Definiciones_espacios_vectoriales

7/21/2019 Definiciones_espacios_vectoriales

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DEFINICIONES Y TEOREMAS DE ESPACIOS VECTORIALES

5.1 ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICION 5.1.1

Sea V un conjunto cualesquiera no vaco de elementos sobre el que estn definidas dos operaciones: la adicin y la

multiplicacin por escalares. Por adicin se entiende una regla que asocia a cada par de elementos u y v en V unelemento u + v denominado suma de u y v; por multiplicacin escalar se entiende una regla que asocia a cada

escalar k y cada elemento u en V un elemento ku denominado m!ltiplo escalar de upor k. Si los elementos u v w

en V y los escalares j y k satisfacen los a"iomas siguientes entonces V se denomina espacio vectorial y sus

elementos se denominan vectores:1.- Si u v estn en V entonces u + v est en V.

2.- Si u v estn en V entonces u + v = v + u.

3.- Si u v w estn en V entonces u # $v + w% & $u + v% # w.4.- '"iste un !nico elemento 0 en V denominado vector cero de V tal que se cumple que ( # u = u # ( & uparatodo u en V.

5.- Para todo u en V e"iste un elemento )u en V denominado opuesto de u tal que se cumple u # $)u% & $)u% # u & (.

6.- Si k es cualquier escalar y u es cualquier elemento en V entonces ku est en V.7.- Si u v estn en V y k es un escalar entonces k$u + v% & ku # kv.

8.- Si u est en V y j k son escalares entonces $j # k%u & ju # ku.9.- Si u est en V y j k son escalares entonces j$ku% & $jk%u.

10.- Si u est en V y * es un escalar *u = u.

TEOREMA 5.1.1

Sean V un espacio vectorial u un elemento de V y a un escalar entonces se cumple lo siguiente:

*.) (u & 0.

+.) a0 & 0.,.) $)*%u & )u.

-.) Si au &0 entonces a & ( o u & 0.

5.2 SUBESPACIOS VECTORIALES

TEOREMA 5.2.1

Si U es un conjunto formado por uno o ms vectores de un espacio vectorial V entonces U es un subespacio de V si

y slo si se cumplen las condiciones siguientes:

(.) 0 es elemento de U

*.) Si u v son elementos de U entonces u # v est en U.+.) Si a es cualquier n!mero y u es un elemento de U entonces au est en U.

TEOREMA 5.2.2

Si A ! 0es un sistema lineal omog/neo de m ecuaciones con n incgnitas entonces el conjunto de vectoressolucin es un subespacio de 0n.

5.3 COMBINACIONES LINEALES. SUBESPACIOS "ENERADOS

DEFINICION 5.3.1

1n sistema de vectores se denominar subsistema del segundo sistema si el primer sistema slo contiene ciertos

vectores del segundo y no contiene ning!n otro vector.

DEFINICION 5.3.2

1n vector u se denomina combinacin lineal de los vectores u* u+ ... uk si se puede e"presar en la forma:

u = a*u* # a+u+ # ... # akuk donde a* a+ ... ak son escalares.


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DEFINICION 5.3.3

Si S & 2v* v+ ... vk3 es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces el subespacio U de V que consta

de todas las combinaciones lineales de los vectores en S se denomina #$%&'() *#+#,&)%), v1 v2 ... vky se dice

que /)$ #'),#$ v1 v2 ... vk *#+#,&+ & U. Para indicar que U es el espacio generado por los vectores del conjunto S.

TEOREMA 5.3.1

Si v* v+ ... vk son vectores en un espacio vectorial V entonces:*.) 'l conjunto U de las combinaciones lineales de v* v+ ... vk es subespacio de V;

+.) U es el menor subespacio de V que contiene a v* v+ ... vk en el sentido de que cualquier otro subespacio que

contenga a v* v+ ... vk debe contener a U.

DEFINICION 5.3.4

4os sistemas de vectores S & 2v* v+ ... vk3 y S5 & 2w* w+ ... wk3 de un espacio vectorial V se dicen equivalentes

cuando ambos engendran el mismo subespacio.

