DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES a)Derivada De la Función Exponencial y Función Logarítmica a.1.DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL En los cursos previos se ha estudiado la función exponencial y sus propiedades, las cuales son muy importantes para poder desarrollar la derivada de éste tipo de funciones. Es pertinente que recordemos algunas de las propiedades de los exponentes. Para a > 0, b > 0, n entero positivo; mayor o igual a dos. Además x e y números reales: 1. Derivada de Función Exponencial Base a: y = ax Demostración 1: Utilizando la definición de derivada:

( ) ( )

∆−=

∆−=

∆−=

∆−=

∆

→∆

∆

→∆

∆

→∆

∆+

→∆ x

aLima

x

aaLim

x

aaaLim

x

aaLim

dx

dy x

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

110000

Si reemplazamos a por cualquier entero positivo, por ejemplo 2, al desarrollar el límite se

obtiene: 69314,012

0≅

∆−∆

→∆ xLim

x

x

Veamos:

x∆ 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

∆−∆

→∆ xLim

x

x

120

0,7177 0,6955 0,6933 0,69317 0,6931

xe

dx

dy=⇒=

xey

( )

( ) nxn xyxyx

x

xxyx

y

x

xxxyxyx

aaaa

b

a

b

aa

a

a

babaaaa

=−=−

=

−=−

=−=−

−

+

)6)3

)5)2

**)4*)1

*

Dada la función f(x) = ax Para a>0, Entonces: )()(' aLnadx

dyxf x==

Por otro lado: 693147,0)2( ≅Ln Por consiguiente: )2(12

0Ln

xLim

x

x=

∆−∆

→∆ Así para cualquier valor

de a. Entonces: ( )

)(1

0aLna

x

aLima

dx

dy xx

x

x =

∆−=

∆

→∆

Demostración 2: Otra alternativa para demostrar la derivada de la exponencial, es utilizando propiedades de los exponentes y logaritmos.

Como la función es y = ax entonces: ( ) ( ) ( ))()( axLnaLnx edx

de

dx

da

dx

d x

==

La última expresión se deriva utilizando la regla de la cadena:

( ) ( ) )()(*1*)(*)(* )()()()( aLnaaLneaLneaxLndx

dee

dx

d xaLnaLnaxLnaxLn xx

====

2. Derivada de Función Exponencial Natural ex: y = ex Demostración: Utilizando la definición de derivada:

( ) ( )

∆−=

∆−=

∆−=

∆−=

∆

→∆

∆

→∆

∆

→∆

∆+

→∆ x

eLime

x

eeLim

x

eeeLim

x

eeLim

dx

dy x

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

110000

Como en el caso anterior, 1)(1

0==

∆−∆

→∆eLn

x

eLim

x

x

Entonces: ( ) xx

x

x

x eex

eLime

dx

dy ==

∆−=

∆

→∆1*

10

3. Derivada de Función Exponencial Decimal 10x: y = 10x Demostración: Con las demostraciones anteriores, por favor desarrolle la demostración de esta derivada.

Dada la función f(x) = ex Entonces: xx eeLne

dx

dyxf === )()('

Dada la función f(x)=10xEntonces: )10(10)(' Lndx

dyxf x==

Ejemplo 1: Dada la función xxf 24)( = Hallar la derivada. Solución: Se observa que hay dos funciones: uy 4= y xu 4= Entonces podemos derivar la expresión utilizando la regla de la cadena:

4*)4(4* Lndx

du

du

dy

dx

dy u==

Entonces: xLndx

dy 24*)4(4=

Ejemplo 2:

Dada la función 246

)(3

−+=

xxg

x

Hallar la derivada.

