los números enteros.

QIndica el conjunto de los números racionales.

IIndica el conjunto de los números irracionales.

RIndica el conjunto de los números reales.


[a, b] Indica un intervalo cerrado.Un intervalo es el conjunto de todos los puntos de un segmento de la recta real. Si aparecen los símbolos [ o ], el extremo pertenece al intervalo, y si aparecen los símbolos ( o ), el extremo no pertenece al intervalo.

[a, b)

(a, b]Indican un intervalo semiabierto por la derecha y otro por la izquierda.

(a, b) Indica un intervalo abierto.



1

Método de ensayo y error

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

PROBLEMA RESUELTO

1 El número 97 656 es el producto de dos números enteros consecutivos. Halla dichos números.

Planteamiento y resolución

Sin recurrir a planteamientos algebraicos, piensa en que esos dos números enteros, al ser consecutivos, son prácticamente iguales, y 97 656 es casi un cuadrado perfecto. Por tanto, la raíz cuadrada de 97 656 será un número que estará cerca de los dos números que buscamos.

Calcula esa raíz cuadrada y halla los dos números enteros consecutivos cuyo producto es 97 656.

Observarás que, con la calculadora, puedes hacer este problema y otros análogos con mayor rapidez que utilizando el planteamiento algebraico.


Estrategia El método de resolución de problemas conocido como «método de ensayo y error» consiste en ensayar o experimentar con los datos del problema, eligiendo previamente una operación que proporcione resultados cada vez más aproximados al resultado exacto del problema, que es el objetivo que se pretende conseguir.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Los lados de un rectángulo son dos números enteros consecutivos. El área del rectángulo más el área del cuadrado, cuyo lado es igual al lado menor del rectángulo, es 14 196. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

x

x + 1 x

x

De estas figuras se obtiene el planteamiento:

x ? (x + 1) + x 2 = 14 196

Así, obtenemos una ecuación de segundo grado: 2 x 2 + x = 14 196, que estudiaremos posteriormente.

Ahora veremos cómo se resuelve el problema mediante el método de ensayo y error. En la ecuación de segundo grado se observa que, de los dos sumandos del primer miembro, el segundo, x, es insignificante frente al primero, 2 x 2. Por ello, se puede suponer que «dos veces el cuadrado de un número es aproximadamente 14 196».

Halla lo que vale «una vez el cuadrado del número» y, después, calcula las dimensiones del rectángulo.

2 Si al producto de dos números enteros consecutivos le sumas el número menor, se obtiene 7 224. ¿Cuáles son los números?

Aparentemente, este problema es diferente al anterior. Sin embargo, puedes hacer razonamientos similares.

En efecto, consideramos los números consecutivos 7 y 8, y su producto más la suma del número menor es:

7 ? 8 + 7 = 63

Se observa que , ...63 7 937253933= es un número decimal comprendido entre los números enteros 7 y 8.

Teniendo esto en cuenta, calcula los números pedidos.



PROYECTO MATEMÁTICO


Ases del ciclismo

En este proyecto pretendemos que aprendas a:

• Conocer los cinco corredores más relevantes en la historia del Tour.

• Utilizar el redondeo y el truncamiento en problemas reales.


1 Los cinco mejores del Tour

Los ciclistas que alcanzan la mayor fama son los que tienen éxito en las carreras que anualmente se realizan en algunos países europeos: Tour de Francia, Giro de Italia, Vuelta a España…, o bien los que triunfan en la prueba llamada récord de la hora.

El Tour es una de las carreras ciclistas más importantes del mundo. Por ello, la calidad de un gran ciclista se suele medir por el número de Tours que ha ganado.

Entre los ciclistas que han ganado el Tour, hay cinco que destacan porque lograron ganar cinco Tours al menos. Estos cinco ases del ciclismo mundial son los franceses Jacques Anquetil y Bernard Hinault, el belga Eddy Merckx y el español Miguel Induráin.

Vamos a estudiar las características físicas de estos grandes corredores. Dos de las más destacables, la altura (en m) y el peso (en kg), son las siguientes:

Altura Peso

Anquetil 1,739 67,75

Merckx 1,834 74,96

Hinault 1,728 68,43

Induráin 1,882 81,42

Para cada uno de ellos, la distancia recorrida (en km) en el primer Tour y su velocidad media (en km/h) fueron:

Distancia Velocidad

Anquetil 4 555,1 34,507

Merckx 4 102,1 35,296

Hinault 3 913,8 34,929

Induráin 3 940,1 38,792

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

a) Haz una estimación de la diferencia de las alturas de Anquetil y Merckx, redondeándolas a los centímetros.

b) ¿Cuál es el error absoluto y relativo cometido en la estimación realizada en la actividad anterior?

c) Haz una estimación de la diferencia de las alturas de Anquetil y Merckx, truncándolas a los centímetros.

d) ¿Cuál es el error en la estimación de la actividad anterior?

e) ¿En cuál de las estimaciones realizadas de las actividades a) y c) se ha cometido mayor error?

f) Haz una estimación de la diferencia de las alturas de Hinault e Induráin, redondeándolas a los decímetros. ¿Cuál es el error absoluto y relativo cometido?

g) Redondea a las décimas los pesos de Anquetil e Induráin, y haz una estimación de la suma de sus pesos. ¿Cuál es el error absoluto y relativo cometido en la estimación?

h) Redondea a las unidades (kg) los pesos de Merckx e Hinault, y haz una estimación de la diferencia de sus pesos. ¿Cuál es el error absoluto y relativo cometido en la estimación?


2 El récord de la hora

El récord de la hora es una competición ciclista que empe zó el año 1942 y que se desarrolla en un velódromo.

Por su duración, el Tour (unos 21 o 22 días) y el récord de la hora (1 hora) son competiciones muy distintas, y los grandes plusmarquistas del récord de la hora no coinciden con los ganadores del Tour. Sin embargo, los grandes ciclistas del Tour establecieron marcas importantes en el récord de la hora, aunque Lance Armstrong nunca lo ha intentado.

En ambas pruebas, cada ciclista utiliza un «desarrollo» (proporción entre los diámetros del plato y el piñón de su bicicleta), adaptado a sus peculiaridades físicas y su forma de pedalear. Este desarrollo hace que varíen los metros recorridos con cada pedalada.

En la tabla tienes algunos ciclistas que marcaron récords en esta prueba, el año en que lo consiguieron y la distancia que fueron capaces de recorrer en una hora.

Ciclista Año Distancia

Fausto Coppi 1942 45,848 km

Jacques Anquetil 1956 46,159 km

Jacques Anquetil 1967 47,493 km

Eddy Merckx 1972 49,431 km

Francesco Moser 1984 50,808 km

Miguel Induráin 1994 53,040 km

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

a) Haz una estimación de la suma y la diferencia de los récords de la hora de Coppi y Anquetil, re don deando a las centésimas.

b) Calcula el error absoluto y relativo cometido en la estimación realizada en la actividad anterior.

c) Haz una estimación de la diferencia entre las dos marcas alcanzadas por Anquetil, haciendo el redondeo a las décimas.

d) Calcula el error absoluto y relativo cometido en la estimación realizada en la actividad anterior.

e) Eddy Merckx estuvo a punto de superar la barrera de los 50 km/h. ¿Cuánto le faltó?

f) Francesco Moser fue el primer ciclista que pasó la barrera de los 50 km/h. ¿Qué ventaja sacó Moser a Eddy Merckx?

g) Redondeando a las décimas, haz una estimación de la diferencia entre los récords de la hora de Eddy Merckx y Francesco Moser.

h) Calcula el error relativo cometido en la estimación de la actividad anterior.

i) El récord de la hora en 1993 fue de 52,713 km, y en 1994, Miguel Induráin lo elevó a 53,040 km. ¿Cuál fue el aumento conseguido por Induráin?

j) ¿Cuál es la estimación de la diferencia entre los récords de la hora de los años 1993 y 1994 haciendo el redondeo a las décimas?

k) Calcula el error cometido en la estimación de la actividad anterior.