TEOREMA 5.3.2

Si S & 2v* v+ ... vk3 y S5& 2w* w+ ... wk3 son dos conjuntos de vectores en un espacio vectorial V entonces

Span$S% & Span$S5% si y slo si todo vector en S es una combinacin lineal de los vectores en S5 y recprocamente

todo vector en S5 es una combinacin lineal de los vectores en S.

5.4 INTERSECCION Y SUMA DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA

DEFINICION 5.4.1

Se denomina interseccin de los subespacios vectoriales U y al conjunto de todos los vectores pertenecientes

simultneamente tanto a U como a .

TEOREMA 5.4.1

4ados un subespacio vectorial S sobre un cuerpo y dos subespacios suyos U y entonces el conjunto U

interseccion es tambi/n un subespacio vectorial de S.

DEFINICION 5.4.24ados un subespacio vectorial S sobre un cuerpo y dos subespacios suyos U y se denominan suma de dicos

subespacios y se representa por U al conjunto de todos los vectores de S que pueden e"presarse como suma deun vector de U y otro de .

OBSERVACION

6bs/rvese que tanto la interseccin como la suma de subespacios siempre son conjuntos no vacos ya que les

pertenece a ciencia cierta el vector nulo del espacio vectorial 7.

TEOREMA 5.4.2

8omo U # es subespacio de S entonces el subespacio U # contiene tanto a U como a . 9dems si S es

tambi/n subespacio de V que contenga tanto a U como a entonces S tambi/n contiene a U # . Por lo tanto U #

es el menor de los subespacios de S que contienen tanto a U como a ; es decir U # & Span$U +(+%.

9dems si U y son subespacios de S entonces U # es un subespacio de S.

DEFINICION 5.4.3

Sean U y subconjuntos del espacio vectorial V y sea S el conjunto compuesto por todos los vectores v de V que

estn en U en o en ambos. 'l conjunto S se llama unin de U y y ponemos S ! U +(+. 'l conjunto S noes siempre un subespacio vectorial de V

TEOREMA 5.4.3


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4emuestre que el espacio vectorial V es la suma directa de los subespacios U y si y solamente si se verifica que

V & U # y U (+#,$#''(+ & 203.

TEOREMA 5.4.4

os subespacios U* U+ ... Un del espacio vectorial V son independientes si y slo si la descomposicin del

vector cero en suma de vectores de dicos subespacios es !nica.

TEOREMA 5.4.5

Si en un espacio vectorial V varios subespacios son independientes entonces son disjuntos dos a dos.

5.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

DEFINICION 5.5.1

Si S & 2u* u+ ... uk3 es un conjunto no vaco de vectores entonces la ecuacin vectorial a*u* # a+u+ # ... # akuk & 0tiene por lo menos una solucin a saber a* & a+ ... & ak & (. Si esta es la !nica solucin entonces S se denomina

conjunto linealmente independiente. Si e"isten otras soluciones entonces S se denomina conjunto linealmente

dependiente.

TEOREMA 5.5.1

1n conjunto S con dos o ms vectores es:

*.) inealmente dependiente si y slo si por lo menos uno de los vectores en Spuede e"presarse como combinacin

lineal de los dems vectores en S.+.) inealmente independiente si y slo si ning!n vector en S se puede e"presar como una combinacin lineal de los

dems vectores en S.

TEOREMA 5.5.2

1n conjunto finito de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente.

TEOREMA 5.5.3

8ualquier parte de un sistema de vectores linealmente independientes 2u* u+ ... un3 elementos de V es linealmenteindependiente.

TEOREMA 5.5.4

Si algunos de los vectores del sistema 2u* u+ ... un3 son linealmente dependientes todo el sistema 2u* u+ ... un3ser linealmente dependiente.

TEOREMA 5.5.5

Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V y suponga que S contiene a dos o ms elementos. 'ntonces S es

linealmente dependiente si y slo si ay un subconjunto propio S5 de S con la propiedad de que Span$S% & Span$S

5%.

