Deduccion_emc2
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RELATIVIDAD ESPECIAL DE EINSTEIN Deduccin de
Javier Garca GILAB / IFAE
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EL PLAN
1.- PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD 2.- TRANSFORMACIN DE LORENTZ 3.- DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO 4.- DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO 5.- TIEMPO PROPIO DILATACIN DEL TIEMPO 6.- CUADRIMOMENTO 7.- ENERGA
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Suposiciones previas: a) El espacio es homogneo e istropo. b) El tiempo es homogneo.
Suposiciones de la Relatividad de Einstein: c) Todos los observadores que se desplazan a velocidad constante uno de otro (observadores inerciales) son "equivalentes" en el sentido de que experimentan las mismas leyes generales de la naturaleza.
PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD
d) Todo observador mide la misma velocidad para la luz independiente de la velocidad de la fuente.
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a), b) y c) implican:
p q
r s
1
1psqrs q
r p
o Mismo evento descrito por dos observadores A y B con movimiento relativo a velocidad velocidad constante.
TRANSFORMACIN DE LORENTZ
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Imposicin velocidad relativa v:
p s
TRANSFORMACIN DE LORENTZ
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Imposicin de d)
Substituyndolo todo:
TRANSFORMACIN DE LORENTZ
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Pero c) obliga a que la transformacin y su inversa tengan la misma forma excepto el cambio de signo en la velocidad relativa. Hemos de obligar a que:
p 1p 1 v
2
c2
La solucin a esta ecuacin es: p 11 v
2
c2
Sustituimos:
tB
xB 1
1 v2
c2
1 vc2
v 1
tA
xA
tA
xA 1
1 v2
c2
1 vc2
v 1
tB
xB
TRANSFORMACIN DE LORENTZ
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Llegamos a las transformaciones de Lorentz:
tB 1
1 1c2v2
tA vc2
xA
xB 1
1 1c2v2
vtA xA
Normalmente se le llama 11 1
c2v2
y vc con lo que:
tB tA c xA
xB ctA xA
TRANSFORMACIN DE LORENTZ
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PRIMERA CONCLUSIN Cada punto del espacio tiempo representa un EVENTO. Cada observador inercial asigna un par de nmeros (tiempo y posicin) que deben estar relacionados por las transformaciones de LORENTZ para preservar los principios de relatividad y la homogeneidad y la isotropa del espacio.
Por qu no se detect antes? Porque la velocidad de la luz es enorme c=310m/s. Por lo que:
tB tAxB vtA xA
Galileo
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DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO
Dos puntos del espacio
x1
y1
x2
y2
PASOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA
en donde la regla de multiplicacin escalar es1 0
0 1
1) Restamos
xA
yA
x2A
y2A
x1A
y1A
x2A x1
A
y2A y1
A
2) Lo multiplicamos por l mismo
xA yA1 0
0 1
xA
yA x1A x2A
2 y1A y2A2
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R cos sin
sin cos
Rotaremos los dos puntos y volveremos a calcular la distancia:
cos sin
sin cos
x1A
y1A
x1A cos y1
A sin
y1A cos x1
A sin
cos sin
sin cos
x2A
y2A
x2A cos y2
A sin
y2A cos x2
A sin
Restamos:
xB
yB
x2A cos x1
A cos y1A sin y2
A sin
y2A cos y1
A cos x1A sin x2
A sin
DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO
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xB yB1 0
0 1
xB
yB x1A x2A
2 y1A y2A2
Coinciden!
CONCLUSIN Existe una cantidad nmerica (distancia al cuadrado) asociada a dos puntos cualesquiera del espacio que es independiente del estado de rotacin del observador, es decir, todo observador mide lo mismo.
DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO
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PREGUNTA Existe alguna cantidad numrica asociada a dos puntos del espacio tiempo en la que estn de acuerdo todos los observadores inerciales?
RESPUESTA S, pero no es exactamente igual a la del espacio ordinario.
(se puede demostrar sustituyendo las transformaciones de Lorentz)
DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO
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Cul es la 'regla de multiplicacin' (mtrica)? Es decir, qu matriz tenemos que poner entre dos 'eventos' para que al multiplicar d la 'distancia al cuadrado?
M P
P Q
Desarrollando:
Mt2 Qx2 2Ptx c2t2 x2
Por lo que:
M c2
Q 1P 0
As pues la mtrica del espacio tiempo es:
DEFINICIN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO
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Dos observadores con velocidad relativa v
c2tA2 xA2 c2tB2 xB2
Una mosca est en el origen de coordenadas de B todo el rato:
c2tA2 vtA2 c2tB2 02
c2 v2 tA2 c2tB2
1 v2
c2tA2 tB2
1 v2
c2tA tB
tA 11 v
2
c2
tB
TIEMPO PROPIO DILATACIN DEL TIEMPO
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EX: Si el observador B va al 99% de la velocidad de la luz, y si el reloj de la mosca marca un entonces el reloj del observador A marca:
tB 1s
tA 110.992
1 7. 0888s
tA tB
TIEMPO PROPIO DILATACIN DEL TIEMPO
Ejemplo numrico
tA 11 v
2
c2
tB
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c2t2 x2 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR t IGUAL PARA TODO OBSERVADOR
m IGUAL PARA TODO OBSERVADOR
Resulta que da:
m2c2t2x2
2 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR
m2c2t2x2
2 m2c2
Desarrollando un poco:
c2m2 mu2 m2c2
con 11 u
2
c2
CUADRIMOMENTO
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comparando:
c2m2 mu2 m2c2
CUADRIMOMENTO
c2t2 x2
Interpretacin de sus componentes
Velocidades pequeas
11 u
2
c2
1 u2
2c21
10.12 1. 005
1
10.12 1 0.1
2
2 1. 005
mu mu1 u
2
c2
mu p mu
Ejemplo numrico
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ENERGA y MOMENTO RELATIVISTA
Por lo que:
E m2c4 p2c2
1
1 u2
c2
1 u2
2c2 m m mu
2
21
c2
mc2 mc2 mu2
2E mc2
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ENERGA y MASA RELATIVIDAD
E m2c4 p2c2
Si el objeto est en reposo u 0 p 0