MATEMÁTICAS CON ORDENADOR

Representa en la recta 13.


1 Utilizamos la herramienta para dibujar una recta que pase por dos puntos, y a uno de ellos lo marcamos como punto 0.

3 Sobre el extremo del segmento dibujamos otro de longitud 2 y una recta perpendicular. Con giramos el extremo sobre la recta.

2 Dibujamos un segmento de longitud 3 con origen en el punto 0, sobre la recta dibujada, utilizando la herramienta .

4 Con la herramienta unimos el origen del primer segmento con el extremo del segundo segmento.

GeoGebrawww.geogebra.org


ACTIVIDADES

1 Dibuja los siguientes números reales.

a) 29 c) 101

b) 45 d) 125

2 Representa en la recta real el número que representa cada una de estas operaciones.

a) 2 5+ b) 10 2-

5. Con la herramienta dibujamos una circunferencia de radio la hipotenusa, y marcamos la intersección de la recta con la circunferencia. Este punto es 13.


MATEMÁTICAS CON ORDENADOR

PASO A PASO


1 Pulsamos sobre el icono para activar la herramienta que dibuja una recta que pasa por dos puntos.

Con el botón izquierdo del ratón señalamos un primer punto. Al mover este punto aparece una recta que fijamos marcando un segundo punto.

Para marcar el punto origen seleccionamos la herramienta

y pulsando el botón izquierdo sobre el primer punto. Se abre una ventana de escritura donde anotamos 0.

2 Seleccionamos la herramienta que dibuja un segmento horizontal, dado el punto origen y la longitud.

Nos situamos sobre el punto marcado como 0 y pulsamos el botón izquierdo del ratón, se abre una ventana donde escribimos la longitud del segmento, en este caso 3. Pulsamos sobre el botón OK.

3 Con la misma herramienta, , nos situamos sobre el extremo del segmento y pulsamos el botón izquierdo del ratón, escribiendo 2 en la ventana que aparece y seleccionando posteriormente OK.

Con la herramienta activada marcamos el extremo del segmento y la recta para dibujar una perpendicular a la recta que pase por dicho punto.

Activamos la herramienta y movemos el extremo del segundo segmento hasta colocarlo sobre la recta perpendicular que acabamos de dibujar.

4 Con la herramienta dibujamos un segmento marcando sus extremos: seleccionamos el punto 0 como origen del segmento y el punto trasladado como extremo.

5 Activamos la herramienta para hacer circunferencias dado uno de sus puntos y el centro, pulsando sobre el botón .

Marcamos los dos puntos extremos del segmento que acabamos de dibujar, y que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Con la herramienta marcamos la intersección entre la circunferencia y la recta inicial, este punto es 13.

GeoGebrawww.geogebra.org


1

2

3

4

5


Enseñanza individualizadaRepaso y apoyo

Profundización

Enseñanza individualizada

Los alumnos y las alumnas son muy diversos, tanto por su nivel académico como por sus inte-reses y grado de motivación. Las fichas de esta sección tienen como objetivo proporcionar recursos para atender a la diversidad del alumnado.

Las fichas de repaso y apoyo proponen trabajar los conceptos fundamentales de cada unidad didáctica atendiendo a los distintos tipos de dificultades que obstaculizan el aprendizaje.

• Objetivo de aprendizaje. Cada ficha trabaja un objetivo concreto. Estos objetivos son los contenidos mínimos que todos los alumnos y alumnas deberían alcanzar.

• Síntesis teórica. Cada ficha se inicia con una explicación teórica, relativa al objetivo de aprendizaje que se pretende trabajar. Esta síntesis es muy concreta y está escrita en un lenguaje sencillo.

• Ejemplo resuelto. La mayoría de las fichas proponen un ejercicio de ejemplo mediante el que el alumno o la alumna pueden comprobar el funcionamiento del concepto o del proce-dimiento trabajado y encontrar un modelo en el que basarse para realizar las siguientes actividades propuestas.

• Actividades propuestas. Con estas actividades los estudiantes podrán aplicar y practicar los contenidos y técnicas expuestas, ejemplificadas y que necesitan reforzar.

Las fichas de profundización están dirigidas a los alumnos y alumnas que pueden ir más allá del nivel medio del aula o bien a aquellos estudiantes que manifiestan un interés especial por determinados aspectos de las Matemáticas. Presentan una metodología indagatoria y plantean sencillas investigaciones.

Presentación

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. 129

Nombre: Curso: Fecha:

1REPASO Y APOYO


1HALLAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.) DE DOS NÚMEROS

REPASO Y APOYO OBJETIVO 1

¿CÓMO LO VAMOS A HALLAR?

Para hallar el máximo común divisor de dos números seguimos estos pasos.

1.o Descomponemos los dos números en sus factores primos.

2.o Multiplicamos los factores primos comunes de ambos, elevados al menor exponente.

El máximo común divisor de dos números es el mayor de sus divisores comunes.

ACTIVIDADES

1 Halla el máximo común divisor de estos números, descomponiendo en factores primos.

a) 21 y 105 c) 60 y 210

21 3 105 3 60 2 210 2 7 7 35 5

1 7 7

1

21 = 3 ? 7 105 = 3 ? ? 60 = 22 ? ? 210 = 2 ? 3 ? 5 ? 7

m.c.d. (21, 105) = ? = 21 m.c.d. (60, 210) = ? ? = 30

b) 33 y 44 d) 45 y 80

33 3 44 45 3 80

11 11 15

1 11

1 1

5 5 1

33 = 3 ? 44 = 22 ? 45 = 32 ? 80 = 24 ?

m.c.d. (33, 44) = 11 m.c.d. (45, 80) = 5

Sean los números 12 y 42. Sus divisores son:

Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Div (42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

Divisores comunes = {1, 2, 3, 6}

Luego el máximo común divisor de 12 y 42 es: m.c.d. (12, 42) = 6

EJEMPLO

12 2 42 2

6 2 21 3

3 3 7 7

1 12 = 22 ? 3 1 42 = 2 ? 3 ? 7 m.c.d. (12, 42) = 2 ? 3 = 6

EJEMPLO

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.130


1REPASO Y APOYO


1HALLAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) DE DOS NÚMEROS


¿CÓMO LO VAMOS A HALLAR?

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos números seguimos estos pasos.

1.o Descomponemos los dos números en sus factores primos.

2.o Multiplicamos los factores primos comunes y no comunes a ambos que estén elevados al mayor exponente.

El mínimo común múltiplo de dos números es el menor de sus múltiplos comunes.

ACTIVIDADES

1 Halla el mínimo común múltiplo de estos números, descomponiendo en factores primos.

a) 21 y 105 c) 60 y 210

21 3 105 3 60 210

7 7 35 5 30 105

1 7 7 15 35

1 5 7

1 1

21 = ? 105 = ? ? 60 = 22 ? 3 ? 5 210 = 2 ? 3 ? 5 ? 7

m.c.m. (21, 105) = ? ? = 105 m.c.m. (60, 210) = ? ? ? = 420

b) 33 y 88 d) 45 y 80

33 3 88 2 45 3 80

11 11 44 15

1

11 1

1 5 5 1

33 = 3 ? 88 = 23 ? 45 = 32 ? 80 = 24 ?

m.c.m. (33, 88) = ? ? = 264 m.c.m. (45, 80) = ? ? = 720

Sean los números 12 y 42. Sus múltiplos son: Múltiplos de 12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, ...}

Múltiplos de 42 = {0, 42, 84, 126, ...}

Luego el mínimo común múltiplo de 12 y 42 es: m.c.m. (12, 42) = 84

EJEMPLO

12 2 42 2

6 2 21 3

3 3 7 7

1 12 = 22 ? 3 1 42 = 2 ? 3 ? 7 m.c.m. (12, 42) = 22 ? 3 ? 7 = 84

EJEMPLO

1HALLAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) DE DOS NÚMEROS




1REPASO Y APOYO


Representamos los números enteros positivos y negativos sobre una recta dividida en intervalos de la misma longitud.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1REPRESENTAR NÚMEROS ENTEROS Y OPERAR CON ELLOS