TEOREMA 5.5.6

Sea S & 2v* v+ ... vk3 un conjunto de vectores en 0n. Si k n entonces S es linealmente dependiente.

DEFINICION 5.5.2as funcionesf*f+ ...fn se dicen linealmente independientes en el intervalo


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OBSERVACION

'l recproco del teorema es falso. Si el ?ronskiano def*f+ ...fn es id/nticamente cero sobre $)inf inf% entonces noes posible llegar a ninguna conclusin respecto a la independencia lineal de 2f*f+ ...fn3; este conjunto de vectores

puede ser linealmente independiente o linealmente dependiente.

5.6 BASE Y DIMENSION

DEFINICION 5.6.1

Si V es cualquier espacio vectorial y S & 2v* v+ ... vn3 es un conjunto de vectores en V entonces S se llama base deV si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1.- S es linealmente independiente.

2.- S genera a V.

TEOREMA 5.6.1

Si S & 2v* v+ ... vn3 es una base de un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede e"presar en forma

!nica como v & a*v* # a+v+ # ... # anvn.

DEFINICION 5.6.2

a dimensin de un espacio vectorial V de dimensin finita denotada por 4im$V% se define como el n!mero de

vectores que ay en una base de V. 9dems por definicin el espacio vectorial cero es de dimensin cero.

OBSERVACION

6bs/rvese que el espacio cero 203 no tiene base pues 203 slo contiene al #'), 0por lo cual no contiene ning!n

subconjunto linealmente independiente. Se puede demostrar que todos los dems espacios vectoriales s tienen

bases aunque a veces las bases son conjuntos infinitos.

DEFINICION 5.6.3

Se dice que un espacio vectorial V diferente de cero es de dimensin finita si contiene un conjunto finito de vectores

v* v+ ... vn que forma una base. Si no es as se dice que V es de dimensin infinita. 9dems se considera que elespacio vectorial cero es de dimensin finita.

TEOREMA 5.6.2

Si V es un espacio vectorial de dimensin finita y 2v* v+ ... vn3 es cualquier base entonces:*.) Aodo conjunto con ms de n elementos es linealmente dependiente.

+.) Bing!n conjunto con menos de n vectores genera a V.

TEOREMA 5.6.3

Aodas las bases de un espacio vectorial de dimensin finita tienen el mismo n!mero de vectores.

TEOREMA 5.6.4

1n conjunto de n vectores en un espacio vectorial V es una base si y slo si es linealmente independiente.

TEOREMA 5.6.5

'n un espacio vectorial de dimensin finita todo conjunto generador contiene una base.

TEOREMA 5.6.6

'n un espacio vectorial de dimensin finita cualquier conjunto linealmente independiente de vectores se puede

e"tender asta tener una base.

TEOREMA 5.6.7

Sea S un conjunto no vaco de vectores en un espacio vectorial V. Si S es un conjunto linealmente independiente y v

es un vector en V que no pertenece a Span$S% entonces el conjunto que se obtiene al incluir v en S a!n eslinealmente independiente.


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TEOREMA 5.6.8

Sea S un conjunto no vaco de vectores en un espacio vectorial V. Si v es un vector en S que se puede e"presar comouna combinacin lineal de los dems vectores en S y si S ) 2v3 denota el conjunto que se obtiene al quitar v de S

entonces S y S ) 2v3 generan el mismo espacio; es decir Span$S% & Span$S ) 2v3%.

TEOREMA 5.6.9

Si U es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V de dimensin finita entonces 4im$U% menor o igual

4im$V%; adems si 4im$U% & 4im$V% entonces U & V.

TEOREMA 5.6.10

Si U y son subespacios vectoriales de dimensin finita de un espacio vectorial V entonces

4im$U # % # 4im$U (+#,$#''(+% & 4im$U% # 4im$%.

TEOREMA 5.6.11

a dimensin de una suma directa de subespacios es igual a la suma de las dimensiones de estos subespacios.