Solución: La función presentada es de cociente, donde el numerador tiene una función exponencial. Entones:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2

33

2

33

)2(466*)6(32

)2(1*466*)6(32

)('−

+−−=−

+−−==x

Lnx

x

Lnx

dx

dyxg

xxxx

Ejemplo 3: Dada la función 34)( += xexf Hallar la derivada de f(x). Solución: Se observa que hay tres funciones involucradas, veamos:

( ) 3421

+==== xvvvuey u Entonces, por la regla de la cadena:

4*21

*** 21−== ve

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy u

Reorganizando y reemplazando cada variable:

342

24

2

44*

21

*34

21

21

+====

+−

x

e

v

e

v

eve

dx

dy xuuu

Finalmente: 34

2 34

+=

+

x

e

dx

dy x

Ejemplo 4:

Dada la función 24 3

10)( += xxf Hallar la derivada de f(x). Solución: Se observa que hay tres funciones involucradas, veamos:

( ) 2410 321

+==== xvvvuy u Entonces, por la regla de la cadena:

221

12*21

*)10(10** xvLndx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy u −==

Reorganizando y reemplazando cada variable:

242

10*12)10(12*

2

1*)10(10

3

2422

21

3

+==

+

x

xLnx

vLn

dx

dy xu

Finalmente: 24

10*)10(63

242 3

+=

+

x

xLn

dx

dy x

a.2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMICA De la misma manera que la función exponencial, en los cursos previos se ha estudiado la función logarítmica y sus propiedades. Veamos algunas de las propiedades de los logaritmos. Para a > 0, b > 0, r número racional positivo. Además x e y números reales positivos:

1. Derivada de Función Logarítmica Base a: y = Loga(x)

)(1

)(yaxLndx

dyxLog

a=⇒=

)()(

)()6)()()3

)()5)()()*()2

)()()40)1()1

aLog

xLogxLogyLogxLog

y

xLog

xayxLogyLogxLogyxLog

xrLogxLogLog

b

baaaa

yabaa

ar

aa

=−−=

−

=⇒=−+=−

=−=−

Dada la función )()( xLogxf a= Para a>0, Entonces: )(1

)('axLndx

dyxf ==

Demostración: Por el principio de la función inversa: xaxLogy y

a =⇔= )( Derivando los dos términos de la última ecuación:

)(1

1*)()()(aLnadx

dy

dx

dyaLnax

dx

da

dx

dy

yy =⇒=⇒=

Pero ay = x, entonces reemplazando: )(

1axLndx

dy =

Pero podemos generalizar de la siguiente manera:

)(uLogy a= Siendo )(xfu = Entonces: 2. Derivada de Función Logarítmica Base e: y = Loge(x) = Ln(x) Demostración: Por el principio de la función inversa: xexLnxLogy y

e =⇔== )()( Derivando los dos términos de la última ecuación:

yyy

edx

dy

dx

dyex

dx

de

dx

d 11*)()( =⇒=⇒= Pero xe y = reemplazando:

xedx

dyy

11 ==

NOTA: Recordemos que Ln(x) es el logaritmo neperiano, al cual invitamos que investiguemos un poco, para fortalecer este tema. Ejemplo 5: Dada la función )4()( 2 xLogxf = Hallar la derivada de f(x). Solución: Se observa que se trata de una función logarítmica. Planteamos la solución así: xu 4= Entonces:

)()( 2 uLoguf = Su derivada: )(*)()(' udx

duf

du

d

dx

dyxf ==

Desarrollando:

)2(24

4*)2(2

1)('

LnLndx

dyxf

xx===

dx

du

auLndx

dy*

)(1=

Dada la función )()(log)( xLnxxf e == Para e el número de Euler, Entonces:

xdx

dyxf

1)(' ==

Ejemplo 6: Dada la función )()44()( 10

26 xLogxLogxf ++= Hallar la derivada de f(x).