ACTIVIDADES

1 Representa y ordena estos números enteros: -4, -5, 4, 5, -2, 2, -7 y 7.

2 Indica el signo < (menor que) o > (mayor que), según corresponda en cada caso.

a) -5 > -7 c) 5 7 e) -3 0

b) 0 9 d) -5 -1 f ) 4 1

3 Opera y halla el valor absoluto de los números enteros.

a) q3 - 5u = q-2u = 2

b) q3 - 7 + 2 - 5u = q u =

c) q(-1) ? (4 - 5)u = q(-1) ? ( )u = q u =

d) q(2 - 3) ? (7 - 5)u = q(-1) ? ( )u = q u =

e) q(-4) : (7 - 8)u = q(-4) : ( )u = q u =

4 Efectúa las siguientes operaciones con números enteros.

a) [(-2)2 + 23] : (-2) = [ + ] : (-2) = : (-2) = -6

b) 3 ? [1 - 4 + 2] - (-3) ? [5 - (7 - 3)] = 3 ? ( ) - (-3) ? [5 - ] = + =

c) [(-2)2 ? 62] : 32 = [4 ? 36] : 9 = : 9 = 16

d) q(-1) ? 3 - 2 ? (-3 + 5)u = q(-1) ? 3 - 2 ? 2u = q- - u=q u = 7

e) q[(-5 + 3) ? 5] : (2 - 7)u = q[(-2) ? 5] : (-5)u = q( ) : (-5)u = 2

Representa y ordena, de menor a mayor, los siguientes números enteros: 7, -1, -3, 5, 0, 1, -7 y 2.

Los representamos sobre la recta:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Su ordenación es inmediata: -7 < -3 < -1 < 0 < 1 < 2 < 5 < 7

EJEMPLO

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

• El valor absoluto de un entero positivo es él mismo: q3 q = 3, q0 q = 0

• El valor absoluto de un entero negativo es su opuesto: q-3 q = 3, q-15 q = 15



1REPASO Y APOYO


Representamos los números racionales sobre una recta, en la que los números fraccionarios están comprendidos entre los números enteros.

-4 -3 -2 -1 0 1 2

3/2 11/4-7/3

3 4

Para ver cómo se representa un número fraccionario mostramos un ejemplo. Así, para representar

el número 30

138 seguimos estos pasos.

1.° Simplificamos la fracción hasta obtener su fracción irreducible: 30

1381569

523

= =

2.° Calculamos la parte entera y la parte decimal: 523

453

= +

3.° Tomamos sobre la recta el intervalo formado por los dos números enteros entre los que está comprendido el número, en este caso [4, 5], y lo dividimos en un número de partes igual que el denominador de la fracción, en este caso, en 5 partes.

Marcamos desde el número 4 tantas partes como indique el numerador, en este caso 3:

23/5

0 1 2 3 4 5

ACTIVIDADES

1 Representa los siguientes números fraccionarios.

a) 900540

1.º Simplificamos: 900540

= = = = = 53

2.º Calculamos: 53

= 0 +

3.º Señalamos sobre la recta el intervalo [0, 1]. Lo dividimos en 5 partes iguales. Marcamos 3 partes e indicamos la posición.

b) 180420

1.º Simplificamos: 180420

= = = = 37

2.º Calculamos: 37

= 2 +

3.º Señalamos sobre la recta el intervalo [2, 3]. Lo dividimos en 3 partes iguales. Marcamos 1 parte e indicamos la posición.

c) 1470210

- 1.º Simplificamos: 1470210

- = - = - = - = 71

-

2.º Calculamos: 71

071

- = -

3.º Señalamos sobre la recta el intervalo [-1, 0], y representamos la fracción.

1REPRESENTAR NÚMEROS RACIONALES Y OPERAR CON ELLOS


-1 0-1/7

0 1 2 37/3

0 13/5





1REPASO Y APOYO




d) 600450

- 1.º Simplificamos: 600450

- = - = - = - = 43

-

2.º Calculamos: 43

- = 0 - 43

3.º Señalamos sobre la recta el intervalo [-1, 0] y representamos la fracción.

2 Realiza las siguientes operaciones.

a) 435

23

- - m.c.m. (2, 3) =

?

44 4

=4

?

?

35

35 4 4

= =4 4

?

?

23

23 4 4

= =4 4

435

23

65

- - = - - =- -

=

b) 25

132

41

- - +f p> H m.c.m. (3, 4) = 12

Efectuamos primero la suma del paréntesis:

? ?

32

41

122

121

12 12114 4 4 4

+ = + =+

=

?

25

132

41

25

11211

25

121

125

121

12 12294 4 4

- - + = - - = - = - = =-

f p> >H H

c) 331

51

- -f p m.c.m. (3, 5) = 15

Efectuamos primero la resta del paréntesis:

? ?

31

51

151

151

15 1524 4 4 4

- = - = =-

?

331

51

3152

153

152

15434

- - = - = - =f p

Efectúa: 53

23

17- +

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores: m.c.m. (3, 5) = 15

?

?

53

5 33 3

159

= = ?

215

2 151530

= = ?

?

317

3 517 5

1585

= =

53

23

17159

1530

1585

159 30 85

1564

- + = - + =- +

=

EJEMPLO

SUMA (O RESTA) DE NÚMEROS RACIONALES

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, las reducimos a común denominador y luego sumamos sus numeradores.

-3/4-1 0



1REPASO Y APOYO




3 Efectúa las siguientes operaciones.

a) ? ?? ?

? ?( ) ( )32

51

27 4 4 4-

= =4 4 4

b) ? ??

?:

( )( ) ( )3

154

73

37

34 4 4-

=-

=-

=4 4

f fp p

c) ? ??

? ?: ( ) :( )

: ( ) :341

52

521 2

512

1003

- - =-

- = = = =4

4f f f f f fp p p p p p> > > >H H H H

d) ? ? ? ? ?: :31

75

721

31

57

712

= = =f f f f f fp p p p p p

?

??

75

31

3 71 5

215

= =

??

?

31

:75

31

57

3 51 7

157

= = =

??

?

52

: 3 :52

13

52

31

5 32 1

152

= = = =

EJEMPLO

53 ( )

53

12527

3

3

3

=-

=-

-f p

EJEMPLO

PRODUCTO (O COCIENTE) DE NÚMEROS RACIONALES

• Para multiplicar dos fracciones, efectuamos el producto de los numeradores y lo dividimos entre el producto de los denominadores.

• Para dividir dos fracciones, multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda.

POTENCIA DE UNA FRACCIÓN

Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia.

4 Haz estas operaciones.

a) 23

51

200 200 200667

3 24 4 4 4

- = - =-

=-

=f fp p

b) 531

51

27 27134

34 4

- = - =-

=4

f p

c) 321

31

336 36

1132 2

4 4 4+ - = + - =

+ -=f fp p





1REPASO Y APOYO

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS RACIONALES

La jerarquía de las operaciones es:

• Primero se hacen las operaciones de los paréntesis.

• Después, se calculan las potencias y raíces, si las hubiera.

• A continuación, se efectúan las multiplicaciones y divisiones.

• Por último, se resuelven las sumas y restas.

• Siempre se opera respetando el orden en que están escritas las operaciones, de izquierda a derecha.

:23

51

371

21

+ - +f fp p

Hay dos bloques, con los que debemos operar por separado:

?

?

?

?

23

51

2 53 5

5 21 2

1015

102

1017

+ = + = + =

?

? ?

?

?

?

?3

71

21

7 23 7 2

7 21 2

2 71 7

1442

142

147

1442 2 7

1447

- + = - + = - + =- +

=

Operamos y simplificamos:

?