TEOREMA 5.6.12

a dimensin del espacio de soluciones del sistema omog/neo con n incgnitas A & O es igual a la diferencia nC

r donde r es el rango del sistema A & O.

5.7 VECTOR DE COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE

DEFINICION 5.7.1

Sea V un espacio vectorial n)dimensional y sea B & 2u* u+ ... un3 una base de V. 4efnase el vector de coordenadas

de u respecto de la base B el cual se denota por


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5.8.1 Aodos los polinomios de grado , que poseen coeficientes reales forman un espacio vectorial.

5.8.2 as matrices antisim/tricas no forman un subespacio vectorial de todas las matrices cuadradas de n " n.

5.8.3 Aodos los vectores de 0n que tienen iguales la primera y !ltima coordenada forman un subespacio vectorial.

5.8.4 Ares vectores no coplanares u v y w son linealmente dependientes.

5.8.5 1n sistema de vectores que contiene dos vectores iguales es linealmente dependiente.

5.8.6 1n sistema de vectores cuyos dos vectores se diferencian por un factor escalar es linealmente indepen)diente.

5.8.7 1n sistema de vectores que contiene al vector nulo es linealmente dependiente.

5.8.8 Si una parte del sistema de vectores es linealmente dependiente entonces todo el sistema tambi/n es lineal)mente dependiente.

5.8.9 8ualquier parte de un sistema de vectores lineal)mente independiente es por s misma linealmente depen)

diente.

5.8.10 Si tres vectores u* u+ y u, son linealmente de)pendientes y el vector u, no se e"presa linealmente a trav/s de

los vectores u* y u+ entonces estos !ltimos se diferencian entre s slo por un factor num/rico.

5.8.11 Sean S U y subespacios vectoriales de V. 'ntonces S ser la suma directa de U y cuando y slo cuando

S est/ contenido en U y .

5.8.12 Si los vectores u* u+ ... uk son linealmente de)pendientes y los vectores u* u+ ... uk u son linealmenteindependientes entonces el vector u se e"presa lineal)mente a trav/s de los vectores u* u+ ... uk.

5.8.13 Si la dimensin de la suma de dos subespacios vectoriales del espacio 7 supera la dimensin de su in)

terseccin en una unidad la suma coincide con uno de esos subespacios y la interseccin con el otro.

5.8.14 Si un sistema de vectores dado posee el rango r entonces cualesquiera r vectores linealmente indepen)dientes forman la base de este sistema.

5.8.15 8ualquier subsistema linealmente dependiente de un sistema dado puede completarse asta la base de ese

sistema.

5.8.16 Suponga que el subespacio vectorial contiene el subespacio vectorial U. 'ntonces la dimensin de U no

supera a la de con la particularidad de que las dimensiones son iguales entre s cuando y slo cuando U & .

5.8.17 a suma S & U # de dos subespacios vecto)riales de V es igual a la interseccin de todos los subes)paciosvectoriales de V que contienen tanto U como tambi/n .

5.8.18 a suma U # de los subespacios vectoriales U y ser suma directa cuando y slo cuando todos los

vectores u elememtos de U # se representen de forma !nica como u & ui # vj donde ui es element de U y vj eselement de .

5.8.19 Suponga que el subespacio vectorial S es la suma directa de los subespacios vectoriales U y . 'ntonces la

dimensin de S es igual a la suma de las dimensiones de U y con la particularidad de que cualesquiera bases de U

y dan juntas la base de S.

5.8.20 Para cualquier subespacio vectorial U del espa)cio Vpuede allarse otro subespacio tal que todo el

espacio V sea la suma directa de U y .


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5.8.21 Si los vectores u* u+ ... uk se e"presan linealmen)te a trav/s de los vectores v* v+ ... vr el rango del primer

sistema no supera el del segundo.

5.8.22 Si el vector u se e"presa linealmente mediante los vectores u* u+ ... uk el rango del !ltimo sistema de vectoresno vara aDadi/ndole el vector u.

5.8.23 Aodas las bases de un sistema de vectores dado contienen la misma cantidad de vectores.

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