Solución: Observamos que se trata de la derivada de una suma, donde los términos son funciones logarítmicas. Entonces derivamos cada término de la suma. Sea )()()( xhxgxf += . Se deriva cada función: - ) )()( 6 uLogxgy == Además sea )44( 2 += xu Entonces:

( )6)44(

88*

61

)('*)(' 2 Lnx

xx

uLnxg

dx

du

du

dyxg

+==⇒=

- ) )()( 10 uLogxhy == Además sea xu = Entonces:

( ) xLnxLnxxuLnxh

dx

du

du

dyxh

1021

2*101

21

*10

1)('*)(' ===⇒=

Agrupando las dos derivadas, ya que: )()()( xhxgxf +=

( ) xLnLnx

x

dx

dyxf

1021

6448

)(' 2 ++

==

Ejemplo 7:

Dada la función x

xLnxf

512

)(7 −= Hallar la derivada de f(x).

Solución:

Planteando la derivada como regla de la cadena: uLnuf =)( Donde vu = y x

xv

5127 −=

Por regla de la cadena:dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy**= Derivando:

125

512

11177 −

=−

===x

x

x

xvudu

dy

125

21

512

2

12

177 −

=−

==x

x

x

xvdv

du

( ) ( )

2

7

2

7

2

77

2

76

5126

256030

2560535

255*127*5

x

x

x

x

x

xx

x

xxx

dx

dv +=+=+−=−−=

Entonces agrupando:

1263

120106030

125

10126

5126

*12

521

*12

57

7

8

8

7

77

77 −+

−+=

−+=+

−−=

x

x

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dx

dy

Finalmente: 12

637

7

−+=

x

x

dx

dy

b)Derivada de las Funciones Trigonométricas

Muchos fenómenos de la naturaleza son modelados por medio de funciones periódicas como las trigonométricas, por ejemplo el movimiento de un resorte, la forma en que se propaga el sonido, las ondas de luz, los electrocardiogramas y otros. Esto nos da la motivación para estudiar las derivadas de este tipo de funciones. 1. Derivada de Función Seno: y = sen(x) Demostración: Por la definición de derivada: )(xseny = entonces:

∆−∆+==

→∆ x

xsenxxsenLim

dx

dyy

x

)()('

0

Utilizando identidades para suma de seno:

∆−∆+∆==

→∆ x

xsenxsenxxxsenLim

dx

dyy

x

)()()cos()cos()('

0

Operando términos semejantes y Reorganizando:

[ ]

∆∆+

∆−∆=

∆∆+

∆−∆==

→∆→∆ x

xsenx

x

xxsenLim

x

xsenx

x

xsenxxsenLim

dx

dyy

xx

)()cos(

1)cos()()()cos()()cos()('

00

Aplicando la propiedad de la suma de límites:

[ ]

∆∆+

∆−∆==

→∆→∆ x

xsenxLim

x

xxsenLim

dx

dyy

xx

)()cos(

1)cos()('

00

Como el límite es del incremento, entonces:

[ ]

∆∆+

∆−∆==

→∆→∆ x

xsenLimx

x

xLimxsen

dx

dyy

xx

)()cos(

1)cos()('

00

En las temáticas de límites se demostró dos límites muy importantes en funciones trigonométricas.

[ ]0

1)cos(0

=

∆−∆

→∆ x

xLim

x y 1

)(0

=

∆∆

→∆ x

xsenLim

x

Entonces, retomando la demostración: )cos(1*)cos(0*)(' xxxsendx

dyy =+==

sen(x)y'cos(x)y −=⇒=

Dada la función f(x) = sen(x) Entonces: )cos()(' xdx

dyxf ==

Generalizando: Sea la función )()( usenxf = donde )(xfu = entonces por la regla de la cadena:

2. Derivada de Función Coseno: y = cos(x) Demostración: Por la definición de derivada: )cos(xy = entonces:

∆−∆+==

→∆ x

xxxLim

dx

dyy

x

)cos()cos('

0

Utilizando identidades para suma de coseno:

∆−∆−∆==

→∆ x

xxsenxsenxxLim

dx

dyy

x

)cos()()()cos()cos('

0

Reorganizando:

[ ]