?: :

23

51

371

21

1017

1447

10 4717 14

470238

235119

+ - + = = = =f fp p

EJEMPLO




5 Efectúa las operaciones.

a) 51

51

51

51

03 7 4 3 3

- = - =

-

f f f fp p p p> H

b) 131

43

21

31

41

3 4 124 4 4 4 4 4

+ - + + - =+

-+

+-

= - + =f f f f f fp p p p p p

12 12

2614 4 4

=- +

= =

c) 7 7?

21

143

31

147

1470308

35154

522

4 4

+

+=

+

+

= = = =4 4

d) ?31

25

321

251

2 5 30 3016

1584 4 4

- + - - + = + - =+ -

=- =-f f fp p p

e) ? ? ? ? ?:251

321

432

5 2 3 5 23

100189

- + - = = =f f fp p p


Nombre: Curso: Fecha: Nombre: Curso: Fecha:

Para expresar un número fraccionario en forma decimal se divide el numerador entre el denominador.

Para pasar un número en forma decimal a fracción, operamos de manera diferente en cada uno de los tres casos anteriores.

ACTIVIDADES

1 Obtén la fracción generatriz de los siguientes números.

a) 0,87 = 10087

d) 2,45#

1127

= = =

b) 0,3!

= 31

= e) 0,015#

661

= = =

c) 3,1527#

9 900

31527 315=

-= f ) -235,75 =- =- =-

= = = g) 6,2!

4 4

=-

=4

a) 2049

= 2,45 " decimal exacto c) 6687

= 1,31818... = 1,31%

8 " decimal periódico mixto

b) 1186

= 7,8181... = 7,81#

" decimal periódico puro

EJEMPLO

1REPASO Y APOYO

1EXPRESAR UN NÚMERO DECIMAL EN FORMA DE FRACCIÓN


a) Decimal exacto:

2,4625 = 10 00024 625

= 2 0004 925

400985

80197

= =

b) Decimal periódico puro:

3,45#

= 99

345 399342

33114

1138-

= = =

c) Decimal periódico mixto:

3,217!

= 900

3 217 321900

2 896450

1448225724-

= = =

EJEMPLO

F

F

F

F

Se resta la parte entera

Se ponen tantos 9 como cifras tenga la parte periódica Cifras de la parte entera

y la parte decimal no periódica

Se ponen tantos 9 como cifras tenga la parte periódica y tantos 0 como cifras tenga la parte anteperiódica

1EXPRESAR UN NÚMERO DECIMAL EN FORMA DE FRACCIÓN




1REPASO Y APOYO


1APROXIMAR UN NÚMERO DECIMAL


Para truncar las cifras decimales de un número hasta un orden determinado eliminamos las cifras que vienen a continuación de dicho orden.

Para redondear un número decimal hasta un orden determinado vemos si la cifra del siguiente orden es menor que 5 o mayor o igual que 5 y, en función de eso, dejamos la cifra anterior como está o la incrementamos en una unidad.

2 Redondea los números decimales a las décimas, centésimas y milésimas.

a) 0,2765 b) 12,3453 c) 8,7521 d) 361,4932

0,3

0,28

0,277

3 Efectúa las operaciones con números decimales, y redondea el resultado a las centésimas.

a) (1,367 + 4,875) ? 2 = ? 2 = = 12,48

b) (3,642 - 2,485) - (9,675 + 1,476) = - = = -9,99

c) ? ?,,

,,,

,2 15

43 7643 831

13 5774 772

5 63-f fp p = - = 46,96

d) 37 22- = - = = 1,39

e) , ,, ,

63 562 18 98735 732 20 189

-

-= = 0,35

5,751 truncado a las décimas es 5,7.

0,837 truncado a las centésimas es 0,83.

12,3146 truncado a las milésimas es 12,314.

EJEMPLO

5,751 redondeado a las décimas es 5,8.

0,837 redondeado a las centésimas es 0,84.

12,3146 redondeado a las milésimas es 12,315.

EJEMPLO

ACTIVIDADES

1 Trunca los números decimales a la cifra de las décimas, centésimas y milésimas.

a) 0,2765 b) 12,34 c) 8,7521 d) 361,4938

0,2

0,27

0,276


Nombre: Curso: Fecha: Nombre: Curso: Fecha:

El error absoluto que cometemos al aproximar un número decimal es igual al valor absoluto de la diferencia entre el número dado y el número aproximado. Se representa por Ea.

El máximo error absoluto que cometemos al hacer una aproximación se llama cota o margen de error.

Sea el número 3,5765. ¿Qué error absoluto se comete al aproximarlo a las centésimas?

Podemos aproximar el número de dos maneras: truncándolo o redondeándolo.

Si lo truncamos a las centésimas, el número es 3,57, y el error absoluto sería:

Ea = q3,5765 - 3,57u = 0,0065

Si lo redondeamos a las centésimas, el número es 3,58, y el error absoluto sería:

Ea = q3,5765 - 3,58u = 0,0035

Como el error cometido al redondear es menor, esta forma de aproximación es mejor que el truncamiento.

EJEMPLO

Al hallar con la calculadora el valor de 3 , obtenemos:

3 = 1,7320508

Pero esta es una aproximación por redondeo que hace la calculadora a 7 cifras decimales, por lo que no es el valor exacto de 3 .

Como no podemos hallar el error absoluto, al no conocer el valor exacto, vamos a calcular una cota del error absoluto cometido. Si aproximamos, por ejemplo, a las centésimas:

1,73 < 3 < 1,74

El error que cometemos será menor o, como máximo, igual que la diferencia entre 1,73 y 1,74, es decir: 1,74 - 1,73 = 0,01.

Así, resulta que 0,01 es una cota del error cometido al aproximar 3 a las centésimas.

EJEMPLO

1REPASO Y APOYO

1 CALCULAR EL ERROR QUE COMETEMOS AL APROXIMAR UN NÚMERO DECIMAL


ACTIVIDADES

1 Calcula el error que cometemos al aproximar los siguientes números decimales a las milésimas.

a) 35,3277

Por truncamiento queda 35,327. Por redondeo queda 35,328.

Ea = q35,3277 - u = 0,0007 Ea = q - 35,328u = 0,0003

b) 107,8912

Por truncamiento queda: Por redondeo queda:

Ea = q107,8912 - u = 0,0002 Ea = q107,8912 - u = 0,0002

2 Halla una cota de error al aproximar 3 a las milésimas.

1,732 < 3 < 1,733 1,733 - 1,732 =

1REPASO Y APOYO OBJETIVO 7

CALCULAR EL ERROR QUE COMETEMOS AL APROXIMAR UN NÚMERO DECIMAL



1

Sea el número 3,5765. ¿Qué error relativo se comete al aproximarlo por truncamiento a las centésimas? ¿Y a las milésimas?

Si lo truncamos a las centésimas, el número es 3,57, y el error absoluto Ea sería: Ea = q3,5765 - 3,57u = 0,0065

El error relativo, en este caso, es: Er = ,,

3 57650 0065

= 0,001817

Si lo truncamos a las milésimas, el número es 3,576, y el error absoluto Ea sería: Ea = q3,5765 - 3,576u = 0,0005

El error relativo, en este caso, es: Er = ,,

3 57650 0005

= 0,000139

Otra forma de expresar el error relativo es mediante el tanto por ciento:

Para las centésimas: Er = 0,001817 = 0,18 % Para las milésimas: Er = 0,000139 = 0,01 %

Hemos redondeado el error, para expresar el tanto por ciento (%) con dos cifras decimales.

EJEMPLO



El error relativo que cometemos al aproximar un número decimal es el cociente entre su error absoluto y el valor exacto de dicho número. Se representa por Er.

3 Obtén la cota de error al aproximar los números a las décimas y a las centésimas.

a) 73

73

= 0,42857…

Para la aproximación a las décimas:

0,4 < 73

<

luego la cota de error será:

0,5 - 0,4 =

Para la aproximación a las centésimas:

0,42 < 73

<


0,43 - 0,42 =

b) 113

113

= 0,272727


0,2 < 113

<


0,3 - 0,2 =


0,27 < 113

<


0,28 - 0,27 =

c) 2,35!

