Demostración Ec. Cuantitativa en Variación Porcentual
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Demostración ∆%M+∆%V=∆%P+∆%Q
Forma 1
Se parte de la ecuación cuantitativa del dinero.
M*V=P*Q
Luego, se toma diferencias en ambos lados.
∆M∗V +M∗∆V=∆ P∗Q+P∗∆Q
Se multiplica y divide convenientemente. La idea es poder construir las variaciones porcentuales.
∆MM
∗M∗V +M∗∆VV
∗V=∆ PP
∗P∗Q+P∗∆QQ
∗Q
∆MM
∗V∗M+∆VV
∗V∗M=∆ PP
∗P∗Q+∆QQ
∗P∗Q
V∗M∗( ∆MM +∆VV )=P∗Q∗(∆ PP +∆Q
Q )La ecuación cuantitativa planteada inicialmente nos permite simplificar los términos fuera de los paréntesis.
(∆MM + ∆VV )=(∆ PP +∆Q
Q )Luego, por definición, se tiene
∆%M+∆%V=∆%P+∆%Q
Recuerde que ∆ XX
=∆%X.
Forma2
Se parte de la ecuación cuantitativa
M*V=P*Q
Se toma logaritmos en ambos lados
Ln(M)+Ln(V)=Ln(P)+Ln(Q)
Luego de toma diferencial en ambos lados. Se debe recordar que el diferencial de una
variable en logaritmos es igual a su variación porcentual. Es decir, d (ln (X ) )=∆%X . De
esta manera, se tiene directamente
∆%M+∆%V=∆%P+∆%Q