∆∆−−∆=

∆∆−−∆==

→∆→∆ x

xsenxsenxxLim

x

xsenxsenxxxLim

dx

dyy

xx

)()(1)cos()cos()()()cos()cos()cos('

00

[ ]

∆∆−

∆−∆==

→∆→∆ x

xsenLimxsen

x

xLimx

dx

dyy

xx

)()(

1)cos()cos('

00

Finalmente: )(1*)(0*)cos(' xsenxsenxdx

dyy −=−==

Generalizando: Sea la función )cos()( uxf = donde )(xfu = entonces por la regla de la cadena:

Esta generalización aplica a las demás funciones trigonométricas.

Dada la función f(x) = cos(x) Entonces: )()(' xsendx

dyxf −==

dx

duusen

dx

du

du

dy

dx

dyxf *)(*)(' −===

dx

duu

dx

du

du

dy

dx

dyxf *)cos(*)(' ===

3. Derivada de Función Tangente: y = tan(x) Demostración:

Por identidades de cociente sabemos que: )cos()(

)tan(x

xsenxy == entonces derivamos la función

como cociente: )(sec)(cos

1)(cos

)()(cos)(cos

))((*)()cos(*)cos(' 2

22

22

2 xxx

xsenx

x

xsenxsenxx

dx

dyy ==+=−−==

Así queda demostrada la derivada de la tangente. Es pertinente repasar lo referente a identidades trigonométricas, ya que son una herramienta muy útil en este tipo de demostraciones. 4. Derivada de Función Cotangente: y = cot(x) Demostración:

Por identidades de cociente sabemos que:)()cos(

)cot(xsen

xxy == entonces derivamos la función

( )

)(1

)()(cos)(

)()(cos)(

)()cos(*)cos())((*)(

' 22

22

2

22

2 xsenxsen

xxsen

xsen

xxsen

xsen

xxxsenxsen

dx

dyy

−=+−=−−=−−==

Por identidades recíprocas: )(cos)(

1' 2

2x

xsendx

dyy −=−==

5. Derivada de Función Secante: y = sec(x) Demostración:

Sabemos que la secante es el recíproco del coseno: )cos(

1)sec(

xxy ==

Entones: )tan(*)sec()cos()(

*)cos(

1)(cos)(

)(cos))((*10*)cos(

' 22 xxx

xsen

xx

xsen

x

xsenx

dx

dyy ===−−==

Dada la función f(x) = tan(x) Entonces: )(sec)(' 2 xdx

dyxf ==

Dada la función f(x) = cot(x) Entonces: )(csc)(' 2 xdx

dyxf −==

Dada la función f(x) = sec(x) Entonces: )tan()sec()(' xxdx

dyxf ==

6. Derivada de Función Cosecante: y = csc(x) Demostración:

Sabemos que la cosecante es el recíproco del seno: )(

1)csc(

xsenxy ==

Entonces: )cot(*)csc()()cos(

*)(

1)()cos(

)()cos(*10*)(

'22

xxxsen

x

xsenxsen

x

xsen

xxsen

dx

dyy −=−=−=−==

En seguida vamos a proponer algunos ejemplos modelos sobre derivadas de funciones trigonométricas. Ejemplo 8: Dada la función )cos(5)4()( xxsenxf += hallar la derivada de f(x). Solución: Se observa que f(x) se presenta como una suma de dos funciones trigonométricas, así sea y = sen (4x) además u = 4x entonces:

[ ] )4cos(44*)cos(*)4( xudx

du

du

dyxsen

dx

d === Además [ ] )(5))((5)cos(5 xsenxsenxdx

d −=−=

Entonces: )(5)4cos(4)(' xsenxdx

dyxf −==

Ejemplo 9:

Dada la función )5cos()5tan(

)(x

xxg = hallar la derivada de g(x).