2,35!

= 2,35555…


2,3 < 2,35!

<

luego la cota de error será: - = 0,1


2,35 < 2,35!

<


2,36 - 2,35 = 0,01

d) 7 7 = 2,64575


2,6 < 7 <

luego la cota de error será: - = 0,1


2,64 < 7 <


2,65 - 2,64 = 0,01





4 Halla el error relativo que cometemos al aproximar por truncamiento a las centésimas.

5 Al medir varias veces con una cinta métrica, graduada en centímetros, la altura de un compañero de clase, hemos obtenido los siguientes valores.

MEDIDAS 177 173 175 174 177 174 174 173 175 172

Calcula la media de estas medidas y el error relativo cometido.

El valor medio de estas medidas será:

altura media = , 10

17710

1 744174 4 cm

4 4 4 4 4 4 4 4 4+ + + + + + + + += =

El error absoluto cometido en cada una de las medidas lo obtenemos restando la media de cada medida y obteniendo su valor absoluto:

MEDIDAS 177 173 175 174 177 174 174 173 175 172

ERROR ABSOLUTO

q177 - 174,4u = 2,6 q173 - 174,4u = 1,4 0,6 0,4 2,6 0,4 0,4 1,4 0,6 2,4

La media de los errores absolutos será:

, ,10

2 610

12 84 4 4 4 4 4 4 4 4+ + + + + + + + += = 1,28

La altura del compañero es: 174,4 ! 1,28 cm, y el error relativo cometido es:

,

,174 41 28

= 0,0073 = 0,73 %

a) 75

75

= 0,71428…

El error absoluto será:

Ea = ,75

0 71- =

El error relativo será:

Er = ,,

0 714280 00428

= 0,005992 = 0,60 %

b) 97

97

= 0,77777…


Ea = ,97

0 77- =


Er = ,,

0 777770 00777

= 0,00999 = 1 %

c) 3,875!

3,875!

= 3,87555…


Ea = q3,87555 - 3,87u = 0,00555


Er = ,,

3 875550 00555

= 0,001432 = %

d) 7 7 = 2,64575…


Ea = q 7 - 2,64u = 0,00575


Er = ,,

2 645750 00575

= 0,00217 = %



1REPASO Y APOYO

RESOLVER PROBLEMAS CON PORCENTAJES

OBJETIVO 8

AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Para calcular en qué se transforma una cantidad C cuando aumenta o disminuye en un p%, se multiplica dicha cantidad por el índice de variación:

C (1 + p/100), si aumenta.

C (1 - p/100), si disminuye.

3 Para fomentar el uso del transporte público en una ciudad, se ha decidido rebajar un 7 % el precio del billete de autobús, que era de 0,80 €, y aumentar un 11 % el precio de 1 hora de aparcamiento, que era de 1,20 €. Calcula los nuevos precios del billete y del aparcamiento.

4 El año pasado en mi colegio había 72 estudiantes que jugábamos al fútbol, pero este año somos 108 estudiantes. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento?

ACTIVIDADES

1 En un periódico local leemos que para el próximo puente el 38 % de las plazas hoteleras de la región están ya reservadas. Sabiendo que el número total de plazas es de 850, calcula las plazas que están ya reservadas y las plazas que quedan aún libres.

2 En un colegio juegan a baloncesto 169 estudiantes, que representan el 26 % del total de los estudiantes. ¿Cuántos estudiantes tiene el colegio? ¿Y cuántos no juegan a baloncesto?



1REPASO Y APOYO

RESOLVER PROBLEMAS CON PORCENTAJES

OBJETIVO 8

Para calcular aumentos o disminuciones porcentuales sucesivos, se multiplican los índices de variación: (1 + p) para los aumentos y (1 - p) para las disminuciones.

5 La entrada de un cine cuesta 4,50 €, pero me aplican un descuento del 20 %. Como además es el día del espectador, me aplican un descuento adicional del 30 %. Calcula cuánto me cuesta la entrada ese día.

6 El precio de un modelo de coche ha experimentado las siguientes variaciones a lo largo de los últimos cinco años.

2016 2017 2018 2019 2020

+2,5 % +3 % 0 % -1,5 % -2 %

Si su precio en 2016 era de 15 000 €, calcula cuál será su precio en 2020.

A lo largo del año, la cifra de personas desempleadas de una Comunidad ha ido variando según los siguientes aumentos y disminuciones porcentuales.

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

+2 % +3 % +4 % -2 % -1 % -3 % -5 % 0 % 0 % +3 % +3 % +2 %

Si al comienzo del año había 380 000 personas desempleadas en esa Comunidad, calcula las que hay al finalizar el año.

Hallamos en primer lugar los sucesivos índices de variación:

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

1,02 1,03 1,04 0,98 0,99 0,97 0,95 1 1 1,03 1,03 1,02

Multiplicamos los sucesivos índices de variación:

1,02 ? 1,03 ? 1,04 ? 0,98 ? 0,99 ? 0,97 ? 0,95 ? 1 ? 1 ? 1,03 ? 1,03 ? 1,02 = 1,06

El número de personas desempleadas al finalizar el año será: 380 000 ? 1,06 = 402 800 personas

Ha aumentado un 6 %, como vemos por el índice de variación total.

EJEMPLO



1REPASO Y APOYO

CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE O EL INTERÉS COMPUESTO

OBJETIVO 9

Si depositamos un capital C en una entidad bancaria que funciona con un tanto por ciento de interés r y retiramos periódicamente el beneficio obtenido, estamos ante un caso de interés simple, y se calcula así:

? ?i

C r t100

= , si el tiempo t viene dado en años.

ACTIVIDADES

1 Calcula cuánto tiempo ha de permanecer un capital de 600 € a un interés simple del 4 % para que se duplique.

2 Calcula cuántos euros habría que ingresar y mantener durante 5 años en una cuenta, al 5 % de interés simple, para que los intereses obtenidos a lo largo de los 5 años sean 100 €.

Luis ingresa 200 € en una cuenta bancaria al 4 % de interés anual simple, y quiere saber cuánto dinero tendrá al cabo de dos años.

Podemos calcular el interés que le rentan 200 € al año aplicando una regla de tres simple:

Si por 100 € " 4 € de interés en 1 año

por 200 € " x1 € de interés en el 1.er año 4 " x1 = 8 €

Si por 100 € " 4 € de interés en 1 año

por 200 € " x2 € de interés en el 2.º año 4 " x2 = 8 €

Al final del primer año tendrá: 200 + 8 = 208 € en la cuenta.

Al final del segundo año tendrá: 200 + 16 = 216 € en la cuenta.

Habrá ganado 16 € en los dos años.

Otra forma más sencilla de calcular los intereses generados al cabo de los dos años es aplicando la fórmula:

? ? ? ?i

C r t100 100

200 4 2= = = 16 €

Y, por tanto, el capital acumulado es: 200 + 16 = 216 €

EJEMPLO




CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE O EL INTERÉS COMPUESTO

Si los intereses generados durante el primer año (mes o día, dependiendo de cómo sea el tanto por ciento de interés) se suman al capital inicial, dando un nuevo capital sobre el que actuará el tanto por ciento de interés, estamos ante un caso de interés compuesto.

Para calcular el capital final Cf que se obtiene a partir de un capital inicial C en t años al tanto por ciento anual r, aplicamos esta fórmula.

C Cr

1100f

t

= +e o

El interés generado al cabo de esos t años será el capital final menos el capital inicial: i = Cf - C

3 Una persona abre una cuenta de ahorro al 2,5 % de interés compuesto e ingresa 15 000 €, manteniéndolos durante 15 años.

a) ¿Cuál será el capital final y qué intereses le habrán sido abonados al cabo de los 15 años?

b) ¿Y si mantiene ese dinero en la cuenta durante 20 años?