Solución: Se observa que g(x) se presenta como un cociente de dos funciones trigonométricas, entonces:

)5(cos)5()5tan(5)5(cos

1*)5cos(5

)5(cos))5((*5*)5tan()5(sec5*)5cos(

)('2

2

2

2

x

xsenxxx

x

xsenxxx

dx

dyxg

+=−−==

)5(cos)5(5

)5(cos5

)5(cos)5()5tan(5

)5(cos)5cos(

5

)5(cos)5()5tan(5)5cos(

5)('

3

2

3222 x

xsen

xx

xsenx

x

x

x

xsenxx

dx

dyxg +=+=+==

Finalmente: )5(cos

)5(55)('

3

2

x

xsen

dx

dyxg

+==

Dada la función f(x) = csc(x) Entonces: )cot()csc()(' xxdx

dyxf −==

Ejemplo 10: Dada la función 5)4sec(*)2cot()( += xxxf hallar la derivada de g(x). Solución: La función f(x) corresponde al producto de dos funciones trigonométricas más una constante,

entonces: 0)4tan()4sec(4*)2cot()4sec(*)2(csc2)(' 2 ++−== xxxxxdx

dyxf

Finalmente: )4(cos)2()4()2cos(4

)2()4sec(2

)4tan()4sec()2cot(4)4sec()2(csc2)(' 222

xxsen

xsenx

xsen

xxxxxx

dx

dyxf +−=+−==

c)Derivada de las Funciones Hiperbólicas: Reconocimiento: Recordando los principios sobre las funciones hiperbólicas, las cuales están definidas a partir de las exponenciales, tales como:

xx

xxxxxx

ee

eex

eex

eexsenh −

−−−

+−=+=−= )tanh(,

2)cosh(,

2)(

Con algo de conocimientos podemos deducir las tres faltantes. A continuación vamos a analizar las derivadas de este tipo de funciones. 1. Derivada de Función Seno hiperbólico: y = senh(x) Demostración: Utilizando la definición de seno hiperbólico, podemos derivar la función:

( ) ( ) ( )22

1)(

21

)(2

)(xx

xxxxxx ee

eeeexsenhdx

deexsenh

−−−

− +=+=−−=⇒−=

Como podemos observar, la última expresión corresponde a la función coseno hiperbólico de la variable, así queda demostrada la derivada de seno hiperbólico.

(x)coshy'(x)y =⇒= senh

Dada la función f(x) = senh(x) Entonces: )cosh()(' xdx

dyxf ==

Generalizando: Cuando la variable de la función no es x sino otra, digamos u, que a su vez es función de x, entonces: Sea )()( usenhxf = y a su vez )(xfu = Por consiguiente:

dx

du

du

dy

dx

dyu

dx

dusenh

du

d

dx

dyxf *)(*)()(' =⇒==

2. Derivada de Función Coseno hiperbólico: y = cosh(x) Demostración: Utilizando la definición de coseno hiperbólico, podemos derivar la función:

( ) ( ) ( )22

1)(

21

)cosh(2

)cosh(xx

xxxxxx ee

eeeexdx

deex

−−−

− −=−=−+=⇒+=

Como podemos observar, la última expresión corresponde a la función seno hiperbólico de la variable, así queda demostrada la derivada de coseno hiperbólico. Generalizando: Cuando la variable de la función no es x sino otra, digamos u, tal que a su vez es función de x, entonces: Sea )cosh()( uxf = y a su vez )(xfu = Entonces:

dx

du

du

dy

dx

dyu

dx

du

du

d

dx

dyxf *)(*)cosh()(' =⇒==

3. Derivada de Función Tangente hiperbólica: y = tanh(x) Demostración: Utilizando la definición de tangente hiperbólico, podemos derivar dicha función:

)(cosh)()(cosh

)(cosh)(*)()cosh(*)cosh(

)(tanh')cosh()(

)tanh( 2

22

2 x

xsenhx

x

xsenhxsenhxxx

x

xsenhx

−=−=⇒=

Por identidades de las hiperbólicas. )(sec)(cosh

1)(cosh

)()(cosh)(tanh' 2

22

22

xhxx

xsenhxx ==−=

Dada la función f(x) = cosh(x) Entonces: )()(' xsenhdx

dyxf ==

Dada la función f(x) = tanh(x) Entonces: )(sec)(' 2 xhdx

dyxf ==

La última expresión corresponde a la función secante hiperbólico de la variable, así queda demostrada la derivada de tangente hiperbólico. Generalizando: La generalización es similar a los casos anteriores. Con el apoyo del Tutor hacer la demostración de la generalización para esta función. 4. Derivada de Función Cotangente hiperbólica: y = coth(x) Demostración: Utilizando la definición de cotangente hiperbólica, podemos derivar dicha función:

)()(cosh)(

)()cosh(*)cosh()(*)(

)(coth')()cosh(

)coth( 2

22

2 xsenh

xxsenh

xsenh

xxxsenhxsenhx

xsenh

xx

−=−=⇒=

Por identidades de las hiperbólicas. )(csc)(

1)(

))()((cosh)(tanh' 2

22

22

xhxsenhxsenh

xsenhxx −==−−=

5. Derivada de Función Secante hiperbólica: y = sech(x) Demostración: Se deja como ejercicio la demostración de la función secante hiperbólica. 6. Derivada de Función Cosecante hiperbólica: y = csch(x) Demostración: Se deja como ejercicio demostrar la derivada de la función cosecante hiperbólica.

Dada la función f(x) = coth(x) Entonces: )(csc)(' 2 xh

dx

dyxf −==

Dada la función f(x) = sech(x) Entonces: )tanh()(sec)(' xxhdx

dyxf ==

Dada la función f(x) = csch(x) Entonces: )coth()(csc)(' xxhdx

dyxf −==

Ejemplo 11: Dada la función )2tanh()( 3 += xxf hallar la derivada de f(x). Solución: La función f(x) corresponde a tangente hiperbólico. Debemos tener en cuenta que esta operación es válida solo si 0)2cosh( 3 ≠+x Entonces: f(u) = tanh(u) y u = x3 + 2, aplicando la regla de la

cadena: )03(*)(sec)2(*)((tan)(' 223 +=+== xuhxdx

dunh

du

d

dx

dyxf

Simplificando y reorganizando: )2(sec3)(' 322 +== xhxdx

dyxf

Ejemplo 12:

Dada la función ( )42)( −= xsenhxf hallar la derivada de f(x). Solución: La función f(x) corresponde a seno hiperbólico. Debemos tener en cuenta que esta operación es válida solo si 042 ≥−x Entonces: ),()( usenhuf = ,vu = ,42 −= xv aplicando la regla de la cadena:

( ) )2(*2

1*)cosh(42*)(*)(()('

vux

dx

dv

dv

dusenh

du

d

dx

dyxf =−==

Simplificando y reorganizando: 42

)42cosh()2(*

4221

*)42cosh()('−

−=−

−==x

x

xx

dx

dyxf

Ejemplo 13: Dada la función [ ])2cos(tanh)( xxg = hallar la derivada de g(x). Solución: Sea: g(u) = tanh(u), u = cos(v), v = 2x. Entonces:

( ) ( ) ( ) 2*)(*)(sec2*)cos(*))(tanh()(' 2 vsenuhxdx

dv

dv

du

du

d

dx

dyxg −===

Simplificando y reorganizando: )2())2(cos(sec2)(' 2 xsenxhdx

dyxg −==

Ejemplo 14: Dada la función )56(cosh)( 3 −= xxg hallar la derivada de g(x).

Solución: Sea: g(u) = [u]3, u =cosh(v), v = 6x - 5. Entonces: Aquí aplicamos la regla de la cadena.

[ ] )06(*)(*3**)(' 2 −=== vsenhudx

dv

dv

du

du

dy

dx

dyxg

Reemplazando y Simplificando: )56()56(cosh18)(' 2 −−== xsenhxdx

dyxg