Luis quiere saber si le conviene ingresar los 200 € en una cuenta joven al 4 % de interés anual compuesto, para lo cual necesita calcular cuánto dinero se habrá generado al cabo de 2 años y qué capital tendrá entonces.

Al final del 1.er año, el interés generado será de 8 € (igual que con el interés simple), pero sobre el capital, al final del 1.er año, se aplicarán los intereses, y será: C1 = C + i1 = 200 + 8 = 208 €.

Al final del 2.o año, el interés generado ese año es:

i2 = 208 ? 100

4 = 8,32 €

Y el capital acumulado es: C2 = C1 + i 2 = 208 + 8,32 = 216,32 €

Así, los intereses generados en los dos años son: i1 + i2 = 8 + 8,32 = 16,32 €

Si aplicamos directamente la fórmula para este tipo de interés, tenemos que:

?C Cr

1100

200 1100

4f

t 2

= + = + =f fp p 200 ? 1,042 = 216,32 €

Y los intereses generados son: i = Cf - C = 216,32 - 200 = 16,32 €

Por tanto, vemos que los intereses generados y el capital final al cabo de los dos años son mayores en la cuenta a interés compuesto. Esta diferencia se hace mayor cuantos más años transcurren.

Normalmente, las cuentas en bancos y cajas de ahorro funcionan a interés compuesto.

EJEMPLO


ACTIVIDADES

1 Si a y b son dos números reales y a < b, ¿qué sucede con sus opuestos? ¿Y con sus inversos? Contesta razonadamente.

2 Existen relaciones métricas, tanto en la naturaleza, como en construcciones o en la vida cotidiana, donde aparece

el número áureo, 2

1 5U=

+.

¿Se puede representar este número de forma exacta en la recta numérica? Razona tu respuesta.

3 Escribe el número 71

en forma decimal con la mínima cantidad de cifras para que el error sea menor que 1 centésima.

4 ¿Para qué número sería 5 432,723 una aproximación a las milésimas por defecto? ¿Es única la respuesta? ¿Cuántas hay?

5 Escribe una aproximación por defecto y por exceso del número e = 2,718281... Indica, en cada caso, una cota del error absoluto.

6 Considera que A, B, C y D son cuatro localidades. La distancia entre A y B es 48 km, con un error de 200 m, y la distancia entre C y D es 300 m, con un error de 2,5 m. ¿Qué medida es más adecuada? ¿Por qué?

7 Un fabricante elabora un producto que vende a un almacenista en 3 000 €. El almacenista le paga un 21 % de IVA y lo vende a una tienda por valor de 5 000 €. El dueño de esta tienda abona un 21 % de IVA y vende el producto al público en 7 000 €, más el 21 % de IVA.

a) ¿Cuánto paga de IVA cada intermediario?

b) ¿Cuál es el IVA que, finalmente, paga el consumidor?

c) ¿Qué tanto por ciento representa el IVA que paga el consumidor?

8 El precio de una rosa el día de Sant Jordi es de 2,40 €, que representa un aumento de precio del 60 % respecto del precio que tiene el resto de año. ¿Cuál es el precio de una rosa cualquier otro día del año?



11

PROFUNDIZACIÓN

6 Considera que A, B, C y D son cuatro localidades. La distancia entre A y B es 48 km, con un error de 200 m, y la distancia entre C y D es 300 m, con un error de 2,5 m. ¿Qué medida es más adecuada? ¿Por qué?

Comparamos los errores relativos:

48 000200

= 0,00416!

< ,

3002 5

= 0,0083!

Es más adecuada la medida entre A y B por tener menor error relativo.

7 Un fabricante elabora un producto que vende a un almacenista en 3 000 €. El almacenista le paga un 21 % de IVA y lo vende a una tienda por valor de 5 000 €. El dueño de esta tienda abona un 21 % de IVA y vende el producto al público en 7 000 €, más el 21 % de IVA.

a) ¿Cuánto paga de IVA cada intermediario?

b) ¿Cuál es el IVA que, finalmente, paga el consumidor?

c) ¿Qué tanto por ciento representa el IVA que paga el consumidor?

a) Almacenista " 21 % de 3 000 = ?100

3 00021

= 630 €

Dueño de la tienda "

" 21 % de 5 000 = ?100

5 00021

= 1 050 €

b) Consumidor " 21 % de 6 000 = ?10021

0007 = 1 470 €

c) ,3 0001 0

047

49= " El IVA que paga el consumidor representa el 49 % de lo que vale el producto en la fábrica.

8 El precio de una rosa el día de Sant Jordi es de 2,40 €, que representa un aumento de precio del 60 % respecto del precio que tiene el resto de año. ¿Cuál es el precio de una rosa cualquier otro día del año?

Conocemos la parte y el porcentaje, y queremos calcular el total.

El precio de una rosa el día de Sant Jordi será el 100 + 60 = 160 % del precio de una rosa cualquier otro día del año.

160 % de C = ? ,C1001 0

2 406

=

C = ?,

,160

2 40 1001 5=

El precio de una rosa cualquier otro día del año es de 1,50 €.

1 Si a y b son dos números reales y a < b, ¿qué sucede con sus opuestos? ¿Y con sus inversos? Contesta razonadamente.

Opuestos: -a > -b

Inversos: a b1 1

> si a y b tienen el mismo signo y a b1 1

<

si a es negativo y b positivo.

2 Existen relaciones métricas, tanto en la naturaleza, como en construcciones o en la vida cotidiana, donde

aparece el número áureo, 2

1 5U=

+.

¿Se puede representar este número de forma exacta en la recta numérica? Razona tu respuesta.

Sí, es posible. Se representa 5 (diagonal de rectángulo 2 # 1) luego, se le suma 1 (se añade con el compás una unidad al segmento 5 ), y se halla el punto medio del segmento resultante.

3 Escribe el número 71

en forma decimal con la mínima

cantidad de cifras para que el error sea menor que 1 centésima.

, , ,71

0 1471

0 14 0 003<- -"

4 ¿Para qué número sería 5 432,723 una aproximación a las milésimas por defecto? ¿Es única la respuesta? ¿Cuántas hay?

Puede ser una aproximación del número 5 432,7232.

La solución no es única; hay infinitas soluciones, tantas como números decimales que empiezan por 5 432,723…

5 Escribe una aproximación por defecto y por exceso del número e = 2,718281... Indica, en cada caso, una cota del error absoluto.

Por defecto: 2,718. Error: 0,000281… < 0,0003

Hemos aproximado a las milésimas, la cota de error es menor que 3 diezmilésimas.

Por exceso: 2,719. Error: 0,000719… < 0,0008

La cota de error es menor que 8 diezmilésimas.

1PRESENTACIÓN Y SUGERENCIAS1SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN


Recursos para la evaluaciónDe contenidos

Por competencias

Presentación

LA EVALUACIÓN EN LA LOMCE

La evaluación constituye una fase fundamental del proceso educativo:

• Nos informa del grado de adquisición de los contenidos y del desarrollo de las competen-cias por parte del alumnado.

• Es un instrumento fundamental para orientar la labor docente, pues, a raíz de sus resulta-dos, es posible elaborar planes específicos para que cada alumno o alumna desarrolle mejor sus capacidades o habilidades, reforzando y mejorando en determinados campos en unos casos o profundizando y abarcando nuevos contenidos en otros.

EVALUACIONES EXTERNAS

La Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE) plantea importantes innova-ciones relacionadas con el proceso de evaluación, la principal de las cuales es, sin duda, el establecimiento de cuatro evaluaciones externas:

• Al finalizar los cursos de 3.º y 6.º de Primaria.

• Tras 4.º de Educación Secundaria Obligatoria.

• Al terminar 2.º de Bachillerato.

Las pruebas de Primaria son evaluaciones de diagnóstico que tienen como objetivo comprobar la adquisición de destrezas y de competencias por parte de los estudiantes, de modo que, si se detectase alguna carencia, se puedan establecer planes específicos de mejora. Sin embar-go, las pruebas de 4.º de ESO y 2.º de Bachillerato tienen importantes efectos académicos: si no se superan, los estudiantes no obtendrán los títulos de Graduado en ESO y de Bachillerato, respectivamente.

EVALUACIONES EXTERNAS EN LA LOMCE

3.o Primaria 6.o Primaria 4.o ESO 2.o Bachillerato

Diagnóstico Diagnóstico Obtención del título

de Graduado en ESO

Obtención del título de Bachillerato


UN COMPLETO SISTEMA DE EVALUACIÓN

El proyecto SABER HACER ofrece un amplio conjunto de recursos para facilitar la labor del profesorado y responder a sus necesidades, atendiendo a todos los aspectos de la evaluación:

• Evaluación de contenidos. Pruebas de control para cada unidad didáctica para comprobar el nivel de adquisición de los principales conceptos y procedimientos.

• Evaluación por competencias. Pruebas que evalúan el grado de adquisición de las compe-tencias.

• Rúbricas de evaluación. Documento en el que se proporcionan, para cada unidad didácti-ca, criterios para la observación y el registro del grado de avance de los alumnos y alumnas, de acuerdo con los estándares de aprendizaje.

• Generador de pruebas de evaluación. Herramienta informática que permite elaborar pruebas de evaluación personalizadas mediante la selección de actividades a través de un sistema de filtros. También permite editar y modificar las actividades o que el profesorado incluya otras de elaboración propia.

• Evaluaciones externas: nacionales e internacionales. Análisis de las principales eva-luaciones externas de ámbito autonómico, nacional e internacional, destinadas a los estu-diantes.

RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

La evaluación de contenidos permite controlar el proceso de enseñanza y aprendizaje, efec-tuando una comprobación permanente del nivel de adquisición de contenidos.

Como apoyo para facilitar esta labor, se proporcionan en todas las unidades didácticas:

• Pruebas de control. Se ofrecen dos pruebas:

– Prueba B. Prueba de nivel básico en la que se evalúan los contenidos mínimos que todos los alumnos y alumnas deben adquirir.

– Prueba A. Prueba de nivel avanzado.

• Estándares de aprendizaje y soluciones. En una tabla se relacionan los criterios de eva-luación y los estándares de aprendizaje del currículo de cada unidad con las actividades de las pruebas. Se incluyen, además, las soluciones de todas las actividades.


LAS COMPETENCIAS EN LA LOMCE

Las competencias son un conjunto integrado de capacidades (conocimientos, estrategias, des-trezas, habilidades, motivaciones, actitudes…) que los alumnos y alumnas han de poner en juego para dar respuesta a problemas cotidianos, aunque complejos, de la vida ordinaria.

La nueva ley de educación, basándose en el Marco de Referencia Europeo para las competen-cias clave en el aprendizaje permanente, ha definido siete competencias que los estudiantes deben haber adquirido al finalizar su trayectoria académica.

Estas competencias son las siguientes:

La incorporación de las competencias al currículo hace necesario integrarlas en las tareas y actividades didácticas que se desarrollan en el proceso de enseñanza-aprendizaje y, por tanto, tienen una relación directa con la evaluación del alumnado. Esto requiere que los estándares de aprendizaje evaluables hagan referencia no solo a los contenidos propios de las distintas áreas, sino también a la contribución de dichas áreas al logro de las competencias.

Presentación

Competencias

Comunicación lingüística

Es la habilidad para expresar e interpretar conceptos, pensamientos, sentimientos, hechos y opiniones de forma oral o escrita (escuchar, hablar, leer y escribir), y de interactuar lingüísticamente de una manera adecuada y creativa en todos los contextos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología

Integra la habilidad de aplicar los conceptos matemáticos, con el fin de resolver problemas en situaciones cotidianas, junto con la capacidad de aplicar el conocimiento y el método científico para explicar la naturaleza.

Competencia digital

Implica el uso seguro y crítico de las tecnologías de la información y la comunicación en la formación, el trabajo y el ocio.

Aprender a aprender

Engloba las habilidades necesarias para aprender, organizar el propio aprendizaje y gestionar el tiempo y la información eficazmente, ya sea de forma individual o en grupo.

Competencia social y cívica

Recoge los comportamientos que preparan a las personas para participar de una manera eficaz y constructiva en la vida social, profesional y cívica, en una sociedad cada vez más diversificada y plural.

Sentido de iniciativa y emprendimiento

Hace referencia a la habilidad de cada persona para transformar las ideas en actos, poniendo en práctica su creatividad, a la capacidad de innovación y de asunción de riesgos, y a las aptitudes necesarias para la planificación y la gestión de proyectos.

Conciencia y expresión cultural

Implica apreciar la importancia de la expresión creativa de ideas, experiencias y emociones a través de distintos medios (música, literatura, artes escénicas, artes plásticas…).


RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

Entre los recursos para la evaluación que se incluyen en el proyecto SABER HACER CONTIGO, se proporcionan pruebas diseñadas para evaluar el desarrollo y la adquisición de las compe-tencias educativas por parte de los alumnos y las alumnas.

Estas pruebas de evaluación por competencias son complementarias a las que se proponen para la evaluación de contenidos. Tanto unas como otras evalúan los procesos cognitivos y el progreso en el aprendizaje, aunque las segundas están más guiadas por el currículo de las áreas y las primeras, por la contribución de tales áreas al logro de las competencias educativas.

En el área de Matemáticas, nuestro proyecto editorial ofrece los siguientes elementos:

• Pruebas de evaluación por competencias. Para cada unidad se ofrece una prueba referi-da fundamentalmente a las competencias más ligadas con el área: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología, sentido de iniciativa y emprendimiento, comunicación lingüística y competencia social y cívica.

• Estándares de aprendizaje. Los estándares de aprendizaje del perfil de la competencia se ponen en relación con las actividades.

• Soluciones. Se incluyen las respuestas a todas las actividades planteadas en cada prueba.


1 Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales.

a) 0,410034100341003...

b) 2,101001000100001...

2 Representa, de forma exacta en la recta real, los siguientes números.

a) 5 b) 31

c) -1

3 Representa en la recta real los intervalos y conjuntos.

a) A = (0, 5)

b) B = [-3, 2)

c) C = [-5, +`)

d) D = KxO # 3

4 El presupuesto de una reparación es de 500 €, con un margen de error del 12 %. ¿Entre qué valores puede oscilar el coste de la reparación?

5 En época de sequía, un embalse con capacidad máxima de 200 hectómetros cúbicos estaba al 45 % de su capacidad. ¿Qué cantidad de agua contenía en ese momento?

6 En las primeras rebajas una tienda aplicó un 20 % de descuento al precio de los pantalones, y en las segundas, rebajó un 30 % sobre el precio ya rebajado. ¿Cuánto costarán unos pantalones cuyo precio original era 54 €?

7 Un granjero ha decidido invertir los beneficios de su última cosecha, que son 8 500 €, en un depósito financiero que le da un interés compuesto del 4,5 % anual durante cinco años. ¿Qué intereses obtendrá al final?


1EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

PRUEBA B



a) 0,410034100341003...

b) 2,101001000100001...

c) 1,222333344444…

d) 2,123412341234…


a) 5 b) 31

c) -1


a) A = (0, 5)

b) B = [-3, 2)

c) C = [-5, +`)

d) D = KxO # 3

4 Comprueba si los números 5 y 1514

- pertenecen o no a los intervalos anteriores.

5 Dado el número real 11, escribe:

a) Una sucesión de aproximaciones decimales por defecto.

b) Una sucesión de aproximaciones decimales por exceso.

c) Aproximaciones de esta raíz a las centésimas.


7 En las instrucciones de una báscula se indica que su precisión es de 5 centigramos. Pesamos una pila de reloj y la báscula marca 11 gramos y 230 miligramos. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso real de la pila? Si suponemos que el peso real de la pila es de 11 gramos y 245 miligramos, ¿cuáles son los errores absoluto y relativo cometidos al dar como peso 11 gramos y 230 miligramos?





1EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

PRUEBA A


1PRESENTACIÓN Y SUGERENCIAS1ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES

Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje Actividades

B.2‑1. Conocer los distintos tipos de números e interpretar el significado de algunas de sus propiedades más características: divisibilidad, paridad, infinitud, proximidad, etc.

B.2‑1.1. Reconoce los distintos tipos números (naturales, enteros, racionales e irracionales y reales), indicando el criterio seguido, y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.

1, 2, 3

B.2‑2. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico.

B.2‑2.2. Realiza estimaciones correctamente y juzga si los resultados obtenidos son razonables.

4

B.2‑2.6. Compara, ordena, clasifica y representa distintos tipos de números sobre la recta numérica utilizando diferentes escalas.

1, 2, 3

B.2‑2.4. Aplica porcentajes a la resolución de problemas cotidianos y financieros y valora el empleo de medios tecnológicos cuando la complejidad de los datos lo requiera.

4, 5, 6, 7


a) 0,410034100341003... " Racional

b) 2,101001000100001... " Irracional


a) 5 b) 31

c) -1

-1 0 1 2 5

31


a) A = (0, 5)

b) B = [-3, 2)

c) C = [-5, +`)

d) D = KxO # 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

AB

DC


El coste puede oscilar entre: 500 - 12 % de 500 y 500 + 12 % de 500 " (440, 560) €


?10045

200 90 hm3=

PRUEBA B



0,8 ? 0,7 ? 54 = 30,24 €


? ?,

,C Cr

1100

8 500 11004 5

10 592 55f i

t 5

= + = + =f fp p €


* Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje del currículo oficial del Ministerio.


PRUEBA A


a) 0,410034100341003... " Racional

b) 2,101001000100001... " Irracional

c) 1,222333344444… " Irracional

d) 2,123412341234… " Racional


a) 5 b) 31

c) -1

-1 0 1 2 5

31


a) A = (0, 5)

b) B = [-3, 2)

c) C = [-5, +`)

d) D = KxO # 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

AB

DC

4 Comprueba si los números 5 y 1514

- pertenecen o no a los intervalos anteriores.

5 ! A

514

- " A

5 " B

514

- ! B

5 ! C

514

- ! C

5 ! D

514

- ! D


B.2‑1. Conocer los distintos tipos de números e interpretar el significado de algunas de sus propiedades más características: divisibilidad, paridad, infinitud, proximidad, etc.

B.2‑1.1. Reconoce los distintos tipos números (naturales, enteros, racionales e irracionales y reales), indicando el criterio seguido, y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.

1, 2, 3, 4



5, 6, 7

B.2‑2.6. Compara, ordena, clasifica y representa distintos tipos de números sobre la recta numérica utilizando diferentes escalas.

1, 2, 3

B.2‑2.4. Aplica porcentajes a la resolución de problemas cotidianos y financieros y valora el empleo de medios tecnológicos cuando la complejidad de los datos lo requiera.

8, 9, 10


5 Dado el número real 11, escribe:

a) Una sucesión de aproximaciones decimales por defecto.

b) Una sucesión de aproximaciones decimales por exceso.

c) Aproximaciones de esta raíz a las centésimas.

a) 11 = {3; 3,3; 3,31; 3,316; 3,3166; 3,31662; ...}

b) 11 = {4; 3,4; 3,32; 3,317; 3,3167; 3,31663; ...}

c) Por redondeo: 11 = 3,32

Por truncamiento: 11 = 3,31


El coste puede oscilar entre: 500 - 12 % de 500 y 500 + 12 % de 500 " (440, 560) €

7 En las instrucciones de una báscula se indica que su precisión es de 5 centigramos. Pesamos una pila de reloj y la báscula marca 11 gramos y 230 miligramos. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso real de la pila? Si suponemos que el peso real de la pila es de 11 gramos y 245 miligramos, ¿cuáles son los errores absoluto y relativo cometidos al dar como peso 11 gramos y 230 miligramos?

El peso real puede estar entre 11,230 ! 0,05, es decir, entre 11,180 y 11,280.

Error absoluto: Ea = K11,245 - 11,230O = 0,015

Error relativo: Er = ,,

11 2450 015

= 0,0013339... " 0,133 %


?10045

200 90 hm3=


0,8 ? 0,7 ? 54 = 30,24 €


? ?,

,C Cr

1100

8 500 11004 5

10 592 55i

t

f

5

= + = + =f fp p €



1 Los alumnos de 4.º de ESO han visitado un observatorio astronómico, y el guía les habla de Johannes Kepler y de su famosa tercera ley.

Esta ley relaciona el tiempo,T,

que un planeta tarda en dar una vuelta

completa alrededor del Sol

y la distancia, a, que lo separa de él.

El guía les da una tabla con datos sobre los seis planetas conocidos en la época de Kepler.

Planeta

Mercurio 57,9 87,969224,701365,256686,9804 332,5910 759,2

108,21149,6227,9

778,341 427

VenusTierraMarteJúpiter

Saturno

a (millones de km)

T (días) a

T3

2

a) ¿Qué planetas tardan menos de 2 años en dar una vuelta completa alrededor del Sol?

b) Realiza las operaciones indicadas y completa la tabla en tu cuaderno.

c) ¿Qué distancia hay de la Tierra a Venus?

d) ¿A qué velocidad se mueve la Tierra en su movimiento alrededor del Sol?

El guía les cuenta que en 1781 se descubrió Urano, con un período de 84,01 años; y en 1846, Neptuno, con 164,79 años de período.

e) Si la velocidad media alcanzada por una nave espacial es de 28 000 km/h, ¿crees que es factible una expedición tripulada a Neptuno?


1EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS



Competencias que se evalúan


Aprender a aprender B.1‑10. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, aprendiendo de ello para situaciones similares futuras.

B.1‑10.1. Reflexiona sobre los problemas resueltos y los procesos desarrollados, valorando la potencia y sencillez de las ideas claves, aprendiendo para situaciones futuras similares.

a, b, c, d, e

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología


B.2‑2.1. Opera con eficacia empleando cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o programas informáticos, y utilizando la notación más adecuada.

a, b, c, d, e


a, b, c, d, e

1 a) La Tierra tarda exactamente 1 año = 365,256 días, luego 2 años son 365,256 · 2 = 730,512 días.

Los planetas que tardan menos de 2 años en dar una vuelta completa alrededor del Sol son: Mercurio, Venus, Tierra y Marte.

b) Realizamos las operaciones indicadas y redondeamos obteniendo:

Planeta

Mercurio 57,9 87,969224,701365,256686,9804 332,5910 759,2

108,21149,6227,9778,341 427

VenusTierraMarteJúpiter

Saturno

a (millones de km)

T (días) a

T3

2

0,040,04

0,040,04

0,040,04

c) La distancia de la Tierra a Venus es 149,6 - 108,21 = 41,39 millones de kilómetros.

d) Suponiendo que la distancia que recorre la Tierra es igual a la longitud de una circunferencia de radio la distancia al Sol.

? ? ?, , , ,e 2 149 6 2 3 14 149 6 939 488r= = =

En un año la Tierra recorre 939,488 millones de kilómetros.

?

km/h,

,Vte

365 256 24939488000

107172 32= = =

e) Como ?

,( , , )

,aT

a0 04

164 79 365 2560 04

3

2

3

2

= ="

a = 4 490,887 millones de km hay entre Neptuno y el Sol.

En el momento en que es menor la distancia entre la Tierra y Neptuno es 4 490,887 - 149,6 = 4 341,287 millones de kilómetros.

4 341 287 000 : 28 000 = 155 045,96 horas = 17,68 años

La expedición de ida y vuelta desde la Tierra a Neptuno tardaría más de 35 años solo en el viaje luego, la expedición tripulada sería factible.



DÍA A DÍA EN EL AULA Matemáticas 4

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